20、直线与圆锥曲线以及综合问题-【伯乐马】2026年高考数学一轮复习同步考练卷

数学一轮复习同步考练（二十) 直线与圆锥曲线以及综合问题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1给定四条曲线：0十y-号®写+子-1，图+学-1， 4 ①之十y1,其中与直线x+y-5=0仅有一个交点的曲线 是 A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 2.点F1(一2,0)，F2(2,0)为等轴双曲线C的焦点，过F2作x轴的 垂线与C的两渐近线分别交于A,B两点，则△AOB的面积为 A.22 B.4 C.4√2 D.8 3.已知抛物线y=一x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异 两点A、B,则AB等于 A.3 B.4 C.3√2 D.4√2 4.已知双南线后器=1a>0,6>0)的右焦点为r,若过点P且 倾斜角为60°的直线1与双曲线的右支有且只有一个交点，则此 双曲线的离心率e的取值范围是 A.[2,+o) B.(1,2) C.(2,十o) D.(1,2] 5,定义曲线号+ =1为箱圆二+若-1的“倒椭圆”，已知椭圆 y C:号+y=1,它的倒椭圆为C:+-1,过C:上任意一点 4,1 P做直线PA垂直x轴于点A,作直线PB垂直轴y于点B,则 直线AB与椭圆C1的公共点个数为 A.0 B.1 C.2 D.与点P的位置有关 6.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直 线11，l2,直线I1与C交于A、B两点，直线12与C交于D、E两 点，则AB|+|DE的最小值为 A.16 B.14 C.12 D.10 7.已知双曲线-1@>0，b>0),过实轴所在直线上任意 点N(t,0)的弦的端点A,B与点G(m,0)的连线所成的角被焦 点所在的直线平分，即∠VGA=∠NGB,则m的值为 a C.t2 0 8.巳知P9)是椭题6+21与抛物线)y=8x的一个交 y2 [2√2x,0<x<x0 点，定义f(x) .设定点N(2,0),若直线 2√48-3a2,x>x y=a与曲线y=f(x)恰有两个交点A与B,则△ABN周长的 取值范围是 A.(2√3,4) D.(8,4+4√2) 二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设O为坐标原点，直线y=一√3（亿-1）过抛物线C:y2=2px (p>0)的焦点，且与C交于M,N两点，1为C的准线，则 B.IMNI= 8 A.p=2 C.以MN为直径的圆与l相切D.△OMN为等腰三角形 0在平面直角坐标系Ozy中，已知双曲线C:-] a>0,b>0)的离心率为，且双曲线C的右焦点在直线 3x+2y一3√5=0上，A,B分别是双曲线C的左、右顶点，点P 是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA,PB的斜率 分别为k1,k2,则下列说法正确的是 A.双曲线C的渐近线方程为y=土2x B.双曲线C的方程为号-y=1 Ck1:为定值号 D.存在点P,使得k1十k2=2 11.画法几何的创始人一法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭 圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的 圆，我们通常把这个圆称该椭圆的蒙日圆，若椭园二十尤」 √2 (a>b>0)的离心率为气，F1,F:分别为椭圆的左、右焦点， A,B为椭圆上两个动点.直线l的方程为bx+ay一a2一b2=0. 下列说法正确的是 A.C的蒙日圆的方程为x2+y2=3b2 2026年伯乐马一轮复习同步考练（二十）·数学·第1页（共2页） B.对直线1上任意点P,PA·PB>0 G记点A到直线1的距离为d,则d一AF:的最小值为， D.若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH面积 的最大值为6b2 三、填空题 12若直线y=友（一8）与双曲线号-y=1只有一个公共点，则 的一个取值为 13.已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为 4,一2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于A,则点A的 纵坐标为 4.已知双曲线F1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F F2,过F,且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A,B两 点.若AB|是虚轴长的√3倍，则该双曲线的一条渐近线为 ;若AF2,BF2分别交y轴于P,Q两点，且△PQF:的 62 周长为8，则。十的最大值为 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知椭圆E:后+若=1a>6>0),以特圆E的焦点和短轴端 点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点(0，t)(t>√2)且 斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A,B,过点A和 C(0,1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D. (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值 16.已知平面上动点Q(x,y)到F(0,1)的距离比到直线I:y=一2 的距离小1，记动点Q(x,y)的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)设点P的坐标为(0，一1)，过点P作曲线C的切线，切点为 A,若过点P的直线m与曲线C交于M,N两点，证明： ∠AFM=∠AFN. 17.已知直线x一2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B 两点，且|AB|=4√15. (1)求p； (2)设F为C的焦点，M,N为C上两点，FM·FN=0,求 △MFN面积的最小值. 8.在平面直角坐标系z0y中，已知双曲线C:y2=1,过 P(2,0)作直线1与C交于A、B两点，AP=入PB(入>0). (1)当OA·OB=5时，求入的值； 2)是百存在异于点P的定点Q使得路-|8老有在. 求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由. 2026年伯乐马一轮复习同步考练（二十）·数学·第2页（共2页） 19.设P1(x1y1),P2(x2y2),…,Pn(xmym)(n≥3，n∈N)是二 次曲线C上的点，且a1=|OP1|2,a2=|OP2|2,…,am= |OPnI2构成了一个公差为d(d≠0)的等差数列，其中O是坐 标原点.记Sm=a1十a2十…十am. 1若C的方程为0+苦-1m=8点P,Q0,0)及S=25 求点P3的坐标；（只需写出一个） (2)若C的方程为号+若=1a>6>0).点Pa,0),对于给定 的数n,当公差d变化时，求S,的最小值； (3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P,,对于 给定的自然数n,写出符合条件的点P1,P2,…,P。存在的 充要条件，并说明理由20、直线与圆锥曲线以及综合问题 1.答案：D 圆心(0.0)到直线工+y一店=0的距离为等于半径，故D满 足题意 [x2 ,y2 9 =1 联立方程 ,整理得，13.x2一18√5x+9=0.△≠0，故 +y-√5=0 ②不满足题意. 3y2 联立方程 整理得，5x2-2√5x+1=0.△=0，故③ x+y-√5=0 满足题意 x +y2=1 联立方程 4 ,整理得，5.x2-8√5x+16=0,△=0.故 zx+y-√5=0 ④满足题意。 2.答案：B 设双南酸C为号 a=1,因为c =2=√a2+a2,解得：a2=2, 所以双曲线C为：专 y =1,则 双曲线C的渐近线为：y=士x, 所以{2解得A2,2则 B(2,一2)，所以△AOB为等腰直 角三角形， 所以△AOB的面积为 2×IaBI·1or,l= 7×4×2=4 3.答案：C 设直线AB的方程为y=十，由=一十3十x十6-3 y=x+b 0⊙+x三1，进而可求出AB的中点M(号，-十)。 又由M(- ，号十6在直线x+y=0上可求出6=1， .x2十x-2=0, 由弦长公式可求出|AB=√1+11一4×（一2）=3√2， 4.答案：A 已知双曲线若若=1a>0.b>0)的右焦点为F, 若有且只有一个交点， 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率。， a 2≥5，离心率e2=2+b a2 ≥4，.e≥2. 5.答案：B n1, 设点Pm,m),(m≠0，n≠0)，则A(m,0),B(0,n),4 所以直线AB的方程为二十义-1，进而与椭圆C: -+y2=1 m 1 联立方程得：(4n2十m2)x2一8mn2x十4m2(n2一1)=0， 所以△=64m2n4-16m2(4n2+m2)(n2-1)=64m2n4-16× m2n2×4n2=0,所以方程有且只有一个实数根，故直线AB与椭 圆C1的公共点个数为1个故选B 6.答案：A 设A(x1y1),B(x2y2),D(x3y3),E(x4y4), 直线4的方程为y=k1(-1),联立方程P=4知 y=k1(x-1)' -2k?-42k7+4 得kx2-2k号x-4x十k号=0，∴.x1十x2= k月 k 2k+ 同理直线12与抛物线的交点满足x3十x4= 一，由抛物线定 k号 义可知AB|+|DE|=x1+x2+x3十x4+2p= 2k号+4+ k 2k2+4, 44 16 k 1+4=十好+8≥2√：写 +8=16,当且仅当k1=-k2 =1(或一1)时，取等号.故选A. 7.答案：A 设直线AB的方程为x=my十t,A(a1,y1),B(x2,y2), 如下图所示： 联立直线和双曲线方程 [2_y2 a2b21 =1 x =my+t 整理可得(b2m2-a2)y2十 2b2mty+b2(t-a2)=0: 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第1页 262mt 可得y1十y2= b2m2-a2: b2(t2-a2) y1y2 b2m2-a2 且满足△=(2b2mt)2-4b(t2-a2)(b2m2-a)>0, 即a2<b2m2+t2, 由∠NGA=∠NGB可得直线AG,BG的斜率之和为0， 即kAG十k6=0,所以_1一十2 =0, x-m x2-m 即2my1y2+(t-m)(y1+y2)=0, 整理可得2mb2(t2-a2)一2b2mt(t-m)=0,可得tm-a2=0, 即m=4.故选：A t 8.答案：C 2y2 16T12 =1 4 解得2。=3，=士。 32 3 y2=8x 4 2√/2x, 0<x<3 所以f(x) 2√48-3x， 4」 <x<4 直线y=a0<a< 32 作出函数y=f(c)和y=a的图像，由图像可得点A在抛物线 上，B在椭圆上， 4 3 =) 2 1A ya B -2-1012345x 点N(20)为抛物线y=8的焦点，所以AN=xA+号， 点N2.0)为椭图后+位=1的右焦点，椭圆的离心率为e=, 1y2 所以BNI=e,即BNI=a-exa, C-B 由焦半径公式可得，△ABN的周长为 IAN+IBN1+1ABI-21+2+a-exn+2n- =2+4- 2B十x=6十 由xB∈ 信得到6+僧 所以△ABN的周长的取值范围为 得8)故选C 9.答案：AC 直线y=-√3(x-1)过点(1,0)， 所以抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0), 所以？=1，p=2,2p=4,则A选项正确， 且抛物线C的方程为y2=4x. 设Me1),Ny)由二5-1)消去y并化简得 y2=4z 3x2-102+3=(c-3)(3x-1)=0,解得x1=3,22=3, 所以MN=1,十+D=3十号+2=号，B进项错误 设MN的中点为A,M,N,A到直线l的距离分别为d1,d2,d, 因为d=2(d+d)=2(MF1+INF)=g|MNI, 即A到直线l的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆 与直线（相切，C选项正确， 直线y=-√5(x-1),即5x十y一√5=0， 0到直线x十y-=0的距离为d= 2 所以△N的质积为号×学× _43 31 由上述分析可知y1=一 3(3-1)= -23,y2=-3 )-，所以 y=-3(x-1) 1OM|=√3+(-23)=√2,10N1= )+ √W13 3 ,所以△OMN不是等腰三角形，D选项错误. 10.答案：ABD 因为双曲线C的右焦点在直线3x+2y一3√5=0上，易得右焦 点坐标为(5,0)故c=5.因为0=名=，所以a=2, 6=1,所以双曲线C的方程为片-y=1,故B正确； 1 易得双曲线C的渐近线方程为y=士 2,故A正确： 设点P0,n）,又A(-2,0),B(2,0),则m-n2=1, n2 即m2-4=4n2,故k1k2= m十2m一2n2-4=4,故C错误； n，即 因为Pm,m)在第一象限，则0<km<3,即0<”<号 1 >2,k1十k2=” n 2mn=”>1,所以k1+k2>1, m+2m-2m2-42n 故存在点P,使得k1+k2=2,故D正确.故选ABD. 11.答案：AD 对于A,过Q(a,b)可作椭圆的两条互相垂直的切线：x=a,y=b, ∴.Q(a,b)在蒙日圆上，∴.蒙日圆方程为：x2十y2=a2十b2; 由e= ，D_E得a2=2b2, .C的蒙日圆方程为：x2十y2=3b2,A正确； 对于B,由1方程知：l过P(b,a),又P满足蒙日圆方程， .P(b,a)在圆x2+y2=3b2上， 过P(b,a),当A,B恰为过P作椭圆两条互相垂直切线的切点 时，PA·PB=0,B错误； 对于C,,A在椭圆上，.|AF1+AF2=2a, ∴.d-AF2=d-(2a-AF1|)=d+|AF1|-2a; 当F1A⊥I时，d+AF1取得最小值，最小值为F1到直线I的 距离， 又F1到直线1的距离4'=一c一Q2-1_1-2-2b-b Va2+62 √3b 3b,d=AE=43 二b一2a,C错误； 3 对于D,当矩形MVGH的四条边均与C相切时，蒙日圆为矩形 MNGH的外接圆，.矩形MNGH的对角线为蒙日圆的直径， 设矩形MNGH的长和宽分别为x,y,则x2+y2=12b2,∴矩形 MNGH的面积S=xy< 2 -=6b(当且仅当x=y=√6b 时取等号)，即矩形MVGH面积的最大值为6b2,D正确. 故选AD. 12.答案：2（或-2，答案不唯-） 联立 4 -y2=1 ,整理得：(1一4k2)x2十24k2x-36k2一4=0， y=k(x-3) 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第2页 由题意得1一4k2=0或△=(24k2)2+4(36k2+4)(1-4k2)=0, 解得=±2或无解，即k=士？，经检验，符合题意. 13.答案：-4 由已知可设P(4,y1),Q(-2,y2), 42=2y1 所以 所以P(4,8),Q(一2,2)， (-2)2=2y2 1 因为抛物线可化为y=2x2,所以y’=x, 所以过点P的切线方程为y=4x一8， 过Q点的切线方程为y=一2x-2, 联立两条切线方程即为A点坐标为(1，一4)， 故点A的纵坐标为一4. 14.答案：y=√5x(或y=-√5x)；6-25 由题意可知：|AB= 且该双曲线的焦点在工轴上， 若|AB是虚轴长的√3倍， 则20=5×2h,即么=5， 所以该双曲线的一条渐近线为y=√x (或y=一√5x); 由题意可知：AB∥PQ,且O为线段 F1F2的中点，可知P,Q分别为AF2, BF2的中点， 则|AB|=2|PQ,|AF2|=2|PF2|,BF2|=2|QF2|, 可得|AB|+|AF2|+|BF2|=2(PQ|+|PF2|+IQF2I)=16, 结合对称性可知AF1十|AF2=8, 又因为点A在双曲线上， 则1AP:-AP1=AF:-至-2a,即AF:-经+2a 可得+6 十2a=8,整理可得b2=4a-a2>0,解得0<a<4, aa a+1a+1 当且仅当a十1=a十即a=5-1时，等号成立， 所以，车的最大值为6-2行 15.1)由题意6=c=2=2,从而a=V十C=2, √2 所以指圆方程为号+兮=1，离心率为e √2 21 (2)直线AB斜率不为0，否则直线AB与椭圆无交点，矛盾， 从而设AB:y=kx十t,(k≠0，t>2),A(x1,y1),B(2y2) g+ 联立+之=1，化简并整理得Q+26)x十4十22-4=0， y=kx+t 由题意△=16k2t2-8(2k2+1)(t2-2)=8(4k2+2-t2)>0, 即k,t应满足4k2十2一t2>0, —4kt 2t2-4 所以x1十x:=1+2x1x,=2k2+' 若直线BD斜率为0，由椭圆的对称性可设D(一x2,y2), 所以ADy=义口-)十， x1十x2 在直线AD方程中令x=0, 得yc=21y十2y=使x十)十x2k1+t) x1十x2 x1十x2 2士+）_C2+4-2-1, x1十x2 一4kt 所以t=2, 此时k应满足 4k2+2-t2=4k2-2>0 k≠0 即应满足k<一？或2】 2 ?或② 综上所述，1=2满足题意，此时< 2 16.(1)已知Q(x,y),由题意， 得√x2+(y-1)=|y十2|-1， 当y≥-2时，x2+(y-1)z=y+1, 平方并整理可得x2=4y; 当y<-2时，√x2+(y-1)=-y-3, 平方并整理可得x2=8(y+1), 由x2=8(y+1)≥0可知y≥-1，不合题意，舍去. 综上可得x2=4y,所以Q的轨迹曲线C的方程为x2=4y. (2)证明：不妨设A,)>0) 因为y=,所以y- 4 所以直线PA的斜率为，-0=2，解得1=2，即A(2.1): 又F(O,1),所以AF∥x轴，要使∠AFM=∠AFN, 只需kFM十kN=O. 设直线m的方程为y=kx-1,代入x2=4y并整理，得 x2一4k.x+4=0. 因为直线m与曲线C交于M,N两点， 所以△=16(k2-1)>0,解得k<-1或k>1. 设M(x1y1),N(x2y2),则x1十x2=4k,x1x2=4, EFM十kFN= y-1+y-1=x2(01-1)十x1y,-1) x2 x1X2 2使-2)+k-2)=26-2(,十）=26-8 E122 x12 4 二0 故∠AFM=∠AFN. 17.(1)A(A,yA),B (2B ,B), 迪 可得，y2-4y+2p=0, 所以yA十yB=4p,yAyB=2p, 所以|AB|=√(xA-xB)+(yA-yB)P=√5|yA-yB =W5X√0yA+yB)-4yAyB=4√15， 即22-p-6=0,因为p>0,解得：p=2. (2)因为F(1,0),显然直线MN的斜率不可能为零， 设直线MN:x=my+n,M(x1,y1),N(x2y2), 由化可得-oy如=0 所以，y1+y2=4m,y1y2=一4n, △=16m2+16n>0→m2+n>0, 因为FM·FN=0,所以(x1-1)(x2-1)十y1y2=0, 即(my1十n-1)(my2+n-1)+y1y2=0, 亦即(m2+1)y1y2+m(m-1)(y1十y2)+(n-1)2=0, 将y1十y2=4m,y1y2=-4n代人得， 4m2=n2-6n+1,4(m2+n)=(n-1)>0, 所以n≠1，且n2-6n十1≥0，解得n≥3+22或n≤3-2√2. 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第3页 设点F到直线MN的距离为d,所以d=n一1L √/1+m |MN|=√(a1-x2)+(0y1-y2)7=√1+m|y1-y2 =WJ1+m2√/16m2+16n =√1十m√4(n2-6n+1)+16n=2√1+m|n-1|, 所以△MFN的面积 8-xIw,Xw-号X÷×a1-=e 而n≥3+2√2或n≤3一2√2，所以， 当n=3-22时，△MFN的面积Smm=(2-2√2)2=12-8√2. 18.(1)当入=1时，直线l垂直x轴，故A(2,1),B(2-1), 所以OA·OB=3不合题意，故入≠1， 设A(x1y1),B(x2y2）, 由A户=入PB得2=1十x2,0=1千Ay2 1十入， 即x1十入x2=2(1十入)，y1=一入y2' 2-y=1① ①-② 入2-X是y1=λ@ 1一得， 2 1.1+A1-2-+y入y=1,即二=1， 2· 1+入1-入 1+λ1-λ 1-λ 则x1一入x2=1一入， 1+3λ 又x1十x2=2(1十入)，得x2=2以， 故OA·OB=x1x2十y1y2=(入x2十1-入)x2-入y2 =(a:+1-0z:-(登-10 +1-0+=合12)+1-0.12+ 入 2入 =5, 化简得：52-26以+5-0，则入=或5. (2)由题意，当PA|=|PB|时， 直线l垂直x轴，∠AQP= ∠BQP,Q在x轴上，故若存在定 点Q,则Q必在x轴上， 记直线QA、QB的斜率分别为 k1、k2,则k1十k2=0, 设1：x=my+2,Q(t,0), 立x=my+2与)y2=1得(m2-2)y2+4my+2白 所以y1十y2= -4m 2 m2-2y1y2= m2-2” 因为，十，=产十，=y0mv,+2-)ty,0mN+2-D=0. x1-tx2一t (x1-t)(x2一t) 即2my1y2+(2-0(十y,)=4m。n2-=0. m2-2m2-2 则t=1, 故存在定点Q1,0)使得P2=Q4 QB 19.(1)因为a1=OP1|2=100, 由S3= 2(a1十a)=255,可得a=0P,=70: 「xy 由10025 =1,可得=60， x号+y号=70 (y3=10 故点P3的坐标可以为(2√15，√10)· ,y2 (2)原点O到三次曲线C:十1(a>b>0)上各点的最小 距离为b,最大距离为a; 因为a1=OP12=a2,故d<0, 厘=0PP=a2+0m-1)d≥b,故，二≤d<0 因为n≥8，”0山>0. 2 故=+20在[0小上增 故S.的最小值为na2+”m-)×b2-a _n(a2+b2) 2 、n-1 ()若双曲线C若-若-1，点P,u0y. 则对于给定的n,点P1,P2,P3,…,Pn存在的充要条件为d>0, 证明如下： 因为原点O到双曲线C上点的距离h∈[a|,十o), 且OP1=a2, 故点P1,P2,P3,…,P。存在当且仅当OPm>OP12, 即d>0. 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案