2.1.2两条直线平行和垂直的判定学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦于直线平行与垂直的判定，以问题驱动为主线，通过“自学导引—应用举例—随堂检测”三阶递进结构搭建学习支架。从斜率关系出发，逐步延伸至斜率不存在时的特殊情况，再过渡到几何图形中的综合应用，逻辑清晰，层层深入，有效衔接旧知与新知。 本资料突出数学核心素养的融合培养，体现“抽象能力”“推理意识”和“应用意识”的有机统一。例题设计由浅入深，注重从现实情境中提炼数学问题，如四边形形状判断、三点共线验证等，强化学生用数学语言表达空间关系的能力。习题设置紧扣课标要求，既训练基本技能又发展思维品质，帮助学生在真实问题解决中形成理性思考习惯，提升数学建模与逻辑推理水平。

高二数学导学案 第二章 直线和圆的方程 2.1.2两条直线平行和垂直的判定 一、学习目标： 1.掌握两条直线平行的判定条件，能根据直线的斜率判断两条直线是否平行 2.掌握两条直线垂直的判定条件，能根据直线的斜率判断两条直线是否垂直 3.理解斜率不存在时，两条直线平行或垂直的特殊情况，能综合运用平行、垂直的判定解决简单问题 三、问题导学： （一）自学导引 问题1：如何确定两条直线是否平行和垂直？ 问题2：当有一条直线斜率不存在时，如何判断两条直线的位置关系 （2） 新知导航： 知识点一 两条直线平行的判定 1.两条直线平行的判定：对于斜率分别为，的两条直线，，有__________. 当两条直线的倾斜角均为时，直线的斜率不存在，此时__________. 若直线，重合，此时仍然有________________. 知识点二 两条直线垂直的判定 1.两条直线垂直的判定：如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于__________；反之，如果两条直线的斜率之积等于，那么它们__________________.即__________. （三）应用举例 例1：已知，，，，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论. 【答案】，证明见解析. 【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线平行 【分析】根据两条直线的斜率求得正确答案. 【详解】由已知可得直线的斜率， 直线的斜率，因为， 由图可知：直线.      跟踪训练1：已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【知识点】由斜率判断两条直线平行 【分析】根据直线的斜率来进行判断. 【详解】， 由图可知不共线，所以． 故选：B: 例2：如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【答案】平行四边形，证明见解析. 【知识点】直线平行、垂直的判定在几何中的应用 【分析】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状. 【详解】由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，. 因此四边形是平行四边形. 跟踪训练2：四边形的四个顶点是，，，，则四边形为（　　） A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．直角梯形 【答案】D 【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直 【分析】分别求出四边形四条边所在直线的斜率，利用对边和邻边斜率之间的关系从而确定直线的位置的关系，最后确定四边形的形状即可. 【详解】由， ，，， ，， ，与不平行， 则四边形为梯形， 又 ， 四边形为直角梯形， 故选：D.: 例3:已知，，，，试判断直线与的位置关系. 【答案】. 【知识点】由斜率判断两条直线垂直 【分析】通过计算得到，由此作出判断. 【详解】直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以. 跟踪训练3：（1）已知，，，判断，，三点是否在同一条直线上； （2）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直. 【答案】（1）三点在同一直线上； （2）与互相垂直 【知识点】由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直 【分析】（1）计算可得，可得结论； （2）计算可得，可得结论. 【详解】（1）因为，，， 所以，又直线均过点， 所以点三点在同一条直线上； （2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 因为直线经过，两点，所以， 所以，所以与互相垂直. （3） 随堂检测 1.已知，为两条不重合的直线，则下列说法中错误的为（   ） A．若，的斜率相等，则，平行 B．若，则，的倾斜角相等 C．若，的斜率乘积等于，则，垂直 D．若，则，的斜率乘积等于 【答案】D 【知识点】由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直 【分析】由两直线斜率相等可得平行，选项A正确；由两直线平行可得倾斜角相等，选项B正确；由两直线斜率之积等于可得两直线垂直，选项C正确；当两直线垂直时，其中一条直线斜率可能不存在，选项D错误. 【详解】根据两直线的位置关系可知若，斜率相等且不重合，则，平行，A正确. 由，可得，的倾斜角相等，B正确. 由，的斜率乘积等于，可得，垂直，C正确. 当与轴平行，与轴平行时，，但直线的斜率不存在，D错误. 故选：D. 2.已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【知识点】直线斜率的定义、已知两点求斜率、由斜率判断两条直线平行 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 即，所以或重合. 故选：A 3.以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【知识点】由斜率判断两条直线垂直 【分析】求出直线和的斜率，判断出，进而可得结果. 【详解】因为 ， 所以 , 故 因此该三角形为直角三角形. 故选：B. 4.若直线，且直线的倾斜角为，则直线的斜率为 ． 【答案】 【知识点】直线的倾斜角、直线平行、垂直的判定在几何中的应用 【分析】根据倾斜角和斜率的关系求得正确答案. 【详解】由题得直线与的倾斜角相等， 直线的倾斜角为，则直线的斜率为． 故答案为： 四、小结与反思 本节课你学会了哪些知识？可以解决哪些问题？还有哪些收获呢？ [作者姓名] 2 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学导学案 第二章 直线和圆的方程 2.1.2两条直线平行和垂直的判定 一、学习目标： 1.掌握两条直线平行的判定条件，能根据直线的斜率判断两条直线是否平行 2.掌握两条直线垂直的判定条件，能根据直线的斜率判断两条直线是否垂直 3.理解斜率不存在时，两条直线平行或垂直的特殊情况，能综合运用平行、垂直的判定解决简单问题 三、问题导学： （一）自学导引 问题1：如何确定两条直线是否平行和垂直？ 问题2：当有一条直线斜率不存在时，如何判断两条直线的位置关系 （2） 新知导航： 知识点一 两条直线平行的判定 1.两条直线平行的判定：对于斜率分别为，的两条直线，，有__________. 当两条直线的倾斜角均为时，直线的斜率不存在，此时__________. 若直线，重合，此时仍然有________________. 知识点二 两条直线垂直的判定 1.两条直线垂直的判定：如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于__________；反之，如果两条直线的斜率之积等于，那么它们__________________.即__________. （三）应用举例 例1：已知，，，，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论.      跟踪训练1：已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 例2：如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    跟踪训练2：四边形的四个顶点是，，，，则四边形为（　　） A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．直角梯形 例3:已知，，，，试判断直线与的位置关系. 跟踪训练3： （1）已知，，，判断，，三点是否在同一条直线上； （2）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直. （3） 随堂检测 1.已知，为两条不重合的直线，则下列说法中错误的为（   ） A．若，的斜率相等，则，平行 B．若，则，的倾斜角相等 C．若，的斜率乘积等于，则，垂直 D．若，则，的斜率乘积等于 2.已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 3.以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 4.若直线，且直线的倾斜角为，则直线的斜率为 ． 四、小结与反思 本节课你学会了哪些知识？可以解决哪些问题？还有哪些收获呢？ [作者姓名] 2 学科网（北京）股份有限公司 $