3.2.1单调性与最大(小)值课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件围绕函数的单调性与最值展开，从图象直观感知到定义严谨证明，再到分段函数、对勾函数及含参问题的综合应用，层层递进构建知识体系。通过引例、例题与变式训练形成学习支架，引导学生从具体到抽象，从感性到理性，逐步掌握函数性质的本质。 其亮点在于深度融合数学核心素养，体现“抽象能力”“逻辑推理”和“数学建模”三方面优势。例如，通过对函数 $ f(x) = x + \frac{1}{x} $ 的单调性证明，培养学生用符号语言表达数量关系的能力，强化逻辑推理意识；在求解恒成立问题时，借助分离参数法建立不等式模型，提升学生用数学语言刻画现实情境的能力。教学设计注重思维过程可视化，如利用表格对比单调递增与递减定义，结合草图分析轴动区间最值问题，帮助学生理清思路，突破难点。此资料既利于学生深化理解函数本质，又便于教师精准施教，实现高效课堂。

高中《数学》必修第一册 2025 人教A版 第三章 函数的概念与性质 3.2.1 单调性与最大(小)值 《数学》 第三章　函数的概念与性质 学校名称 2025 人教A版 第1讲　描述运动的基本概念 新 知 导 入 观察下面各个函数的图象，说说图象有什么特点或变化规律？它们分别反映了函数的哪些性质？ 图象从左到右保持递增 图象从左到右有增有减 图象关于y轴对称 单调性 奇偶性 定性:图形语言 定量:符号语言 图象关于原点成中心对称 《数学》 第三章　函数的概念与性质 学校名称 2025 人教A版 第1讲　描述运动的基本概念 新 知 导 入 二次函数f(x)=x2的单调性 x≤0时,y随x的增大而减小 x≥0时,y随x的增大而增大 f(x)在(-∞,0]上单调递减 f(x)在[0,+∞)上单调递增 《数学》 第三章　函数的概念与性质 学校名称 2025 人教A版 第1讲　描述运动的基本概念 新 知 学 习 单调性的定义   单调递增 单调递减 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I， ∀x1，x2∈D, 当x1<x2时, 都有f(x1)<f(x2), 则称函数f(x)在区间D上单调递增, 区间D为f(x)的单调递增区间. 图示 ∀x1，x2∈D, 当x1<x2时, 都有f(x1)>f(x2), 则称函数f(x)在区间D上单调递减, 区间D为f(x)的单调递减区间. 单调性是局部性质 注：①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数. ②若f(x)在区间D上单调递增(减)，则称f(x)在区间D具有严格的单调性. 常数函数不具有严格的单调性. 《数学》 第三章　函数的概念与性质 学校名称 2025 人教A版 第1讲　描述运动的基本概念 概 念 理 解 单调性的定义 D × × × × ③x1,x2有“任意性”，不能用特殊值判断函数的单调性. 《数学》 第三章　函数的概念与性质 学校名称 2025 人教A版 第1讲　描述运动的基本概念 概 念 运 用 1.判断函数的单调性——定义法 [引例]试判断函数f(x)=－2x+a的单调性，并利用函数单调性的定义证明你的判断. 解：函数f(x)=－2x+a在R上单调递减. 证明：∀x1,x2 ∈R且x1<x2， f(x1)－f(x2)=(﹣2x1+a)－(﹣2x2+a) =﹣2x1+2x2 =2(x2 － x1) ∵x1<x2，∴x2 – x1 >0，∴2(x1 – x2 )>0，∴f(x1)> f(x2)， ∴f(x)=－2x+a在R上是减函数. 将f(x)进行上/下移,单调区间不变. 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 任意取值 作差变形 定号 定论 《数学》 第三章　函数的概念与性质 学校名称 2025 人教A版 第1讲　描述运动的基本概念 7 概 念 运 用 1.判断函数的单调性——图象法 1.1f(x)的图像如士所示，则函数f(x)的单调递减区间是 (　　) A.(-1，0) B.(1，+∞) C.(-1，0)∪(1，+∞) D.(-1，0)，(1，+∞) 1.2函数f(x)=x2-2x-3的单调增区间是__________ [变式]函数f(x)=|x2-2x-3|的单调增区间是_____________. 1.3函数f(x)=-x2+2|x|+1的单调减区间是_______________. D [1,+∞) (1,+∞) 对称轴为x=1 [-1,0]和[1,+∞) (-1,0)和(1,+∞) [-1,1]和[3,+∞) 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念   (-∞,1]和(1,+∞) (-∞,-2]和(-2,+∞) f(x) 将x轴下方图象向上折得| f (x) | 左移a(a>0)得f (x+a) 右移a(a>0)得f (x－a) 上移a(a>0)得f (x)+a 下移a(a>0)得f (x)－a 图象关于x轴翻折得﹣f (x) 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 概 念 运 用 1.判断函数的单调性——观察法 增+增=增 减+减=减 增－减=增 减－增=减 注：“增－增”、“减－减”无法确定单调性 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 新 知 学 习 对勾函数 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 课 内 作 业 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 课 内 作 业 讲解 《数学》 第三章　函数的概念与性质 学校名称 2025 人教A版 第1讲　描述运动的基本概念 课内作业答案 《数学》 第三章　函数的概念与性质 学校名称 2025 人教A版 第1讲　描述运动的基本概念 《数学》 第三章　函数的概念与性质 学校名称 2025 人教A版 第1讲　描述运动的基本概念 知 识 小 结 f(x)在区间D上单调递增⇔∀x1，x2∈D且x1<x2, 都有f (x1)<f (x2) ⇔∀x1，x2∈D, (x1－x2)[f(x1)<f(x2)]>0 f(x)在区间D上单调递减⇔∀x1，x2∈D且x1<x2, 都有f (x1)>f (x2) ⇔∀x1，x2∈D, (x1－x2)[f(x1)<f(x2)]<0 要在定义域上讨论单调区间. [3,＋∞) 《数学》 第三章　函数的概念与性质 学校名称 2025 人教A版 第1讲　描述运动的基本概念 函数单调性的定义 判断函数单调性(求单调区间)的方法： 图象法(平移/变换)、定义法、观察法 熟悉函数作图：一次/二次/反比例/对勾/分段函数 函数单调性的主要运用： 比较函数值大小、求函数的最值/值域 知 识 小 结 《数学》 第三章　函数的概念与性质 学校名称 2025 人教A版 第1讲　描述运动的基本概念 概 念 运 用 2.由单调性解不等式 Key：定义域+单调性 [例2.1]y=f(x)是定义在(-∞，+∞)上的减函数，且f(a)<f(2a－2)，则a的取值范围为__________.  析：a>2a-2，解得a<2. (-∞, 2) [变式]y=f(x)在[-2,2]上满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0，且f(x－2)<f(1－2x)，则a的取值范围为__________.  x-2<1-2x -2≤x－2≤2 -2≤1－2x≤2 析： [0,1) 单调递增 ≤ 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 概 念 区 分 “在区间上单调”和“单调区间” “单调区间是D”：D是唯一的; “在区间E上单调”：E⊆D即可. 《数学》 第三章　函数的概念与性质 学校名称 2025 人教A版 第1讲　描述运动的基本概念 概 念 运 用 3.已知函数单调性求参数值 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 Key：考虑系数和临界点函数值 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 递减 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 3.2.1 单调性与最大(小)值 函数的最值与综合运用 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 新 知 导 入 函数的最大值与最小值 函数f(x)=x2的图象有一个最低点(0，0) 即对于任意的x∈R，都有f(x)≥ f(0) 当一个函数f(x)的图象有最低点时，就说函数f(x)有最小值. 最小值 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 27 新 知 练 习 函数的最大值与最小值 函数 最大值 最小值 条件 设函数y=f(x)的定义域为I，若存在实数M满足： ∀x∈I，都有f(x)≤M; ∃x0∈I，使得f(x0)=M. ∀x∈I，都有f(x)≥M; ∃x0∈I，使得f(x0)=M. 结论 称M是函数y=f(x)的最大值 称M是函数y=f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 ①最大(小)值必须是一个确定的函数值，且为值域中的一个元素. 无最小值 ②求函数的最值应先判断单调性(图象/定义/观察). 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 概 念 运 用 求函数的最值or值域 求二次函数在区间D上的最值： 由零点/开口/对称轴画图，最值在顶点或区间端点取得 × 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 二次函数型 (配方法/因式分解/换元法) 反比例函数型 (分离常数法/平移) 对勾函数 分段函数 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 提 升 运 用 二次函数的最值 (轴动区间定、轴定区间动) [例2.1]求函数f(x)=2x2－2ax+4在区间[－1,1]上的最小值. [例2.2]设函数f(x)=x2－2x－2，x∈[t,t+1]，t∈R，求f(x)的最小值h(t). [变式]设函数f(x)=－x2+2x+5，求f(x)在x∈[t,t+2]上的最大值. [变式]求函数f(x)=x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值. 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 【例2.1】求函数f(x)=2x2－2ax+4在区间[－1,1]上的最小值。 求对称轴 以区间端 点为界移 对称轴 讨论对称轴+单调 性+最值 汇总结论 轴动区间定 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 [例2.2]函数f(x)=x2－2x－3，x∈[t,t+1], t∈R, 求f(x)的最小值g(t). 求对称轴 以对称轴 为参照移 区间 讨论区间端点+单调 性+最值 汇总结论 轴定区间动 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 总 结 知 识 【轴定区间动】 1.求对称轴，画函数草图； 2.分类讨论（以对称轴为参照移区间）： 区间端点的范围+讨论单调性+求最值； 3.下结论 【轴动区间定】 1.求对称轴； 2.分类讨论（以区间端点为界移对称轴）： 对称轴的范围+讨论单调性+求最值； 3.下结论 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 阶 段 小 结 求函数最值or值域的方法 注意新元范围 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 新 知 学 习 恒成立与最值问题 分离参数 一般只适用于二次不等式 恒成立/存在(有解)问题化为最值问题 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 分离参数 分离参数 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 分离参数 函数最值 分离参数 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 巩 固 练 习 恒成立与最值问题 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 巩 固 练 习 存在(有解)与最值问题 分离参数 函数最值 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 分离参数 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 THANK YOU 高中《数学》必修第一册 2025 人教A版 第1讲　描述运动的基本概念 $