1.4.2 充要条件 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“充要条件”这一逻辑核心概念，从命题的逆命题出发，通过问题链层层递进，引导学生在判断真假命题的过程中自然建构充要条件的定义，形成从充分条件、必要条件到充要条件的知识迁移路径，构建清晰的学习支架。 本设计突出体现数学核心素养中的“推理意识”“抽象能力”与“应用意识”，如例4中证明直线与圆相切的充要条件，要求学生综合运用几何性质与逻辑推理，实现从直观感知到严谨论证的跨越。环节三中对“四边形是正方形”的多个充要条件探讨，强化了概念本质的理解与表达能力，帮助学生建立结构化思维。教师可借此提升课堂深度，学生则能在真实问题解决中发展逻辑推理与数学表达能力，真正实现学以致用。

1.4.2 充要条件 教学目标 （1）能够判断“P是不是q的充要条件”，能举例说明每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件. （2）初步学会使用充要条件进行数学表达、论证和交流，提升逻辑推理素养。 教学重点与难点 教学重点：充要条件的意义与判断. 教学难点：证明例4命题为真命题的过程. 教学过程设计 环节一 创设情境，提出问题 问题1： （1）命题“若p，则q”的逆命题是什么？ （2），我们就说p是q的充分条件，q是p的必要条件.如果再加上 ， p是q的什么条件？q是p的什么条件？ 环节二 抽象概念，内涵辨析 问题2:下列“若p，则q“形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ （1） 若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； （2） 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； （3） 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则ac＜0； （4） 若AUB 是空集，则A与B均是空集. （一般地，“若p，则q”和它的逆命题都是真命题，是指由p通过推理可以得出q.同时由q通过推理可以得出p.这时，我们就说，p是q的充分必要条件.简称充要条件.） 追问: （1）问题2的哪个命题中，p是q的充要条件？ （2）如何判断p是q的充要条件？ （3）在所有命题中，p是q的什么条件可以分成几类？你能逐一举例说明吗？ “若p，则q”为真，“若q，则p”为真 pq，p p是q的充要条件 “若p，则q”为真，“若q，则p”为假 pq，p p是q的充分不必要条件 “若p，则q”为假，“若q，则p”为真 pq，p p是q的必要不充分条件 “若p，则q”为假，“若q，则p”为假 pq，p p是q的既不充分也不必要条件 环节三 例题练习，巩固理解 例3 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ （1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； （3）p:xy>0,q:x>0,y>0； （4）p：x＝1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一根，q:a+b＋c=0（a≠0）. 追问 （1）你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？这样的充要条件唯一吗？ （2）我们学习了判定定理和充分条件的关系，性质定理和必要条件的关系，那么充要条件和什么有关 系呢？ （3）你能根据“两个三角形全等”的充要条件，给出“三角形全等”的其他定义形式吗？ 例4 已知：⊙O的半径为r ，圆心O到直线l的距离为d.求证：d=r是直线1与⊙O相切的充要条 件. 环节四 小结提升，形成结构 问题4：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容： （1） 请用结构框图的形式表示本单元所学的知识； （2）你能举例说明什么是充要条件吗？ 环节五 目标检测，检验效果 1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？ （1）p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； （2）p:⊙O内两条弦相等，q:⊙O内两条弦所对的圆周角相等; （3）p:A∩B为空集，q:A与B之一为空集. 2. 写出“两个三角形相似”的几个充要条件. 环节六 布置作业，应用迁移 作业1：教材第22～23页习题1.4第2、3题. 作业2：教材第22页练习第3题，第23页习题1.4第4、5、6题. 学科网（北京）股份有限公司 $