专题02 代数式、整式题型全归纳 2025-2026学年苏科版七年级上学期数学同步培优题型全归纳

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1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 1． 名师点拨 · 正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： “两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； “两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关． · 所有的常数项都是同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 名师点拨 合并同类项法则简记：系数相加减，其它都不变． 知识点5：去括号法则 1.去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 名师点拨 （1）括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2）括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 2.添括号法则： （1）添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变； （2）添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 知识点6：单项式 1.单项式的概念：数与字母的乘积，叫作单项式； 名师点拨 （1）单项式包括三种类型： · 数与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子； · 单独的一个数； · 单独的一个字母． （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算． 例如：或也是单项式，但分母中含有字母的不可以，如不是单项式，因为它不能写成数字与字母的乘积形式． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 名师点拨 （1）圆周率π是常数．单项式中出现π时，算作系数； （2）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． 3.单项式的次数：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 名师点拨 （1）没有写指数的字母，实际上指数是1，请勿遗漏； （2）计算单项式的次数时，数字上的指数不能算． 知识点7：多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 名师点拨 （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 名师点拨 多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数，不要与单项式的次数混淆． 知识点8：整式的概念及运算 1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式． 名师点拨 （1）整式包括单项式、多项式两种，也就是说一个式子如果时整式，那它要么是单项式，要么时多项式；如果一个式子是单项式，或是多项式，那它一定是整式． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式，更不可能是单项式或多项式． 2.整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 名师点拨 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，“减数”一定要用括号“装”起来． （3）整式加减的最后结果的检查： · 要合并到不能再合并为止； · 一般按照某一字母的降幂或升幂排列； · 不能出现带分数． 【考点01 代数式的意义】 1．（23-24七年级上·江苏南通·期中）单项式的意义可以是（   ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）下列代数式的意义错误的是（ ） A．的意义是的倍与的和 B．的意义是与的差的两倍 C．的意义是与的和除以的商 D．的意义是的三次方，的三倍，与的和 3．（24-25七年级上·河北衡水·期中）下列代数式的意义表示错误的是（   ） A．表示与的和 B．表示与和的平方 C．表示9减去的所得的差 D．表示除以所得的商 4．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）关于代数式表示的意义，下列说法正确的是（   ） A．若表示一支铅笔的价格，表示一块橡皮的价格，则代数式表示买3支铅笔和8块橡皮共花了多少钱 B．若长方形的长为，宽为8，正方形的边长为，则代数式表示一个长方形的面积与3个正方形的面积差 C．汽车每小时行驶千米，火车每小时行驶千米，则代数式表示火车行驶3小时比汽车行驶8小时少行驶的路程数 D．小米每千克元，大米每千克元，则代数式表示买8千克大米比买3千克小米少花的钱数 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）用字母表示的代数式是具有一定意义的，下列赋予实际意义的例子中错误的是（   ） A．若水果的价格是4元/千克，则表示买a千克该水果的金额 B．若三角形的一边长为2，面积为，则表示这条边上的高 C．汽车行驶速度是a千米/小时，则表示这辆汽车行驶4小时的路程 D．若a表示某工程队每天的工作量，则表示该工程队4天的工作总量 【考点02 判断代数式的书写是否规范】 6．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）下列代数式中，符合书写格式的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列式子，符合代数式书写规范的是（   ） A．元 B． C． D． 8．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）下列各式中，书写正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）下列式子，符合代数式书写规范的是（    ） A．元 B． C． D． 10．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）下列代数式中，符合代数式书写要求的有（    ） ①   ②   ③   ④千米 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点03 单项式、多项式的概念 11．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）下列判断正确的是（   ） A．多项式的次数是2 B．单项式的次数是7 C．的常数项为3 D．的系数是 12．（24-25七年级上·江苏南通·期中）下列说法正确的是（  ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是3 C．是四次三项式 D．与是同类项 13．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下列说法中正确的是（    ） A．多项式是二次二项式 B．单项式的系数、次数都是1 C．多项式的次数是7 D．单项式的系数为，次数为3 14．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如果多项式是关于的二次三项式，则 ． 15．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）多项式的次数是 ． 考点04 同类项的概念与合并 16．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级上·江苏常州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 考点05 整式的加减运算 21．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）计算： (1) (2) 22．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）化简： (1)； (2)． 23．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）化简： (1) (2) 24．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）化简： (1) (2) 25．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）化简： (1)； (2)． 考点06 整式的化简求值 26．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）先化简再求值：，其中． 27．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）先化简，再求值：，其中． 28．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）先化简，再求值：，其中，． 29．（24-25七年级上·江苏常州·期中）先化简，再求值：求的值，其中． 30．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）求的值，其中，． 考点07 整式的加减实际应用——面积问题 31．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）华为公司是世界500强企业，是中国人的骄傲，作为世界通讯领域的龙头企业，其生产的手机一直保持“遥遥领先”；如图是其某款手机后置摄像头模组．其中大圆的半径为，中间小圆的半径为，4个半径为的高清圆形镜头分布在两圆之间． (1)请用含的式子表示图中阴影部分的面积； (2)当时，求图中阴影部分的面积． 32．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图是一块长方形花园，内部修有两个凉亭及过道，其余部分种植花圃（阴影部分）． (1)用整式表示花圃的面积； (2)若米，修建花圃的成本是每平方米80元，求修建花圃所需费用． 33．（24-25七年级上·江苏南京·期中）窗户的窗帘（阴影部分）设计有如下两种方案： 第一种方案：如图①，窗帘有两个半径相同的四分之一圆组成； 第二种方案：如图②，窗帘有半径相同的一个半圆和两个四分之一圆组成． (1)用代数式表示图①中窗帘的面积为_________；若，则窗帘的面积为_________（结果保留）． (2)请比较两种设计方案，哪一种射进阳光的面积更大？说明理由． 34．（24-25七年级上·江苏南京·期中）从一张大长方形纸片中剪去一个小长方形，剩下纸片的尺寸如图所示． (1)列两个不同的算式表示剩下纸片的面积，并在图中作必要标注； (2)任选一个上述算式进行化简． 35．（24-25七年级上·江苏南京·期中）如图①，在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠成如图②的一个无盖长方体纸盒． (1)若图②中长方体的长、宽、高分别为、、，那么图①中长方形纸片的面积是 ． (2)类似的，甲、乙两位同学分别用长方形纸片，通过裁剪与折叠，得到两个等高的无盖长方体纸盒；其中纸盒的长是纸盒的长的2倍，纸盒的宽是纸盒的宽的倍．试比较甲、乙两位同学所用长方形纸片面积的大小． 考点08 整式的加减实际应用——购物问题 36．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）小华一家计划元旦期间去某城市旅游，准备在某平台提前购买两个景点的门票，两个景点门票的原价分别为元，元．该平台现有两种购票优惠活动． 活动：原价购买景点门票一张，则可以享受折（即原价乘）购买景点门票一张的优惠； 活动：同时购买两个景点门票各一张，则可以享受每张都打折（即原价乘）的优惠． (1)若购买两个景点门票各一张，活动票价共计__________元，活动票价共计__________元；（用含的代数式表示） (2)小华计算后发现，若购买两个景点门票各一张，活动比活动的票价共计便宜元，求的值． 37．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）毕业季，某文具批发店购进足够数量的甲、乙两种纪念册，已知每天两种纪念册的销售量共300本，两种纪念册的成本和售价如表： 纪念册 成本（元/本） 售价（元/本） 甲 12 16 乙 15 18 设每天销售甲种纪念册x本． (1)用含x的代数式表示该批发部每天销售这两种纪念册的成本，并化简； (2)当时，求该文具批发店每天销售这两种纪念册获得的利润． 38．（24-25七年级上·江苏南通·期中）李明购买了甲、乙两个品牌的衬衣若干件，其中甲品牌衬衣买了n件，乙品牌衬衣比甲品牌衬衣多买了5件．已知甲品牌衬衣每件100元，乙品牌衬衣每件80元，则李明共需付款多少元？（结果用含n的代数式表示） 39．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）连云港是中国紫菜之乡，如图，某紫菜有限公司有和C三个养殖基地，在公路边的同一直线上，两地相距25千米，两地相距60千米，在紫菜生产季节，A基地日产紫菜50吨，B基地日产紫菜10吨，C基地日产紫菜60吨，要在这条公路沿线修建一个紫菜加工厂加工这些紫菜．若从A基地运往C基地方向的运费是每吨每千米1.5元，从C基地运往A基地方向的运费是每吨每千米1元． (1)若把紫菜加工厂建在线段的中点位置，请你计算此时每天的总运费是多少元？ (2)若把加工厂建在两村之间，且距离B村x千米处；用含x的代数式表示此时的总运费； (3)若把加工厂建在两地之间，且距离A地x千米处；用含x的代数式表示此时的总运费；请你通过分析比较，紫菜加工厂应该建在何处才能使总运费最低？ 40．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）某野生动物园门票价格为60元/张，并推出了两种购票方案，且两种方案不能同时使用． 方案一 当团购门票数不超过40张时，无优惠； 当团购门票数超过40张时，超过的部 分每张优惠10元． 方案二 爱心捐款认养小动物，每捐款500元，则 所购门票每张优惠2元；且捐款额必须为 500的整数倍，最多捐款5000元． 设某旅游团一次性购买门票x张（x为正整数）． (1)如果选择方案一，求该旅游团购买门票的费用； (2)如果选择方案二，该旅游团爱心捐款m个500元（m为正整数）． ①该旅游团一共需要花费的总费用为______元（用含m，x的代数式表示）； ②当时，无论x取什么值，都存在一个正整数m，使选择方案二的总费用始终比选择方案一的费用多某个固定值，则m的值为______，固定值为______． 考点9 整式的加减实际应用——数轴上的动点问题 41．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示b，C点表示数c，且a，c满足． (1) ， ； (2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数 表示的点重合． (3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．则 ， ， ．（用含t的代数式表示） (4)请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 42．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足． (1) ； ； (2)动点P，Q分别从点A，点B同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度． ①t秒时，点P表示的数是 ，点Q表示的数是 ． ②动点P，Q分别从点A，点B出发的同时，动点R也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒n（n＞1）个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为．设运动时间为t秒，请问：是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此n值和这个定值；若不存在，请说明理由． 43．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）在一条笔直的东西走向的公路上有四个村庄，若把这条马路看成一条数轴，以乙村庄为原点，甲村庄在乙村庄的左侧千米，丙村庄在乙村庄的右侧千米，丁村庄在乙村庄的右侧千米处． (1)若，请你求丙、丁两个车站的距离； (2)若，小明沿着公路从甲村走到丁村，又回到丙村，请你求出小明一共走了多少路程． 44．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴A和数轴B模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴A上表示2的点与数轴B上表示3的点恰好对齐． (1)图1中，数轴B上表示12的点与数轴A上表示 的点对齐，数轴A上表示的点与数轴B上表示 的点对齐； (2)如图2，将图中的数轴B向左移动，使得数轴B的原点与数轴A表示的点对齐，则数轴A上表示8的点与数轴B上表示 的点对齐，数轴B上距离原点12个单位长度的点与数轴A上表示 的点对齐； (3)若数轴A上表示2n的点与数轴B表示3m的点对齐，则数轴A上表示的点与数轴B上表示 的点对齐，数轴B上距离原点个单位长度的点与数轴A上表示 的点对齐．（用代数式表示） 45．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）操作发现： 操作一：如图1，已知点，所表示的数分别为，，将点绕点旋转得到点，此时点所表示的数为，我们称点是点关于点的映射点；记作： ， 或 ； 操作二：如图2，已知点和线段，将点，绕同一点旋转，使点和点重合，此时点所对应的点用表示，我们称点是点关于线段的映射点；记作： ；如： ； (1)利用图3，图4，直接填空： ； ； (2)若，两点所表示的数分别是，，，求点所表示的数；用含，的代数式表示 (3)点表示的数为，点与点的距离为，点是数轴上一动点，且 ， ．点在运动过程中，，两点之间的距离是否变化，如果不变，请求出这个值；如果变化，请说明理由． 考点10 整式的运算与新定义问题 46．（24-25七年级上·江苏南通·期中）定义：如果两个有理数，满足，则称，为一对“相随数”．已知有理数，为一对“相随数”，若，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 47．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取， 则 若，则第2025次“运算”的结果是（    ） A．488 B．1 C．4 D．8 48．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）定义一种关于整数n的“X”运算： （1）当n是奇数时，结果为； （2）当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经X运算是29，第二次经X运算是92，第三次经X运算是23，第四次经X运算是74，…；若，则第2025次X运算结果是（　） A．1 B．2 C．7 D．8 49．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“友好多项式”，这个常数称为它们的“友好值”．如与互为“友好多项式”，它们的“友好值”为7． (1)下列各组多项式互为“友好多项式”的是________（填序号）； ①与 ②与 ③与 (2)若多项式与多项式（，为常数）互为“友好多项式”，①求、的值；②求多项式、的“友好值”． 50．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）定义：若一个多项式的各项系数之和为的整数倍，则称这个多项式为“卓越多项式”． 例如：多项式的系数和为，所以多项式是“卓越多项式”． 请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“卓越多项式”的是________．（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于，的“卓越多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“卓越多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 考点11 利用整体思想求代数式的值问题 51．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）若、互为相反数，、互为倒数，，是最大的负整数， (1)填空：_____，_____，_____，=______； (2)求的值． 52．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）已知有理数a、b互为倒数，c、d互为相反数，e的绝对值为4，求代数式的值． 53．（24-25七年级上·江苏南通·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如图所示是老师安排的作业题． 代数式的值为，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以所以代数式的值为． 方法运用： (1)若代数式的值为，代数式的值； (2)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值； 拓展应用： (3)若，，求的值． 54．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知，互为倒数，，互为相反数，． (1)根据已知条件回答：______，______，______； (2)求的值． 55．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）“整体思想”是一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛；例如，把看成一个整体，则． (1)已知，求的值： (2)已知，，求的值． 考点12 整式的运算与找规律问题 56．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）下列图形都是有几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有1个白色正方形，图②中有4个白色正方形，图③中有7个白色正方形，图④中有10个白色正方形，…，按此规律，图⑩中白色正方形的个数是（    ） A．32 B．29 C．28 D．26 57．（23-24七年级上·江苏·周测）用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按下图方式拼正方形． 第（1）个图形中有1个小正方形，第（2）个图形比第（1）个图形多3个小正方形，第（3）个图形比第（2）个图形多5个小正方形，以此类推第个图形比第个图形多（    ）个小正方形． A． B． C． D． 58．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）观察下列一组图形中点的个数，其中第①个图形中共有4个点，第②个图形中共有12个点，第③个图形中共有24个点，按此规律，第⑩个图形有 个点． 59．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）在课本第三章的章头活动中有一个用火柴棒搭“小鱼”的问题，具体搭建的方式如下图．小明认真观察后发现：第1条“小鱼”用8根火柴棒，后面每增加1条“小鱼”增加6根，那么搭n条“小鱼”就需要根火柴棒．同班同学小华说“我有不一样的想法”，小华发现第1条“小鱼”由鱼尾2根和其他6根火柴棒搭成，后面每增加1条“小鱼”就多6根，那么站在小华的视角，搭n条“小鱼”共需根火柴棒的根数为 ．（用含有n的代数式表示） 60．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，用形状和大小一样的四边形图案摆出下列一组图形： (1)摆出第1个图形要用4个四边形图案，摆出第2个图形要用______个四边形图案，摆出第3个图形要用________个四边形图案． (2)按照这种方式摆下去，第n个图形要用_____________（用含n的代数式表示）个四边形图案组成． (3)摆出第2024个图形要用多少个四边形图案？ 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．代数式的正确解释是（   ） A．a的平方与b的倒数的差 B．a与b的倒数的差的平方 C．a的平方与b的差的倒数 D．a与b的差的平方的倒数 2．下列式子中，符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各组代数式中是同类项的是（   ） A．a与 B．与 C．与 D．与 4．下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列各式中与多项式不相等的是（    ） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（    ） A．单项式的系数是，次数是3 B．单项式a的系数是0，次数是1 C．多项式的常数项是1 D．多项式的次数是3 7．一个多项式与的和是，则这个多项式为（　　） A． B． C． D． 8．已知，则代数式的值为（　 ） A． B． C． D． 9．把四张形状完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（   ）． A． B． C． D． 10．已知多项式，若多项式与字母的取值无关，则的值是（       ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．化简： ． 12．单项式的次数是 ，系数是 ． 13．多项式是关于x的二次三项式，则m的值为 ． 14．如图，一些点组成形如三角形的图案，如果图形的每条“边”上有n（）个点（包括两个顶点），那么这个图形中点的总数记为S，当时，则S的值是 15．把错写成了，结果比原来 （多或少几）． 16．对于有理数a，b，定义，则化简后得 ． 17．如图，个完全相同的小长方形刚好拼成一个大长方形，若小长方形的宽为，则大长方形的周长是 ． 18．如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则代数式 ． 19．下列式子：，，，，，，，其中属于单项式的是 ，属于多项式的是 ，属于整式的是 ． 20．我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，例如：在图1中，即，若满足，则图2中y的值为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共50分） 21．(本题10分)化简 (1)； (2)． 22．(本题10分)先化简，再求值． (1)已知多项式，，求的值，其中． (2)若有理数a、b满足求多项式． 23．(本题10分)综合与实践 现有三个边长分别为3，4，5的正方形卡片（如图1），分别记为，，，还有一个两边长分别为的长方形． 数学思考 （1）如图2，将放入长方形中，用含的代数式表示阴影部分的面积：___________．当，时，阴影部分的面积为___________． 深入探究 （2）将，两张卡片按图3所示的方式（和部分重叠）放置在长方形中，求阴影部分的面积（用含的代数式表示）． （3）将，，三张卡片按图4所示的方式（和II不重叠，和部分重叠，）放置在长方形中，求左上角阴影部分与右下角阴影部分周长的差，勤学小组成员认为缺少与的值无法计算，善思小组成员则认为不需要与的值也能计算，哪一个小组成员的说法正确？请说明理由． 24．(本题10分)某文具店销售两种笔记本，A种笔记本每本售价x元，B种笔记本每本售价y元． (1)小明买3本A种笔记本和2本B种笔记本，一共需要花费多少元（用含x、y的代数式表示）？ (2)若，且商店推出 “满20减3元” 的活动，求小明购买上述笔记本实际需要支付的金额； (3)若A种笔记本售价提高2元，B种笔记本售价降低1元，买4本A种笔记本和1本B种笔记本的总费用是否变化？请说明理由． 25．(本题10分)定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com 2025-2026学年七年级上学期数学同步培优 ——重点、热点、难点题型全归纳 2025-2026学年七年级上学期（2024苏科版） 专题02 代数式、整式 - 1 - - 4 - 【考点01 代数式的意义】 - 4 - 【考点02 判断代数式的书写是否规范】 - 4 - 考点03 单项式、多项式的概念 - 7 - 考点04 同类项的概念与合并 - 9 - 考点05 整式的加减运算 - 11 - 考点06 整式的化简求值 - 13 - 考点07 整式的加减实际应用——面积问题 - 16 - 考点08 整式的加减实际应用——购物问题 - 18 - 考点9 整式的加减实际应用——数轴上的动点问题 - 24 - 考点10 整式的运算与新定义问题 - 36 - 考点11 利用整体思想求代数式的值问题 - 41 - 考点12 整式的运算与找规律问题 - 41 - 知识点1：代数式的概念 1.代数式：用运算符号把数和字母链接而成的式子叫做代数式。 单独一个数或一个字母也是代数式； 知识点2：代数式的书写要求 1.代数式的书写有以下要求： （1）数与字母相乘或字母与字母相乘，乘号通常用“· ”代替或者省略不写； （2）除法运算中，用分数线代替除号“÷”； （3）数字1或-1作为数字系数时，“1”通常省略不写； （3）带分数一般写成假分数； （4）代数式后面带有单位的，要用括号括起来。 知识点3：代数式的值概念及求法 1.代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。 名师点拨 · 当字母取不同的值时，代数式的值一般也不同； · 一个代数式中有多个不同的字母时，字母和其所取的数值要对应． 2.代数式的值求法一般有两种常用的： · 直接带入法：把字母用对应的数值代替，然后进行计算； · 整体代入法：已知条件中给的如果不是字母的值，而是方程或其他形式，一般都需要采用整体代入法，首先将所求代数式变形，变成含有所给条件的形式，然后再代入求值。 知识点4：同类项的概念 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 1． 名师点拨 · 正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： “两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； “两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关． · 所有的常数项都是同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 名师点拨 合并同类项法则简记：系数相加减，其它都不变． 知识点5：去括号法则 1.去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 名师点拨 （1）括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2）括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 2.添括号法则： （1）添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变； （2）添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 知识点6：单项式 1.单项式的概念：数与字母的乘积，叫作单项式； 名师点拨 （1）单项式包括三种类型： · 数与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子； · 单独的一个数； · 单独的一个字母． （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算． 例如：或也是单项式，但分母中含有字母的不可以，如不是单项式，因为它不能写成数字与字母的乘积形式． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 名师点拨 （1）圆周率π是常数．单项式中出现π时，算作系数； （2）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． 3.单项式的次数：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 名师点拨 （1）没有写指数的字母，实际上指数是1，请勿遗漏； （2）计算单项式的次数时，数字上的指数不能算． 知识点7：多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 名师点拨 （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 名师点拨 多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数，不要与单项式的次数混淆． 知识点8：整式的概念及运算 1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式． 名师点拨 （1）整式包括单项式、多项式两种，也就是说一个式子如果时整式，那它要么是单项式，要么时多项式；如果一个式子是单项式，或是多项式，那它一定是整式． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式，更不可能是单项式或多项式． 2.整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 名师点拨 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，“减数”一定要用括号“装”起来． （3）整式加减的最后结果的检查： · 要合并到不能再合并为止； · 一般按照某一字母的降幂或升幂排列； · 不能出现带分数． 【考点01 代数式的意义】 1．（23-24七年级上·江苏南通·期中）单项式的意义可以是（   ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【答案】C 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查了代数式的意义，把每一项的意义用代数式表达出来，与题干一致的代数式即为正确答案，据此作答． 【详解】解：A、与x的和，即，不符合题意，故该选项是错误的； B、与x的差，即，不符合题意，故该选项是错误的； C、与x的积，即，符合题意，故该选项是正确的； D、与x的商，即，不符合题意，故该选项是错误的； 故选：C 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）下列代数式的意义错误的是（ ） A．的意义是的倍与的和 B．的意义是与的差的两倍 C．的意义是与的和除以的商 D．的意义是的三次方，的三倍，与的和 【答案】C 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查代数式与文字描述之间的对应关系，逐一分析各选项的表达式及其意义是否一致即可. 【详解】解：选项A：表示x的2倍与3的和，描述正确； 选项B：表示x与3的差的两倍，即先求差再乘2，描述正确； 选项C：的代数式是x与y的乘积除以2，而选项中描述为“x与y的和除以2”，混淆了“乘积”与“和”，描述错误； 选项D：表示a的三次方、a的三倍与2的和，描述正确； 综上，错误的选项为C， 故选：C 3．（24-25七年级上·河北衡水·期中）下列代数式的意义表示错误的是（   ） A．表示与的和 B．表示与和的平方 C．表示9减去的所得的差 D．表示除以所得的商 【答案】B 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】根据代数式的意义，判断解答即可． 本题考查了列代数式，代数式的意义，熟练掌握代数式的意义是解题的关键． 【详解】解：A. 表示与的和，本选项正确，不符合题意；     B. 表示的平方与的平方的和，本选项错误，符合题意； C. 表示9减去的所得的差，本选项正确，不符合题意；     D. 表示除以所得的商，本选项正确，不符合题意； 故选：B． 4．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）关于代数式表示的意义，下列说法正确的是（   ） A．若表示一支铅笔的价格，表示一块橡皮的价格，则代数式表示买3支铅笔和8块橡皮共花了多少钱 B．若长方形的长为，宽为8，正方形的边长为，则代数式表示一个长方形的面积与3个正方形的面积差 C．汽车每小时行驶千米，火车每小时行驶千米，则代数式表示火车行驶3小时比汽车行驶8小时少行驶的路程数 D．小米每千克元，大米每千克元，则代数式表示买8千克大米比买3千克小米少花的钱数 【答案】C 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查代数式的意义，理解代数式的意义是解题关键．根据代数式表示实际意义的方法逐项判断即可． 【详解】解：A、若x表示一支铅笔的价格，y表示一块橡皮的价格，则代数式表示8只铅笔比3块橡皮多花了多少钱，故本选项错误； B、若x表示长方形的长，8表示长方形的宽，y表示正方形的边长，则代数式表示一个长方形的面积与1个正方形的三边长的差，故本选项错误； C、汽车每小时行驶x千米，火车每小时行驶y千米，则代数式表示火车行驶3小时比汽车行驶8小时少行驶的路程数，故本选项正确； D、小米每千克x元，大米每千克y元，则代数式表示为买8千克小米比买3千克大米多花的钱数，故本选项错误． 故选：C． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）用字母表示的代数式是具有一定意义的，下列赋予实际意义的例子中错误的是（   ） A．若水果的价格是4元/千克，则表示买a千克该水果的金额 B．若三角形的一边长为2，面积为，则表示这条边上的高 C．汽车行驶速度是a千米/小时，则表示这辆汽车行驶4小时的路程 D．若a表示某工程队每天的工作量，则表示该工程队4天的工作总量 【答案】B 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查了代数式，掌握代数式的书写规范和实际问题中数量间的关系是解答本题的关键． 根据代数式表示的实际意义的方法分别判断每个选项，从而得出答案． 【详解】解：、若水果的价格是元/千克，则表示买千克该水果的金额，此说法正确，故不符合题意； 、若三角形的一边长为2，面积为，则不能表示这条边上的高，选项中说法不正确，故符合题意； 、汽车行驶速度是千米/小时，则表示这辆汽车行驶小时的路程，此说法正确，故不符合题意； 、若a表示某工程队每天的工作量，则表示该工程队4天的工作总量，此说法正确，故不符合题意． 故选：B． 【考点02 判断代数式的书写是否规范】 6．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）下列代数式中，符合书写格式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】代数式书写方法 【分析】】本题考查了代数式的书写格式，熟练掌握代数式的书写要求是解答本题的关键．根据代数式的书写要求逐项分析即可． 【详解】解：A．应为，故不符合书写格式；     B．应为，故不符合书写格式；     C．应为，故不符合书写格式；     D．，符合书写格式； 故选D． 7．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列式子，符合代数式书写规范的是（   ） A．元 B． C． D． 【答案】B 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查代数式的书写习惯，掌握代数式的书写习惯是解题的关键．根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：选项A正确的书写格式是元， 选项B正确， 选项C正确的书写格式是， 选项D正确的书写格式为， 故选：B． 8．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）下列各式中，书写正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式的书写要求，熟知代数式的书写要求是解题的关键：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 【详解】解：A、正确书写应为，不符合题意； B、正确书写应为，不符合题意； C、正确书写应为，不符合题意； D、书写正确，符合题意； 故选：D． 9．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）下列式子，符合代数式书写规范的是（    ） A．元 B． C． D． 【答案】B 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式的书写格式：（1）数与字母，字母与字母相乘，乘号可以省略，也可写成“”，数字与数字相乘，乘号不能省略；（2）数字要写在前面；（3）带分数一定要写成假分数；（4）在含有字母的除法中，一般不用“”号，而写成分数的形式；（5）式子后面有单位时，和差形式的代数式要在单位前把代数式括起来．根据代数式的书写规则判断即可． 【详解】A．正确书写为元，不符合题意； B．书写正确，符合题意； C．正确书写为，不符合题意； D．正确书写为，不符合题意； 故选：B． 10．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）下列代数式中，符合代数式书写要求的有（    ） ①   ②   ③   ④千米 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查代数式的书写，根据代数式的规范书写格式要求：数与字母，字母与字母相乘，乘号可以省略，数字与数字相乘，乘号不能省略，数字要写在前面；带分数与字母相乘一定要写成假分数；在含有字母的除法中，一般不用“”号，而写成分数的形式；式子后面有单位时，和差形式的代数式要在单位前把代数式括起来；据此进行判断即可求解． 【详解】解：①要写成； ②要写成； ③符合要求； ④千米要写成千米； 综上可知，符合要求的只有1个， 故选A． 考点03 单项式、多项式的概念 11．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）下列判断正确的是（   ） A．多项式的次数是2 B．单项式的次数是7 C．的常数项为3 D．的系数是 【答案】D 【知识点】多项式的项、项数或次数、单项式的系数、次数 【分析】本题主要考查了单项式与多项式的概念，分别利用单独的一个数或一个字母是单项式，单项式中的数字因数是单项式的系数，多项式中次数最高项的次数是多项式的次数，进而得出答案，正确把握相关定义是解题的关键． 【详解】解：A．多项式的次数是3，此选项判断不正确，不符合题意； B．单项式的次数是，此选项判断不正确，不符合题意； C．的常数项为，此选项判断不正确，不符合题意； D．的系数是，此选项判断正确，符合题意； 故选：D． 12．（24-25七年级上·江苏南通·期中）下列说法正确的是（  ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是3 C．是四次三项式 D．与是同类项 【答案】B 【知识点】同类项的判断、多项式的项、项数或次数、单项式的系数、次数 【分析】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，多项式的项及其次数的定义，同类项的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数；所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．根据相关的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、单项式的系数是，原说法错误，不符合题意； B、单项式的次数是3，原说法正确，符合题意； C、是二次三项式，原说法错误，不符合题意； D、与不是同类项，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 13．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下列说法中正确的是（    ） A．多项式是二次二项式 B．单项式的系数、次数都是1 C．多项式的次数是7 D．单项式的系数为，次数为3 【答案】B 【知识点】多项式的项、项数或次数、单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式，多项式的系数，次数，理解并掌握单项式系数，次数的确定方法是解题的关键． 单项式中的数字因数是系数，所有字母的指数和是次数，多项式的次数是次数最高项的次数，由此即可求解． 【详解】解：A、多项式是一次二项式，原选项错误，不符合题意； B、单项式的系数、次数都是1，正确，符合题意； C、多项式的次数是6，原选项错误，不符合题意； D、单项式的系数为，次数为3，原选项错误，不符合题意； 故选：B ． 14．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如果多项式是关于的二次三项式，则 ． 【答案】 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】此题考查了多项式．根据多项式是关于的三次三项式得到且，即可求出答案． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴且， ∴， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）多项式的次数是 ． 【答案】4 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的次数“次数最高的项的次数即为该多项式的次数”，熟记定义是解题关键．根据多项式的次数的定义求解即可得． 【详解】解：∵在多项式中，项的次数是，项的次数是，项1的次数是0， ∴多项式的次数是4， 故答案为：4． 考点04 同类项的概念与合并 16．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查代数式的合并同类项运算，需一一判断各选项是否正确． 【详解】解：合并同类项时，系数相加，字母部分不变．，而非，故A错误． 与不是同类项，无法合并，结果应保留为，故B错误． 与不是同类项，无法合并，结果应保留为，故C错误． 与是同类项（字母顺序不影响），合并系数得，结果为，故D正确． 故选：D． 17．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查了合并同类项的法则，逐一判断各选项是否正确即可； 【详解】A. ，原式计算错误，结果应为，而非； B. ，同类项系数相减，，结果正确； C. 与不是同类项，无法合并，结果应为，而非； D. ，原式计算错误，结果应为，而非数字； 故选B． 18．（24-25七年级上·江苏常州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解题关键．根据合并同类项法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意； D、，则此项正确，符合题意； 故选：D． 19．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项．根据合并同类项的定义进行计算即可得． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：D． 20．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据合并同类项法则逐项判断即可. 【详解】解：A. ，故该选项符合题意； B. 不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C. ，故该选项不符合题意； D. ，故该选项不符合题意； 故选：A. 考点05 整式的加减运算 21．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握去括号，合并同类项的法则，是解题的关键： （1）合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 22．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查整式的加减． （1）根据合并同类项法则求解即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，然后合并同类即可得到答案． 【详解】（1）解； ； （2）解： ． 24．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）直接合并同类项即可； （2）先将括号外的系数乘进括号，再去括号，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 25．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，即可得到结果； （2）先通分，化为同分母，再加减，后化简，可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点06 整式的化简求值 26．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）先化简再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，解题的关键是掌握整式加减混合运算顺序和运算法则，去括号法则．先去括号，再合并同类项，最后将x和y的值代入进行计算即可 【详解】解： 当，时，原式 27．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式的加减——化简求值．先去括号，然后合并同类项化简，最后把代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 28．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；2 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先去括号，再合并同类项，再将值代入计算即可得出答案． 【详解】解： ， ，， 原式． 29．（24-25七年级上·江苏常州·期中）先化简，再求值：求的值，其中． 【答案】，72 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．先去括号，再计算整式的加减，然后将代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 将代入得：原式． 30．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）求的值，其中，． 【答案】，． 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值；去括号、合并同类项得到最简结果，然后代入数据计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 考点07 整式的加减实际应用——面积问题 31．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）华为公司是世界500强企业，是中国人的骄傲，作为世界通讯领域的龙头企业，其生产的手机一直保持“遥遥领先”；如图是其某款手机后置摄像头模组．其中大圆的半径为，中间小圆的半径为，4个半径为的高清圆形镜头分布在两圆之间． (1)请用含的式子表示图中阴影部分的面积； (2)当时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】 圆的面积、整式加减的应用、列代数式 【分析】本题考查了圆的面积，列代数式，整式的加减的应用． （1）阴影部分面积为大圆面积减去中间圆的面积，再减去四个高清圆形镜头的面积，即可得出答案； （2）由第（1）问得出的代数式，直接代入求值即可． 【详解】（1）解：图中阴影部分的面积为 ； （2）当时， 图中阴影部分的面积为． 32．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图是一块长方形花园，内部修有两个凉亭及过道，其余部分种植花圃（阴影部分）． (1)用整式表示花圃的面积； (2)若米，修建花圃的成本是每平方米80元，求修建花圃所需费用． 【答案】(1)米2 (2)17600元 【知识点】整式加减的应用、已知字母的值 ，求代数式的值、列代数式 【分析】此题考查了代数式求值，整式的加减，以及列代数式，根据题意列出关系式是解本题的关键． （1）根据大矩形面积减去两个小矩形面积表示出花圃面积即可； （2）把a的值代入计算即可求出． 【详解】（1）解：根据题意得： ； 答：花圃的面积是米2． （2）解：当时，花圃面积为米2， 修建花圃所需费用：（元）． 答：修建花圃所需费用是17600元． 33．（24-25七年级上·江苏南京·期中）窗户的窗帘（阴影部分）设计有如下两种方案： 第一种方案：如图①，窗帘有两个半径相同的四分之一圆组成； 第二种方案：如图②，窗帘有半径相同的一个半圆和两个四分之一圆组成．     (1)用代数式表示图①中窗帘的面积为_________；若，则窗帘的面积为_________（结果保留）． (2)请比较两种设计方案，哪一种射进阳光的面积更大？说明理由． 【答案】(1)，； (2)图②中射进阳光的面积更大，理由见解析 【知识点】整式加减的应用、已知字母的值 ，求代数式的值、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，根据图形正确列式是解题关键． （1）由图①可知，窗帘有两个半径为的四分之一圆组成，求出窗帘的面积，再将代入计算即可； （2）仿照（1）的方法求出图②中窗帘的面积，进而得出两种方法射进阳光的面积，作差即可得到答案． 【详解】（1）解：由图①可知，窗帘有两个半径为的四分之一圆组成， 图①中窗帘的面积为， 当时，窗帘的面积为， 故答案为：，； （2）解：图②中射进阳光的面积更大，理由如下： 由图②可知，窗帘有半径为的一个半圆和两个四分之一圆组成， 图②中窗帘的面积为， 由（1）可知，图①中窗帘的面积为， 则图①中射进阳光的面积为，图②中射进阳光的面积为， ， 图②中射进阳光的面积更大． 34．（24-25七年级上·江苏南京·期中）从一张大长方形纸片中剪去一个小长方形，剩下纸片的尺寸如图所示． (1)列两个不同的算式表示剩下纸片的面积，并在图中作必要标注； (2)任选一个上述算式进行化简． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】整式加减的应用、列代数式 【分析】本题考查了整式的运算，解题关键是根据长方形的面积公式，利用面积和差表示图形面积； （1）剩下纸片的面积可以用大长方形的面积减去小长方形的面积或把剩下纸片分割成两个长方形，求它们面积和； （2）按照整式运算法则计算即可． 【详解】（1）解：方法一：剩下纸片的面积可以用大长方形的面积减去小长方形的面积：； 方法二：把剩下纸片分割成两个长方形，，剩下纸片的面积等于它们面积和： ． （2）解：方法一：， ， ； 方法二：， ． 35．（24-25七年级上·江苏南京·期中）如图①，在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠成如图②的一个无盖长方体纸盒．    (1)若图②中长方体的长、宽、高分别为、、，那么图①中长方形纸片的面积是 ． (2)类似的，甲、乙两位同学分别用长方形纸片，通过裁剪与折叠，得到两个等高的无盖长方体纸盒；其中纸盒的长是纸盒的长的2倍，纸盒的宽是纸盒的宽的倍．试比较甲、乙两位同学所用长方形纸片面积的大小． 【答案】(1)90 (2)甲同学所用长方形纸片的面积大 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，列代数式： （1）根据题意，得到长方形的长等于长方体的长加上两个高，宽等于长方体的宽加上两个高，再根据长方形的面积公式进行计算即可； （2）设纸盒的长和宽分别为，高为，得到纸盒的长和宽分别为，高为，利用长方形的面积等于长方体的表面积加上4个边长为高的正方形的面积，分别求出两个长方形的面积，比较大小即可。 【详解】（1）解：()； 故答案为：90 （2）解：设纸盒的长和宽分别为，高为，则：纸盒的长和宽分别为，高为， 则甲同学所用长方形纸片面积为：， 乙同学所用长方形的纸片面积为：， ， ∵纸盒的长和宽分别为， ∴， ∴， ∴甲同学所用长方形纸片的面积大. 考点08 整式的加减实际应用——购物问题 36．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）小华一家计划元旦期间去某城市旅游，准备在某平台提前购买两个景点的门票，两个景点门票的原价分别为元，元．该平台现有两种购票优惠活动． 活动：原价购买景点门票一张，则可以享受折（即原价乘）购买景点门票一张的优惠； 活动：同时购买两个景点门票各一张，则可以享受每张都打折（即原价乘）的优惠． (1)若购买两个景点门票各一张，活动票价共计__________元，活动票价共计__________元；（用含的代数式表示） (2)小华计算后发现，若购买两个景点门票各一张，活动比活动的票价共计便宜元，求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】整式加减的应用、列代数式 【分析】（）根据题意列出代数式即可； （）根据（）所得代数式列出等式，再进行化简即可求解； 本题考查了列代数式，整式的加减的应用，正确列出代数式是解题的关键． 【详解】（1）解：若购买两个景点门票各一张，活动票价共计元，活动票价共计元， 故答案为：，； （2）解：由题意得，， ∴， 即， ∴． 37．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）毕业季，某文具批发店购进足够数量的甲、乙两种纪念册，已知每天两种纪念册的销售量共300本，两种纪念册的成本和售价如表： 纪念册 成本（元/本） 售价（元/本） 甲 12 16 乙 15 18 设每天销售甲种纪念册x本． (1)用含x的代数式表示该批发部每天销售这两种纪念册的成本，并化简； (2)当时，求该文具批发店每天销售这两种纪念册获得的利润． 【答案】(1)（元） (2)1020元 【知识点】整式加减的应用、已知字母的值 ，求代数式的值、列代数式 【分析】本题考查列代数式和代数式求值，整式的加减计算，解题关键是结合题意准确的列出代数式． （1）根据每天两种笔记本的销售量共200本，销售甲本，则销售乙本，根据表格列出成本的式子即可； （2）根据表格求出利润即可． 【详解】（1）解：销售甲本，则销售乙本， 每天的成本（元）； （2）解：当，， 利润为：（元）， 答：该文具批发店每天销售这两种纪念册获得的利润为1020元． 38．（24-25七年级上·江苏南通·期中）李明购买了甲、乙两个品牌的衬衣若干件，其中甲品牌衬衣买了n件，乙品牌衬衣比甲品牌衬衣多买了5件．已知甲品牌衬衣每件100元，乙品牌衬衣每件80元，则李明共需付款多少元？（结果用含n的代数式表示） 【答案】李明共需付款元 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查整式加减的应用，根据题意列出代数式，再运用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：（元）． 答：李明共需付款元． 39．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）连云港是中国紫菜之乡，如图，某紫菜有限公司有和C三个养殖基地，在公路边的同一直线上，两地相距25千米，两地相距60千米，在紫菜生产季节，A基地日产紫菜50吨，B基地日产紫菜10吨，C基地日产紫菜60吨，要在这条公路沿线修建一个紫菜加工厂加工这些紫菜．若从A基地运往C基地方向的运费是每吨每千米1.5元，从C基地运往A基地方向的运费是每吨每千米1元． (1)若把紫菜加工厂建在线段的中点位置，请你计算此时每天的总运费是多少元？ (2)若把加工厂建在两村之间，且距离B村x千米处；用含x的代数式表示此时的总运费； (3)若把加工厂建在两地之间，且距离A地x千米处；用含x的代数式表示此时的总运费；请你通过分析比较，紫菜加工厂应该建在何处才能使总运费最低？ 【答案】(1)此时每天的总运费是元 (2)用含x的代数式表示此时的总运费为元 (3)紫菜加工厂应该建在A地才能使总运费最低 【知识点】整式加减的应用、有理数四则混合运算、列代数式 【分析】本题考查列代数式，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）根据“总运费从A基地运往C基地方向的运费A基地日产紫菜的吨数A地到紫菜加工厂的距离从A基地运往C基地方向的运费B基地日产紫菜的吨数B地到紫菜加工厂的距离从C基地运往A基地方向的运费C基地日产紫菜的吨数C地到紫菜加工厂的距离”计算即可； （2）将C地到紫菜加工厂的距离用含x的代数式表示出来，再根据“总运费从A基地运往C基地方向的运费A基地日产紫菜的吨数A地到紫菜加工厂的距离从A基地运往C基地方向的运费B基地日产紫菜的吨数B地到紫菜加工厂的距离从C基地运往A基地方向的运费C基地日产紫菜的吨数C地到紫菜加工厂的距离”计算即可； （3）将B地到紫菜加工厂的距离用含x的代数式表示出来，再根据再根据“总运费从A基地运往C基地方向的运费A基地日产紫菜的吨数A地到紫菜加工厂的距离从C基地运往A基地方向的运费B基地日产紫菜的吨数B地到紫菜加工厂的距离从C基地运往A基地方向的运费C基地日产紫菜的吨数C地到紫菜加工厂的距离”计算此时的总运费；通过分析以上两个总运费的代数式即可得出结论． 【详解】（1）（元） 答：此时每天的总运费是6375元． （2）元 答：用含x的代数式表示此时的总运费为元． （3）元， ∴含x的代数式表示此时的总运费为元． 当把加工厂建在两地之间时，总运费为元 ∵x越小，越小， ∴当时，即把加工厂建在B地时，总运费最少，最少为5475元； 当把加工厂建在两地之间时，总运费为元， ∵x越小，越小， ∴当时，即把加工厂建在A地时，总运算最少，最少为5350元． ， ∴紫菜加工厂应该建在A地才能使总运费最低． 40．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）某野生动物园门票价格为60元/张，并推出了两种购票方案，且两种方案不能同时使用． 方案一 当团购门票数不超过40张时，无优惠； 当团购门票数超过40张时，超过的部 分每张优惠10元． 方案二 爱心捐款认养小动物，每捐款500元，则 所购门票每张优惠2元；且捐款额必须为 500的整数倍，最多捐款5000元． 设某旅游团一次性购买门票x张（x为正整数）． (1)如果选择方案一，求该旅游团购买门票的费用； (2)如果选择方案二，该旅游团爱心捐款m个500元（m为正整数）． ①该旅游团一共需要花费的总费用为______元（用含m，x的代数式表示）； ②当时，无论x取什么值，都存在一个正整数m，使选择方案二的总费用始终比选择方案一的费用多某个固定值，则m的值为______，固定值为______． 【答案】(1)见详解 (2)①元；②5；2100 【知识点】整式加减的应用、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，解答本题的关键是明确题意，理解动物园推出的两种购票方案． （1）根据购票方案一，分以及两种情况，分别求出该旅游团购买门票的费用； （2）①根据购票方案二，可求该旅游团购买门票的费用； ②根据题意，可以得到关于的一元一次方程，然后根据当时，存在一个正整数，使选择方案二的总费用始终比选择方案一的费用多某个固定值进行分类讨论，从而可以求得的值和此固定值． 【详解】（1）由题意可得，如果选择方案一， 当时，总费用可表示为：元， 当时，总费用可表示为：元． （2）如果选择方案二，该旅游团爱心捐款个500元(为正整数)． ①总费用可表示为：元． 故答案为：元； ②当时， ， ∵当时，无论取什么值，都存在一个正整数，使选择方案二的总费用始终比选择方案一的费用多某个固定值， ∴，得，则． 即的值是0， 此时，选择方案二的总费用等于选择方案一的费用，不符合要求； 当时， ， ∵当时，无论取什么值，都存在一个正整数，使选择方案二的总费用始终比选择方案一的费用多某个固定值， ∴，得，则． 即的值是5，此固定值是2100． 综上，的值是5，此固定值是2100． 考点9 整式的加减实际应用——数轴上的动点问题 41．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示b，C点表示数c，且a，c满足． (1) ， ； (2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数 表示的点重合． (3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．则 ， ， ．（用含t的代数式表示） (4)请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，9 (2) (3)；； (4)不变， 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性、整式加减的应用、数轴上的翻折 【分析】本题考查了列代数式、偶次方、绝对值等非负数的化简及代数式的化简，明确题意，正确列式是解题的关键． （1）根据绝对值和偶次方的非负性可解； （2）若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则可知对折点所表示的数，进而可得点C与数哪个数表示的点重合； （3）根据数轴上的点向左运动用减法，向右运动用加法，按照题意计算即可； （4）将（3）中数据代入计算，结果为定值． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 解得，． 故答案为：，9； （2）因为，．将数轴折叠后，A点与B点重合， 可知折叠的中点距离A点和B点相同， 则折叠的中点为1， 所以此时点C与表示的点重合． 故答案为：； （3）点A、B、C开始时的位置分别是，3，9， t秒后，A：，B：，C：， ， ， ． 故答案为：；；； （4）． 故的值不随着时间t的变化而变化． 42．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足． (1) ； ； (2)动点P，Q分别从点A，点B同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度． ①t秒时，点P表示的数是 ，点Q表示的数是 ． ②动点P，Q分别从点A，点B出发的同时，动点R也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒n（n＞1）个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为．设运动时间为t秒，请问：是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此n值和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，5 (2)①②当时，的值为定值，这个定值是59或时，的值为 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值非负性、整式加减的应用、用数轴上的点表示有理数 【分析】（1）由绝对值和平方的非负性可得答案； （2）①t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是； ②根据题意得R表示的数是，故，当时，，可得时，为定值59；当时，，故时，为定值． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：，5； （2）①t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是； 故答案为：； ②存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值，理由如下： 根据题意得R表示的数是， ∴， ∴， 当时，， ∴时，为定值59； 当时，， ∴时，为定值； 综上所述，当时，的值为定值，这个定值是59或时，的值为． 43．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）在一条笔直的东西走向的公路上有四个村庄，若把这条马路看成一条数轴，以乙村庄为原点，甲村庄在乙村庄的左侧千米，丙村庄在乙村庄的右侧千米，丁村庄在乙村庄的右侧千米处． (1)若，请你求丙、丁两个车站的距离； (2)若，小明沿着公路从甲村走到丁村，又回到丙村，请你求出小明一共走了多少路程． 【答案】(1)4 (2)千米 【知识点】整式加减的应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查整式加减，合并同类项，代数式求值等． （1）根据题意列式计算，并将代入求出的代数式即可； （2）根据题意先求出甲丁的距离，再求出丁丙的距离，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：丁丙的距离为：， 当时，， ∴丙、丁两车站的距离为4； （2）解：∵甲丁的距离为：， ∵丁丙的距离为：， ∴距离之和为：， 答：小明一共走了千米． 44．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴A和数轴B模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴A上表示2的点与数轴B上表示3的点恰好对齐． (1)图1中，数轴B上表示12的点与数轴A上表示 的点对齐，数轴A上表示的点与数轴B上表示 的点对齐； (2)如图2，将图中的数轴B向左移动，使得数轴B的原点与数轴A表示的点对齐，则数轴A上表示8的点与数轴B上表示 的点对齐，数轴B上距离原点12个单位长度的点与数轴A上表示 的点对齐； (3)若数轴A上表示2n的点与数轴B表示3m的点对齐，则数轴A上表示的点与数轴B上表示 的点对齐，数轴B上距离原点个单位长度的点与数轴A上表示 的点对齐．（用代数式表示） 【答案】(1)8， (2)15；6或 (3)；或 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，整式的加减计算，正确理解题意熟知数轴B上的1个单位长度在数轴A上表示个单位长度是解题的关键． （1）根据题意可知数轴B上的1个单位长度在数轴A上表示个单位长度，据此求解即可； （2）先求出数轴A上表示的数与的距离，再根据数轴B上的1个单位长度在数轴A上表示个单位长度进行求解即可；求出数轴B上距离原点12个单位长度的点在数轴A上距离的距离即可得到答案； （3）要求B轴对应A轴的数，即要先求出B轴上到对齐点的距离在A轴上表示的是多少，同理，要求A轴对应B的数，即要先求出A轴上到对齐点的距离在B轴上表示多少，据此求解即可； 【详解】（1）解：∵数轴A上表示2的点与数轴B上表示3的点恰好对齐， ∴数轴B上的1个单位长度在数轴A上表示个单位长度， ∴数轴B上表示12的点与数轴A上表示的点对齐，数轴A上表示的点与数轴B上表示的点对齐， 故答案为：8，； （2）解：由题意得数轴A上表示8的点与数轴B上表示的点对齐； 由题意得，数轴B上距离原点12个单位长度的点在数轴A上距离有个单位长度， ∴数轴B上距离原点12个单位长度的点与数轴A上表示6或的点对齐， 故答案为；15；6或； （3）解：∵， ∴数轴A上表示的点与数轴B上表示的点对齐； 数轴B上距离原点个单位长度的点在数轴B上表示的数为或， ∴数轴B上表示的点在A轴上表示的数为； 数轴B上表示的点在A轴上表示的数为； 综上所述，数轴B上距离原点个单位长度的点与数轴A上表示或的点对齐； 故答案为：；或． 45．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）操作发现： 操作一：如图1，已知点，所表示的数分别为，，将点绕点旋转得到点，此时点所表示的数为，我们称点是点关于点的映射点；记作： ， 或 ； 操作二：如图2，已知点和线段，将点，绕同一点旋转，使点和点重合，此时点所对应的点用表示，我们称点是点关于线段的映射点；记作： ；如： ； (1)利用图3，图4，直接填空： ； ； (2)若，两点所表示的数分别是，，，求点所表示的数；用含，的代数式表示 (3)点表示的数为，点与点的距离为，点是数轴上一动点，且 ， ．点在运动过程中，，两点之间的距离是否变化，如果不变，请求出这个值；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)是； 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、整式加减的应用 【分析】（1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）根据，得出，根据、两点所表示的数分别是、，代入求值即可； （3）根据点表示的数为，点与点的距离为，得出点表示的数为或，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，分两种情况：当点表示的数为时，点在点的右侧，当点表示的数为时，点在点的左侧，分别求出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：； 根据题意得：． 故答案为：； （2）解：， 为的中点， 、两点所表示的数分别是、， 点表示的数为： ； （3）解：点在运动过程中，、两点之间的距离是定值；理由如下： 点表示的数为，点与点的距离为， 点表示的数为或， 设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 当点表示的数为时，点在点的右侧， ， 为的中点， ， ， ， 的中点与的中点是同一个点， ， ， ； 当点表示的数为时，点在点的左侧， ， 为的中点， ， ， ， 的中点与的中点是同一个点， ， ， ； 点在运动过程中，、两点之间的距离是定值． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，用数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，整式加减运算，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式，注意进行分类讨论． 考点10 整式的运算与新定义问题 46．（24-25七年级上·江苏南通·期中）定义：如果两个有理数，满足，则称，为一对“相随数”．已知有理数，为一对“相随数”，若，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查了化简绝对值，整式的加减化简求值，理解“相随数”的意义是正确计算的关键．根据是“相随数”得出，再将原式化成，最后分类讨论b的取值范围得出P的取值范围即可得出答案． 【详解】解：∵有理数，为一对“相随数” ∴， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述：， 故选：D． 47．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取， 则 若，则第2025次“运算”的结果是（    ） A．488 B．1 C．4 D．8 【答案】B 【知识点】数字类规律探索、程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查有理数的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现运算结果的变化特点．根据题意和题目中的新定义，可以计算出前几次的运算结果，然后观察结果，即可发现结果的变化规律，然后即可写出第2022次“F”运算的结果． 【详解】解：由题意可得， 当时， 第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， …， 由上可得，从第五次开始，依次以1，8循环出现， ∵ ∴第2025次“F运算”的结果是1， 故选：B． 48．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）定义一种关于整数n的“X”运算： （1）当n是奇数时，结果为； （2）当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经X运算是29，第二次经X运算是92，第三次经X运算是23，第四次经X运算是74，…；若，则第2025次X运算结果是（　） A．1 B．2 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了有理数的混合运算，数字类规律探索，计算出第一次、第二次、第三次、第四次、第五次运算的结果，得出规律；从第二次开始，出现，循环，偶数次是，奇数次是，即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：，第一次经X运算是，第二次经X运算是，第三次经X运算是，第四次经X运算是，第五次经X运算是，…； 由此可得，从第二次开始，出现，循环，偶数次是，奇数次是， ∴第2025次X运算结果是8， 故选：D． 49．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“友好多项式”，这个常数称为它们的“友好值”．如与互为“友好多项式”，它们的“友好值”为7． (1)下列各组多项式互为“友好多项式”的是________（填序号）； ①与 ②与 ③与 (2)若多项式与多项式（，为常数）互为“友好多项式”，①求、的值；②求多项式、的“友好值”． 【答案】(1)①③ (2)①，；②11 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】此题考查了整式的加减运算，代数式求值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据“友好多项式”的概念将各项多项式相加求解判断即可； （2）①首先计算，然后根据“友好多项式”的概念得到，，即可求出、的值； ②将，代入求解即可． 【详解】（1）①∵，是常数， ∴与互为“友好多项式”； ②，不是常数， ∴与不互为“友好多项式”； ③，是常数， ∴与互为“友好多项式”； 综上所述，互为“友好多项式”的是①③； （2）①∵多项式与多项式（，为常数）互为“友好多项式”， ∴ ∴， ∴，； ②∵， ∴多项式、的“友好值”． 50．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）定义：若一个多项式的各项系数之和为的整数倍，则称这个多项式为“卓越多项式”． 例如：多项式的系数和为，所以多项式是“卓越多项式”． 请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“卓越多项式”的是________．（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于，的“卓越多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“卓越多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)①③ (2)是，理由见解析 【知识点】整式加减的应用、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了新定义“卓越多项式”，理解定义是解题的关键． （1）根据“卓越多项式”的定义求解即可； （2）根据多项式是关于，的“卓越多项式”，可设（为整数，），则，多项式的系数和为，得到，即可求解． 【详解】（1）解：①多项式的系数和为， 该多项式是“卓越多项式”， ②多项式的系数和为， 该多项式不是“卓越多项式”， ③多项式的系数和为， 该多项式是“卓越多项式”， 故答案为：①③； （2）是，理由如下： 多项式是关于，的“卓越多项式”， 为的整数倍， 设（为整数，）， 则， 多项式的系数和为， ， ， 是的整数倍，即是的整数倍， 多项式是关于，的“卓越多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“卓越多项式”． 考点11 利用整体思想求代数式的值问题 51．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）若、互为相反数，、互为倒数，，是最大的负整数， (1)填空：_____，_____，_____，=______； (2)求的值． 【答案】(1)，，， (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、相反数的定义、绝对值的几何意义、倒数 【分析】（）根据相反数、倒数的定义、绝对值的意义及有理数的概念解答即可； （）由可得，再把（）中的结果代入计算即可求解； 本题考查了代数式求值，根据相反数、倒数的定义、绝对值的意义及有理数的概念求出、、、的值，再代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵、互为相反数，、互为倒数，是最大的负整数， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：，，，； （2）解：∵， ∴， ∴原式 ． 52．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）已知有理数a、b互为倒数，c、d互为相反数，e的绝对值为4，求代数式的值． 【答案】18 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、相反数的定义、绝对值的几何意义、倒数 【分析】本题主要考查求代数式的值．结合倒数，相反数，绝对值的概念，以及有理数的平方先求得，，，然后代入求解，即可解题． 【详解】解： a、b 互为倒数， ， c、d 互为相反数， ， e 的绝对值为 4， ， 则， ． 53．（24-25七年级上·江苏南通·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如图所示是老师安排的作业题． 代数式的值为，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以所以代数式的值为． 方法运用： (1)若代数式的值为，代数式的值； (2)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值； 拓展应用： (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查整式的化简求值，涉及整式运算、整体代入求值等知识，熟练掌握整式运算及整体代入思想是解决问题的关键． （1）由题意得，所以，又因为，将整体代入即可解答； （2）把代入化简得，当时，，然后将整体代入上式即可求解； （3）由可化简为，然后将，整体代入即可解答． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ， ， ， ， 代数式的值为； （2）解：由题意得，当时，，即， 当时，代数式， 将代入上式得，原式， 代数式的值为； （3）解：， ， ， 把，代入得， 的值为． 54．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知，互为倒数，，互为相反数，． (1)根据已知条件回答：______，______，______； (2)求的值． 【答案】(1)1，0，1． (2) 【知识点】求一个数的绝对值、已知式子的值，求代数式的值、相反数的定义、倒数 【分析】本题主要考查了相反数、倒数的定义、绝对值的意义、代数式求值等知识点，熟练掌握相反数、倒数的定义、绝对值的意义是解题的关键． （1）根据相反数、倒数的定义可得及的值，由绝对值的性质可得，从而可得的值即可； （2）由（1）可得、、，然后代入进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，互为倒数，，互为相反数，， ∴、、， ∴、、． 故答案为：1，0，1． （2）解：由（1）可得：、、， ∴． 55．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）“整体思想”是一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛；例如，把看成一个整体，则． (1)已知，求的值： (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)8 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查代数式的值，熟练掌握利用整体思想进行求解代数式的值是解题的关键； （1）利用整体思想直接进行代值求解即可； （2）先对所求代数式进行变形，然后再进行整体代值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 考点12 整式的运算与找规律问题 56．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）下列图形都是有几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有1个白色正方形，图②中有4个白色正方形，图③中有7个白色正方形，图④中有10个白色正方形，…，按此规律，图⑩中白色正方形的个数是（    ） A．32 B．29 C．28 D．26 【答案】C 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了规律探究，第个图中白色正方形的个数为：，即可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：图①中有白色正方形个数：， 图②中有白色正方形个数：， 图③中有白色正方形个数：， 图④中有白色正方形个数：， … 第个图中白色正方形的个数为： ， 当时， ； 故选：C． 57．（23-24七年级上·江苏·周测）用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按下图方式拼正方形． 第（1）个图形中有1个小正方形，第（2）个图形比第（1）个图形多3个小正方形，第（3）个图形比第（2）个图形多5个小正方形，以此类推第个图形比第个图形多（    ）个小正方形． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】此题主要考查了图形的变化规律，解题的关键是找到规律：后面一个图形比前面一个图形多的个数是连续奇数． 【详解】解：第2个图形比第1个图形多：个； 第3个图形比第2个图形多：个； 第4个图形比第3个图形多：个； …， ∴第个图形比第个图形多个小正方形， 故选C． 58．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）观察下列一组图形中点的个数，其中第①个图形中共有4个点，第②个图形中共有12个点，第③个图形中共有24个点，按此规律，第⑩个图形有 个点． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了图形的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．由题意可推导一般性规律为：第个图中共有点的个数为个点，然后求解作答即可． 【详解】解：由题意知，第①个图中共有个点， 第②个图中共有个点， 第③个图中共有个点， …， ∴可推导一般性规律为：第个图中共有点的个数为个点， ∴第⑩个图中共有点的个数为个点， 故答案为：． 59．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）在课本第三章的章头活动中有一个用火柴棒搭“小鱼”的问题，具体搭建的方式如下图．小明认真观察后发现：第1条“小鱼”用8根火柴棒，后面每增加1条“小鱼”增加6根，那么搭n条“小鱼”就需要根火柴棒．同班同学小华说“我有不一样的想法”，小华发现第1条“小鱼”由鱼尾2根和其他6根火柴棒搭成，后面每增加1条“小鱼”就多6根，那么站在小华的视角，搭n条“小鱼”共需根火柴棒的根数为 ．（用含有n的代数式表示） 【答案】/ 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】此题主要考查了图形的变化规律，首先应找出发生变化的位置，并且观察变化规律，得出运算规律解决问题．根据图形可得后一个图形中火柴数量是前一个图形火柴数量加6，根据题意，求出搭n条小鱼需要用根火柴棒可得答案． 【详解】解：∵第一个小鱼需要根火柴棒， 第二个小鱼需要根火柴棒， 第三个小鱼需要根火柴棒， ∵每个小鱼比前一个小鱼多用6根火柴棒， ∴搭n条小鱼需要用根火柴棒； 故答案为：． 60．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，用形状和大小一样的四边形图案摆出下列一组图形：    (1)摆出第1个图形要用4个四边形图案，摆出第2个图形要用______个四边形图案，摆出第3个图形要用________个四边形图案． (2)按照这种方式摆下去，第n个图形要用_____________（用含n的代数式表示）个四边形图案组成． (3)摆出第2024个图形要用多少个四边形图案？ 【答案】(1)7；10 (2) (3)6073 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细观察图形，总结出变化的一般规律． （1）观察图形，进而求解即可． （2）观察图形，找到前三个图形的规律，即可写出代数式，表示第n个图形中心形的个数． （3）将代入（2）的代数式求值即可. 【详解】（1）解：根据图形可得：第1个图形要用个四边形图案， 第2个图形要用个四边形图案， 第3个图形要用个四边形图案； （2）解：第1个图形：， 第2个图形：， 第3个图形：， 第4个图形：， ； 第n个图形：； （3）解：第2024个图形中，即：时， 四边形图案的个数为（个）， 则第2024个图形要用6073个四边形图案. 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．代数式的正确解释是（   ） A．a的平方与b的倒数的差 B．a与b的倒数的差的平方 C．a的平方与b的差的倒数 D．a与b的差的平方的倒数 【答案】A 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题主要考查了代数式，用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．说出代数式的意义，实际上就是把代数式用语言叙述出来．叙述时，要求既要表明运算的顺序，又要说出运算的最终结果． 【详解】解：依题意，代数式的正确解释是a的平方与b的倒数的差． 故选：A． 2．下列式子中，符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式的书写要求．解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：A、应写成，该选项错误，不符合题意； B、应写成，该选项错误，不符合题意； C、应写成，该选项错误，不符合题意； D.、该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．下列各组代数式中是同类项的是（   ） A．a与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同；是易混淆点． 根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，几个常数项也是同类项．同类项与字母的顺序无关，与系数无关． 【详解】解：A、相同字母的指数不相同，不是同类项； B、所含字母不相同，不是同类项； C、所含字母不相同，不是同类项； D、符合同类项的定义，是同类项． 故选：D． 4．下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解答本题的关键．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 根据整式的混合运算逐一计算后判断即可． 【详解】解：A． 和不是同类项，不能合并，原计算错误； B． 和不是同类项，不能合并，原计算错误； C． ，原计算正确； D． ，原计算错误； 故选：C． 5．下列各式中与多项式不相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】去括号 【分析】本题考查了去括号，掌握去括号法则是解答本题的关键．去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．据此逐一判断即可． 【详解】解：A．，不符合题意； B．，与题干中的多项式不相等，符合题意； C．，不符合题意； D．，不符合题意． 故选：B． 6．下列说法正确的是（    ） A．单项式的系数是，次数是3 B．单项式a的系数是0，次数是1 C．多项式的常数项是1 D．多项式的次数是3 【答案】D 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了单项式，多项式的相关概念，熟练掌握单项式与多项式的系数和次数概念是解题的关键． 根据单项式与多项式的系数和次数定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、单项式的系数是，次数是3，故本选项错误； B、单项式a的系数是1，次数是1，故本选项错误； C、多项式的常数项是，故本选项错误； D、多项式的次数是3，故本选项正确； 故选：D． 7．一个多项式与的和是，则这个多项式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减，合并同类项，掌握知识点是解题的关键． 根据一个多项式与的和是，得到，化简即可． 【详解】解： ． 故选C． 8．已知，则代数式的值为（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】本题考查代数式化简求值，掌握相关知识是解决问题的关键．先去括号合并同类项，然后整体代入即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 故选：D． 9．把四张形状完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了整式的加减，根据长方形的周长公式分别列出表示两个阴影周长的代数式，再利用整式加减的运算法则进行计算即可．先设小长方形卡片的长为a，宽为b，再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长，再把它们加起来即可求出答案． 【详解】解：设小长方形卡片的长为a，宽为b， ∴，， ∴ ， 又∵， ∴， 即图②中两块阴影部分的周长和是． 故选：B． 10．已知多项式，若多项式与字母的取值无关，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减运算化简求值，整式加减中无关类型问题，先化简多项式得，令的系数为0，即可求得的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ， ∵多项式与字母的取值无关， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．化简： ． 【答案】 【知识点】去括号、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题关键．先去括号，再计算整式的加减即可得． 【详解】解：原式， 故答案为：． 12．单项式的次数是 ，系数是 ． 【答案】 4 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查单项式，解题的关键是正确理解单项式的定义， 根据单项式的定义即可求出答案． 【详解】解：该单项式的系数为：，次数为：， 故答案为：，． 13．多项式是关于x的二次三项式，则m的值为 ． 【答案】2 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查了多项式的次数的定义，熟记定义是解题关键．根据多项式的次数的定义“组成多项式的单项式中的最高次数就是这个多项式的次数”，求出m的值即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴的次数是2，即，且， ∴m的值为2． 故答案为：2． 14．如图，一些点组成形如三角形的图案，如果图形的每条“边”上有n（）个点（包括两个顶点），那么这个图形中点的总数记为S，当时，则S的值是 【答案】42 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现点的总数依次增加3是解题的关键． 根据所给图形，依次求出点的总数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 当时，， 当时，， 当时，， …， 当时，． 故答案为：42． 15．把错写成了，结果比原来 （多或少几）． 【答案】少24 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减，掌握去括号法则是关键． 根据题意列式求解即可． 【详解】解： ， 所以把错写成了，结果比原来少24． 故答案为：少24． 16．对于有理数a，b，定义，则化简后得 ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握整式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关键．根据题中所给出的式子，先计算，再计算，即可得到答案． 【详解】解：， ， 所以． 故答案为：． 17．如图，个完全相同的小长方形刚好拼成一个大长方形，若小长方形的宽为，则大长方形的周长是 ． 【答案】 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查列代数式，整式的加减运算的应用，根据小长方形的宽为，则小长方形的长为，结合大长方形的拼组方式，可用含的代数式表示出大长方形的长与宽，即可得出结论．根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出大长方形的长与宽是解题的关键． 【详解】解：∵小长方形的宽为，则小长方形的长为， ∴大长方形的长为，大长方形的宽为：， ∴， ∴大长方形的周长是． 故答案为：． 18．如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则代数式 ． 【答案】或 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、倒数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了相反数的定义，倒数的定义，绝对值的定义． 先分别根据相反数的定义，倒数的定义，绝对值的定义求出，，，再代入计算即可． 【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2， ∴，，， 当时， 当时， 故答案为：或． 19．下列式子：，，，，，，，其中属于单项式的是 ，属于多项式的是 ，属于整式的是 ． 【答案】 【知识点】整式的判断、单项式的判断、多项式的判断 【分析】本题考查单项式、多项式、整式的概念，解题的关键是准确理解并依据这些概念来对给定式子进行分类． ①依据单项式的定义找出单项式； ②依据多项式的定义找出多项式； ③根据整式包含单项式和多项式确定整式． 【详解】①单项式是数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式， 是单独的数，是数与字母的积，是单独的数，是数5与字母x，y的积，是数2与字母x，y的积，所以单项式是； ②几个单项式的和叫做多项式，是单项式与的和，所以多项式是，故（2）处填； ③整式为单项式和多项式的统称，所以整式是， 故答案为：① ② ③ 20．我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，例如：在图1中，即，若满足，则图2中y的值为 ． 【答案】 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的加减与化简求值；先用含有，的代数式表示和，再表示出即可．根据绝对值和完全平方的非负性求出和的值即可解决问题． 【详解】由题知， ； ； 所以． 因为， 所以，， 则，， 所以． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题，共50分） 21．（本题10分）化简 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，包括去括号法则和合并同类项法则．熟练掌握去括号时括号前系数的变化以及准确识别和合并同类项是解题的关键． （1）先去括号，再通过合并同类项来化简式子，同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，合并同类项就是利用乘法分配律，同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变． （2）同样先去括号，再对式子中的同类项进行合并化简． 【详解】（1）解： （2）解： 22．（本题10分）先化简，再求值． (1)已知多项式，，求的值，其中． (2)若有理数a、b满足求多项式． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式的化简求值： （1）根据整式的加减计算法则求解即可； （2）先求出字母的值，再去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解： 当时， 原式 （2）∵ ∴ ∴ 23．（本题10分）综合与实践 现有三个边长分别为3，4，5的正方形卡片（如图1），分别记为，，，还有一个两边长分别为的长方形． 数学思考 （1）如图2，将放入长方形中，用含的代数式表示阴影部分的面积：___________．当，时，阴影部分的面积为___________． 深入探究 （2）将，两张卡片按图3所示的方式（和部分重叠）放置在长方形中，求阴影部分的面积（用含的代数式表示）． （3）将，，三张卡片按图4所示的方式（和II不重叠，和部分重叠，）放置在长方形中，求左上角阴影部分与右下角阴影部分周长的差，勤学小组成员认为缺少与的值无法计算，善思小组成员则认为不需要与的值也能计算，哪一个小组成员的说法正确？请说明理由． 【答案】（1）；；（2）；（3）善思小组成员说法正确，理由见解析 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】此题考查了列代数式及求值和整式加减运算，熟记长方形、正方形的面积、周长公式求解即可． （1）根据长方形、正方形的面积公式列代数式并求值即可； （2）根据长方形、正方形的面积公式列代数式求解即可； （3）根据长方形、正方形的周长公式列代数式求解即可． 【详解】解：（1）， 当时，； 故答案为：，； （2）； （3）善思小组成员说法正确，理由如下： 周长之差为： ． 则左上角阴影部分与右下角阴影部分周长的差为8， 故善思小组成员说法正确． 24．（本题10分）某文具店销售两种笔记本，A种笔记本每本售价x元，B种笔记本每本售价y元． (1)小明买3本A种笔记本和2本B种笔记本，一共需要花费多少元（用含x、y的代数式表示）？ (2)若，且商店推出 “满20减3元” 的活动，求小明购买上述笔记本实际需要支付的金额； (3)若A种笔记本售价提高2元，B种笔记本售价降低1元，买4本A种笔记本和1本B种笔记本的总费用是否变化？请说明理由． 【答案】(1)元 (2)18元 (3)总费用变化，理由见解析 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、整式加减的运用等知识点，正确列出相关代数式成为解题的关键． （1）直接根据题意列出代数式即可； （2）先求出当时，（1）所得代数式的值，然后再根据优惠方案求得所需支付的费用即可； （3）先根据题意分别表示出调价前后的总费用，然后作差比较即可解答． 【详解】（1）解：3本A种笔记本花费元，2本B种笔记本花费元，总花费为元． 答：一共需要花费元． （2）解：当时，总花费为元； 因 “满20元减3元”，则实际支付元． 答：小明购买上述笔记本实际需要支付18元． （3）解：总费用变化，理由如下： 原费用：4本A种笔记本4x元，1本B种笔记本y元，总费用元； 调价后：A种笔记本每本元，4本花费元； B 种笔记本每本元，1 本花费元； 总费用为元； ∵， ∴调价后总费用比原来多7元，即总费用变化． 25．（本题10分）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 【答案】(1)①③ (2)是，理由见解析 (3)见解析 【知识点】多项式的项、项数或次数、整式加减的应用 【分析】本题考查了新定义“标准多项式”，整式的加减运算，理解定义是解题的关键． （1）根据“标准多项式”的定义求解即可； （2）根据多项式是关于，的“标准多项式”，可设（为整数，），则，多项式的系数和为，得到，即可求解； （3）先根据整式加减预算法则求出，再结合“标准多项式”的定义证明即可． 【详解】（1）解：①多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， ②多项式的系数和为，不是的整数倍， 该多项式不是“标准多项式”， ③多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， 故答案为：①③； （2）解：是，理由如下： 多项式是关于，的“标准多项式”， 为的整数倍， 设（为整数，）， 则， 多项式的系数和为， ， ， 是的整数倍，即是的整数倍， 多项式是关于，的“标准多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“标准多项式”； （3）证明：∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴多项式为， 多项式的系数和为， ∴多项式也是关于x，y的“标准多项式”． - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $