2.1.1等式性质与不等式性质课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

情境创设 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示． 2.1.1 等式性质与不等式性质 必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 问题驱动 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速40km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%； 设在该路段行驶的汽车的速度为v，＂限速40km/h＂就是v的大小不能超过40，于是0v40km/h． 由题意，得. 问题驱动 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 设三角形的三条边为，则 如下图，设是直线外的任意一点，垂直于，垂足为,是直线上不同于的任意一点，则 问题驱动 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式．接着，就可以用不等式研究相应的问题了． （1）在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，用数学符号＂＂、＂＂、＂＂、＂＂、＂＂连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． （2）用＂＜＂或＂＞＂连接的不等式叫严格不等式；用＂＂或 ＂＂连接的不等式叫非严格不等式． 合作探究 问题2：某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8 万本．据市场调查，杂志的单价每提高 0.1 元，销售量就可能减少 2000 本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于 20 万元？ 设提价后每本杂志的定价为元，则销售总收入为万元．于是，不等关系＂销售总收入不低于20万元＂可以用不等式表示为，求出该不等式的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围． 合作探究 如何解上面的不等式呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质．为此，我们需要先研究不等式的性质． 实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质．那么，这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实． 合作探究 由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如下图，设是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是．那么，当点在点的左边时，；当点在点的右边时，． 合作探究 如果是正数，那么； 如果等于0，那么 ； 如果是负数，那么．反过来也对． 这个基本事实可以表示为 实数的大小 实数的运算性质 故，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小即可. 作差法 合作探究 例1 比较和的大小. 总结升华 作差法比较两个数（式）的大小的基本步骤： 做差 变形 定号 结论 采用配方、因式分解、通分、有理化等方法 判断差与0的大小 利用实数大小关系的基本事实下结论 评价反馈 教材P40练习 1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系： （1）某高速公路规定通过车辆的车货总高度（单位：m）从地面算起不能超过4m； （2）a与b的和是非负数； （3）如图，在一个面积小于350m2的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L（单位：m）大于宽W（单位：m）的4倍. 评价反馈 教材P40练习 2.比较和的大小. 评价反馈 教材P40练习 3.已知证明 拓展延伸 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 拓展延伸 将图中的“风车”抽象成右图．在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边的长为，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积和为，正方形的面积为．由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式 拓展延伸 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形 缩为一个点，这时有 ． 于是就有 一般地，，有． 当且仅当时，等号成立． $