专题强化练1:利用基本不等式求含条件的最大（小）值专练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题强化练1　利用基本不等式求含条件的最大(小)值

1.(2025江苏南通第一中学月考)已知x>0,y>0,x+y=1,则的最小值为(　　)

A.4　　       B.　　         C.+2　　       D.2+1

2.(2025陕西西安田家炳中学期中)正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是(　　)

A.1　　       B.3　       　C.6　　       D.9

3.(2025广东深圳宝安中学月考)已知a>b>0,+=4,则5a-4b的最小值为(　　)

A.　       　B.4       　　C.　       　D.2

4.(2025河北石家庄一中月考)已知x>0,y>0,x+y=1,则+的最小值为(　　)

A.　　       B.　　       C.1　       　D.

5.(2025浙江杭州期中)存在三个实数a1,a2,a3满足下列两个等式:①a1a2a3=2;②a1+a2+a3=0,M表示这三个实数a1,a2,a3中的最大者,则(　　)

A.M的最大值是2　　               B.M的最小值是2

C.M的最大值是　              　D.M的最小值是2

6.(多选题)(2025河北衡水中学期中)已知两个正数x,y满足x+2y=2,则(　　)

A.xy的最大值为　              　   B.+的最小值为3

C.x2+4y2的最小值为2　　              D.的最小值为

7.(2025上海中学月考)已知实数x满足0<x<,则+的最小值为　　　　. 

8.(2025福建师范大学附属中学月考)设正数a,b满足a++3=16,则+的最大值是　　　　. 

9.(2024山东淄博第一中学月考)已知正实数a,b满足2a+b+6=ab,则a+2b的最小值为　　　　. 

10.(2024江苏南京段考)已知正实数x,y满足(x+3y-1)(2x+y-1)=1,求x+y的最小值.

 

 

 

 

11.(2025上海第二中学期中)

(1)当x≥0时,求x4-4x的最小值;

(2)当x≥0时,求x3-x的最小值;

(3)当a>0,x≥0时,求x3-ax的最小值.

(提示:若a1,a2,…,an均为非负数,则a1+a2+…+an≥n,n>1,n∈N*,当且仅当a1=a2=…=an时取“=”)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

答案与分层梯度式解析

专题强化练1　利用基本不等式求含条件的最大(小)值

1.D　因为x>0,y>0,x+y=1,

所以===++1≥2+1=2+1,当且仅当=且x+y=1,即x=-1,y=2-时取等号,

所以的最小值为2+1.

方法技巧

　　目标式是分母为单项式的分式,可利用条件配凑为齐次分式,再进行变形化为可用基本不等式的形式,进而求出最值.

2.B　由x>0,y>0,且x2+2xy-3=0,可得y=,0<x<,则2x+y=2x+==+≥2=3,当且仅当x=1,y=1时取“=”.

故2x+y的最小值是3.

规律方法

　　求含有条件的关于两个变量的式子的最大(小)值,可先利用条件消去一个变量,转化为可用基本不等式的形式求最值,要注意消元时变量取值范围的转化.