21.2解一元二次方程（同步练习）2025-2026学年人教版(2024)九年级数学上册

21.2解一元二次方程（同步练习） 2025-2026学年人教版九年级数学上学期 基础巩固 1．（22-23九年级上·湖北恩施·期末）方程的两个根是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如下是小明在解方程时的过程．他在解答过程中开始出错的步骤是（    ） ① ② ③ ④ A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步 3．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）用配方法将代数式变形，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）已知三角形两边长分别为3和9，第三边的长为一元二次方程的一根， 则这个三角形的周长为（       ） A．20 B．18 C．15 D．18或20 5．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）若，则代数式的值为（    ） A．或 B．1或 C． D．3 6．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）关于x的方程有两个根为、，则（    ） A．1 B． C．2 D． 7．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，其中，则的值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 8．（24-25八年级下·广西崇左·期末）若方程的两根为， 则 的值为（   ） A． B．2 C． D． 9．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）若a、b是一元二次方程的两个实数根，求的值． 10．（25-26九年级上·全国·期中）解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 能力提升 11．（24-25九年级上·全国·阶段练习）用直接开方法解方程得方程的根为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）解一元二次方程，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解方程，将方程变形为，则的值为（   ） A．4 B．9 C．12 D．14 14．（24-25九年级下·福建龙岩·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根 15．（25-26九年级上·重庆·开学考试）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（     ） A．且 B． C． D．且 16．（25-26九年级上·广东汕头·阶段练习）用求根公式解一元二次方程时a，b，c的值是（　　） A． B． C． D． 17．（25-26九年级上·广东广州·开学考试）设a，b是方程 的两个不相等的实数根，则 的值为（      ） A．0 B．2025 C．2024 D．2023 18．（25-26九年级上·山西运城·开学考试）已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程有一个根为3，求方程的另一个根． 拔尖提优 19．（24-25九年级上·全国·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实数根满足，求k的值 20．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程 是“3倍根方程”． (1)通过计算，判断是否是“3倍根方程”． (2)若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“3倍根方程”，请写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【难度】0.94 【详解】解：， 即， ， ，． 故选：A． 2．C 【难度】0.94 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则，即， ∴， ∴，． ∴他在解答过程中开始出错的步骤是第③步， 故选：C． 3．D 【难度】0.94 【详解】解：， 故选：D． 4．A 【难度】0.94 【知识点】因式分解法解一元二次方程、确定第三边的取值范围 【详解】解：∵， ∴， 则或， 解得，， 由题意知，第三边的长度需满足：第三边长度，即6＜第三边长度， ∴第三边的长度为8， 则这个三角形的周长为， 综上所述，只有A选项正确，符合题意， 故选：A． 5．D 【难度】0.94 【知识点】换元法解一元二次方程 【详解】解：设，可知， 原方程可化为：， 解得：或， ∵， ∴ ∴， 故选： D． 6．D 【难度】0.94 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【详解】解：由根与系数的关系，两根之和为：． 故选：D ． 7．A 【难度】0.94 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【详解】解：是关于x的一元二次方程有两个实数根， ， 又， ． 故选：A． 8．A 【难度】0.94 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【详解】解题目中方程为 ，对应系数 ，，． 根据根与系数的关系，两根的积为： 故选A． 9．16 【难度】0.94 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 10．(1) (2) (3) (4) 【难度】0.94 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【详解】（1） ； （2） ， ； （3） ； （4） ． 11．D 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 12．A 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——配方法 【详解】解：， ， ， ∴． 故选：A． 13．B 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——配方法、配方法的应用 【详解】解： 原方程变形为： 提取二次项系数2： 对括号内的，加上一次项系数一半的平方，并保持等式平衡：即： 展开整理：移项得： 对比形式，得，， 故． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 14．B 【难度】0.85 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 根据方程的根的判别式列不等式求解答即可． 【详解】解：∵方程， ∴， ∴没有实数根． 故选：B． 15．D 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【详解】解：根据题意得，， 解得， 当，即时，不符合题意， ∴， 综上，且， 故选：D． 16．C 【难度】0.85 【知识点】公式法解一元二次方程、化成一元二次方程的一般式 【详解】解：， ， ，，， 故选：C． 17．C 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【详解】解：设a，b是方程 的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， ∴. 故选：C 18．(1)见解析 (2)该方程的另一个根为2 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【详解】（1）解：∵， ∴方程总有两个实数根； （2）解：设方程的另一个根为m，则， 解得， 故该方程的另一个根为2． 19．(1) (2)2 【难度】0.65 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【详解】（1）解：∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 又∵， ∴． 20．(1)是“3倍根方程” (2)50或 (3)17或 【难度】0.65 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【详解】（1）解（1）∵， ∴解得． ∵， ∴是“3倍根方程”． （2）∵， 解得  ． ∵是“3倍根方程”， 分情况讨论： ①则：． ②则：． （3）∵（是常数）是“3倍根方程”， ∴不妨设是的三倍， 由韦达定理：，解得． 当时， ， ∴． 当， ， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $