7、导数与函数的单调性、极值与最值-【伯乐马】2026年高考数学一轮复习同步考练卷

数学一轮复习同步考练（七) 导数与函数的单调性、极值与最值 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.设函数f(x)=2x十元 一1(x<0),则f(x) A.有最大值 B.有最小值 C.是增函数 D.是减函数 2.已知f(x)=一x2+mz+1在区间[一2，一1]上的最大值就是函 数f(x)的极大值，则m的取值范围是 A.[2,+∞) B.[4,+o) C.[-4,-2]D.[2,4] 3.我国是一个人口大国，产粮、储粮是关系国计民生的大事.现某储 粮机构拟在长100米，宽80米的长方形地面建立两座完全相同 的粮仓（设计要求：顶部为圆锥形，底部为圆柱形，圆锥高与底面 直径为1：10，粮仓高为50米，两座粮仓连体紧靠矩形一边)，已 知稻谷容重为600千克每立方米，粮仓厚度忽略不计，估算两个 粮仓最多能储存稻谷（π取近似值3） A.105000吨 B.68160吨 C.157000吨 D.146500吨 4.已知函数f(x)=ae一lnx在区间(1,2)上单调递增，则a的最 小值为 A.e2 B.e C.e- D.e-2 5.如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1,x2(x1≠x2)都有 xf()一xf》0,则称函数y=f(x)为“F函数”.下列函 x1一x2 数是“F函数”的是 A.f(x)=e" B.f(x)=22 C.f(x)=Ina D.f()=sina 6.设函数f(c)=3sin2.若存在fa)的极值点n满足。2十 m [f(xo)]2<m2,则m的取值范围是 A.(-0,-6)U(6,∞) B.(-0,-4)U(4,0) C.(-0,-2)U(2,o) D.(-0,-1)U(1,0) 7若直线y=ax十6为函数f(e)=心-上图象的一条切线，则 2a十b的最小值为 1 A.1n2 B.In2- 2 C.1 D.2 8.已知a为常数，函数f(x)=x(lnx一a.x)有两个极值点x1,x2 (x1<x2),则 Af,>0,fa)>-月 B.f(x1)<0,f(x2)<-7 Cf(x1)>0,f(a2)<-月 D.f(x1)<0,f(x2)>- 2 二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知函数f(x)的定义域为[-1,5]，部分对应值如下表： 0 4 5 f(2) 2 2 1 f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，下列关于函数f(x)的结 论正确的是 A.函数f(x)的极大值点有2个 B.函数f(x)在[0,2]上是减函数 C.当x∈[一1，t]时，若f(x)的最大值是2，则t的最大值为4 D.当1<a<2时，函数y=f(x)-a有4个零点 10.设函数f(x)=(x一1)2(x一4)，则 A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时，f(x)<f(x2) C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) 1.函数f()满足a>0,b>0,函数g(x)=fC的-个零点也是 其本身的极值点，则f(x)可能的表达式是 A.ax3+bx+1 B.ax-blna C.asina+bcosx++1 D.ax2+bx+1 三、填空题 12.已知函数f(x)=- 2x2-3x十4lnx在(t,t+2)上不单调，则 实数t的取值范围是 13.函数f(x)=|2.x-1|一21n.x的最小值为 14.在平面曲线中，曲率(curvature)是表示曲 线在某一点的弯曲程度的数值，如图，圆 C. C1、C2、C在点Q处的弯曲程度依次增 大，而直线在点Q处的弯曲程度最小，曲 率越大，表示曲线的弯曲程度越大.曲线 的曲率定义如下： 若f'(x)是f(x)的导函数，f"(x)是f'(x)的导函数，则曲线y =f(x)在点(x,f(x)处的曲率K= |f"(x) ,则余弦 1+[f'(x)]} 曲线f(x)=cosx在(0,1)处的曲率为 ；正弦曲线 g(x)=sinx(x∈R)曲率K的平方K2的最大值为 2026年伯乐马一轮复习同步考练（七）·数学·第1页（共2页） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知函数f(a)=-x3十3x2十9x十a. (1)求f(x)的单调减区间： (2)若f(x)在区间[一2,2]上的最大值为20，求它在该区间上 的最小值. 16.已知函数f(x)=x sina. (1)判断函数f()在区间0，)上的单调性，并说明理由； (2)求证：函数f)在径，内有且只有一个极值点。 17.已知函数f(x)=e-ax一a3. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 18.已知函数f(x)=ax-3x2+1-3 (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若曲线y=f(x)上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线 段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围. 2026年伯乐马一轮复习同步考练（七）·数学·第2页（共2页） 19.已知函数f(x)=2a.x一ln(2.x),x∈(0，e],其中e是自然对数 的底数，a∈R. (1)当a=1时，求函数f(x)的极值； (2)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的 值；若不存在，请说明理由，7、导数与函数的单调性、极值与最值 1.答案：A f(x)=2x+1-1,则f'(x)=21 2 2 当x<- 上2时，f'(x)>0,此时f(x)单调递增： 当、② <x<0时，f(x)<0,此时f(x)单调递减。 所以f(x)在x= 处取到极大值故选A 2 2.答案：C f(x)=m-2z,令f'(x)=0,得x=2,因为f(x)=-x2+mx +1在区间[一2，一1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则必 有g∈[-2，-1]，所以m∈[-4，-2]. 3.答案：A 由于粮仓高50米，顶部为圆锥形，底部为圆柱形，圆锥高与底面 直径为1：10， 设粮仓顶部圆锥形的高为x米，底面直径为10.x米，圆柱的高为 (50一x)米，两座粮仓总的容积为 v=2x(6r).(50-)+(5 100xx2(75-x. 若靠矩形长边建造，则20x≤100 所以0x≤5； 10x≤80 若靠矩形宽边建造，则②01≤80 ,所以0<x≤4. 10.x≤100 因为V'=100π(50.x-x2), 当0<x<50时，V(x)>0,V(x)在(0,50)单调递增， 所以x=5时，V()取最大值175000r 73 两个粮仓最多能储存稻谷175000×0.6=10500吨.故选：A. 3 4.答案：C 依题可知f')=ae0在1,2)上恒成立，显然a>0. 1 所以xe≥二， a 设g(x)=xe,x∈(1,2)，所以g'(a)=(x+1)e>0, 所以g(x)在(1,2)上单调递增， g)>g)=e,故e≥，即a≥上=e,即a的最小值为e e 5.答案：B 依题意，函数g(x)=xf(x)为定义域上的增函数， 对于A,g(x)=xe,g'(x)=(x十1)e,当x∈(-∞，-1)时， g'(x)<0,∴.g(x)在（一∞，一1）上单调递减，故A中函数不是 “F函数” 对于B,g(x)=x3在R上是增函数，故B中函数为“F函数”； 对于C,g(x)=xlnx,g'(x)=1十lnx,当x∈(0，二)时，g'(x) <0,故C中函数不是“F函数”： 对于D,g(a)=asinz,g'(x)=sinx十wcosz,当x∈(-2,0) 时，g'(x)<0,故D中函数不是“F函数” 6.答案：C 由题意知：f(x)的极值为士√5，所以[f()]=3, 因为f'(x)=元·5os2=0, m m 所以=x+受∈,所以=十k∈, m 即=+≥，所以≥受 即，2+[f(z)]≥0+3，而已知x,+[f)]2<m, 4 所以m> 4+3,故3 4>3,解得m>2或m<-2,故选C. 7.答案：B 画数fc)的定义线是0，十m)f)=+宁， 设切点坐标为(xo,yo),则yo=lnxo一 、,g1L 所以切线方程为y一()侣)-小 即y-(+)-1+w 2 所以2a+b=nx,+ 2 2 与已知对照，得b=-1十lnx。一 -1. 构造函数g0=:+是-1e>0),则ge)=} 4 -t3 +2)C一2），所以函数g口)在0,2)上单调递减，在 t (2,十∞)上单调递增，所以当t=2时，g(t)取得最小值，为 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第1页 n2-号，所以(Ca+b)m=ln2-号故选B 8.答案：D f'(x)=ln.x+1-2ax(x>0),令g(x)=lnx十1-2ax,由题意 可得函数8u)有且只有两个零点，8(x)=-20-120-.0 当a≤0时，g'(x)>0,f'(x)是增函数，因此g(x)=f'(x)至多 有一个零点，不符合题意，应舍去.② 1 当a>0时，令g’(x)=0,解得x= 2a :∈(0，六)时g(x)>0,函数g(u)单调递增： x∈（十∞）时·g'(r)<0,函数g(x)单调递减， 2a x=2 是西数g(一)的板大值点，则g(云>0： 即ln2a+1-1=-ln2a>0.h2a<0∴02a<1,即0a<2 做当0<Q<7时，g)=0有两个根x2且xc 从而可知函数f(x)在区间(0，x1)上单调递减，在区间(x1,x2) 上单调递增，在区间(x2,十∞)上单调递减 g(1)=1-2a>0, x11<22<x2.fx)Kf=a<0 f(x2)>f(1)=-a>- 故选D 9.答案：AB 由题中f'(x)的图象可知，当x=0时，函数f(x)取得极大值： 当x=4时，函数f(x)取得极大值，即函数f(x)有2个极大值 点，故A正确； 易知函数f(a)在[0,2]上是减函数，故B正确； 当x∈[-1，t]时，若f(a)的最大值是2，则t满足0≤t≤5，即t 的最大值是5，故C错误； 令y=f(x)-a=0,得f(a)=a,当f(2)≤1,1<a<2时，易知 f(x)=a有四个根；当1<f(2)<2,1<a<2时，易知f(x)=a 不一定有四个根，故函数y=f(x)一a有4个零点不一定正确， 故D错误. 10.答案：ACD 对A,因为函数f(x)的定义域为R,而f'(x)= 2(-1)(x-4)+(x-1)2=3(-1)(x-3),易知当x∈ (1,3)时，f'(x)<0,当x∈（-∞，1)或x∈(3，+o)时， f'(a)>0,函数f(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1,3)上单调 递减，在(3，十∞)上单调递增，故x=3是函数f(x)的极小值 点，正确； 对B,当0<x<1时，x-x2=x(1一x)>0,所以1>x>x2>0, 而由上可知，函数f(x)在(0,1)上单调递增，所以f(x)> f(x2),错误； 对C,当1<x<2时，1<2x-1<3,而由上可知，函数f()在 (1,3)上单调递减， 所以f(1)>f(2x-1)>f(3),即-4<f(2x-1)<0,正确： 对D,当-1<x<0时，f(2-x)-f(x)=(1-x)2(-2-x) (a-1)2(x-4)=(x-1)2(2-2x)>0, 所以f(2一x)>f(x),正确； 故选：ACD. 11.答案：BCD g(x)的零点即f(x)的零点，设x同时为g(x)的零点和极值点， 由g'u)=')f@)=0,得fa)=f)=0. e 对于选项A,ax8十bx。十1=3ax+b=0,:a>0,b>0,.x0 不存在； 对于选项B,a。-b1nx,=a-6=0,即b=4,=b1n, 从而x。=e,取a=1,b=e,符合题意，B正确； 对于选项C,取√a2十b=1,则f(x)=sin(x十p)十1,9∈ 0,》f)的零点也是极值点，符合题意，C正确： 对于选项D,a.x8十bx。十1=2ax。十b=0,只要b2=4a,就可满 足题意，D正确.故选：BCD. 12.答案：[0,1)》 由题意，f(r)=r-3十4r的定义域为0，十c∞， f'(x)=-x-3+4=-x2+3z-4 当f'(x)=0时，有x2+3.x-4=0,得x=-4或x=1, :f(x)在(t,t+2)上不单调，且(t,t十2)二(0，十∞)， 11+2可得[01) 13.答案：1 由题设知：f(x)=2x一1|一21nx定义域为(0，十o), ∴当0<x≤2时，f(x)=1-2x-21,此时f(x)单调递减： 当2<x<1时，f(x)=2x-1-2l1nx,有f'(x)=2-2<0,此 2分 时f(x)单调递减； 当>1时，f(x)=2x-1-21n,有f'(x)=2-2>0,此时 f(x)单调递增； 又f(x)在各分段的界点处连续， 综上有：0<x≤1时，f(x)单调递减，x>1时，f(x)单调递增； .f(x)≥f(1)=1. 14.答案：1；1 由f'(x)=-sinx,f产(c)=-cos,则K=-cos (1+sin2x)2 所以在(0,1)处的曲率为K=一c0s0| =1, (1+sin0) 由g'(x)=cosx,g"(x)=-sinx,则K= -sinz (1十cos2x) sinx 所以K2= sin2 (1+cos2x)3(2-sin2x)3' 令-sin'z∈0，.则K气2)，令h()=2) 侧'()2）十3t2)-%1十0，即h)递增 (2-t)6 所以h(t)max=h(1)=1,即K2的最大值为1. 15.(1)由f(z)=-x3+3x2+9x十a, 求导可得f'(x)=-3x2+6x十9=-3(x-3)(x+1), 由f'(x)=-3(x-3)(x+1)<0,可得x<-1或x>3, 所以函数f(x)的单调减区间为（一o,一1），(3，+0)； (2)因为f′(x)=-3x2+6x+9=-3(x-3)(x十1)， 令f(x)=0,解得x1=3或x2=一1可得下表： 2 2,-1) -1 (-1,2) 2 f'(x) 0 十 f() 2+a 5+a 22+a 则f(2),f(-1)分别是f(x)在区间[一2,2]上的最大值和最 小值， 所以f(2)=22十a=20,解得a=-2, 从而得函数f(x)在[-2,2]上的最小值为f(一1)=-5+a=-7. 16.(1)函数f)在区间0，上为增函数。 理由如下：因为f(x)=x sing,所以f'(x)=sinx十x cosx, 因为0<1<2，所以f'()>0, 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第2页 所以函数f口)在区间0，)上为增函数. (2)证明：设h(x)=f'(x), h'(x)=cosz+cosx-x sinz =2cosxz-zsinz, 当2<<x时h')<0,所以()在受示上为减函数， 又()=1>0,()=-<0, 所以存在唯一x。∈ 2π ,使得h(x。)=0, 即存在唯一x∈ x使得f)=0, f(x)与f'(x)在区间 人至内的变化情况如下表： 22 To (x0,元) f'(x) 十 0 f(2) 单调递增 极大值 单调递减 所以函数f女)在行内有且只有一个极值点。 17.(1)当a=1时，则f(x)=e2-x-1,f'(x)=e-1, 可得f(1)=e-2,f'(1)=e-1, 即切点坐标为(1，e-2),切线斜率k=e-1, 所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1), 即(e-1)x-y-1=0. (2)解法一： 因为f(x)的定义域为R,且f'(x)=e-a, 若a≤0，则f'(x)≥0对任意x∈R恒成立， 可知f(x)在R上单调递增，无极值，不合题意； 若a>0,令f'(x)>0,解得x>lna; 令f'(x)<0,解得x<lna; 可知f(x)在（一o,lna)内单调递减，在(lna,+o)内单调递增， 则f(x)有极小值f(lna)=a一alna一a3,无极大值， 由题意可得：f(lna)=a-alna-a3<0,即a2+lna-l>0, 构建g(a)=a2+lna-1,a>0,则g'(a)=2a十1>0， 可知g(a)在(0，+o)内单调递增，且g(1)=0, 不等式a2+lna-1>0等价于g(a)>g(1),解得a>1, 所以a的取值范围为(1，十o); 解法二： 因为f(x)的定义域为R,且f'(x)=e一a, 若f(x)有极小值，则f'(x)=e一a有零点， 令f'(x)=e2一a=0,可得e=a, 可知y=ex与y=a有交点，则a>0, 若a>0,令f'(x)>0,解得x>lna; 令f'(x)<0,解得x<lna; 可知f(x)在（一o,lna)内单调递减，在(lna,十o)内单调递增， 则f(x)有极小值f(lna)=a-alna一a3,无极大值，符合题意， 由题意可得：f(lna)=a-alna-a3<0,即a2+lna-l>0, 构建g(a)=a2+lna-1,a>0, 因为则y=a2,y=lna-1在(0，十o)内单调递增， 可知g(a)在(0，十o)内单调递增，且g(1)=0, 不等式a2+lna-1>0等价于g(a)>g(1),解得a>1, 所以a的取值范围为(1，十o). 18.(1)由题意得a≠0，f'(x)=3a.x2-6.x=3ax 令f'(x)=0,得x=0或x=2 ①当a>0时，当1<0或x>名时/)>0，当0<<2时， f'(x)<0, 所以f在(-0,0)或（后十心上通增，在0，）上递减。 ②当a<0时，当>0或<2时，f(x)<0,当2<<0时， f'(x)>0, 所以f)在0，十)或(，)上通减，在（0上递增。 综上，当a>0时，f(x)在(-0,0)和 2十上递增，在 0,)上递减：当a<0时fx)在0，十o)和（-0，号 上递 减，在名0上递增： (2)由(1)可知曲线y=f(x)上的两点A,B的纵坐标为函数的 极值， 且函数y=f()在工=0，x=2处分别取得极值， 43 十1， 因为线段AB与x轴有公共点， 所以f0)f)0. 所以(2+0-). (a+1)(a-3)(a-4)≤0， a 所以a3(a+1)(a-3)(a-4)≤0，且a≠0， 解得-1≤a<0或3≤a≤4， 所以实数a的取值范围为[一1,0)U[3,4]. 19.(1)当a=1时，f(x)=2x-ln(2x), f(x)=2-1=21,x0,Q, 当0<<2时，f()<0,则f()单调递减： 当2<x≤e时，f'(x)>0,则f(x)单调递增. 所以函数f(x)的极小值为f(子)=1，无极大值。 (2)假设存在实数a,使f(x)=2ax一ln(2x),x∈(0，e]的最小 值是3， f'(x)=2a-1-2ax-1 ,x∈(0，e]. ①当a≤0时，因为x∈(0，e],所以f'(x)<0,f(x)在(0，e]上 单调递减， 所以f()m=f(e)=2ue-1n(2e)=3,解得a=4ln2(含去)： 2e ②当0<名<e时，即。>2时。 当0<<六时，'(2)<0，此时函数fx)单凋递减： 当2a<≤e时f'(x)>0,此时函数fx)单调递增. 所以fu=f公)=1-1n}-3,解得a-e2,满足条件： @当ae时，即0<a≤2元时对任意的xe(0,eJ, f'(x)≤0，f(x)在(0，e]上单调递减， 所以f(x)m=f(e)=2ae-1n(2e)=3,解得a=42(舍去). 2e 综上，存在实数a=e2,使得当x∈(0，e]时，f(x)的最小值为3. 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第3页