上海市实验学校2025-2026学年高三上学期开学摸底考试数学试卷

2026届上海实验学校高三上开学摸底考数学试卷 一、填空题 1.若1e{a2,a,若实数a的值为 2.设i为虚数单位，复数z=(1+)(2-i),则mz= 3.关于x的方程|x-1川+|4-x=3的解集为 4.已知f(x)=sin2x,且 h 5.若实数a,b满足二+2=、，则ab的最小值为 a b 6.双曲线C:女-上=1的右焦点为F,点P在c的一条新近线上，O为坐标原点，若PO=PF,则△PF0 42 的面积为 7.已知集合A={a,b,c,d,B={1,2,3},∫：A→B为从定义域A到值域B的函数，且f(x)=1有两个不同 的实数根，则这样的函数个数为 8.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就己经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环 权”.己知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{a},该数列的前3项成等差数 列，后7项成等比数列，且a1=1,a=12,a,=192,则a2=· 9.如图，设点P为正四面体A-BCD表面（含棱)上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M,如果集合M中有且只有2个元素，那么符 合条件的点P有个. 10.已知袋中有9+n(n22,n∈N)个大小相同的编号球，其中黄球9个，红球n个，从中任取两个球，取 出的两球是一黄一红的概率为Pn,则P的最大值为（用最简分数表示)· 11.现有一个上部分轴截面为半椭圆的玻璃杯（如图)，其杯口内径为4cm,深8cm,现 将一半径为©m的小球放入玻璃杯中，若小球可以接触杯底，则”的取值范围为 第1页共4页 12.已知b≥a>0,若存在实数xy满足0≤x≤a,0≤y≤b,(x-a}+(心-b2=x2+b2=a2+y,则2的最 大值为 二、单选题 13.“m=号是直线(m+2x+3my+1=0与直线(m-2x+(m+2y-3=0垂直的（ ) A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 14.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表 示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，内表示事件“两次取出 的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 15.已知a,b∈R且ab≠0，若(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0上恒成立，则( A.a<0 B.a>0 C.b<0 D.b>0 16.设正数a,b,c不全相等，abc=1,函数f(x)=(1+a)1+b)1+c).关于说法 ①对任意a,b,c,f(x)都为偶函数， ②对任意a,b,c,f(x)在[0.01,0.02]上严格单调递增， 以下判断正确的是( A.①、②都正确B.①正确、②错误C.①错误、②正确D.①、②都错误 三、解答题 17.如图，直三棱柱ABC-ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2,A4=4,D为BC的中点，E为CC A 上的点，且c=Cc. B (I)求证：BE⊥平面ADB: (2)求二面角B-AB,-D的大小. 第2页共4页 18.对于函数f(x)与8(x),记集合Dpe={xf()>g(} (1)设f(x)=2x,g(x)=x+3,求集合Dg; (2)设)=x-1,)=(令+a-3+1,h()=0,若DUD6=R,求实数a的取值范围. 19.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以 额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现 需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换 的易损零件数，得下面柱状图： 频数 40 20 891011更换的易损零件数 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台 机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数， (1)求X的分布列； (2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值； (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？ 第3页共4页 20.己知点P(1,2)在抛物线C:y2=2x上，过点Q(0,1)的直线1与抛物线C有两个不同的交点A、B,且直 线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N. (1)求抛物线C的方程： (2)求直线I的斜率的取值范围： (3)设0为原点，Q=00,QN=00,求证：去计片为定值 21.已知函数f=血x,8)=m2+bx,a≠0. (1)对于任意的x>0,求证f(x)≤x-1: (2)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围： (3)设函数f(x)的图象C,与函数g(x)的图象C,交于点P,Q,过线段P的中点作x轴的垂线分别交C, C,于点M,N,证明：C在点M处的切线与C,在点N处的切线不平行 第4页共4页 2026届上海实验学校高三上开学摸底考数学试卷 一、填空题 1.若1e{a2,a,若实数a的值为 【答案】-1 【解析】因为1e{a2,a},故a2=1或a=1,故a=-1或a=1, 若a=1时，a2=a,与元素的互异性矛盾： 当a=-1,{a2,a={-l,符合题意； 故a=-1. 2.设i为虚数单位，复数z=(1+)(2-i),则mz=」 【答案】1 【解析】依题意，z=(1+)(2-)=3+i,所以1m:=1. 3.关于x的方程|x-1+4-x=3的解集为 【答案】{xl≤x≤4} 【解析】由x-1川+4-x=3, 当x≤1时，方程为1-x+4-x=3,解得x=1: 当1<x<4时，方程为x-1+4-x=3,即3=3，恒成立； 当x≥4时，方程为x-1+x-4=3,解得x=4. 综上所述，方程引x-1川+4-x=3的解集为{x1≤x≤4} 4.已知f(x)=sin2x,且 侣+ 【答案】-2 【解析】由题∫'(x)=2cos2x, m =2c0sπ=-2 5.若实数a,b满足上+2=0，则b的最小值为 a+6 【答案】25 【解行】因为。，则宁+京+ =ab,且ab>0, 第1页共11页 边同乘b,得8+4松+4=ab,则aB≥24+4=8，所以b≥22 当且仅当2=4a,即b=2a时取等，即b的最小值为25. a b 6.双曲线C:-上=1的右焦点为F,点P在c的一条渐近线上，O为坐标原点，若POl=PF1,则△PF0 42 的面积为 【答案】32 4 【解折1】双自线c:号-号=山，一条新近线方程为：y= 42 2x,OF=6, 2 过点P作轴垂我PM,PO=P,OM0F-分6，PM=马x5-5, 222 △PF0的面积为xV6x5_3N2 24 7.已知集合A={a,b,c,d,B={1,2,3},f:A→B为从定义域A到值域B的函数，且f(x)=1有两个不同 的实数根，则这样的函数个数为 【答案】12 【解析】由题意可知，函数值1可以从集合A中选择两个元素与之对应，有C种方法， 集合B中的元素2可从集合A中剩余的两个元素选一个与之对应，有2种方法， 集合B中的元素3只能对应集合A中剩余的最后一个元素，有1种方法， 由分步乘法计数原理可知，满足条件的函数个数为C×2×1=12种. 8.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就己经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环 权”.己知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{a}，该数列的前3项成等差数 列，后7项成等比数列，且a=1,a=12,a,=192,则a2= 【答案】 【解析】思路一：设前3项的公差为d,后7项公比为9>0， 则g=2=1=16,且9>0，可得9=2， a12 圆=1+2d0,+2d3,可得d=,可得0=4+aE 思路二：因为{an},3≤n≤7为等比数列，则a=aa。=12×192=482, 第2页共11页 且an>0,所以a,=48: 又因为=0,4，则4，=生=3，故4，=马+8=2. a 2 9.如图，设点P为正四面体A-BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成 的集合记为M,如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有 个 【答案】10 【解析】符合条件的点P有两类：一，六条棱的中点；二，四个面的中心： 集合M中有且只有2个元素，符合条件的点P有4+6=10个. D 10.已知袋中有9+n(n≥2，n∈N)个大小相同的编号球，其中黄球9个，红球n个，从中任取两个球，取 出的两球是一黄一红的概率为P,则P的最大值为 (用最简分数表示) 【管案】号 C! 9n 18n 18 【解析】根据题意可得：P= (n+9)(n+8)n2+17n+72 n+17+72, 2 由于函数y=x+2在区同Q6同上单调选减，在区同（6点+问上单词递增， 18 面62*6x1414=8484,所以比较R=3月=器 可知n+ 17,所以218元 189 n n+17+23417. n 11.现有一个上部分轴截面为半椭圆的玻璃杯（如图)，其杯口内径为4cm,深8cm,现将一半径为cm 的小球放入玻璃杯中，若小球可以接触杯底，则”的取值范围为 【答案】( 【解析】以杯口内径为短轴，杯深为长半轴，建立如图所示的直角坐标系， 故可设半椭圆轴截面方程为上+兰 64+4=10s0, 设小球球心为D(0,t),t∈(-8，+o),P(x,y)为半椭圆上任一点， 则Pm=+0-9-亮-2++4，共中y8小， 第3页共11页 设fy)= 6y2二20+2+4y 则函数图象的对称轴为y=1, ,当9s-8时， 15 即当-8<1s-受时，函数0)在80单词递增， 则当y=-8时，PD取最小值，此时小球放入玻璃杯中，小球可以接触杯底 r-( 当1>时>-8，则数0在(8)单调遥减。 16, 即最小值必不在y=-8处取到，故此时小球放入玻璃杯中，小球不接触杯底 缘上所述，小球放入玫鹅杯中，若小球可以接触杯底，则半径的取值范围为0引 12.已知b≥a>0,若存在实数xy满足0≤x≤a,0≤y≤b,(x-a}+0y-b}2=r+62=a2+y,则2的最 0 大值为 【答案】25 3 【解析】设A(0,b),B(x,0),C(a,b-y), 由(x-a)}+(0y-b)2=x2+b2=a2+y2得△4BC为等边三角形， 设△4Bc边长为m,∠0B=90≤0≤君》， 过C作CH⊥x轴与H, 则∠ACH=B-T ，.·三acos9—,b=7Cos9。 b cose :.a 3,1 +。tan' 22 当0=0时， 6 2W5 3 二、单选题 13.“m=号"是“直线(0m+2)x+3m+1=0与直线0m-2x+(m+2y-3=0垂直的( 2 A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 第4页共11页 【解析】因为直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0垂直， 则(m+2m-2)+3m(m+2)=0,即(m+2X4m-2)=0,解得m=-2或m=2 1 因此由“m=2 "能推出“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0垂直”，反之不能推出， ”是“直线m+2x+3mw+1=0与直线(m-2x+(m+2y-3=0垂直”的充分非围 故选B 14.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表 示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出 的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 【答案】B 【解折1n0-名PZ)-名P肉=名PT)6君 P甲网=0P用P0网P甲T刀G=P用P, P忆两=G≠PZ)P两P丙T=0PT)P丙)， 故选：B 15.己知a,b∈R且ab≠0，若(x-a)(x-b)(x-2a-b)20在x≥0上恒成立，则( A.a<0 B.a>0 C.b<0 D.b>0 【答案】C 【解析】由ab≠0得a≠0，b≠0，f(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-b)=0→x1=a,x2=b,x3=2a+b ①若a>0,b>0,则2a+b>0,且2a+b>a,2a+b>b, 根据穿根法可知x∈(a,2a+b)或x∈(b,2a+b)时不符合题意，舍去； y=f(x) ②若a>0,b<0,要满足题意则a=2a+b>b→a+b=0,符合题意，如图所示； ③当a<0,b>0时，同理要满足题意需2a+b=b>a→a=0,与前提矛盾； a=2a+b3 ④当a<0,b<0,此时2a+b<0, 则f(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-b)的三个零点都是负数，由穿根法可知符合题意； 第5页共11页 综上可知满足(x-a(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0恒成立时，只有b<0满足题意， 故选：C. 16.设正数a,b,c不全相等，abc=1,函数f(xr)=(1+a*)1+b1+c).关于说法 ①对任意a,b,c,∫(x)都为偶函数， ②对任意a,b,c,∫(x)在[0.01,0.02]上严格单调递增， 以下判断正确的是( ) A.①、②都正确B.①正确、②错误C.①错误、②正确D.①、②都错误 【答案】A 【解析】函数f(x)=(1+a*)1+bx)1+c*)的定义域为R,而abc=1, 对于①，f-)=1+a*1+b*0+c9=0+a)0+b0+c2 (abc)* =(1+a)1+b)1+c)=f(x),因此函数f(x)是偶函数，①正确； 对于②，f(x)=(1+a+bx+cx)1+c*)=2+a*+a+b*+b+cx+cx, 当x>0时，令g(x)=a*+ax,求导得g'(x)=(a*-a)na, 当0<a<1时，na<0,函数y=a-a*在(0，+o)上递减，则a-ax<0,因此g(x)>0, 当a>1时，na>0,函数y=a-ar在(0,0)上递增，则a*-ax>0,因此g(x)>0, 从而函数g(x)=a*+a*在(0，o)上递增，同理y=b*+bx,y=c*+cx在(0，+∞)上都递增， 于是f(x)在(0，∞)上严格单调增，②正确，故选：A. 三、解答题 17.如图，直三棱柱ABC-A,BC中，∠BAC=90°，AB=AC=2,AA=4,D为BC的中点，E为CC 上的点，且c-cc. (1)求证：BE⊥平面ADB; (2)求二面角B-AB,-D的大小. 【答案】(1)见解析：(2)arccos号 第6页共11页