13、等差数列与等比数列-【伯乐马】2026年高考数学一轮复习同步考练卷

13、等差数列与等比数列 1.答案：B 由S1w-S5=a6十a7十a8十ag十a10=5a8=0,则a8=0, 则等差数列和.}的公差d=as一a= 3 3 故a,=a-d=1-4x() 2.答案：C 由题知1十q+qg2+q3十q=5(1+q+q2)-4, 即q3+q=4q+4g2,即q3+g2-4q-4=0, 即(q-2)(q+1)(q+2)=0. 由题知g>0,所以q=2. 所以S4=1+2+4+8=15. 3.答案：B 若红}为等比数列.设其公比为q,则。-气 =(q)2=p, p为常数，所以{a}成等比数列，即{an}是等方比数列，故必要 性满足 若an}是等方比数列，即a}成等比数列，则am}不一定为等比 数列，例如22，一六，-2,2…，有。日=（仕2）=4，满足 {an}是等方比数列，但am}不是等比数列，充分性不满足. 故选：B. 4.答案：A 由题可知数列{am}是首项为1，公差为2的等差数列， 所以an=2n-1,得a6=11,ag=17,a11=21,a13=25, 所以a6,ag,a1,a13的末位数依次为1,7,1,5， 故加密编号为1157. 5.答案：A 因为{a.}是等差数列，所以a2十a:十a6=3a:=4π，故a4=3, 4π 8元 则a1十a,=2a4=3, 因为{bn}是等比数列，所以b2bb6=b=3√5，故b4=√3， an2r=一尽故选：A 则6，b:=b好=3，所以tan三1an3 6.答案：C 设{an}的公差为d,{bn一an}的公比为q, 则由题意可得，a4=a1+3d,即12=3+3d,解得d=3, 所以am=3+(n-1)X3=3n 根据已知又有：b1一a1=1,b4一a4=8, 则8=1·g3,得q=2, 所以bn一an=1·2m-1,进而bn=2m-1+3n, 故b2024=22023十6072. 7.答案：D 等比数列{am}首项a1>0,又因为数列{am}为“超级数列”， 则有a1=S1<a2=a1q,所以q>1, 又S。=a,(1-g") 1-q an+1=a1q”,由Sn<an+1, 即41-9" 1-q 2<a19°9g*1-2g°+1>092-g< g" 依题意，任意的n∈N,2-g< 函数y= (日)e≥1)在[1，+四)单调漫成，值域是了 因此2-q≤0，解得q≥2，所以q∈[2，+o). 8.答案：B 设等差数列{an}首项为a1,公差为d, a=a+(n-1)d,b=sin(a), 由题知，存在正整数t,使得bn+r=bn,n∈N, 若集合{xx=bn,n∈N"}有4个不同元素，则t≥4， 当t=4时，bn+4=bn,即sin(am+4)=sin(an）, 即sin(am+4d)=sin(am+2kx),k∈Z, 所以am+4d=an+2k元，或an+4d+an+2kπ=元，k∈Z, 因为{an}是等差数列，各项均唯一，所以an十4d十an十2kπ=π， k∈7舍去，故解得d-,k∈Z.取k=1时d=受， 此时在单位圆上的4等分点可取到4个不同的正弦值，即集合S ={xx=bn,n∈N”}可取4个元素， 当t=5时，bn+s=bn,即sin(an+s)=sin(am),即sin(an十5d)= sin(am+2kπ)，k∈Z,所以am+5d=am+2kπ，或am+5d+am十 2π=元，k∈乙，（舍），故解得d26T,kC乙，此时在单位圆上的国 等分点R到的行行管g,不可能取到4个不同的正弦 值，故不成立， 同理可得当t=6,t=7时，集合S={x|x=bn,n∈N*}可取4个 元素.故选：B 9.答案：AC 设等差数列{an}的公差为d,则d>0,因为a2=4as,则a1十d= 4(a1+4d),可得a1=-5d<0,A对； 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第1页 a6=a1+5d=0,B错； S,-5,=4g十a4十+a,-7a十a）=7a,=0,则S,=S,Cz对， 2 s.=a,+n,1)L=-5dm+n0,1)d_na,1)4>0, 2 2 ,n∈N",.n≥12，即当Sn>0时，n的最小值为12，D错. 故选：AC 10.答案：AC 由Sm-1=3an(n≥2)， 当a=2.S,-a1=3a,=1,解得a,号故A正确： 当n≥1，可得Sn=3am+1, 所以Sm-Sn-1=3am+1-3amn(n≥2)， 所以an=3am+1-3an(n≥2)， 4 即a+1=3a.(n≥2)，而a2=3a1,故C正确，B不正确； 因Sm-1=a1+a2十a3十…+am-1=1十 4 1- 3 ,n>2,故D错误. 11.答案：ABD 对于A,数列{am}是正项等比数列，设公比为q(g>0),则 1ga+1一lga。=1g,+=1gq,所以数列{lga}是等差数列，故A an 正确。 对于B,数列{an}是正项等比数列，设公比为q(q>0),则/Tm T-19号 -aaa。-ai9可=a1g宁，因此yT4,gF q(n≥2)，所以{/Tm}是等比数列，故B正确. 对于C,数列{Sm}是等差数列， 设√S。=an十b,则Sn=(an十b)2. 当n≥2时， a=S-S-1=(an+b)2-(an-a+b)2=2a2n+2ab-a2. 为a1=(a十b)2,所以当(a+b)2≠a2+2ab时，如a=b=1时， 数列{和n}不是等差数列，所以2a+1a”不为常数，所以数列 {2a"}不是等比数列，故C错误. 对于D,数列{Tn}是等比数列，设公比为q(g>0), 则/T,=a1q”-1,即T,=aiq"-1n, T 因此当n≥2时，an= aig(n-1)m T。-1a11ga-1a-2=a19202, 易知n=1时上式也成立，所以am=a1g2m-2, 所以2+1=a1g0 所以数列{an}是等比数列，故D正确. 12.答案：2n+1 设{am}的公差为d,由题意得，a2<a1d<a3, 所以a1十d<a1d<a1十2d,又a1,d为正整数，所以可取a1=3, d=2,故an=3+2(n-1)=2n+1. ,115 13.答案：23； 57.5/2 设升量器的高为h1,斗量器的高为h2(单位都是mm), 325 325 元 ×230 、2 2 =10, 65 325 元 2 、2 115 故h2=23mm,h1= 2 mm. 14.答案：5 设等差数列的公差为d,因为am>0,可知a1>0,d≥0， 且a2十a3=2a3-d=10,则2a3=10+d≥10，即a3≥5， 所以s.=5a+a）=5a≥25； 2 又因为6n}是等比数列，且b3b=5b7,则b3bg=b5b,=5b7, 显然b,≠0，可得b5=5, 则2-≥5，所以最小值为5 b: 15.(1)因为2Sn=3am+1-3,故2Sm-1=3am-3, 所以2am=3am+1-3an(n≥2)，即5an=3am+1, 故等比数列的公比为g=3 i故2a1=3a-3=3u1×号-3=5a1-3, 故a1=1.故a,-() (2)由等比数列求和公式得 5” 1×1 一3 35” 1 23 3 所以数列{Sn}的前n项和 Tn=S1+S2+S3+…+S =[3)+()+(3)++)] 3 -)门 2 1-3 5 315 2”-4 16.(1)设等差数列的公差为d, [a2=a1十d=11 (a1+d=11 由题意可得 10×9 S1w=10a1+ ,即 2a1+9d=8 2 d=4 解得1=13 ld=-21 所以am=13-2(n-1)=15-2n, (2)因为s.=n3+)5-2m=14m-n, 2 令a=15-2>0,解得n<5且aEN, 当n≤7时，则an>0,可得T,=|a1|十|a2l十…十am|=a 十a2+…+am=Sn=14n-n2; 当n≥8时，则an<0,可得Tn=a1|十|a2|十…十|am|= (a1十a2十…+a)-(a8+…十am)=S,-(Sm-S,)= 2S,-Sn=2(14×7-72)-(14n-n2)=n2-14n+98; 综上所述：T。= 14n-n2,n≤7 n2-14n+98,n≥81 为S”+n=2a,十1，即2S,十n2=2a 当n≥2时，2S,-1+(n-1)2=2(n-1)am-1+(n-1)②， ①-②得， 2Sm+n2-2Sm-1-(n-1)2=2nan十n-2(n-1)am-1-(n-1), 即2am+2n-1=2nam-2(n-1)am-1+1, 即2(n-1)am-2(n-1)am-1=2(n-1), 所以an-an-1=1,n≥2且n∈N, 所以{an}是以1为公差的等差数列. (2)汇方法一]：二次函数的性质 由(1)可得a4=a1十3，a,=a1十6，ag=a1十8， 又a4,a7,ag成等比数列，所以a72=a4·ag, 即(a1+6)2=(a1+3)·(a1+8),解得a1=-12, 所以an=n-13, 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第2页 所以S.=-12m+m021=号m2- 25 252625 2 2 2n=2n-2 8 所以，当n=12或n=13时，(Sn)mm=-78. [方法二]：【最优解】邻项变号法 由(1)可得a4=a1十3，a7=a1+6,ag=a1+8, 又a4a7ag成等比数列，所以a,2=a4·ag, 即(a1+6)2=(a1+3)·(a1+8),解得a1=-12, 所以am=n-13,即有a1<a2<…<a12<0,a13=0. 则当n=12或n=13时，(Sn)min=一78. 18.(1)设等差数列{an}的公差为d, 而bn= am-6,n=2k-1 ,k∈N*, 2an:n=2k 则b1=a1-6,b2=2a2=2a1+2d,b3=a3-6=a1+2d-6, 于中g招-6德传=d-2 am=a1+(n-1)d=2n+3, 所以数列{an}的通项公式是am=2n十3. (2)方法1：由(1)知，S.=n(5+2m十3 2 =n2十4， b= (2n-3,n=2k-1 ,k∈N*, 4n+6,n=2k 当n为偶数时，bm-1+bn=2(n-1)-3+4n+6=6n+1, T.= 3+(6n+1).”=3m 7 2 22n2+ 2n, 当>5时，T。S,=(受+)-(m+n) 7 2n(n-1)>0,因此T>S。, 当n为奇数时，T.=T1-61号m+1)+号(a+1D-[4 (a+1D+61-+号4-5， 5 当n>≥时，T。-S,=(号+多n-5)-m+4n) 7(n+22(n-5)>0,因此T,>5。 所以当n>5时，Tn>Sn. 方法2：由1)知，S,=”6++3》=m2+n, 2 2n-3,n=2k-1 bm ,k∈N*, (4n+6,n=2k 当n为偶数时， Tm=(b1+b3+…+bm-1）+(b2+b4+…+bn)= 1201》8.2+14++5.受-+7 2 2 2 当m>5时，T.-S.=(受+)-(a+n) 1 2n(n-1)>0,因此Tn>S。, 当n为奇数时，若n≥3，则 Tm=(b1+b3+…+bn)+(b2+b4十…十bm-1) =-1+2m-3.n十1+14+4(m-1)+6.n-1 2 2 2 2 3 5 =2n2+2n-5, 显然T1=b1=一1满足上式， 2n25 因此当n为奇数时，T。= n-5, 当n>5时，T。-S.=(3m 《222十525)(22十42)= 号(m+2)(n-5)>0,因此T>5 所以当n>5时，Tm>Sn. 19.(1)设数列{bn}的公差为d,则b4=b1+3d=2+3d=11,解得 d=3, .数列bn}为2,5,8,11,8,5,2. (2)记S1=c25十c26+…+c49, 则s,=0-9)=1X0-,2=25-1, 1-q 1-2 根据“对称数列”的定义知， C1十C2十…十c24=c49十c48十…十c26=S1-1=225-2, 所以，S=c1十c2十…十c49=2·25-3=226-3. (3)d51=2,d10o=2+3×(50-1)=149. 由题意得d1,d2,…,do是首项为149，公差为一3的等差数列. 当n≤50时，Sn=d1+d2+…+dm =149+"2D(-3)=-2+9m 2 2n. 当51≤n≤100时，Sn=d1+d2+…十dm =S50十(d51十d52+…十dn) =375+2.0m-50)+n-501n-51)×3 2 n229g = 3 2n+7500 3 301 2n,1≤n≤50 综上所述，Sn= 3 299 2n+7500,51≤n≤100 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第3页数学一轮复习同步考练（十三） 等差数列与等比数列 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.记Sm为等差数列an}的前n项和，已知S5=S1w,a5=1,则a1= B号 c.- 2.设等比数列{am}的各项均为正数，前n项和Sn,若a1=1,S= 5S3-4,则S4= 15 A.8 5 B.8 C.15 D.40 3.若数列an}满足a+ =p(p为常数，n∈N,n≥1)，则称{am}为 “等方比数列”.甲：数列{an}是等方比数列；乙：数列{an}是等比 数列，则 A.甲是乙的充分非必要条件 B.甲是乙的必要非充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既非充分也非必要条件 4.“孙子定理”又称“中国剩余定理”，最早可见于我国南北朝时期的 数学著作《孙子算经》，该定理是中国古代求解一次同余式组的方 法，它凝聚着中国古代数学家的智慧，在加密、秘密共享等方面有 着重要的应用.已知数列{an}单调递增，且由被2除余数为1的 所有正整数构成，现将a6,ag,a1,a13的末位数按从小到大排序 作为加密编号，则该加密编号为 A.1157 B.1177 C.1155 D.1122 5.已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，若a2十a4十a6=4元， b,bb6=33,则tan1十b,b a1十a7 A.-√3 B.- 3 3 D.3 6.已知{an}是等差数列，a1=3,a4=12,在数列bn}中b1=4, b4=20,若{bn一an}是等比数列，则b2o24的值为 A.6072 B.22023 C.22023+6072 D.22023-6072 7.设数列{an}的前n项的和为Sn,若对任意的n∈N,都有 Sn<amt1,则称数列{an}为“超级数列”.已知{an}是首项为正数、 公比为g的等比数列，若{an}为“超级数列”，则公比g的取值范 围为 B.(1,+o) C.W2,+o) D.[2,+o) 8.已知{an}是等差数列，bn=sin(am),且存在正整数t,使得对任意 的正整数n都有bm+=b.若集合S={xx=bn,n∈N}中只含 有4个元素，则t的取值不可能是 A.4 B.5 C.6 D.7 二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.数列{an}是递增的等差数列，前n项和为Sn,满足a2=4a5,则 下列选项正确的是 A.a1<0 B.a6<0 C.S2-So D.Sm>0时，n的最小值为11 10.数列{am}满足：a1=1,Sm-1=3am(n≥2)，则下列结论中正确的 是 1 A.a2=9 3 B.{an}是等比数列 C.an+1- 3am,n≥2 D.S。-1= ) ,n≥2 11.记S。为正项数列{an}的前n项和，T。为正项数列{an}的前n 项积，则 A.若数列an}是等比数列，则数列lgan}是等差数列 B.若数列{am}是等比数列，则数列{T}是等比数列 C.若数列{√Sm}是等差数列，则数列2“}是等比数列 D.若数列{/Tn}是等比数列，则数列an}是等比数列 三、填空题 12.若一个等差数列{an}满足：①每项均为正整数；②首项与公差的 积大于该数列的第二项且小于第三项.写出一个满足条件的数 列的通项公式am= 13.汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量 器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、 斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 65mm,325mm,325mm,且斛量器的高为230mm,则斗量器的 高为 mm,升量器的高为 mm. 14.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,{bn}是等比数列，若am> 0a:十a,=10,且6,6，=5动，则8的最小值为 2026年伯乐马一轮复习同步考练（十三）·数学·第1页（共2页） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3am+1一3. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{Sn}的前n项和. 16.记S。为等差数列{an}的前n项和，已知a2=11,S1w=40. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Tn. 17.记S,为数列和.}的前n项和，已知2S十m=20.十1. (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4a7,ag成等比数列，求Sm的最小值. 18.已知{an}为等差数列，bn= am一6，n为奇数 2an,n为偶数 记Sn,Tn分别为 数列{an},bn}的前n项和，S4=32,T3=16. (1)求{am}的通项公式； (2)证明：当n>5时，Tm>Sm. 2026年伯乐马一轮复习同步考练（十三）·数学·第2页（共2页） 19.如果有穷数列a1,a2,a3,…,am（m为正整数)满足条件 a1=am,a2=am-1,…,am=a1,即a:=am-t+1(i=1,2,…,m), 我们称其为“对称数列”.例如，数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,2， 4,8都是“对称数列”. (1)设{bn}是项数为7的“对称数列”，其中b1,b2,b3,b4是等差 数列，且b1=2,b4=11.依次写出bn}的每一项； (2)设{cn}是49项的“对称数列”，其中c25,c6,…,c49是首项为 1,公比为2的等比数列，求{cn}各项的和S; (3)设dn}是100项的“对称数列”，其中d1,d2,…,d1是首 项为2，公差为3的等差数列.求{dn}前n项的和Sn（n=1, 2,…,100).