3.1.2.3分段函数 难点训练微专题-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.2.3分段函数 难点训练微专题 (解析版) 突破通法： “分段函数，分段解决”遇到分段函数要时刻盯住自变量的范围,并根据自变量的范围选择合适的解析式. （1）求函数值：当出现的形式时,应从内到外依次求值. （2）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义域区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验. 微专题训练 一、单选题 1．下列选项中不是分段函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分段函数定义和性质即可得到不是分段函数的选项. 【详解】分段函数在各段定义域上有着不同的对应关系， 其定义域为各段函数的定义域的并集，各段函数的定义域的交集为空集， ABD符合题意，C项中两段函数的定义域存在交集， 故选：C． 2.已知函数，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定的分段函数，代入求值即可. 【详解】依题意，. 故选：B 3．设已知函数，则（   ） A． B．0 C．6 D．9 【答案】D 【分析】依题意得，再根据分段函数求值即可. 【详解】令，解得，则 因此8，故． 故选：D. 4．已知实数，函数若，则a的值为（    ） A．1 B． C． D．或 【答案】B 【分析】对a分类讨论判断出，在分段函数的区间段，代入求出函数值，解方程求出 【详解】解：①当时，，， 由， 得， 解得，不满足，故舍去; ②当时，，， 由， 得， 解得满足， 故 故选：B. 5．已知函数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求出的等价条件为或，从而可判断两条件之间的条件关系. 【详解】当时，由得，解得. 当时，由得，得. 所以由得或， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 6．已知，，其中表示不超过的最大整数，如，则（    ） A．e B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为，所以，所以． 故选：D． 7．设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况解方程即可求解. 【详解】由题意可知， 当时，，所以由得； 当时，，所以由得，无解. 综上，. 故选：C. 8．某市实行“阶梯水价”，具体收费标准如表所示： 不超过的部分 3元 超过不超过的部分 6元 超过的部分 9元 若某户居民12月份应缴水费为82元，则该户居民12月份的用水量约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数各段上的解析式,由函数值求自变量可得. 【详解】设此户居民本月用水量为,缴纳的水费为元, 则当时,元,不符合题意; 当时,,令,解得,不符合题意; 当时,, 解得,符合题意. 综上所述: 此户居民本月用水量为. 故选：B. 二、多选题 9．已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．若，则x的值是 【答案】BD 【分析】根据分段函数的解析式结合二次函数的性质，逐一判断即可. 【详解】对于A，因为， 所以的定义域为，所以A错误； 对于B，当时，，当时，， 所以的值域为，所以B正确； 对于C，因为，所以，所以C错误； 对于D，当时，由，得，解得（舍去）， 当时，由，得，解得或（舍去）， 综上，，所以D正确. 故选：BD. 10．(多选)设函数，若，则（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】CD 【分析】根据分段函数解析式，对进行分类讨论计算即可求得结果. 【详解】因为，又 所以； (1)当时，，解得. (2)当时，，所以； 综上可知或. 故选：CD 11．已知函数，则 （    ） A． B．的值域为 C．的解集为 D．若，则或1 【答案】BC 【分析】将代入可判断A；分别在和的情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可判断B；分别在和的情况下，根据解析式列出不等式和方程求解可判断CD. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，当时，；当时，； 的值域为，B正确； 对于C，当时，，解得：； 当时，，解得：； 的解集为，C正确； 对于D，当时，，解得：（舍）； 当时，，解得：（舍）或； 的解为，D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．已知函数，若，则的值是 . 【答案】 【分析】分，讨论建立方程求解的值，然后求解函数值即可. 【详解】当，则，所以，此时无解， 当，则，由得，解得， 则. 故答案为： 13．已知函数，若，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】按照从内到外的顺序求，并根据的取值分类讨论函数的解析式，求解即得. 【详解】①当，即时，，由解得（舍）， ②当，即时，， （Ⅰ）若，即时，有，解得； （Ⅱ）若时，即时，有方程无解. 综上，． 故答案为：. 14．已知定义在上的函数则使得成立的整数的集合为 ． 【答案】 【分析】应用分段函数计算结合解为整数计算求解. 【详解】设，则由解得或． 当时，，即． 当时，，则或， 又因为为整数，所以为0，1，3，4. 综上所述，整数的取值集合为． 故答案为：． 四、解答题 15．已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 【答案】(1)， (2)或1或 (3)作图见解析， 【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式分类讨论可求得不等式的解集. 【详解】（1）因为， 所以，． （2）当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或1或． （3）作出函数的图象如图所示：    当时，恒成立；当时，恒成立； 当时，，即，得． 综上所述，的解集为． 16．如图：一动点P从边长等于1正方形ABCD的顶点B出发，按照顺序运动，设点P运动的路程为，的面积为y. (1)求y关于的函数关系式，并指出相应的定义域； (2)求函数的值域. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分、及讨论即可得； （2）分别计算出、及的值域后即可得. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 即有； （2）当，则， 当时，， 当时，， 综上所述，函数的值域为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2.3分段函数 难点训练微专题 (学生版) 突破通法： “分段函数，分段解决”遇到分段函数要时刻盯住自变量的范围,并根据自变量的范围选择合适的解析式. （1）求函数值：当出现的形式时,应从内到外依次求值. （2）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义域区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验. 微专题训练 一、单选题 1．下列选项中不是分段函数的为（    ） A． B． C． D． 2.已知函数，则（      ） A． B． C． D． 3．设已知函数，则（   ） A． B．0 C．6 D．9 4．已知实数，函数若，则a的值为（    ） A．1 B． C． D．或 5．已知函数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知，，其中表示不超过的最大整数，如，则（    ） A．e B．1 C．0 D． 7．设，若，则（    ） A． B． C． D． 8．某市实行“阶梯水价”，具体收费标准如表所示： 不超过的部分 3元 超过不超过的部分 6元 超过的部分 9元 若某户居民12月份应缴水费为82元，则该户居民12月份的用水量约为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．若，则x的值是 10．(多选)设函数，若，则（    ） A． B．3 C． D．1 11．已知函数，则 （    ） A． B．的值域为 C．的解集为 D．若，则或1 三、填空题 12．已知函数，若，则的值是 . 13．已知函数，若，则实数的值为 ． 14．已知定义在上的函数则使得成立的整数的集合为 ． 四、解答题 15．已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 16．如图：一动点P从边长等于1正方形ABCD的顶点B出发，按照顺序运动，设点P运动的路程为，的面积为y. (1)求y关于的函数关系式，并指出相应的定义域； (2)求函数的值域. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $