专题01 三角形的性质（11大考点）（期中真题汇编，河北专用）八年级数学上学期

专题01 三角形性质有关问题考点汇编 11大高频考点概览 01三角形的稳定性 02三角形三边关系 03三角形重要线段的应用 04三角形内角和定理的证明 05三角形内角的计算 06三角形形状的判定 07与折叠有关的三角形内角和折叠问题 08与平行线有关的三角形内角和 09与角平分线有关的三角形内角计算09 10三角形外角性质的应用 11三角形性质的综合应用问题 地 城 考点01 三角形的稳定性 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）具有稳定性的图形是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北沧州·期中）下列图形具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北保定·期中）用螺丝连接四根木条构成一个四边形，四根木条长度如图所示，现添加一根木条，使这个图形稳定，则添加的木条的长度不可以是（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 二、填空题 4．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）（1）如图1，李叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是 ． （2）如图2，一副三角板和如图摆放，则 ． 5．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图是国庆黄金周期间珍珍去河北某景点看到的户外秋千椅子，其侧面制作成三角形形状，这是利用了三角形的 ． 地 城 考点02 三角形三边关系 6．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）绝缘梯是电力工程的专用登高工具，如图，绝缘梯模型中的长度都为，则A，B两点之间的距离可能是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·河北张家口·期中）三边长度都是整数的三角形称为整数边三角形，若一个三角形的最长边长为8，则满足条件的整数边三角形共有（    ） A．8个 B．10个 C．12个 D．20个 8．（23-24八年级下·河北承德·期中）已知的三边长分别为a、b、c，下列三角形中是直角三角形的是（    ） A．三角形的三边满足关系 B．三角形的三边长分别为2，3，4 C．三角形的一边等于另一边的一半 D．三角形的三边长为6，8，10 9．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）若、、为的三边长，且满足，则的值可能是(    ) A． B．、 C．、 D．、、 10．（22-23八年级下·河北张家口·期中）已知、、满足 (1)求、、的值． (2)以、、为三边能否构成三角形？若能，求出它的周长；若不能，请说明理由． 地 城 考点03 三角形重要线段的应用 11．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 12．（24-25八年级上·河北邢台·期中）若一个三角形三条高线交点始终在其内部，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 13．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，边上的高是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 14．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，中，点D、E分别在边上，E是的中点，与相交于F，，则的面积为（   ） A．1.5 B．2.5 C．3 D．6 15．（24-25七年级下·河北保定·期中）小颖在学习三角形时发现三角形的中线可以将三角形的面积分成相等的两部分，课后小颖和同学们进一步研究三角形中线的问题．如图，已知的面积为2，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，则阴影部分的面积为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 16．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，在正方形网格中有一个，按要求进行下列作图（只能借助于网格） (1)分别画出中边上的高、边上的中线；（要求：适当加黑加粗，并标出点H和点G的位置） (2)连接，那么与的位置关系是_______； (3)画一个（要求各顶点在格点上），使其面积等于的面积的2倍． 17．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长； (2)求的面积； (3)求和的周长的差． 18．（23-24八年级上·河北承德·期中）在中，D是边上的点(点D不与点B，C重合)，连接． (1)如图1，当D是边的中点时，___________． (2)如图2，当是的平分线时，若，， ___________． (3)如图3，平分，延长到，使得，连接，如果，，，那么的面积是多少？ 19．（24-25八年级上·河北保定·期中）（1）如图1，在中，若是边上的中线，则 ；如图2，在中，若 ，则 （2）如图3，若分别是的边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法． 连接，由，得， ， 同理，可得． 设 ，则 ， 设 ， 由题意，得 ， 可列方程组 ，解得 ． ∴ （3）如图4， ，若 ，求 ． 地 城 考点04 三角形内角和定理的证明 20．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点A到点B，把铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后，笔尖的方向变为点B到点A，这种变化说明（    ）    A．三角形两边的和大于第三边 B．三角形两边的差小于第三边的 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 21．（23-24八年级上·河北唐山·期中）夕夕同学要证明“任意一个三角形的内角和一定等于”是正确的，她的想法是利用平行线的性质与平角的定义来证明．下面夕夕已经写出了已知和求证，请你按夕夕的想法完成证明． 如图，已知：． 求证：．    22．（23-24八年级上·河北承德·期中）求证：三角形的内角和等于 已知：如图，． 求证：． 以下是排乱的证明过程： ①∵         ②∴        ③过A引               ④∴即三角形的内角和为 证明步骤正确的顺序是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24八年级上·河北保定·期中）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，是的外角．求证：．下列说法正确的是（    ） 证法1：如图，∵（三角形内角和定理），（平角定义），∴（等量代换），∴（等式性质）．    证法2：如图，过点C作，∴，，∵，∴（等量代换）． A．只有证法1正确 B．只有证法2正确 C．证法1和证法2都正确 D．证法1和证法2都不正确 地 城 考点05 三角形内角的计算 24．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，已知则的度数为（   ） A． B． C． D． 25．（23-24八年级上·河北保定·期中）在中，若，，则（    ） A．50° B．45° C．40° D．35° 26．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）《周礼考工记》中记载有：“…半矩谓之宣，一宣有半谓之欘…”意思是：“…直角的一半的角叫做宣，宣角加它的一半叫做欘…”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则的度数为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，两面镜子和的夹角，当光线经过镜子后反射，，，则入射光线与第三条反射光线的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 28．（23-24八年级上·河北保定·期中）如图1，的两个内角平分线交于点P，． (1)当时，______°． (2)如图2，平分，平分，，，都是的外角平分线，延长交于点M．请你分别求出，，的度数．（用含α的式子表示） 29．（24-25八年级上·河北邢台·期中）对于“一个内角是另一个内角两倍的三角形为‘倍角三角形’”，其中称为“倍角”．如果一个“倍角三角形”的一个内角为，求倍角的度数，嘉嘉说：；琪琪说：，则（   ） A．嘉嘉正确且完整 B．琪琪正确且完整 C．嘉嘉､琪琪合起来才完整 D．嘉嘉、琪琪合起来也不完整 地 城 考点06 三角形形状的判定 30．（16-17七年级下·江苏盐城·期中）在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 31．（23-24八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，．则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能 32．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）三个内角之比是，是（    ）． A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 33．（16-17七年级下·江西抚州·期中）一个三角形三个内角的度数比是．则这个三角形属于 三角形． 地 城 考点07 与折叠有关的三角形内角和折叠问题 34．（22-23八年级上·河北保定·期中）如图，在中，点D，E分别在边上，将沿折叠至位置，点A的对应点为F．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 35．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 36．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，点，分别在，上，，将沿折叠后，使点落在点处．若，则 ． 37．（23-24七年级下·河北沧州·期中）如图，甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙），则的大小为 ． 38．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图，其中点在边上，、分别在边、上，分别以、为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点和点． 甲同学的操作如图，其中； 乙同学的操作如图，落在所在直线上； 丙同学的操作如图，落在上，落在上． 【阅读理解】 (1)求出图中的度数； (2)图3中______； (3)求出图中的度数； (4)若折叠后，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 地 城 考点08 与平行线有关的三角形内角和 39．（24-25八年级上·山西大同·开学考试）如图，，与的平分线相交于点G，于点E，F为AC上的一点，且，于点H．下列说法：①；②；③；④若，则．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 40．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，，，是上一点．若，，甲、乙两位同学分别给出了下面的结论，下列判断正确的是（   ） 甲：； 乙：． A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．两人的都正确 D．两人的都不正确 41．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，已知与平行，求的度数． 42．（20-21七年级下·河北沧州·期中）如图，已知，C为上一点，为上一点，为两平行线间一点，连接，． (1)求证：； (2)若平分，交延长线于点，且，求的度数． 43．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求的度数． 44．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在同一平面内，直线上摆放着两块大小相同的直角三角板和（，），其中边和重合．将三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上，为与的交点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若图中三块阴影部分的面积之和为6，则一个直角三角板的面积为 ． 45．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，四边形的内角的角平分线交于点E，的角平分线交于点F． (1)若，则______；_____； (2)探索与有怎样的数量关系，并说明理由 46．（23-24七年级下·河北廊坊·期中） 【阅读材料】 光的反射定律： 在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内； 反射光线、入射光线分别位于法线两侧； 反射角等于入射角．    【问题解决】 数学兴趣小组的同学利用光的反射定律结合数学知识制作一个简易潜望镜，并画出了潜望镜的工作原理示意图．如图，、是平行放置的两面平面镜，已知光线经过平面镜反射时，有，，求证：； 【尝试探究】 如图2，改变两平面镜、的位置，使点、重合．若平面镜与的夹角，经过两次反射后，，，反射光线与入射光线平行但方向相反，求．    地 城 考点09 与角平分线有关的三角形内角计算与平行线有关的三角形内角和 47．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，是的边上的高，平分，若，．求和的度数．    48．（20-21八年级上·河南濮阳·期中）如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为30，求的长； (2)当为的角平分线时，若，，求的度数． 49．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，是边上的高，分别是的平分线，且相交于点O，已知． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 50．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，的平分线交于点，小琪在写作业时，发现如下规律： ①当时，； ②当时，； ③当时，；    (1)根据上述规律，若，则________； (2)请你用数学表达式归纳出与的关系：________； (3)请证明你的结论． 51．（24-25八年级上·河北沧州·期中）阅读下列材料并解答问题：在三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“倍角三角形”．例如：某三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是一个“倍角三角形”．反之，若某三角形是“倍角三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． (1)在中，，判断是否是“倍角三角形”，并说明理由； (2)若某“倍角三角形”有一个角为，求这个“倍角三角形”的最小内角的度数； (3)如图，点在的边上，连接，作的平分线交于点，且．若是“倍角三角形”，直接写出的度数． 52．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，为钝角，是边上的高，是的平分线．    (1)画出边上的高； (2)若，，求的度数； (3)若，，，求高的长． 53．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，D，E分别是边，上两点，平分，平分． (1)若，，则__________； (2)若，则__________； (3)写出，与之间的数量关系，并说明理由． 54．（23-24八年级上·河北邯郸·期中）如图1，点P在内，连接，，且．    (1)若，则的度数为 ； (2)求证； (3)将题干中“点P在内”改成“点P在外”，其他条件不变，点P的位置如图2所示． ①若，则的度数为 ； ②如图3，若，分别平分，，直接写出与的数量关系．    55．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图1，在中，，的角平分线交于点O，则． 如图2，在中，，的两条三等分角线分别对应交于，，则，则 ． 根据以上阅读理解，如图3、猜想（n等分时，内部有个点）（用n的代数式表示） ． 地 城 考点10 三角形外角性质的应用 56．（23-24八年级上·河北张家口·期中）如图所示是小李绘制的某大桥断裂的现场草图，若，则桥面断裂处的度数为（   ） A． B． C． D． 57．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，平面上直线分别过线段两端点（数据如图），则相交所成的锐角是（　　） A． B． C． D． 58．（24-25七年级下·河北保定·期中）空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化瑰宝”．2006年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．嘉嘉在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 59．（24-25九年级下·河北廊坊·期中）已知射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图，淇淇同学将支架平面镜放置在水平桌面b上，镜面与水平面b的夹角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板a的夹角，反射光束为，则反射光束与平面镜的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 60．（24-25八年级上·河北保定·期中）某建筑工具是如图所示的人字架，若，则比大（   ） A． B． C． D． 61．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，，点，分别在射线，上移动，平分，交于点，平分，的反向延长线与交于点．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：若，则； 结论Ⅱ：无论点，在射线，射线（均不与点重合）上怎样移动，的度数都不变 A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 62．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，的平分线交于点O，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角的平分线交于点E．有下列结论∶①；②；③；④．其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个 63．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在中，度，与的平分线交于点，则∠＝ ；∠与∠的平分线交于点，得∠；……∠与的平分线交于点，得∠．则∠＝ ° 64．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，点D在边上． (1)若，求的度数； (2)若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 65．（24-25八年级上·河北保定·期中）在中，，平分，点在射线上，连接，点在的延长线上． (1)如图，． ①若，分别求和的度数； ②若直线与的一条边垂直，求的度数； (2)若平分，请直接写出的度数． 66．（24-25八年级上·河北张家口·期中）【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这个三角形为“二倍角三角形”、例如：在中，，，则为“二倍角三角形”． 【理解】若为“二倍角三角形”，，则这个三角形中最小的内角为______； 【应用】已知是“二倍角三角形”中最小的内角，通过计算确定的最大取值； 【拓展】如图，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点G，且，当是二倍角三角形，直接写出的度数． 地 城 考点11 三角形性质的综合应用问题 67．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图1，，是两个互相平行的镜面，根据镜面反射规律：若一束光线照射到镜面上，反射光线为，则一定有．光线是由镜面反射得到． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)调整后镜面的位置如图2，光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜面反射得到，若，且，求和的度数； (3)在（2）的条件下，增添镜面，放在恰当位置，使光线的反射光线平行于镜面，直接写出镜面与镜面的夹角（夹角为锐角）． 68．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图1，已知在平面直角坐标系中，点，点，将线段向右平移4个单位长度至的位置，连接． (1)直接写出点的坐标； (2)如图2，连接，作轴于点，在轴正半轴有一点，作轴交于点，交于点，动点从点开始，以每秒1个单位长度沿射线运动，设时间为秒． ①嘉淇说：“的面积始终是一个定值．”请对嘉淇的说法进行说理，并求出的面积； ②当的面积为时，求的值及此时点的坐标． 69．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图1和2，在三角形中，，，过点A，N分别作直线和射线且，的平分线交于点D，设（其中），将点A绕M逆时针旋转得到点，当直线与直线不平行时，设与交点为P．（注：三角形内角和为） (1)如图1，当点M在反向延长线上，求； (2)如图2，当时，求的值； (3)用含的代数式表示，直接写出结果； (4)当时，直接写出的值． 70．（23-24七年级下·河北邢台·期中）已知直线，直线与，分别交于点E，F，.将一个直角三角板按如图1所示放置，使点Q，O分别在直线，上，，，，．    (1)若、分别求与的度数； (2)求的度数； (3)将直角三角板沿向右平移． ①如图2，当点Q与点E重合时，若恰好平分，求的值； ②作的平分线，交直线于点G，在整个平移过程中，直接写出的度数（用含的式子表示）． ①    解：由图可得： 71．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）如图（1），把一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． (1)填空：如图（1），______°，______° (2)如图（2），现把三角尺绕点逆时针方向旋转，当且点恰好落在边上，若恰好是的倍，求的值． (3)按图（1）所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动，设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 72．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）我们学习了三角形内角和定理得出的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． (1)已知：是的一个外角（如图1）．求证：． 证明：如图2，过点作．（请完成后面的证明） (2)如图3，线段相交于点，连接，我们把形如这样的图形称为“8字型”．请仔细观察该图形，直接写出之间的数量关系． (3)如图4，由线段组成的一个“风筝”形状，运用（2）中得出的数量关系，猜想与的数量关系，并说明理由． 73．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）小明将一个含角的直角三角板（其中，，）按如图1所示放置，使得直角三角板的一边落在直线上，过顶点作直线，在的左侧作直线，分别交直线，于点，． (1)的度数为 ； (2)将直角三角板从如图1所示初始位置绕顶点按图中箭头方向转动，且保证点在直线上方．直线，保持初始位置，直线随着点的运动位置发生变化，且保持． ①当点在直线下方时，如图2，试猜想和的数量关系，并说明理由； ②在转动过程中，当直角三角板的一边与直线平行时，求的度数； (3)在（2）的条件下，作平分，作平分，当射线平分时，直接写出与直线所夹锐角的度数．          74．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）如图1，在锐角的两边、上分别有一点M和点N，过点M的直线，过点N的直线． (1)当． ①如图2，若，，求∠1的度数； ②直线MH在图2的位置开始绕点M顺时针旋转α度（），与交于点K，当为直角三角形时，直接写出α的度数． (2)如图3，当直线恰好过点M，此时平分，，判断与的位置关系，并说明理由． (3)若MHOB，直线NG与射线OA交于点D，的角平分线与的角平分线交于点E，，，直接写出m，n的关系式． 试卷第82页，共85页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形的性质考点汇编 11大高频考点概览 01三角形的稳定性 02三角形三边关系 03三角形重要线段的应用 04三角形内角和定理的证明 05三角形内角的计算 06三角形形状的判定 07与折叠有关的三角形内角和折叠问题 08与平行线有关的三角形内角和 09与角平分线有关的三角形内角计算09 10三角形外角性质的应用 11三角形性质的综合应用问题 地 城 考点01 三角形的稳定性 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）具有稳定性的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性，一一判断即可得出答案． 【详解】解：．不具有稳定性，故该选项不符合题意； ．具有稳定性，故该选项符合题意； ．不具有稳定性，故该选项不符合题意； ．不具有稳定性，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·河北沧州·期中）下列图形具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性，多边形（边数大于等于四）不具有稳定性来判断． 【详解】解：∵三角形具有稳定性，多边形（边数大于等于四）不具有稳定性， ∴答案A正确； 故选：A． 3．（24-25八年级上·河北保定·期中）用螺丝连接四根木条构成一个四边形，四根木条长度如图所示，现添加一根木条，使这个图形稳定，则添加的木条的长度不可以是（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】该题主要考查了三角形的三边关系的应用，解题的关键是掌握三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系得出的范围求解即可． 【详解】解：连接， 根据题意可得，在中，，即， 在中，，即， 则， 在中，，即， 在中，，即， 则， 故选：A． 二、填空题 4．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）（1）如图1，李叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是 ． （2）如图2，一副三角板和如图摆放，则 ． 【答案】 三角形具有稳定性 【分析】本题考查了三角形具有稳定性以及三角板中角度计算问题，由图可知：，求出，进而得即可求解； 【详解】解：给凳子加两根木条是应用了三角形具有稳定性的数学原理； 由图可知：， ∴， ∴； ∴． 故答案为：①三角形具有稳定性；②． 5．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图是国庆黄金周期间珍珍去河北某景点看到的户外秋千椅子，其侧面制作成三角形形状，这是利用了三角形的 ． 【答案】稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据题意可直接得到答案． 【详解】解：户外秋千椅子的侧面制作成三角形形状，利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 地 城 考点02 三角形三边关系 6．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）绝缘梯是电力工程的专用登高工具，如图，绝缘梯模型中的长度都为，则A，B两点之间的距离可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求出的范围即可得到答案． 【详解】解：由构成三角形的条件可知，， ∵， ∴，即， ∴四个选项中，只有A选项符合题意， 故选：A． 7．（23-24七年级下·河北张家口·期中）三边长度都是整数的三角形称为整数边三角形，若一个三角形的最长边长为8，则满足条件的整数边三角形共有（    ） A．8个 B．10个 C．12个 D．20个 【答案】D 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，分当第二长的边为8时，当第二长的边为7时，当第二长的边为6时，当第二长的边为5时，四种情况根据三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边求出第三边的长即可得到答案． 【详解】解：当第二长的边为8时，则最短的边可以为1或2或3或4或5或6或7或8，此时有8种情况满足题意； 当第二长的边为7时，则最短的边可以为 2或3或4或5或6或7，此时有6种情况满足题意； 当第二长的边为6时，则最短的边可以为或3或4或5或6，此时有4种情况满足题意； 当第二长的边为5时，则最短的边可以为4或5，此时有2种情况满足题意； ∴共有中情况满足题意， 故选；D． 8．（23-24八年级下·河北承德·期中）已知的三边长分别为a、b、c，下列三角形中是直角三角形的是（    ） A．三角形的三边满足关系 B．三角形的三边长分别为2，3，4 C．三角形的一边等于另一边的一半 D．三角形的三边长为6，8，10 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，三角形三边关系等知识，根据三角形三边关系可以判断A，根据勾股定理的逆定理可以判断B和D，由第三边不确定，无法判断此三角形形状，从而判定C． 【详解】解：A、三角形的三边不可能满足关系，故此选项不合题意； B、三角形的三边长分别为2，3，4，由可知此三角形不是直角三角形，故此选项不合题意； C、三角形的一边等于另一边的一半，第三边不确定，无法判断此三角形形状，故此选项不合题意； D、三角形的三边长为6，8，10，由可知此三角形是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 9．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）若、、为的三边长，且满足，则的值可能是(    ) A． B．、 C．、 D．、、 【答案】D 【分析】本题考查非负数的性质和三角形三条边的关系；先根据非负数的性质，求出a、b的值，进一步根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围，从而确定c的可能值． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，； 则， ，、、符合条件； 故选D． 10．（22-23八年级下·河北张家口·期中）已知、、满足 (1)求、、的值． (2)以、、为三边能否构成三角形？若能，求出它的周长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)以、、为三边能构成三角形，周长为 【分析】（1）利用完全平方式，二次根式以及绝对值的非负性进行判断即可； （2）利用三角形三边关系判断并计算周长即可． 【详解】（1）解： 且三者相加得0 （2）∵ ∴以、、为三边能构成三角形，周长为 【点睛】本题主要考查完全平方式，二次根式以及绝对值的非负性以及三角形三边关系，熟练运用几个非负数的和为零，那么这几个数必定为零的结论以及两边之和大于第三边是解决本题的关键． 地 城 考点03 三角形重要线段的应用 11．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【答案】B 【分析】该题考查了三角形的角平分线，根据题意得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 故选：B． 12．（24-25八年级上·河北邢台·期中）若一个三角形三条高线交点始终在其内部，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的高，根据高的概念，钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高的交点是三角形的直角顶点． 【详解】解：一个三角形的三条高所在直线的交点始终在其内部， 那么这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 13．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，边上的高是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高，根据图示，找到边及所对的顶点，可确定三角形的高，掌握三角形画高的方法是解题的关键． 根据图示，线段的所对的顶点，结合高的画法“从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，”即可求解． 【详解】解：线段的所对的顶点， ∴线段是边边上的高， 故选：A ． 14．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，中，点D、E分别在边上，E是的中点，与相交于F，，则的面积为（   ） A．1.5 B．2.5 C．3 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的面积的求法，以及三角形的中线的特征．根据两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比，求出，然后根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，求出的面积即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵E是的中点， ∴． 故选C． 15．（24-25七年级下·河北保定·期中）小颖在学习三角形时发现三角形的中线可以将三角形的面积分成相等的两部分，课后小颖和同学们进一步研究三角形中线的问题．如图，已知的面积为2，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，则阴影部分的面积为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质，连接，可得，即得，进而得到，同理可得，，再根据即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，的面积为2， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，，， ∴， 故选：B． 16．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，在正方形网格中有一个，按要求进行下列作图（只能借助于网格） (1)分别画出中边上的高、边上的中线；（要求：适当加黑加粗，并标出点H和点G的位置） (2)连接，那么与的位置关系是_______； (3)画一个（要求各顶点在格点上），使其面积等于的面积的2倍． 【答案】(1)见详解； (2)平行 (3)见详解 【分析】（1）根据三角形的高线和中线的定义即可作图； （2）根据网格特点得到，即可得到； （3）先求出，结合网格特点即可作出． 【详解】（1）解：如图，为中边上的高，为中边上的中线： ； （2）解：如图，连接，由作图可得， ∴； 故答案为：平行； （3）解：如图，即为要求作的三角形； 证明：由题意得， ， ∴． 【点睛】本题考查了三角形高线、中线的定义，平行性的判定，三角形的面积公式等知识，理解相关知识，并根据网格的特点灵活应用是解题关键． 17．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长； (2)求的面积； (3)求和的周长的差． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角形的面积公式及等式的性质即可直接得出答案； （2）由是边上的中线可求得的长，然后利用三角形的面积公式即可直接得出答案； （3）直接求解的周长的周长即可得出答案． 【详解】（1）解：，是边上的高， ， ， 即：的长度为； （2）解：为边上的中线， ， ， 的面积是； （3）解：， 的周长的周长 ， 即：和的周长的差是． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，三角形中线的有关计算，与三角形高有关的计算等知识点，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 18．（23-24八年级上·河北承德·期中）在中，D是边上的点(点D不与点B，C重合)，连接． (1)如图1，当D是边的中点时，___________． (2)如图2，当是的平分线时，若，， ___________． (3)如图3，平分，延长到，使得，连接，如果，，，那么的面积是多少？ 【答案】(1)1 (2)2 (3)15 【分析】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键． （1）过作于，根据三角形面积公式求出即可； （2）过作于，于，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可； （3）根据已知和（1）（2）的结论求出和的面积，即可求出答案． 【详解】（1）解：过作于，如图， 点是边上的中点， ， （2）解：过作于，于， 为的角平分线， ， ∵，， ； （3）解：， 由（1）知：， ， ， ，，平分， 由（2）知：， ， ． 19．（24-25八年级上·河北保定·期中）（1）如图1，在中，若是边上的中线，则 ；如图2，在中，若 ，则 （2）如图3，若分别是的边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法． 连接，由，得， ， 同理，可得． 设 ，则 ， 设 ， 由题意，得 ， 可列方程组 ，解得 ． ∴ （3）如图4， ，若 ，求 ． 【答案】（1）；；（2）；；（3）6 【分析】本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，解二元一次方程组，熟练掌握这个结论是解题的关键． （1）根据等底等高的两个三角形面积相等知，三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分，即可求解； （2）根据题意，列出方程组，解出方程组，可得即可得到结果； （3）连接，，若 ，得到，，，设，则，，可列方程组，即可得到结果． 【详解】解：（1）如图，过点A作于点H， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，过点A作于点T， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）， 由得：， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，连接， ∵，， ∴，，， 设，则，， 可列方程为， 解得：， ∴． 地 城 考点04 三角形内角和定理的证明 20．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点A到点B，把铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后，笔尖的方向变为点B到点A，这种变化说明（    ）    A．三角形两边的和大于第三边 B．三角形两边的差小于第三边的 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，利用旋转角度之和及铅笔的朝向证明三角形内角和为． 【详解】解：∵铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后， ∴三次旋转的角度为， ∵笔尖方向由点A到点B变为点B到点A， ∴旋转角度之和为， 即． 故选：C． 21．（23-24八年级上·河北唐山·期中）夕夕同学要证明“任意一个三角形的内角和一定等于”是正确的，她的想法是利用平行线的性质与平角的定义来证明．下面夕夕已经写出了已知和求证，请你按夕夕的想法完成证明． 如图，已知：． 求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及平角的定义：先由平行线的性质得到内错角相等，再结合平角是，即可作答，作出的辅助线是解题的关键 【详解】证明：如图1，过点作． ∵， ∴，， ∵， ∴ 22．（23-24八年级上·河北承德·期中）求证：三角形的内角和等于 已知：如图，． 求证：． 以下是排乱的证明过程： ①∵         ②∴        ③过A引               ④∴即三角形的内角和为 证明步骤正确的顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 过A引得，进而可证． 【详解】解：③过A引 ②∴ ①∵ ④∴即三角形的内角和为 故选A． 23．（23-24八年级上·河北保定·期中）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，是的外角．求证：．下列说法正确的是（    ） 证法1：如图，∵（三角形内角和定理），（平角定义），∴（等量代换），∴（等式性质）．    证法2：如图，过点C作，∴，，∵，∴（等量代换）． A．只有证法1正确 B．只有证法2正确 C．证法1和证法2都正确 D．证法1和证法2都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，平角的定义，等式的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】根据题意，两种证法都是正确的， 故选：C． 地 城 考点05 三角形内角的计算 24．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，已知则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和性质，根据对顶角和垂线的定义，得出再运用三角形内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， 故选：A． 25．（23-24八年级上·河北保定·期中）在中，若，，则（    ） A．50° B．45° C．40° D．35° 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据三角形的内角和为即可求解． 【详解】解：， 故选C． 26．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）《周礼考工记》中记载有：“…半矩谓之宣，一宣有半谓之欘…”意思是：“…直角的一半的角叫做宣，宣角加它的一半叫做欘…”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角有关的计算，根据题意可知，，然后余角知识即可求得的度数，解答本题的关键是明确题意，正确解答． 【详解】解：∵1宣矩，1欘宣，1矩，矩，欘， ∴，， ∴， 故选：B． 27．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，两面镜子和的夹角，当光线经过镜子后反射，，，则入射光线与第三条反射光线的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和的应用，掌握数形结合思想和整体思想成为解题的关键． 由三角形内角和定理可得，易得，再结合平角可得，最后再运用三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选D． 28．（23-24八年级上·河北保定·期中）如图1，的两个内角平分线交于点P，． (1)当时，______°． (2)如图2，平分，平分，，，都是的外角平分线，延长交于点M．请你分别求出，，的度数．（用含α的式子表示） 【答案】(1)130 (2) 【分析】（1）先利用三角形内角和定理求得，再由角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理求解即可； （2）先利用三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义求得，再利用三角形内角和定义求得，再根据角平分线的定义求得，，，再由四边形的内角和和三角形内角和定义求得、． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ∵是的外角平分线， ∴． 又∵， ∴． 同理，， ∴， ∴． ∵，即， ∴． 29．（24-25八年级上·河北邢台·期中）对于“一个内角是另一个内角两倍的三角形为‘倍角三角形’”，其中称为“倍角”．如果一个“倍角三角形”的一个内角为，求倍角的度数，嘉嘉说：；琪琪说：，则（   ） A．嘉嘉正确且完整 B．琪琪正确且完整 C．嘉嘉､琪琪合起来才完整 D．嘉嘉、琪琪合起来也不完整 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，分三种情况：当本身就是倍角时；当是被倍角时；当第三个角为时，分别求解即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：当本身就是倍角时，， 当是被倍角时，， 当第三个角为时，，解得：， 综上所述，的度数为或或， 故选：D． 地 城 考点06 三角形形状的判定 30．（16-17七年级下·江苏盐城·期中）在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的定义，利用三角形的内角和定理求出角的度数，即可分别进行判断． 【详解】解：①由得到，即，是直角三角形； ②由题可得，是直角三角形； ③由得到2，解得，，不是直角三角形； ④由得到，解得，，，是直角三角形； ⑤由得到，解得，不是直角三角形； 故选：C． 31．（23-24八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，．则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，根据直角三角形的性质得到，进而得到，则可求出，据此可得结论． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故选：B． 32．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）三个内角之比是，是（    ）． A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形的三个内角的度数之和为180度求出最大的内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵三个内角之比是， ∴三个内角中，最大的内角的度数为， ∴是直角三角形， 故选：D． 33．（16-17七年级下·江西抚州·期中）一个三角形三个内角的度数比是．则这个三角形属于 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查三角形内角和定理及三角形分类，正确记忆三角形的分类和内角和定理是解决本题的关键．三角形三个内角度数的比为，则最大内角的度数是的，然后根据最大的内角判断即可． 【详解】解：这个三角形中最大的内角为， 这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 地 城 考点07 与折叠有关的三角形内角和折叠问题 34．（22-23八年级上·河北保定·期中）如图，在中，点D，E分别在边上，将沿折叠至位置，点A的对应点为F．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据折叠的性质得到，根据平角的定义求出，进而利用三角形内角和定理求出，则． 【详解】解：由折叠的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟知折叠的性质和三角形内角和是180度是解题的关键． 35．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用翻折变换的性质和三角形内角和定理． 通过分析翻折后形成的角与原三角形内角的关系，计算出的度数． 【详解】由题知： ， ， ， ， 故选：A． 36．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，点，分别在，上，，将沿折叠后，使点落在点处．若，则 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了折叠问题以及平行线的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 由由折叠的性质和平行线的性质即可解答题目． 【详解】解：，， ，， 由折叠可得，， ， 故答案为：60． 37．（23-24七年级下·河北沧州·期中）如图，甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙），则的大小为 ． 【答案】120 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据折叠前后对应角相等可得，，结合三角形外角的性质可得，再根据三角形内角和为180度列式求出，即可出． 【详解】解：由折叠得，， 又， ， ， ， ， ， 故答案为：120． 38．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图，其中点在边上，、分别在边、上，分别以、为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点和点． 甲同学的操作如图，其中； 乙同学的操作如图，落在所在直线上； 丙同学的操作如图，落在上，落在上． 【阅读理解】 (1)求出图中的度数； (2)图3中______； (3)求出图中的度数； (4)若折叠后，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了折叠的性质，角度的和差，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠的性质可得，即可求解． （2）根据折叠的性质得，，从而可得，即可求解． （3）根据折叠的性质可得，再由，即可求解． （4）分两种情况：当三角形与三角形不重叠时，当三角形与三角形重叠时，先表示出的度数，再根据和进行求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴； （2）由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 故答案为：； （3）由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴，即； （4）的度数为或．分两种情况进行讨论： 当三角形与三角形不重叠时，如图1所示： 由折叠的性质得：， ∴， ∵，即，， ∴； 当三角形与三角形重叠时，如图2所示： 由折叠的性质得：，， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 综上所述：的度数为或． 地 城 考点08 与平行线有关的三角形内角和 39．（24-25八年级上·山西大同·开学考试）如图，，与的平分线相交于点G，于点E，F为AC上的一点，且，于点H．下列说法：①；②；③；④若，则．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】①中，运用平行线的性质以及三角形的内角和性质列式，化简作答；②中，根据等角的余角相等，得，故；③中，根据三角形的面积公式进行作答；④运用四边形内角和360度以及，得出，再结合角平分线的性质，证明全等，即可作答．此题的综合性较强，运用了平行线的性质、等角的余角相等、四边形的内角和公式、等边对等角、三角形的面积公式、角平分线的概念． 【详解】解：∵ ∴， ∵与的平分线相交于点G， ∴， ∵ ∴； 故①是正确的； ②中，∵ ∴ ∴ 故②是正确的； ， （等底同高）； 故③是正确的； 在四边形中，． 又， 则， 故④是正确的． 故选：A． 40．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，，，是上一点．若，，甲、乙两位同学分别给出了下面的结论，下列判断正确的是（   ） 甲：； 乙：． A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．两人的都正确 D．两人的都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理．解题的关键是利用已知条件求出相关角的度数，并依据角的关系判断直线是否平行． 先根据与的数量关系及度数求出，再由得出判断甲的结论；然后在中用内角和定理求，进而得，通过比较与判断乙的结论． 【详解】∵，， ∴ ． ∵， ∴ ，所以甲的结论正确． 在中，已知，， ∴ ． ， ， ， 所以与不平行，乙的结论错误． 综上，只有甲的正确， 故选：A． 41．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，已知与平行，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形内角和定理，由题意可得，进而根据平行线的性质和三角形内角和定理解答即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵都与地面平行， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与平行， ∴． 42．（20-21七年级下·河北沧州·期中）如图，已知，C为上一点，为上一点，为两平行线间一点，连接，． (1)求证：； (2)若平分，交延长线于点，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是： （1）根据平行线的性质得出，结合可得出，然后根据平行线的判定即可得证； （2）过A作，根据平行线的传递性可得，然后根据平行线的性质以及角的和差关系可得出，设，根据角平分线的定义可求出，然后在中，根据三角形的内角和定理构造关于x的方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过A作， 又， ∴， ∴，， 又， ∴， 设，则， 由（1）知， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 43．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，垂直的定义，三角形内角和定理，掌握以上知识，数形结合分式是关键． （1）根据垂直于同一条直线的两直线相互平行得到，根据内错角相等，两直线平行得到，根据平行于同一条直线的两直线相互平行即可求解； （2）根据垂直的定义得到，根据角平分线的定义，平行线的性质得到，，，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 44．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在同一平面内，直线上摆放着两块大小相同的直角三角板和（，），其中边和重合．将三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上，为与的交点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若图中三块阴影部分的面积之和为6，则一个直角三角板的面积为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)6 【分析】本题考查了图形平移性质、三角形内角和定理以及相关角度和面积的计算．解题关键是利用平移性质得到角与面积的等量关系，结合三角形内角和等知识求解角度与面积． （1）利用平移性质得到对应角相等，进而推出两直线平行，再依据平行线性质得出与已知角相等，结合较大锐角为，求出度数． （2）先由第一问结论得到度数，根据已知度数求出，再在中利用三角形内角和定理求出，从而得出结论． （3）根据平移性质可知，又因为，结合三块阴影部分面积和为，通过面积关系的等量代换，得出一个直角三角板的面积． 【详解】（1）解：是由向左平移得到的 ∵ ， ∴； （2）由（1）可知： ∵ 在中， ； （3）∵三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上， ∴， ∵，三块阴影部分的面积之和为6， ∴， ∴一个直角三角板的面积为6． 故答案为：6． 45．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，四边形的内角的角平分线交于点E，的角平分线交于点F． (1)若，则______；_____； (2)探索与有怎样的数量关系，并说明理由 【答案】(1)220，110 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，利用数形结合，理清角度之间的关系是解题的关键． （1）先根据三角形内角和定理求出，再由角平分线定义得出，，可得；由四边形的内角和为，得出．由角平分线定义与三角形内角和定理可得答案； （2）由四边形的内角和为，由角平分线定义得出，结合三角形内角和定理有，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵、的角平分线交于点F， ∴，， ∴； ∵四边形的内角和为， ∴． ∵四边形的内角、的角平分线交于点E， ∴，， ∴， ∴； （2）．理由如下： ∵， ∵四边形的内角、的角平分线交于点E，、的角平分线交于点F， ∴， ∵，， ∴， ∴． 46．（23-24七年级下·河北廊坊·期中） 【阅读材料】 光的反射定律： 在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内； 反射光线、入射光线分别位于法线两侧； 反射角等于入射角．    【问题解决】 数学兴趣小组的同学利用光的反射定律结合数学知识制作一个简易潜望镜，并画出了潜望镜的工作原理示意图．如图，、是平行放置的两面平面镜，已知光线经过平面镜反射时，有，，求证：； 【尝试探究】 如图2，改变两平面镜、的位置，使点、重合．若平面镜与的夹角，经过两次反射后，，，反射光线与入射光线平行但方向相反，求．    【答案】问题解决：证明见解析：尝试探究： 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，找出角度之间的数量关系是解题关键． 问题解决：由平行线的性质，得到，进而得出，再根据平角的定义，得出，即可证明平行； 尝试探究：由平行的性质，得到，进而得到，再结合，，得出，最后利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】问题解决：证明：， ， ， ， ，， ， ； 尝试探究：解：， ， ，， ， ，， ， ， ， 地 城 考点09 与角平分线有关的三角形内角计算与平行线有关的三角形内角和 47．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，是的边上的高，平分，若，．求和的度数．    【答案】， 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，先由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，进一步求出的度数，即可求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：， ，        平分， ，           是的边上的高， ，            ，          ∴， ， ∴． 48．（20-21八年级上·河南濮阳·期中）如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为30，求的长； (2)当为的角平分线时，若，，求的度数． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查三角形的内角和定理及外角性质、中线、高线和角平分线的性质，熟练掌握三角形相关性质是解答的关键． （1）先根据三角形的中线平分三角形的面积得到，再利用三角形的面积公式求解即可； （2）先根据三角形的内角和定理求得，再利用角平分线的定义和三角形的外角性质求得，进而利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵为边上的中线，的面积为30， ∴， ∵为边上的高，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 49．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，是边上的高，分别是的平分线，且相交于点O，已知． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余： （1）根据角平分线的定义，可得，再由三角形内角和定理可得，即可求解； （2）根据直角三角形两锐角互余可得，再由三角形内角和定理可得，然后根据角平分线的定义，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵分别是的平分线， ∴， ∴． ∵在中，， ∴， ∴． （2）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴． 50．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，的平分线交于点，小琪在写作业时，发现如下规律： ①当时，； ②当时，； ③当时，；    (1)根据上述规律，若，则________； (2)请你用数学表达式归纳出与的关系：________； (3)请证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）利用角平分线的定义得到，，然后利用三角形的内角和定理求出即可； （2）根据所给数据归纳出与的关系即可； （3）利用角平分线的定义得到，，然后利用三角形的内角和定理求出即可证明结论． 【详解】（1）解：在中，， ， ∵，的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）数学表达式归纳出与的关系为， 故答案为：； （3）证明：在中， ， ∵，的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴． 51．（24-25八年级上·河北沧州·期中）阅读下列材料并解答问题：在三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“倍角三角形”．例如：某三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是一个“倍角三角形”．反之，若某三角形是“倍角三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． (1)在中，，判断是否是“倍角三角形”，并说明理由； (2)若某“倍角三角形”有一个角为，求这个“倍角三角形”的最小内角的度数； (3)如图，点在的边上，连接，作的平分线交于点，且．若是“倍角三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)是“倍角三角形”，理由见解析 (2) (3)的度数为或 【分析】本题是三角形综合题，主要考查三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理、角平分线的定义、平行线的判定及性质，弄清定义，数形结合，分类讨论是解题的关键． （1）分别求出的三个内角，再由定义进行判断即可； （2）设最小内角为，另一个内角为，分两种情况讨论：当时，（不符合题意，舍去）；当时，； （3）证明，再分两种情况讨论：当时，；当时，． 【详解】（1）解：是“倍角三角形”， 理由如下： 在中，， ∴， ∴，即， ∴是“倍角三角形”； （2）解：设最小内角为，另一个内角为， 当时，， ∴（不符合题意，舍去）； 当时，则， 解得； 综上所述：最小内角为的度数为； （3）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是“倍角三角形”， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述：的度数为或． 52．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，为钝角，是边上的高，是的平分线．    (1)画出边上的高； (2)若，，求的度数； (3)若，，，求高的长． 【答案】(1)画图见解析； (2) (3) 【分析】本题考查的三角形的高，三角形的角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用； （1）利用三角尺画上的高即可； （2）先求解，，再利用角平分线的定义可得，再结合角的和差关系可得答案； （3）先求解，再把作底边，再列方程求解高即可． 【详解】（1）解：如图，为上的高；    （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （3）∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 53．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，D，E分别是边，上两点，平分，平分． (1)若，，则__________； (2)若，则__________； (3)写出，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，，从而得出，最后由三角形内角和定理计算即可得解； （2）由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，，从而得出，最后由三角形内角和定理计算即可得解； （3）由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，，从而得出，最后由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）解：， ， 平分，平分， ，， ， ； （2）解：， ， 平分，平分， ，， ， ； （3）解：； 理由：， ， 平分，平分， ，， ， ， ，即． 54．（23-24八年级上·河北邯郸·期中）如图1，点P在内，连接，，且．    (1)若，则的度数为 ； (2)求证； (3)将题干中“点P在内”改成“点P在外”，其他条件不变，点P的位置如图2所示． ①若，则的度数为 ； ②如图3，若，分别平分，，直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）直接利用三角形内角和定理计算； （2）分别得出和，再利用变形整理可得； （3）①利用三角形内角和得出，，结合对顶角相等，可得，移项即可得解；②同理可得，利用角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和列出，再逐步代换可得结果． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）证明：由题意可知：， ∵， ∴． ∵，， ∴ ． （3）①∵，， 且， ∴， ∴， ∴；    ②与（3）①同理可得， ∵BO，CO分别平分，， ∴，． 由题意可得： ， 即． 【点睛】本题考查了三角形内角和，对顶角相等，角平分线的定义，等量代换，角的和差，探究型问题． 55．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图1，在中，，的角平分线交于点O，则． 如图2，在中，，的两条三等分角线分别对应交于，，则，则 ． 根据以上阅读理解，如图3、猜想（n等分时，内部有个点）（用n的代数式表示） ． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算等知识．如图2，根据三等分线定义和三角形内角和得到，进而得到再根据三角形内角和定理得到，化简即可得到；如图3，求出，，，，问题得解． 【详解】解：如图2，∵中，的两条三等分角线分别对应交于，， ∴ ， 如图3， ， ， ， ……， ∴ ． 故答案为：， 地 城 考点10 三角形外角性质的应用 56．（23-24八年级上·河北张家口·期中）如图所示是小李绘制的某大桥断裂的现场草图，若，则桥面断裂处的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形的内角和为．也考查了对顶角相等．连接，根据对顶角相等得到，，然后根据三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴． 故选：D． 57．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，平面上直线分别过线段两端点（数据如图），则相交所成的锐角是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．设a,b两条直线交于点A，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：如图，设a,b两条直线交于点A， 由三角形的外角性质得：， 相交所成的锐角的度数是． 故选：D． 58．（24-25七年级下·河北保定·期中）空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化瑰宝”．2006年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．嘉嘉在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质应用，三角形外角的性质，直接利用三角形外角的性质求出，再利用平行线的性质得出即可．准确利用三角形外角性质是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， ，，， ， ， ， 故选：C． 59．（24-25九年级下·河北廊坊·期中）已知射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图，淇淇同学将支架平面镜放置在水平桌面b上，镜面与水平面b的夹角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板a的夹角，反射光束为，则反射光束与平面镜的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查平行线的性质，结合图形求解是解题关键． 过点D作，根据平行线的性质得出，，结合图形求解即可． 【详解】解：过点D作， 根据题意得， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 60．（24-25八年级上·河北保定·期中）某建筑工具是如图所示的人字架，若，则比大（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质．利用三角形的外角性质“三角形的一个外角等于不相邻的两内角之和”求解即可． 【详解】解：如图， ∵，是的外角， ∴， ∴． 故选：B． 61．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，，点，分别在射线，上移动，平分，交于点，平分，的反向延长线与交于点．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：若，则； 结论Ⅱ：无论点，在射线，射线（均不与点重合）上怎样移动，的度数都不变 A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 【答案】B 【分析】本题是三角形综合题，考查了角平分线定义、三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握角平分线定义和三角形的外角性质是解题的关键． 结论Ⅰ：由平分，，可得，可得，再由平分，可得，再判断即可； 结论Ⅱ：由三角形的外角性质得，再由角平分线定义得，，则，然后由三角形的外角性质得，即可得出结论； 【详解】解：结论Ⅰ：平分，， ， ， 平分， ， 故结论Ⅰ错误； 结论Ⅱ：的大小不会变，，理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 即的大小不会变，， 故结论Ⅱ正确． 故选：B． 62．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，的平分线交于点O，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角的平分线交于点E．有下列结论∶①；②；③；④．其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，由角平分线的定义可得，即可判定①；由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定②；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定③；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定④；综合即可得出答案． 【详解】解：∵是的平分线，是的外角的平分线， ∴， 故①正确； ，的平分线交于点， ，， 又∵， ， ， 故②正确； 平分， ， ，，， ， ， ， 故③正确； 如图， ，，， ， 平分，平分，   ，， ， ， 故④正确； 综上正确的有：①②③④． 故选：D． 63．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在中，度，与的平分线交于点，则∠＝ ；∠与∠的平分线交于点，得∠；……∠与的平分线交于点，得∠．则∠＝ ° 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，角平分线的定义，熟知三角形的外角的性质是解答此题的关键． 根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，整理即可求出的度数，同理求出，……，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理可得， …… ∴， ∴， 故答案为：； 64．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，点D在边上． (1)若，求的度数； (2)若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，中线等知识．熟练掌握三角形外角的性质，三角形内角和定理，中线是解题的关键． （1）由题意知，，根据，计算求解即可； （2）由为的中线，可得，由的周长比的周长大3，可得，进而可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵为的中线， ∴， ∵的周长比的周长大3， ∴，即， ∴，即， 解得，， ∴的长为6． 65．（24-25八年级上·河北保定·期中）在中，，平分，点在射线上，连接，点在的延长线上． (1)如图，． ①若，分别求和的度数； ②若直线与的一条边垂直，求的度数； (2)若平分，请直接写出的度数． 【答案】(1)①，；②的度数为，或 (2)的度数为． 【分析】（1）①根据三角形外角的性质可以求出，根据角平分线的定义可以求出，根据平行线的性质可得；②若直线与△的一条边垂直，则要分当时、当时、当时三种情况分类讨论； （2）根据三角形外角的性质和角平分线的定义可知，再利用三角形外角等于与它不相邻的两内角之和可以求出结果． 【详解】（1）解：①，， ； 平分， ， ， ； ②， ， 当时，如下图所示，； 当时，如图，， ； 当时，如图， ． 综上，当直线与△的一条边垂直时，的度数为，或； （2）解：， 平分， ， ， 即的度数为． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质． 66．（24-25八年级上·河北张家口·期中）【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这个三角形为“二倍角三角形”、例如：在中，，，则为“二倍角三角形”． 【理解】若为“二倍角三角形”，，则这个三角形中最小的内角为______； 【应用】已知是“二倍角三角形”中最小的内角，通过计算确定的最大取值； 【拓展】如图，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点G，且，当是二倍角三角形，直接写出的度数． 【答案】[理解]20；[应用] ；[拓展] 或或 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识点，掌握分类讨论思想、方程思想、数形结合思想成为解题的关键． [理解]设的最小，则，然后根据三角形的内角和即可解答； [应用]由是“二倍角三角形”的最小角，不妨假设，则，，由三角形的内角和得，由此可得出，进而解得，据此即可解答； [拓展]先设，再用的代数式表示出，然后根据“二倍角三角形”的定义进行分类讨论即可解答． 【详解】解：[理解] 设的最小，则， ∵，， ∴，解得：． 故答案为：20． [应用] 不妨假设，则，， ∵， ∴，即：， ∵， ∴，解得：， ∴的最大取值为． [拓展] 设， ∵为的平分线， ∴， ∵是是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，解得：， 又∵是二倍角三角形， ∴有以下六种情况： ①当时，则，解得：， ； ②当时，则，解得：，不合题意，舍去； ③当时，则，解得：，不合题意，舍去； ④当时，则，此方程无解； ⑤当时，则，解得：， ∴； ⑥当时，则，解得：， ∴． 综上所述：当或或时，是二倍角三角形． 地 城 考点11 三角形性质的综合应用问题 67．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图1，，是两个互相平行的镜面，根据镜面反射规律：若一束光线照射到镜面上，反射光线为，则一定有．光线是由镜面反射得到． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)调整后镜面的位置如图2，光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜面反射得到，若，且，求和的度数； (3)在（2）的条件下，增添镜面，放在恰当位置，使光线的反射光线平行于镜面，直接写出镜面与镜面的夹角（夹角为锐角）． 【答案】(1)，理由见解析 (2)， (3)或 【分析】此题考查了平行线性质的应用，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和准确作图是关键． （1）证明，即可得到结论； （2）利用平行线的性质和三角形内角和定理进行求解即可； （3）分两种情况画图进行解答即可． 【详解】（1）， 证明∶ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴； （3）如图，过点T作， ∵反射光线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即此时镜面与镜面的夹角为， 如图，可知，， ∴， ∵， ∴， 即此时镜面与镜面的夹角为， 综上可知，镜面与镜面的夹角（夹角为锐角）为或． 68．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图1，已知在平面直角坐标系中，点，点，将线段向右平移4个单位长度至的位置，连接． (1)直接写出点的坐标； (2)如图2，连接，作轴于点，在轴正半轴有一点，作轴交于点，交于点，动点从点开始，以每秒1个单位长度沿射线运动，设时间为秒． ①嘉淇说：“的面积始终是一个定值．”请对嘉淇的说法进行说理，并求出的面积； ②当的面积为时，求的值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)①嘉淇说法正确，的面积是定值为；②， 【分析】本题考查平移性质，点坐标表示，三角形面积公式，已知面积求动点坐标等． （1）根据题意利用平移的性质直接写出平移后的点坐标即可； （2）①根据题意可知的面积为定值，利用面积公式将作为底，点P到距离为高，继而求得面积； ②设点P的坐标为，利用动点三角形面积公式列式继而求出的值即可，继而求出点P的坐标和运动时间． 【详解】（1）解：∵点，将线段向右平移4个单位长度至的位置，连， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①嘉淇说法正确，的面积是定值，证明求值如下： ∵根据题意得，， ∴， ∵动点P从F点开始，以每秒1个单位长度沿射线运动， ∴点P到距离为高，且恒为定值， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴点P到距离为3， ∴； ②∵动点P从F点开始，以每秒1个单位长度沿射线运动， ∴设点P的坐标为， ∵，，点，作轴交于点F，， ∴ ∵的面积为， ∴， 解得：（舍）或， ∴点P的坐标为， ∴t的值为：． 69．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图1和2，在三角形中，，，过点A，N分别作直线和射线且，的平分线交于点D，设（其中），将点A绕M逆时针旋转得到点，当直线与直线不平行时，设与交点为P．（注：三角形内角和为） (1)如图1，当点M在反向延长线上，求； (2)如图2，当时，求的值； (3)用含的代数式表示，直接写出结果； (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查平行线性质，角平分线定义，三角形内角和定理，旋转性质等． （1）根据三角形内角和定理得，利用平行线性质得，利用角平分线性质得，继而得到本题答案； （2）先得到，再由平行线性质得，再利用余角列式即可得到； （3）利用，，即可得到； （4）过点作，继而得，，再列式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵将点A绕M逆时针旋转得到点， ∴， ∴， ∵，，的平分线交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴，即：，解得：； （3）解：∵，， ∴； （4）解：过点作， ， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵将点A绕M逆时针旋转得到点， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：． 70．（23-24七年级下·河北邢台·期中）已知直线，直线与，分别交于点E，F，.将一个直角三角板按如图1所示放置，使点Q，O分别在直线，上，，，，．    (1)若、分别求与的度数； (2)求的度数； (3)将直角三角板沿向右平移． ①如图2，当点Q与点E重合时，若恰好平分，求的值； ②作的平分线，交直线于点G，在整个平移过程中，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)； (2) (3)②或 【分析】（1）根据，可得，再根据补角的定义即可求出；根据可得，再根据补角的定义即可求出； （2）先根据图表示出，，进而根据，可得，即可求解； （3）①根据题意分别表示出，根据三角形内角和定理即可求解；②分情况讨论：当点Q在直线左侧；当点Q在直线右侧，根据平行线的性质和角平分线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴； ∵ ∴ ∴； （2）解：由图可得： ∵，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； （3） ①    解：由图可得： ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵恰好平分， ∴ 在中， 解得：； ②当点Q在直线左侧，    ∵， ∴， ∵ ∴； ∵，平分平分， ∴， ∴； 当点Q在直线右侧，    ∵， ∴， ∵ ∴； ∴ ∵平分平分， ∴ ∵ ∴； 【点睛】本题考查利用平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的性质等．熟练掌握平行线的性质，是解题的关键． 71．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）如图（1），把一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． (1)填空：如图（1），______°，______° (2)如图（2），现把三角尺绕点逆时针方向旋转，当且点恰好落在边上，若恰好是的倍，求的值． (3)按图（1）所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动，设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)120，90 (2)36 (3)存在，或 【分析】本题考查平行线的性质及应用，三角形的外角定理，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用． （1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）根据两直线平行，内错角相等求出，继而表示出，再用三角形外角定理和邻补角可得，，最后根据恰好是的倍列方程，计算可求解； （3）分两种情况，根据画出图形，列方程可解得答案． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∵， ∴，， ∴； 故答案为：120，90； （2）解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵恰好是的倍， ∴， 解得， ∴n的值是； （3）解：存在，理由如下： 如图：由题意，得：，， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图： ∵， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为20或80． 72．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）我们学习了三角形内角和定理得出的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． (1)已知：是的一个外角（如图1）．求证：． 证明：如图2，过点作．（请完成后面的证明） (2)如图3，线段相交于点，连接，我们把形如这样的图形称为“8字型”．请仔细观察该图形，直接写出之间的数量关系． (3)如图4，由线段组成的一个“风筝”形状，运用（2）中得出的数量关系，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】此题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质及角的和差求解即可； （2）根据三角形的内角和定理及对顶角相等即可得到结论； （3）结合（2），根据三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图2，过点C作， ∴， ∵， ∴； （2）解：在图3中，有， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 如图， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴． 73．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）小明将一个含角的直角三角板（其中，，）按如图1所示放置，使得直角三角板的一边落在直线上，过顶点作直线，在的左侧作直线，分别交直线，于点，． (1)的度数为 ； (2)将直角三角板从如图1所示初始位置绕顶点按图中箭头方向转动，且保证点在直线上方．直线，保持初始位置，直线随着点的运动位置发生变化，且保持． ①当点在直线下方时，如图2，试猜想和的数量关系，并说明理由； ②在转动过程中，当直角三角板的一边与直线平行时，求的度数； (3)在（2）的条件下，作平分，作平分，当射线平分时，直接写出与直线所夹锐角的度数． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②的度数为或 (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和等知识是解题的关键． （1）直接利用平行线的性质得到的度数，再根据平角的定义即可得到答案； （2）①设与交于点，由，可得，再利用补角和三角形内角和得出即可； ②由（1）可知，然后分情况讨论：当时；当时；当时；三种情况分别得出结论即可； （3）先找出满足题中给出条件时的图形，利用平分，平分，设，再利用平分和列式求出即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： 如图所示，设与交于点，    ∵， ∴， ∵ ， ∴； ②由（1）可知，， 当时，如图所示，设与交于点，    ∵， ∴， ∵， ∴； 当时，如图所示，    ∵， ∴， ∴； 当时，（舍， 综上，的度数为或； （3）解：当点在直线下方时，如图，    此时在外部，故不存在平分， 当点在直线上方时，如图，    ∵平分，平分， ∴设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴与直线所夹锐角的度数为． 74．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）如图1，在锐角的两边、上分别有一点M和点N，过点M的直线，过点N的直线． (1)当． ①如图2，若，，求∠1的度数； ②直线MH在图2的位置开始绕点M顺时针旋转α度（），与交于点K，当为直角三角形时，直接写出α的度数． (2)如图3，当直线恰好过点M，此时平分，，判断与的位置关系，并说明理由． (3)若MHOB，直线NG与射线OA交于点D，的角平分线与的角平分线交于点E，，，直接写出m，n的关系式． 【答案】(1)①；②或 (2)，见解析 (3)或m 【分析】本题考查了平行线的性质，设计的知识点还有三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）①利用平行线的性质即可求解；②分当和时，两种情况讨论； （2）利用角平分线的定义结合平行线的性质即可证明结论成立； （3）分两种情况讨论，画出图形，利用三角形的外角性质结合平行线的性质即可求解． 【详解】（1）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ②∵，， ∴， 当时， ∴； 当时， ∴，． 综上，a的度数为或． （2），理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （3）当射线与射线交于点D，如图4， ， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， 解得； 当直线与射线交于点D，如图， ，， ， ∴， ∴， ∴， 综上或． 试卷第82页，共85页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $