专题01 一元二次方程解法（8大考点）（期中真题汇编，河北专用）九年级数学上学期

专题01 一元二次方程解法考点汇编 8大高频考点概览 01一元二次方程的辨别 02一元二次方程根的有关问题 03用配方法解一元二次方程 04配方法的应用 05用公式法解一元二次方程 06判断一元二次方程根的情况 07有一元二次方程根的情况求参数 08用因式分解法解一元二次方程 地 城 考点01 一元二次方程的辨别 1．（24-25九年级上·河北沧州·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）现有如下两个方程，①，②，说法正确的是（   ） A．①和②都是一元二次方程 B．①和②都不是一元二次方程 C．只有①是一元二次方程 D．只有②是一元二次方程 4．（24-25九年级上·河北唐山·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·河北唐山·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（     ） A．1 B． C．1或 D．0 6．（24-25九年级上·河北保定·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为 ． 7．（24-25九年级上·河北沧州·期中）关于的一元二次方程的常数项为，则的值是 ． 地 城 考点02 一元二次方程根的有关问题 8．（24-25九年级上·河北保定·期中）能使方程成立的的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（19-20九年级上·山东菏泽·阶段练习）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（      ） A．0 B．2 C． D．2或 10．（22-23九年级上·河北廊坊·期中）根据下列表格的对应值： 由此可判断方程必有一个解满足(　　) A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 12．（17-18九年级上·江苏盐城·期中）一元二次方程若，则方程必有一根为 ． 地 城 考点03 用配方法解一元二次方程 13．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（      ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）用配方法解方程时，方程两边应同时（   ） A．加上2 B．减去2 C．加上4 D．减去4 15．（24-25九年级上·河北保定·期中）用配方法解方程时，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）将方程化成的形式，则a，b的值分别为（   ） A．2，3 B．，3 C．，9 D．，9 17．（24-25九年级上·河北唐山·期中）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小3，则（    ） A． B．3 C． D．1或3 18．（24-25九年级上·河北唐山·期中）用配方法解方程时，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 19．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）已知方程可以配方成的形式，那么（    ） A． B． C． D． 20．（2022九年级·全国·专题练习）用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 21．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成 ． 22．（24-25九年级上·河北保定·期中）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为 ． 23．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）用配方法解方程：． 解：整理，得_____， 移项，得_____， 二次项系数化为1，得_____， 配方，得_____，即（_____）_____， 开方，得_____， _____，_____． 24．（24-25九年级上·河北邢台·期中）下面方框内是嘉淇解一元二次方程的过程． 解：二次项系数化为1，得第一步 移项，得，…第二步 配方，得，即，…第三步 由此可得，…第四步 所以，．…第五步 (1)在嘉淇的解题过程中，从第______步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程． 地 城 考点04 配方法的应用 25．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）若点是平面直角坐标系内一动点（其中a为任意数） （1）当时， ． （2）的最小值为 ． 26．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）老师在黑板上给出一道题：“已知A为整式，且”． (1)求整式A； (2)嘉淇说：“整式A的值不可能是正数．”请结合（1）的结果分析嘉淇的说法是否正确． 27．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）解答： 例： ， 请你参考黑板中老师书写的变形，解答下列问题； 探究： （1）无论x取何值，试说明代数式的值一定是负数； 应用： （2）记某个正方形的面积为，边长为，某个矩形的面积为，若该矩形的一边长比正方形的边长少3，另一边长为6，请比较与的大小，并说明理由． 28．（23-24九年级上·河北沧州·期中）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴ ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】 求代数式的最小值； (2)【举一反三】 若当________时，有最________值（填“大”或“小”），这个值是________； (3)【灵活运用】 已知，则________； (4)【拓展应用】 如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，栅栏的总长度为．当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 地 城 考点05 用公式法解一元二次方程 29．（18-19九年级上·全国·单元测试）是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 30．（24-25九年级上·河北唐山·期中）用公式法解方程时，计算的值为（   ） A． B．5 C． D．10 31．（23-24九年级上·河北保定·期中）已知方程的两根是等腰三角形的两条边长，则等腰三角形的周长是（    ） A．15 B．12 C．9 D．12或15 32．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则（   ） A． B． C． D．或 33．（23-24九年级上·河北张家口·期中）利用公式解可得一元二次方程式的两解为、，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25九年级上·河北·期中）阅读材料，并回答问题： 嘉淇在学习一元二次方程时，解方程 的过程如下： 解：∵，， ∴ ∴此方程无解． 问题： (1)上述过程中，从 步开始出现了错误 （填序号）； (2)请写出正确的解答过程． 35．（24-25九年级上·河北唐山·期中）（1） 用配方法解方程： ；     （2） 用公式法解方程： ． 36．（23-24九年级上·河北唐山·期中）计算 (1)解方程：（用配方法） (2)解方程：（用公式法） 37．（23-24九年级上·河北张家口·期中）一元二次方程根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判定 38．（24-25九年级上·河北保定·期中）已知关于的一元二次方程，其中，满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（   ） A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 地 城 考点06 判断一元二次方程根的情况 39．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）关于一元二次方程根的情况，正确的是（      ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有且只有一个实数根 D．没有实数根 40．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 41．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）一元二次方程的根的判别式的值是（   ） A．28 B．4 C．25 D．16 42．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）对于任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：，因为，所以169是“喜鹊数”． （1）判断241 “喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数”为 ； （2）已知一个“喜鹊数”（，，，其中，，为正整数），利用“喜鹊数”中的，，构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，则的值为 ． 43．（23-24九年级上·河北保定·期中）探讨关于x的一元二次方程总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：；丙：．其中符合条件的是（    ） A．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确 C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙不正确 地 城 考点07 有一元二次方程根的情况求参数 44．（2021·山东济宁·一模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 45．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 46．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（   ） A．且 B．且 C． D． 47．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）亮亮在解一元二次方程时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是(    ) A．7 B．8 C．9 D．10 48．（24-25九年级上·河北张家口·期中）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 49．（23-24九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B． 且 C． 且 D． 且 50．（24-25九年级上·河北唐山·期中）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则整数k的最小值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 51．（21-22九年级上·江苏徐州·期末）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ． 52．（24-25九年级上·河北沧州·期中）定义：一元二次方程是一元二次方程的倒方程．则有下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根一定是． 其中正确的结论是 ．（填序号） 53．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 54．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知方程的根都是整数．求整数k的值及方程的根． 55．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）已知一元二次方程□，其中系数“□”印刷不清． (1)嘉嘉把“□”猜成是2，请你解方程； (2)淇淇说：“我看答案该方程有两个相同的根”请你通过计算说明“□”是几？ 56．（24-25九年级上·河北唐山·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5， ①若时，请判断的形状并说明理由； ②若是等腰三角形，求等腰三角形的周长． 57．（23-24九年级上·河北保定·期中）嘉淇准备完成题目：解一元二次方程．发现系数“”印刷不清楚． (1)他把“”猜成常数，请你用配方法解方程：； (2)嘉淇看到正确答案为，通过计算说明“”是几？ (3)若一元二次方程有实数根，求“”的最大值． 地 城 考点08 用因式分解法解一元二次方程 58．（24-25九年级上·河北唐山·期中）一元二次方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 59．（24-25九年级上·河北唐山·期中）关于x的方程，下列解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得到． 移项得： ， ∴， ∴或， ∴，． 整理得 ∵，，， ∴ ∴ ∴，． 整理得 配方得： ， ∴， ∴， ∴，． A．甲和乙 B．乙和丙 C．乙和丁 D．甲和丁 60．（24-25九年级下·河北廊坊·期中）点在第四象限，点P到x轴的距离为，到y轴的距离为，若m，，满足，则常数m的值为（   ） A． B． C． D．0 61．（23-24九年级上·河北保定·期中）在学习一元二次方程后，老师出示了这样一个题目： 解方程：． 嘉嘉同学的解答过程如下： 方程两边同时除以，第一步 得，第二步 所以，第三步 因此，方程的解为．第四步 (1)判断嘉嘉的解法是否正确，若不正确，请说明原因； (2)根据你对一元二次方程解法的理解，写出你的解答过程． 62．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 63．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）用适当的方法解下列方程． (1)； (2)． 64．（24-25九年级上·河北保定·期中）按要求解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（配方法） (3)（因式分解法） 65．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果是直角三角形，为斜边，证明：一元二次方程有两个相等的实数根； (3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 试卷第4页，共40页 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程解法考点汇编 8大高频考点概览 01一元二次方程的辨别 02一元二次方程根的有关问题 03用配方法解一元二次方程 04配方法的应用 05用公式法解一元二次方程 06判断一元二次方程根的情况 07有一元二次方程根的情况求参数 08用因式分解法解一元二次方程 地 城 考点01 一元二次方程的辨别 1．（24-25九年级上·河北沧州·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为． 【详解】解：、，含有两个未知数，不是一元二次方程，原选项不符合题意； 、，等号左边有分式，不是一元二次方程，原选项不符合题意； 、，是一元一次方程，原选项不符合题意； 、，是一元二次方程，原选项符合题意； 故选：． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，含有两个未知数，是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．，是一元二次方程，故本选项符合题意； C．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）现有如下两个方程，①，②，说法正确的是（   ） A．①和②都是一元二次方程 B．①和②都不是一元二次方程 C．只有①是一元二次方程 D．只有②是一元二次方程 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握相关的定义，是解答本题的关键．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义判断即可作答． 【详解】解；①，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，故是一元二次方程， ②，含有2个未知数，故不是一元二次方程， 故选：C． 4．（24-25九年级上·河北唐山·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 故选：D． 5．（24-25九年级上·河北唐山·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（     ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：依题意可得，， 解得， 故选：B． 6．（24-25九年级上·河北保定·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】关于的方程是一元二次方程， 解得， 故答案为： 7．（24-25九年级上·河北沧州·期中）关于的一元二次方程的常数项为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的概念，由题意常数项为0，可得，根据一元二次方程的定义得出，即可求解． 【详解】解：∵的一元二次方程的常数项为， ∴且， ∴ 故答案为：． 地 城 考点02 一元二次方程根的有关问题 8．（24-25九年级上·河北保定·期中）能使方程成立的的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把各个选项的值分别代入方程，若方程左右两边的值相等，即为方程的解，进行作答即可． 【详解】解：A、把代入，则，故该选项不符合题意； B、把代入，则，故该选项不符合题意； C、把代入，则，故该选项符合题意； D、把代入，则，故该选项不符合题意； 故选：C． 9．（19-20九年级上·山东菏泽·阶段练习）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（      ） A．0 B．2 C． D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程左右两边相等的未知数的值．根据一元二次方程的根的定义代入计算即可． 【详解】解：因为一元二次方程有一个根是0， 所以， 解得． 故选：C． 10．（22-23九年级上·河北廊坊·期中）根据下列表格的对应值： 由此可判断方程必有一个解满足(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表中的数据可得时，，当时，，可判断当时，，即可求解． 【详解】解：根据表中的数据可得时，，当时， ∴时， 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的近似值，熟悉二次函数的图像是解题的关键. 11．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，再根据计算求解即可． 【详解】解；∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（17-18九年级上·江苏盐城·期中）一元二次方程若，则方程必有一根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解；由，可得出是一元二次方程的一个根，此题得解． 【详解】解：， 是一元二次方程的一个根． 故答案为：． 地 城 考点03 用配方法解一元二次方程 13．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将移项配方即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 14．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）用配方法解方程时，方程两边应同时（   ） A．加上2 B．减去2 C．加上4 D．减去4 【答案】C 【分析】本题考查配方法．方程两边都加上一次项系数一半的平方，本题中将一次项看成，这样就可以知道配方项为从而为求解本题． 【详解】解： ，即 故用配方法解方程时，方程两边应同时加上4， 故选：C 15．（24-25九年级上·河北保定·期中）用配方法解方程时，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，根据用配方法解一元二次方程的步骤即可进行解答． 【详解】解： ， 配方，得：， 即：． 故选：B． 16．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）将方程化成的形式，则a，b的值分别为（   ） A．2，3 B．，3 C．，9 D．，9 【答案】C 【分析】此题考查了解一元二次方程：配方法，熟练掌握配方法的步骤是解本题的关键．方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可确定出a与b的值． 【详解】解：方程， 移项得：， 配方得：，即 ， ∵一元二次方程化成的形式， ∴ ． 故选：C． 17．（24-25九年级上·河北唐山·期中）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小3，则（    ） A． B．3 C． D．1或3 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得关于a的一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， ∵， ∴． 故选：B． 18．（24-25九年级上·河北唐山·期中）用配方法解方程时，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程：先移项，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再利用开平方法求解，熟知配方法的解法步骤是解答的关键．根据配方法的解法步骤解答即可． 【详解】解： ∴， 故选：B． 19．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）已知方程可以配方成的形式，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．首先移项，然后在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将配方成，可得答案．掌握配方法的解题步骤是关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵方程可以配方成的形式， ∴，， ∴，． 故选：B． 20．（2022九年级·全国·专题练习）用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将变形即可得出答案． 【详解】解： ， 故选：A． 21．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了用配方法的应用，利用配方法，首先移项，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，于是可将配方成，结合已知条件，求出p和q的值，进而即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为: ． 22．（24-25九年级上·河北保定·期中）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先利用配方法将一元二次方程化为，从而得到的值，最后代入计算即可． 【详解】解： 移项得， ∴ 即 故答案为：． 23．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）用配方法解方程：． 解：整理，得_____， 移项，得_____， 二次项系数化为1，得_____， 配方，得_____，即（_____）_____， 开方，得_____， _____，_____． 【答案】，，，，，，，， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 按照配方法解一元二次方程的一般步骤补全整个计算过程即可． 【详解】解：用配方法解一元二次方程如下： ， 整理，得：， 移项，得：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 即：， 开方，得：， 解得：，， 故答案为：，，，，，，，，． 24．（24-25九年级上·河北邢台·期中）下面方框内是嘉淇解一元二次方程的过程． 解：二次项系数化为1，得第一步 移项，得，…第二步 配方，得，即，…第三步 由此可得，…第四步 所以，．…第五步 (1)在嘉淇的解题过程中，从第______步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)三 (2)见解析 【分析】本题主要考查配方法，直接开方法解一元二次方程，掌握完全公式的配方法解方程是解题的关键． （1）根据完全平方公式即可求解； （2）在小明同学的第三步开始，左右两边同时加1，根据完全平方公式配方，然后直接开方解方程即可求解． 【详解】（1）解：第三步中，的一次项系数是2，根据完全平方公式可知常数项应该是，即左右两边同时加1即可， 第三步出错， 故答案为：三； （2）， 二次系数化为1，， 移项，， 配方，，即， 直接开方， 原方程的解为，． 地 城 考点04 配方法的应用 25．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）若点是平面直角坐标系内一动点（其中a为任意数） （1）当时， ． （2）的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查勾股定理，坐标与图形，配方法的应用，熟练掌握利用勾股定理求两点间的距离，是解题的关键： （1）根据，得到点，勾股定理求出的长即可； （2）勾股定理定理求出的长，根据完全平方的非负性求出最小值即可． 【详解】解：（1）当时，则：，即：； ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为：； 故答案为：． 26．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）老师在黑板上给出一道题：“已知A为整式，且”． (1)求整式A； (2)嘉淇说：“整式A的值不可能是正数．”请结合（1）的结果分析嘉淇的说法是否正确． 【答案】(1)； (2)嘉淇的说法正确． 【分析】本题考查整式的加减，配方法的应用．解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法． （1）根据，去括号，合并同类项即可求解； （2）利用完全平方公式把整式A配方成，据此求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 即整式A的值总小于或等于0，不可能是正数， 嘉淇的说法正确． 27．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）解答： 例： ， 请你参考黑板中老师书写的变形，解答下列问题； 探究： （1）无论x取何值，试说明代数式的值一定是负数； 应用： （2）记某个正方形的面积为，边长为，某个矩形的面积为，若该矩形的一边长比正方形的边长少3，另一边长为6，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析． 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． （1）利用配方法，将原式变形为，即可解答； （2）利用作差法，再将计算的结果变形，即可解答． 【详解】解：（1） ， ，， ∴无论x取何值，代数式的值一定是负数； （2） 理由：由题意，得，， ， ，即， . 28．（23-24九年级上·河北沧州·期中）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴ ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】 求代数式的最小值； (2)【举一反三】 若当________时，有最________值（填“大”或“小”），这个值是________； (3)【灵活运用】 已知，则________； (4)【拓展应用】 如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，栅栏的总长度为．当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)3 (2)；大；1 (3)1 (4)当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）把原式利用配方法变形为，再仿照题意求解即可； （2）把原式利用配方法变形为，再仿照题意求解即可； （3）把原式利用配方法变形为，再利用非负数的性质求解即可； （4）设，则，则，进而求出，则，据此可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为3； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为1， 故答案为：；大；1； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：设，则， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最大，最大值为48， ∴当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 地 城 考点05 用公式法解一元二次方程 29．（18-19九年级上·全国·单元测试）是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，将求根公式一一代入方程验证即可得出答案． 【详解】解：A．中，，不合题意； B．中，，不合题意； C．，，不合题意； D．3x2+5x﹣1＝0中，，符合题意； 故选：D． 30．（24-25九年级上·河北唐山·期中）用公式法解方程时，计算的值为（   ） A． B．5 C． D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，根据所给方程确定a、b、c的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 31．（23-24九年级上·河北保定·期中）已知方程的两根是等腰三角形的两条边长，则等腰三角形的周长是（    ） A．15 B．12 C．9 D．12或15 【答案】A 【分析】题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，利用因式分解法求出x的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论是解题的关键． 【详解】解：解方程得， 因为， 所以等腰三角形的两腰为6、6，底边长为3， 所以三角形周长． 故选A． 32．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，根据题意列出方程求解即可 【详解】解：依题意得：， 整理得：， 解得：（舍去） 故选：B 33．（23-24九年级上·河北张家口·期中）利用公式解可得一元二次方程式的两解为、，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，利用公式法求出一元二次方程的解，再根据即可求解，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：依题意得：，，， ， 、是原方程的两个解，且， ， 故选A． 34．（24-25九年级上·河北·期中）阅读材料，并回答问题： 嘉淇在学习一元二次方程时，解方程 的过程如下： 解：∵，， ∴ ∴此方程无解． 问题： (1)上述过程中，从 步开始出现了错误 （填序号）； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)； (2)过程见解析，，． 【分析】（）先把一元二次方程应化为一般形式，然后即可判断； （）根据公式法解一元二次方程即可； 本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法的计算步骤． 【详解】（1）解：由题意可得，一元二次方程应化为一般形式， ∴从步开始出现了错误， 故答案为：； （2）解： ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 35．（24-25九年级上·河北唐山·期中）（1） 用配方法解方程： ；     （2） 用公式法解方程： ． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）先移项，再根据配方法得，再开方即可求解； （2）先化为一般式，然后根据求根公式进行计算即可求解． 【详解】解：（1）移项得：， 配方得：， 即， 开方得：， ，． （2）原方程可化为：， ，，， ， ， ，． 36．（23-24九年级上·河北唐山·期中）计算 (1)解方程：（用配方法） (2)解方程：（用公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤进行解答即可． （1）先将括号去掉，再将含x的项移到等号左边，常数项移到等号右边，最后根据完全平方公式进行配方即可； （2）先求出，再根据求根公式求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 即． ， 所以，． （2）解：， ，，． ∵， ， 即，． 37．（23-24九年级上·河北张家口·期中）一元二次方程根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判定 【答案】C 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算，进而即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴方程没有实数根， 故选：． 38．（24-25九年级上·河北保定·期中）已知关于的一元二次方程，其中，满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（   ） A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，根据题意求出，再求出的符号即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ， ∴原方程无实数根， 故选：A． 地 城 考点06 判断一元二次方程根的情况 39．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）关于一元二次方程根的情况，正确的是（      ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有且只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，能够熟练计算判别式的值并能根据判别式的值判断根的情况是解题关键．计算判别式的值，再确定根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 40．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象、一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．先根据一次函数的图象可得，再利用一元二次方程的根的判别式求解即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴的交点位于轴的负半轴， ∴， ∴关于的方程是一元二次方程，它的根的判别式为， ∴这个方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 41．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）一元二次方程的根的判别式的值是（   ） A．28 B．4 C．25 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别是解决本题的关键． 先将方程化成一般式，再根据根的判别计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 42．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）对于任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：，因为，所以169是“喜鹊数”． （1）判断241 “喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数”为 ； （2）已知一个“喜鹊数”（，，，其中，，为正整数），利用“喜鹊数”中的，，构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，则的值为 ． 【答案】 不是 121（答案不唯一） 1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清喜鹊数的定义． （1）根据喜鹊数的定义解答即可；根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可； （2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可． 【详解】解：（1），，， 不是“喜鹊数”； ，， 是“喜鹊数”； （2）是方程①的一个根，是方程②的一个根， ，，将两边同除以得，，将，看成是方程的两个根， 是“喜鹊数”， ， 方程有两个相等的实数根， ， . 43．（23-24九年级上·河北保定·期中）探讨关于x的一元二次方程总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：；丙：．其中符合条件的是（    ） A．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确 C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙不正确 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程有实数根的条件，根据题中所给条件，结合一元二次方程根的判别式讨论是解决问题的关键． 根据一元二次方程根的判别式求解，然后根据各种说法的条件逐项验证即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程根的判别式为：， 甲：当a，b同号时，若两数均为负数，就不能确保的符号为正，不符合题意； 乙：当时，得到，从而，总有实数根，符合题意； 丙：当时，得到，从而，总有实数根，符合题意； 综上所述，甲的建议不能满足题意，乙和丙的建议满足题意， 故选：B． 地 城 考点07 有一元二次方程根的情况求参数 44．（2021·山东济宁·一模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义与根的判别式，根据一元二次方程的定义和Δ的意义得到且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题意可知：且，即， 解得：且． 故选：D． 45．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴且， ∴整数k的最大值为， 故选A． 46．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴且， 故答案为：A． 47．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）亮亮在解一元二次方程时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是(    ) A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式．设常数项为c，利用判别式的意义得到，再解不等式得到c的范围，然后在此范围内确定最大值即可． 【详解】解：设常数项为c， 根据题意得， 解得， 所以c的最大值为9． 故选：C． 48．（24-25九年级上·河北张家口·期中）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的，时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，此题分，两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当时，方程化简为，是一元一次方程，有实数解； 当时，方程为一元二次方程，有两个实数根， ∴ ∴， ∴的取值范围是， 故选：B ． 49．（23-24九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B． 且 C． 且 D． 且 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，二次根式有意义的条件．由一元二次方程的定义可得，根据二次根式成立的条件列不等式，再根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，即列出不等式，再分别解不等式，联立求出k的范围即可． 【详解】解：由题意知：， ∴ 且 ． 故答案为：D． 50．（24-25九年级上·河北唐山·期中）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则整数k的最小值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根，， ， 且， 整数的最小值为4， 故选：B． 51．（21-22九年级上·江苏徐州·期末）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据题意得，解方程即可．解题的关键是掌握：根的判别式是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴实数的值是． 故答案为：． 52．（24-25九年级上·河北沧州·期中）定义：一元二次方程是一元二次方程的倒方程．则有下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根一定是． 其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】①将代入的倒方程求出的值即可作出判断； ②利用和根的判别式进行判断即可； ③确定倒方程的判别式与零的关系即可作出判断； ④解一元二次方程与它的倒方程构成的方程组即可作出判断； 【详解】解：①∵的倒方程是， 又∵是的倒方程的解， ∴， 解得：，故结论①正确； ②一元二次方程是一元二次方程的倒方程， ∵， ∴， ∴这两个方程都有两个不相等的实数根，故结论②正确； ③∵一元二次方程无解， ∴， ∴， ∵一元二次方程的倒方程是， 又∵， ∴它的倒方程也无解，故结论③正确； ④∵一元二次方程与它的倒方程有相同的根， ∴ 解得：， ∴这个根一定是，故结论④错误， 综上所述，正确的结论是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查倒方程的定义，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，解一元一次方程，解方程组．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 53．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据一元二次方程，当方程有两个不相等实数根，则，列出不等式，即可求解． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根 解得且 故答案为：且 54．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知方程的根都是整数．求整数k的值及方程的根． 【答案】，0，2，3，，0，3，4 【分析】此题主要考查了一元二次方程的整数根的求法，以及根的判别式和完全平方数等知识，题目较简单． 先用利用已知条件得出，求出参数的范围，由特殊值法确定与的取值． 【详解】解： ∴ ∴ 整数，0，1，2，3． 由求根公式知，故 当时，，； 当时，，或3； 当时，不是完全平方数，整根不存在； 当时，，或4； 当时，，． 因此，，0，2，3，，0，3，4． 55．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）已知一元二次方程□，其中系数“□”印刷不清． (1)嘉嘉把“□”猜成是2，请你解方程； (2)淇淇说：“我看答案该方程有两个相同的根”请你通过计算说明“□”是几？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解法、一元二次方程的根的判别式，解题的关键是公式法解一元二次方程． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）根据方程有两个相同的根可得，代入计算解题即可． 【详解】（1）解： ， ， 方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：，； （2）设“□”里的数为， ∵该方程有两个相同的根， ∴，即, 解得：， ∴“□”里的数为． 56．（24-25九年级上·河北唐山·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5， ①若时，请判断的形状并说明理由； ②若是等腰三角形，求等腰三角形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)①是直角三角形，见解析；②或． 【分析】本题考查了于一元二次方程的判别式、勾股定理的逆定理以及等腰三角形的定义等知识点，熟记相关结论是解题关键. （1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． （2）①时，方程为，解得， ，即可判断；②根据，得出，、中有一个数为5，可求得，， 分类讨论即可求解； 【详解】（1）证明：∵ ∴方程有两个不相等的实数根 （2）解：①时，方程为； 解得， ∴，， ∵，； ∴ ∴是直角三角形； ②∵， ∴， ∴、中有一个数为5， 当时，原方程为， 即， 解得，， 当时，原方程为，解得，， 等腰三角形的周长为14； 当时，原方程为，解得，， 等腰三角形的周长为16． 57．（23-24九年级上·河北保定·期中）嘉淇准备完成题目：解一元二次方程．发现系数“”印刷不清楚． (1)他把“”猜成常数，请你用配方法解方程：； (2)嘉淇看到正确答案为，通过计算说明“”是几？ (3)若一元二次方程有实数根，求“”的最大值． 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】本题考查了一元二次方程的解法以及一元二次方程的根的判别式，解答时注意，当一元二次方程实根时，，据此列出不等式求解即可． （1）先移项变为，然后配方得出，再开平方得，再求解即可； （2）设“”中为，然后把代入方程，求出n的值，即可得出答案； （3）设“”中为，根据判别式的意义得到，然后解不等式，即可求出的最大数． 【详解】（1）解：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：． （2）解：设“”中为，则， 把代入得： ， 解得：， ∴“”是； （3）解：设“”中为，则， 由题意得，， 解得， ∴的最大的值为9． 地 城 考点08 用因式分解法解一元二次方程 58．（24-25九年级上·河北唐山·期中）一元二次方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． 用因式分解法解出方程即可选出正确答案． 【详解】解： ， ， 或， 解得， 故答案为：C． 59．（24-25九年级上·河北唐山·期中）关于x的方程，下列解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得到． 移项得： ， ∴， ∴或， ∴，． 整理得 ∵，，， ∴ ∴ ∴，． 整理得 配方得： ， ∴， ∴， ∴，． A．甲和乙 B．乙和丙 C．乙和丁 D．甲和丁 【答案】C 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，直接开方法，公式法，以及配方法，根据解一元二次方程的方法逐一判断即可． 【详解】解：甲需要考虑的情况，故甲错误； 乙是因式分解法解方程，过程完全正确，故乙完全正确； 丙是公式法解方程，过程中的错误为：，应该是3，故丙错误； 丁是配方法解方程，过程完全正确，故丁完全正确． 故选：C． 60．（24-25九年级下·河北廊坊·期中）点在第四象限，点P到x轴的距离为，到y轴的距离为，若m，，满足，则常数m的值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，点的坐标，解一元二次方程等，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据第四象限点的坐标特征可得：，从而可得：，然后根据点到坐标轴的距离可得，再代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 解得：， ∵点P到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：（舍去），， 故选：C． 61．（23-24九年级上·河北保定·期中）在学习一元二次方程后，老师出示了这样一个题目： 解方程：． 嘉嘉同学的解答过程如下： 方程两边同时除以，第一步 得，第二步 所以，第三步 因此，方程的解为．第四步 (1)判断嘉嘉的解法是否正确，若不正确，请说明原因； (2)根据你对一元二次方程解法的理解，写出你的解答过程． 【答案】(1)嘉嘉的解法不正确．原因见解析 (2)，．过程见解析 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解的方法解方程是关键； （1）由方程两边不能同时除以，不符合等式的性质可得答案； （2）先移项，把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可； 【详解】（1）解：嘉嘉的解法不正确． 原因是第一步出现错误，方程两边不能同时除以，不符合等式的性质； （2）解： ， ，即， 或， ∴方程的解为，． 62．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有配方法、公式法、直接开平方法、因式分解法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用直接开平方法计算即可得解； （2）利用配方法法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得，； （3）解：∵， ∴， ∴或 解得，； （4）解：∵， ∴， ∵ ∴ 解得，． 63．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）用适当的方法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． （2）解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． 64．（24-25九年级上·河北保定·期中）按要求解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（配方法） (3)（因式分解法） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）先化为一般形式，然后根据求根公式，解一元二次方程，即可求解． （2）先化二次项系数为，再配方法得出，进而直接开平方即可求解． （3）先移项，然后根据因式分解法得，即可求解． 【详解】（1）解：， 即， ∴，， ∴， 即； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 即或， 解得：； （3）解：， ∴， ∴，即， ∴或， 解得：． 65．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果是直角三角形，为斜边，证明：一元二次方程有两个相等的实数根； (3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】(1)等腰三角形，见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）把代入方程得，整理得，从而可判断三角形的形状； （2）由勾股定理得，则而，代入即可证明； （3）利用等边三角形的性质得，方程化为，然后利用因式分解法解方程． 【详解】（1）解：为等腰三角形，理由如下： 把代入方程得：， ∴， ∴为等腰三角形； （2）证明：∵是直角三角形，为斜边， ∴，则 而， ∴一元二次方程有两个相等的实数根； （3）解：为等边三角形， ， 方程化为， 解得，． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的定义，等边三角形的性质，勾股定理等知识． 试卷第4页，共40页 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $