9、同角三角函数的基本关系、诱导公式、三角恒等变换-【伯乐马】2026年高考数学一轮复习同步考练卷

数学一轮复习同步考练（九） 同角三角函数的基本关系、诱导公式、三角恒等变换 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1知o+y.且lg<号则amg= A. C.-√3 D.5 1 2.已知0<x1<e<2m,sin1=sinx,=3,则cos(1-x)= A.9 B.- 9 D.- 73 3.在△ABC中，sinA·cosA=- ,则cosA-sinA= 1 A.、 3 2 B.、6 C.5 .2 D.士 2 4.五星红旗左上角镶有五颗黄色五角星，旗上 的五颗五角星及其相互联系象征着中国共产 党领导下的革命人民大团结.如图，可以将五 角星分割为五个黄金三角形和一个正五边 形，“黄金分割”表现了恰到好处的和谐，其比 值为5，≈0.618，这一比值也可以表示为 2 m=2sin18°，若m2十n=4,则 m2/n 2c0s227°-1 的值约为 A.0.618 B.1.236 C.2.472 D.4 5.已知cos(a十3)=m,tanatan3=2,则cos(a-3)= A.-3m B.- c号 D.3m 6.已知a,月，y∈(0，)，sina+siny=sin8,cos3+cos7=cosa,则下 列式子成立的是 A.cos(B-a)=- 3 B.cos(B-a)= 3 C.3-a= D3-a=3 7.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边 上有两点A1a),B(2b0),且cos2a-号.则1a-6 A.6 C26 5 5 D.1 8.已知x,y∈(0,2)，sin(x十y)=2sin(x-y),则x-y的最大值 为 c 08 二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列计算中正确的是 A tan15°+1 一3 tan15°-1 B.cos422.5°-sin422.5°= 的 2 C.sin 15'sin 45'sin 75 D.tan37°+tan23°+√3tan37°tan23°=1 10.若+-1.则 2V5 4 A.tanx=2 B.sinz= C.tan2x= 5 5 D.sin2x= 5 11.已知a∈（π，2x),sina= tana =tan乞，则 1 A.tana=√3 B.cosa= 2 C.tan3=4v√3 D.cos8-7 三、填空题 12.满足等式(1-tana)(1-tan3)=2的数组(a,3)有无穷多个，试 写出一个这样的数组 13.已知c0s(75°+a)=子，则cos(105°-a）十sim(15-a)= 14.如图单位圆，正弦最初的定义（称为古典正弦定 义)为；单位圆中，当圆心角在(0，π)时，圆心角为 2a时，2a的古典正弦”为BC,根据以上信息，号 的“古典正弦”为 当0（0,时，0的“古典正弦”除 以sin0的最大值为 2026年伯乐马一轮复习同步考练（九）·数学·第1页（共2页） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1i已知角。的终边经过点P(m,2,ia2,且a为第- 3 象限角 (1)求m的值； sircos3sin(a)sin (2)若tan3=√2，求 的值 os(+a)(-B)-3sinaoo) 1.已知sina-A)=2sna+9)=号 (1)证明：tana+5tan3=0; (2)计算an（a一8)-tama十tan2的值. tan atan(a-B) 17.已知函数f(x)=tanx. (1)若a为钝角，且3f(2a)=4,求sin2a+3cos2a的值； (2)若&，B均为锐角，且f(a)一f(9)= 1 2cosa cos3 求sina+cos3的取值范围. 18.如图，在平面直角坐标系x0y中，角。(<a<受)的顶点是坐 标原点，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O交于点 A(x1),将角。的终边绕原点逆时针方向旋转行，交单位圆 O于点B(x2y2). 3 (1)若2=5，求x的值： (2)分别过点A,B向x轴作垂线，垂足分别为C,D,记△AOC, △BOD的面积分别为S1,S2.若S1=2S2,求角a的大小. B DO 2026年伯乐马一轮复习同步考练（九）·数学·第2页（共2页） 19.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 A A cos 2-sin 2 sinB A A cosB 2+sin 2 1)若C-管求B: (2)若a2+b2-kc2=0(k∈R),求符合条件的k的最小值.9、同角三角函数的基本关系、诱导公式、三角恒等变换 1.答案：C 由已知可得，co (2+9 。sine?,所以sing马 2 因为9<2，所以cos9>0,c0s4=-sim9=2: 所以，tanp= sin9=-√3. coso 2.答案：B 因为0<1<：<2,6iu1=m:=子>0，所以- 2 2, 即x1十x2=元，22=元-x1,所以c0s(a1一x2)=c0s(2.x1-元)= -cos21=-1-2sim2x1)=-（1-2Xg)=-g 7 3.答案：B 在△ABC中，sinA·cosA=-8, ∴.A为钝角，.cosA-sinA<0, ∴.cosA-sinA=-√/(cosA-sinA) =-VcosA+sin2A-2sinAcosA 1-2×(- 8) 1 2 4.答案：B 由题意知，n=4-m2=4-4sin218°=4cos218°， 则 m2√n 4sin218°×2cos18°4sin18°sin36 2c0s227°-1 c0s54° sin 36 =4sin18° ≈4X0.618 1.236.故选B. 5.答案：A 因为cos(a十B)=m,所以cosacos3-sinasin明=m, 而tana tan3=2,所以sina sin3=2 cosacos3, 故cosa cosf3-2c0 sa cos3=m即cosa cos9=-m, 从而sinasin3=-2m,故cos(a-3)=-3m,故选：A. 6.答案：D 由题意知，siny=sin3-sina,cosy=cosa-cos3, 将两式分别平方并相加，得 1=(sinB-sina )2+(cosa-cos3)2=2-2(sinBsina+cosBcosa) =2-20(月-a),所以c0s(月-a)=2故A.B错误： 因为a,,y∈(0，分)，所以siny=sin3-sina>0,所以sing> sina,即B>a,所以0<g-a<受，所以g-Q=于故D正确， 7.答案：B 由O,A,B三点共线，从而得到b=2a, 因为c0s2a=2cos2a-1=2· √a2+1 1 解得。专即1a=号 所以a-6=1a-2a-号，故选B 8.答案：B 由sin(x+y)=2sin(x-y)得，sin.c cosy+cosasiny=2 sinx cosy -2 cos siny,则tanx=3tany,所以tan(x一y)=1十tanztany tanx-tany 2tany 2 1+3tany 停当且仅当y怎时等号代 -+3tany tany 立，由于f(x)=tanx在x∈(0，)上单调递增，又x,y∈ (0,宁，则xy的最大值为 9.答案：ABC 因为an15°+1 tan15°+tan45 tan15°-1 1-tan15tan45=-tan60°=-√3，故A 正确； cos22.5°-sin422.5°=(cos222.5°+sin222.5°)(cos222.5°- Sin222.5)=c0s45°三之，故B正确 1 sin15sin45sin75=sin15°cos15sin45°=2sin30°·sin45 2 8 ,故C正确； 因为tan60=tan(37°+23°)=tan37十tan23 1-tan37°tan23° =√3， 所以tan37°十tan23°+√3tan37tan23°=√3，故D错误. 10.答案：AD 因为，sin2十cosz 2sinz-cosx =1分于分母都乘以1 cosa sina+cosx 所以2sinx-cos7 tanx+1 2tanx-1 =1,可得tanx=2,故A正确， sina =2,sin2+cos2x=1,sinx= 25 cOS ,B错误： 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第1页 2tanx 4 tan2x= 1-tan2x1-4 3,C错误； =2,inx+cos2z=1,sin2z=号，sin2x=2 no8x 4 coS 4 sinx=5D正确。 11.答案：BD tana 1 因为sina=tana cosa= 2 ,所以cosa= 2,又a∈(，2x), 所以sina= ,tana=一√3，故A错误，B正确. 2tan 2 tan 2 之，所以1an9= =-4√3， 1-tan -sin2 B 2 1-tan2 2 cos= 3 7故C错误，D正瑰， sin2 B 1+tan2 2 故选：BD. 3 12.答案：(0,4） (1-tana)(1-tanB)=2,1-(tana+tanB)++tanatan=2, 所以aa十tamg=tana9-1,所以tan(a+B)=g "}-1,所以a十日平+女x,k∈乙.所以可a十月 1-tana tanB 所以a,9可以为0，. 13.答案：0 因为(105°-a)十(75°+a)=180°，(15°-a)+(a+75°)= 90°， 所以c0s(105°-a)=c0s[180°-(75°+a)]=-cos(75°+a)=- 1 3 1 sin(15°-a)=sin[90°-(a+75)]=cos(75°+a)= 3 所以cos(105°-a)十sin(15°-a)=- +号-0， 14.答案：1W2 由题设号的古典正弦“为2sin=1, 2sin 2 9的“古典正弦”为2sin2,则sin 2sin 2 00 0 2sin 2cos 2 cos 2 又，] cos 2 所以0的“古典正弦”除以sin0的最大值为√2. 2√2 2√2 15.(1)由三角函数定义可知sina= ,解得m=士1， 3 w√m2+8 因为a为第一象限角，所以m=1. (2)由(1)知tana=2√2， inacs+3sin(受十a)in明 s(x+a)cos(-B)-3sinacos(2 sina cos?++3cosa sinp tana+3tang cosa cosp+3sina sinB 1+3tana tan? 2√2+3√2 52 1+3X2√2×√2 13 16.(1)证明： 法-由条件sim(a-)=方，sina+B)= 2sin(a-B)=3sin(a++3), 2sina cos8-2cosa sinB-3sina cos+3cosa sing, 整理得sina cos3=一5 cosa sin3, 即tana=-5tan3,tana十5tan3=0得证. 法二由条件sma-A)=了sna+8=号 1 即sinacos-cosasin-=2，D sinacos3-+cosasin,2 5 1 由①@，得sincs3-2,cosasin=一i2: 从而可得tana=一5tan3,tana+5tan3=0得证. (2)由于tan(a-g)= tana-tanB 1+tana tan8 tana-tan8=tan(a-B)(1+tana tanB), 所以 tan (a-B)-tana+tanB tan atan(a-B) _tan(a-B)-tan(a-B)(1+tanatanB) tan atan(a-B) -tan(a-β)·tanatan3 tan atan(a-B) tanB 1 17.(1)因为函数f(a)=tan.x,a为钝角，所以f(a)=tana<0. 因为3f(2a)=4,所以tan2a= 2tana 4 1-tan'a 3' 解得：tana=-2(tana= 2舍去) sin2a+3 cos'a=sin2a+3 cos'a2sinacosa+3 cos'a 1 sina+cosa 2tana+3 tan2a1 把tana=一2代入可得： sin2a+3 cos2a= 2tana+3_2X(-2)+3__1 tana+1(-2)2+1 1 (2)因为f(a)-f(3)= 2cosa cosB 所以tana-tan3= 2cosacos' 所以sina cos3-cosasing 1 cosacosB 2cosacos8' 即sina-B) cosacosB 2cosacos8 因为a,3均为锐角，所以cosa cos3≠0，所以sin(a一B)= 所以a日=云 0<a< 0<+< 62 因为 ,所以 所以09< 0<<2 0<B<2 所以sina十cos=sin+)十cos -sinBcos +cossin 6 6 因为0<g<音，所以晋<B+<要，所以m(+)e 小，所以sm(+引（合w] 即a十c09的取值范围为（号] 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第2页 3 18.(1)由已知得c0sa=x1= 5, 1-3)= 4 sina=√/1-c0s2a= 所以ry=c0s(a+子)=6 o0号-sine sin月 2 10 1 1 (2)根据条件知S1=2=4sin2a, 因为S1=2S2, 2π 2π 元 sin2a--2sin(2a)--2(sin2a cos+cos2asin3 =sin2a-√3cos2a, 于是c0s2a=0, 因为后<a<受所以晋<2a< 所以2a=2解得a=至 4 c052 A cos2 A AA 1+cosA sinA sipcos 2 2 2 19.(1) A A cos 2+sin2 A AA 1+cosA sinA cos*sin 2 cos 2 2 2 1+cosA-sinA sinB 1+cosA+sinA cosB' sinB+sinBcosA+sinA sinB=cosB+cosA cosB-sinAcosB, sinB+sin(A+B)=cosB+cos(A+B), sinB-cosB=-sinC-cosC, 两边平方得1一2 sinB cosB=1+2 sinC cosC, 即sin(-2B)=sin2C, -2B∈(-2x,0),2C∈(0,2x),B+C∈(0，x), -2B+2C=x,C=受+B. 32=6； (2)由1)可得，C-受+B,则x-(+B+BA 则0<x-(+B+B,0<B<,<sB<1, 4’2 sinA-sin-c0s2B-2 cos+B-1. 由a2+b2-kc2=0(k∈R)得， k=。2+b-s$inA十sin2B_2cos2B-1)2+1-cosB c2 sinC cos2B 设x=casB,则写<<1 6=a2+6-21-12+1-2=42-5x+2=4+2-5 ≥24x…-5=4-5 当且仅当红=兰罗时，等号成立 2 即符合条件的k的最小值为4√2一5. 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第3页