21.3 实际问题与一元二次方程 讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册
**21.3 实际问题与一元二次方程**
**2025-2026学年人教版数学九年级上册**
课前检测
1．若关于x的方程
是一元二次方程，则同m的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．无法确定
2．若α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）
A．2023 B．2027 C．﹣2023 D．4050
3．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．50（1+x）2＝175 B．50+50（1+x）2＝175
C．50（1+x）+50（1+x）2＝175 D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝175
4．实数a，b是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则多项式ab﹣a﹣b的值为 ．
5．某病毒具有传染性强、传播速度快的特点．若有一个人感染了这种病毒，经过两轮传染后将共有169名感染者．那么在每轮传染中，平均一个人传染了 人．
6．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是43个，设每个枝干长出x小分支，列方程为 ．
7. 已知x＝a是一元二次方程x2﹣2024x﹣3＝0的一个根，求
的值．
8. 已知关于x的方程kx2+（2k﹣3）x+k+2＝0有实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且
，求k的值．
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【模块一：方程与实际问题】
列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为 10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．
如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a （1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
【例1：表格类】一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查，发现进价为
元的新款头盔每月的销售量
（件）与售价
（元）的相关信息如下：
售价 |
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销售量 |
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(1)试用你学过的函数来描述与的关系，这个函数可以是 （填“一次函数”或“二次函数”），写出这个函数解析式为 ；
(2)若物价局规定，该头盔售价不得超过
元，不得低于进价，当售价为多少元时，利润达到
元．
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【练1】某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x元．
（1）根据题意，填表：
| 每件利润（元） | 销售量（件） | 利润（元） |
降价前 | 44 | 20 | 880 |
降价后 | ① | ② |
|
（2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？
【例2：分段类】（湖北宜昌·期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度
元交费．
(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示）
(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少．
月份 | 用电量/度 | 交电费总数/元 |
2月 | 80 | 25 |
3月 | 45 | 10 |
【练2】某景区商店销售一种进价为18元/件的纪念品，销售过程中发现，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系为y＝﹣10x+600．已知销售单价不低于进价，且不高于30元．设商店每月销售该纪念品获得的利润为w（单位：元）．
（1）求利润w与销售单价x之间的函数解析式以及销售单价x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，该商店每月销售该纪念品可获得最大利润？最大利润是多少？
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