专题01 有理数题型全归纳 2025-2026学年苏科版七年级上学期数学同步培优题型全归纳

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2.表示两个相反意义的量，哪个用正数表示，哪个用负数表示，是人为规定的，一般表示高的，上涨的，等量用正数表示，相反的用负数表示。 3.正数：像+1、2、1.2、、π等大于0的数，叫做正数； 4.负数：像-1、-2、－1.2、－π等小于0的数，叫做负数． 知识点2：有理数的概念及分类 1. 有理数的概念：整数和分数统称为有理数。 2. 有理数的四种表现形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数。判断一个数是不是有理数，只要看看这个数是不是这四种就行了，如果是这四种中一个，那这个数一定是有理数；如果不是这四种中的任何一种，那它一定不是有理数。 3. 有理数的分类方法： （1）按概念分类： （2）按正负分类： 　 知识点3：数轴的概念、画法、数轴上的点与有理数的关系 1.数轴是规定了原点，正方向，单位长度的直线。 2.数轴的三要素：原点，正方向，单位长度。 3.数轴的画法 （1）第一步：画一条直线（通常画成水平的）； （2）第二步：在这条直线上描上一个点作为原点，用这个点表示0； （3）第三步：在这条直线的右末端画上箭头，用来表示正方向； （4）第四步：根据实际需要，选取适当的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 这样，数轴就画好了。 4.有理数可以用数轴上的一个点表示，但数轴上的点表示的数并不都是有理数。 （1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示． （2）任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点表示的数不一定都是有理数，还可以表示其他数（无理数），比如等． 知识点4：有理数的大小比较 1.可以将有理数a，b都画在数轴上，这样两个数就可以用两个点表示，两个数的大小关系就转化为两个点的左右位置关系，显然数轴上两个点的位置关系分为三种： 两个数a,b的大小关系 两个点的位置关系 2.有理数的大小比较方法： （1）在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大（可以类比人的右手力量大于左手形象记忆）； （2）正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 3. 对于有理数 a，b，下列三种关系有且只有一种成立: ,, 4.有理数的大小关系可以借助数轴转化为点的位置关系。 ，说明，画在数轴上对应的点的位置关系是在的右边， ，说明，画在数轴上对应的点的位置关系是在的右边， 所以，一定在的右边，即。 同理，我们可以得到如果,那么就有。 5.有理数的大小关系与自然数一样也具有传递性： （1）如果,那么就有。 （2）如果,那么就有。 知识点5：绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a|. 3.绝对值的代数意义： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 4.绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。 5.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即 6.利用绝对值比较两个有理数的大小： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 知识点6：相反数 1.相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0，即：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数。 2.相反数的表示方法：的相反数为。 3.相反数的性质： （1）和的关系：若两数互为相反数，则；反之，若，则两数互为相反数。 （2）位置关系：互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等. 4.多重符号的化简问题： 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定： 若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-1)]}=1 ； 若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-1)]}=-1 . 知识点7：有理数的加法 1.有理数的加法法则：（分类讨论的数学思想） （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 名师点拨：如何利用加法法则进行加法运算？ （1）判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则；； （2）确定和的符号(是“+”还是“－”)． （3）求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)． 2.加法运算律： （1）加法交换律： （2）加法结合律： 名师点拨： （1）加法运算律的作用：简化运算，凑整十整百，凑同分母的，同号的数； （2）交换加数的位置时，不要忘记符号． 知识点8：有理数的减法 1.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 名师点拨： （1）将减法转化为加法时，注意“两变”，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”． （2）灵活使用减法法则，比较熟练的同学也可以不按步骤，直接写结果，提高效率。 知识点9：有理数的加减混合运算 1.做有理数的加减混合运算题目时的步骤： （1）观察问题中包含的运算，思考能否使用加法运算律，能用则用，简化运算； （2）将加减法统一成加法运算； （3）利用加法运算法则解决问题。 知识点10：有理数的乘法 1.有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 名师点拨： （1）不为0的两数相乘，先定符号，再把绝对值相乘． （2）当乘数中有负数时，必须用括号括起来，如5与-3的乘积，应列为5×(-3)，不应该写成5×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广：（乘法的符号法则） （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定： 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 名师点拨： （1）几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等：即：． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 即：． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 即：． 名师点拨： （1）利用交换律时，要连同符号一起交换，符号也是乘数的一部分． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，运算是恒等变形，可以从前到后，也可以从后到前，也就是可以正用，也可以逆用． 4.倒数的概念： 乘积是1的两个数互为倒数． 名师点拨： （1）“互为倒数”的两个数是一种关系，必须成对出现.如-2的倒数是，不能说是倒数； （2）0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； （3）互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)因此，正数的倒数必定还是正数；负数的倒数必定还是负数． 知识点11：有理数的除法 1. 有理数除法法则： 法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 名师点拨： （1）0不能当除数； （2）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 2.有理数的乘除混合运算： 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 3.有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 知识点12：乘方 1.乘方的定义：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 即有：. 底数：在中，叫做底数， 指数：n叫做指数. 1. 特别地，当指数=2时，一般成为平方；当指数=3时，一般成为立方。 名师点拨： （1）乘方与幂是不同的，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果． （2）当底数是以下几种情况时，要用括号括起来： 底数是负数、底数是分数、底数不是单独的一个数而是含有运算的式子。 （3）一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写． 2.乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即． 名师点拨： （1）有理数的乘方运算，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． （2）计算幂时，可以转化成乘法计算。 知识点13：科学记数法 1.科学记数法的定义： 把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法. 名师点拨： （1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样； （2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1. 知识点14：有理数的混合运算 1.有理数的混合运算顺序：（三原则） (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 3. 乘方运算的结果及符号的规律 知识点21 有理数的混合运算顺序 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算．运算顺序是先算高级，再算低级；同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的． 知识点22 科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种记数方法叫作科学记数法．对于小于10的数也可以类似表示．例如． 【题型1 正负数的概念——判断一个数是正数、负数】 1．（24-25七年级上·江苏常州·期中）四个数，0，3，2，其中负数是（　　） A． B．0 C．3 D．2 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）在，，，中，负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）下列各数中是负数的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）下列各数中，是负数的是（   ） A．4 B． C． D．0 5．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）在五个数中，正数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 正负数的作用——表示具有相反意义的量】 6．（24-25七年级上·江苏南京·期中）冰箱冷藏室的温度零上，记作，冷冻室的温度零下，应记作（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利50元，记作“元”，那么亏损20元，记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 8．（24-25七年级上·江苏南通·期中）中国是世界上最早认识和应用负数的国家，如今，负数在日常生活中得到了十分广泛的应用，例如，零上记作，那么，零下记作（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）若收入200元记为元，那么支出50元将记为（  ） A．元 B．元 C．元 D．元 10．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）《九章算术》是中国古典数学最重要的著作，其中在“方程章”中提出了“正负术”．如果支出80元记作元，那么收入100元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【题型3 有理数的概念及分类——判断一个数属于什么类别】 11．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）下列一组数：，2.7，，，0，2，分数有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3个 D．4个 12．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）下列四个数中是整数的是（    ） A． B．2.4 C．0 D． 13．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）下列关于有理数的描述：（   ） ①有限小数和循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下列各数：，，0，，，，其中分数有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 15．（24-25七年级上·江苏常州·期中）下列说法正确的是（   ） A．正整数和负整数统称为整数 B．零表示不存在，所以零不是有理数 C．非负有理数就是正有理数 D．整数和分数统称为有理数 【题型4 有理数的大小比较——比较几个有理数的大小】 16．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下列数中，比小的数是（　　） A． B． C． D． 17．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期，下列各组有理数大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级上·江苏南京·期中）已知有理数a，b，c，下列推理体现有理数大小的传递性的是（    ） A．如果，且，那么 B．如果，且，那么 C．如果，且，那么 D．如果，且，那么 19．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）下列各数中，比小的数是（   ） A． B． C．0 D．5 20．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）下列数中，相反数等于本身的数是（   ） A． B．1 C．0 D． 【题型5 相反数的概念——判断或直接写出一个数的相反数】 21．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）的相反数是（   ） A． B． C． D．2025 22．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）若x是的相反数，，则的值是（    ） A． B．7 C．或 D．或7 23．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）若a的相反数等于2，则a是（    ） A． B． C． D．2 24．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（   ） A．2024 B． C． D． 25．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）下列说法正确的是（    ） A．是相反数 B．与互为相反数 C．是的相反数 D．与互为相反数 【题型6 绝对值的概念——判断或写出一个数的绝对值或根据绝对值写数】 26．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）绝对值是的负数为 ． 27．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）一个数a在数轴上的对应点在原点左侧，且，则a的值为 ． 28．（24-25七年级上·全国·期中）一个数在数轴上表示的点离原点的距离是5，这个数是 ． 29．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）在数轴上，表示一个数的点与原点的距离是3，那么这个数的绝对值是（    ） A．3或-3 B．3 C．-3 D．不能确定 30．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）计算：（    ） A．10 B． C． D． 【题型7 多重符号的化简——根据相反数和绝对值化简多重符号】 31．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习） ； ． 32．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）计算： ． 33．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习） ， ． 34．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）化简： ， ． 35．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）化简： ． 【题型8 数轴与有理数——用数轴上的点表示有理数】 36．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）（）如图是一个不完整的数轴，请将数轴补充完整，并把下列各数在数轴上表示出来； ，，，，． （）将上述各数按从小到大的顺序用“”把它们连接起来． 37．（23-24七年级上·江苏扬州·期中） （1）请你在数轴上表示下列各数：，，，， （2）将上列原数按照从小到大的顺序用不等号“＜”连接起来． 38．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）把下列各数在数轴上表示出来，并把各数用“”连接起来： ，，， ． 39．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）在数轴上表示下列各数，并用“＜”把这些数连接起来． ． 40．（24-25七年级上·江苏南京·期中）在数轴上画出表示，2，这些数的点，并按从小到大的顺序，用“”号把这些数连接起来． 【题型9 有理数的混合运算——根据有理数加减乘除乘方法则计算】 41．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 42．（24-25七年级上·江苏常州·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 43．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 44．（24-25七年级上·江苏南京·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 45．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型10 有理数的乘方——根据乘方的概念填空或计算】 46．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）下列各式中与相等的是（   ） A． B． C． D． 47．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）下面各组数中，相等的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 48．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）下列有理数数中，平方最大的数是（    ） A． B． C． D．2 49．（24-25七年级上·江苏常州·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 50．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）下列各组数中，相等的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型11 乘方的简单应用——根据乘方的概念列式计算】 51．（24-25七年级上·江苏南京·期中）珠穆朗玛峰高约为米，而一张纸的厚度约为毫米．假设这张纸能够无限次对折，若要使它的厚度超过珠穆朗玛峰高度，则这张纸对折的次数至少是（    ）（参考数据：） A．次 B．次 C．次 D．次 52．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）在课外兴趣小组活动中，小明对制作的行走机器人进行5分钟行走测试．若机器人第1分钟行走，从第2分钟起每分钟的行走路程是前一分钟的2倍，则机器人在第5分钟行走的路程是（    ） A． B． C． D． 53．（23-24七年级上·江苏南京·期中）某种细菌每分钟可由1个分裂成2个，将1个细菌放在培养瓶中经过64分钟就能分裂满一瓶．若将4个这种细菌放入同一个培养瓶中，分裂满一瓶的时间是（　　） A．16分钟 B．32分钟 C．52分钟 D．62分钟 54．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为64米的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是 米． 55．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）有一张厚度为毫米的纸，将它对折一次后，厚度为毫米，对折10次后的厚度最接近于（   ） A．数学课本的厚度 B．成人的手掌宽度 C．课桌的高度 D．一层楼的高度 【题型12 科学记数法——利用科学记数法表示一个大数】 56．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）2024年9月25日，中国人民解放军火箭军在南太平洋相关公海海域成功发射了1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，并准确落入预定海域，射程约12000000米，创下了全球洲际导弹实际测试中的最远纪录．用科学记数法表示12000000是（   ） A． B． C． D． 57．（24-25七年级上·江苏南京·期中）马赫是表示速度的量词，1马赫即音速（音速）．东风型洲际弹道导弹的飞行速度高达25马赫，则25马赫约为（    ） A． B． C． D． 58．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）目前东台沿海拥有1560000亩滩涂，数据1560000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 59．（24-25七年级上·江苏常州·期中）神舟十七号航天员汤洪波在轨飞行总时长达到多分钟，成为目前中国在轨飞行时间最长的航天员，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 60．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）2024年6月25日13时41分许，嫦娥六号返回器以每秒米的速度第一次进入地球大气层，最终实现世界首次月球背面采样返回．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【题型13 程序图计算——利用有理数的运算法则按程序计算】 61．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）如图，按下面的程序计算，当输入时，则输出y的值是（    ） A．14 B． C．18 D． 62．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）如图，是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是（    ） A． B． C． D． 63．（23-24七年级上·江苏南京·期中）如图是一数值转换机的示意图，若输入的x值为2，则输出的结果是（   ） A．6 B．3 C．1 D． 64．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）根据如图所示的计算程序，若输出的值，则输入的值 ． 65．（24-25七年级上·江苏常州·期中）按如图所示的程序计算，若输入的数值为3，则输出的结果是 ． 【题型14 有理数运算的应用——利用有理数的运算解决实际问题】 66．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）杨老师到市政务中心办理业务，假设乘电梯向上一楼记作，向下一楼记作．杨老师从1楼（即地面楼层）出发，电梯上下楼层依次记录如下：（单位：层），，，，，，． (1)请通过计算说明杨老师最后是否回到了出发地1楼？ (2)该中心大楼每层楼高约3米，电梯每向上或向下1米需要耗电度，根据杨老师现在所处位置，请你算算，他办理业务时电梯需要耗电多少度？ 67．（24-25七年级上·江苏常州·期中）作为城市高质量发展“大动脉”的常州地铁，近年来为城市发展和居民生活提供了高效便捷的公共交通服务．其中1号线是常州市第一条开工建设的地铁线路，于2019年9月21日开通运营，这条线路呈南北走向，北起新北区森林公园站，途经天宁区，南至武进区南夏墅站．如图为1号线串联的部分站点．据统计，2024年10月1日至7日，常州地铁1号线客流量达万人次． (1)若万人次用科学记数法表示为人次，则_______． (2)某天，小红同学从环球港站开始乘坐地铁1号线，在地铁各站点做志愿者服务，到A站下车时，本次志愿者服务活动结束，约定向南夏墅站方向为正，当天的乘车记录如下（单位：站）：． ①请通过计算说明A站是哪一站？ ②若相邻两站之间的平均距离为千米，求这次小红志愿服务期间乘坐地铁行进的路程是多少千米？ 68．（24-25七年级上·江苏南京·期中）巴黎奥运会十米气步枪决赛中，中国选手盛李豪以24枪环的成绩夺冠．若以环为基准，记录相对环数，超过的环数记为正数，不足的环数记为负数．最后10枪的射击成绩（单位：环）的相对环数记录如下表． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 相对环数 (1)序号⑩所对应的射击成绩为______环； (2)求最后10枪的平均射击成绩． 69．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）出租车司机王师傅某天下午的营运都是在东西方向的洪泽湖路上进行，如果规定向东行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下：、、、、、、、． (1)若把王师傅下午出发地记为0，他将最后一名乘客送抵目的地时，王师傅距下午出发地有多远，他最后在出发地的什么方向？ (2)如果汽车耗油量为0.05升/千米，那么这天下午汽车共耗油多少升？ 70．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）连云港市在创建全国文明过程中，建设中建造了一批道路，建设完工之后，将极大的方便当地群众出行．某公路养护小组，乘车从出发点沿南北向公路巡视维护，如果约定向北为正，向南为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，，，． (1)养护小组到达最北面的地方记为点，到达最南面的地方记为点，、两地的距离多远？ (2)若汽车耗油量为每千米升，则这次养护共耗油多少升？ 【题型15 算24点问题——利用有理数的运算设计24点】 71．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）玩“24点”游戏，规则如下：任取四个整数（每个数只用一次）进行“、、、”四则运算，使其运算结果为24.现有四个整数、、4、5，请用上述规则，写出算式 ． 72．（2024七年级上·江苏·专题练习）有一种扑克牌游戏叫做“24点”．要求是可以用加、减、乘、除、乘方五种运算把扑克牌牌面上的数算成24．每张牌必须用且只能用一次．如果有四张牌如图所示，请列出一种“24点”算式 ． 73．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．这两张卡片上的数字分别是 ； (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小．则这个最小的商为 ； (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子及运算过程．（写出一种即可） 74．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）红红有6张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 ； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是 ； (3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次），请写出两种符合要求的运算式子： ， ． 75．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）已知五个数分别为：，，，，． (1)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来； (2)将前四个数通过有理数的混合运算（每个数只能算一次），得到运算结果“24”，请写出算式． 【题型16 新定义运算问题——利用有理数的运算法则按新定义计算】 76．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）对于有理数a、b定义一种新运算“”，例如：． (1)填空：______，______， (2)若，则______； (3)判断“”运算是否满足交换律，请说明理由． 77．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）对于两个有理数a、b，我们对运算“”作出如下定义： (1)计算： ； (2)若，求的值． 78．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）现定义某种新运算：对任意两个有理数a、b ，有．如：，． (1)计算： (2)计算： 79．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）七年级王华同学在学习完第二章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣．她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． 比如： (1)求的值； (2)用学习有理数的经验和方法来验证这种新运算“”是否具有交换律？请写出你的验证过程． 【题型17 绝对值的非负性——利用绝对值的非负性求字母的值】 80．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若，则 ． 81．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）若与互为相反数，则 82．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）若，则 ． 83．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知，则 ； ． 84．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）已知，则的值是 ． 85．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么 ．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为 ． 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．下列各有理数：，，，，，，，，，中（ ） A．只有，，，是整数 B．只有，，是负分数 C．非负数有，，， D．其中有三个数是正整数 2．若某条河的水位上升，记作，则水位下降，应记作（    ） A． B． C． D． 3．点A在数轴上表示的数是，将点A沿数轴移动5个单位长度后得到点B，则点B所表示的数是（    ） A．3 B． C．3或 D．5或 4．如图，如果有理数的绝对值是的绝对值的倍，那么数轴的原点是，，，中的哪个点?（         ） A．点 B．点 C．点或点 D．点或点 5．比较下列各组数的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．下列运算中正确的个数有（    ） ①     ②    ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，点A，B对应的数分别为a，b．对于结论：①，②，③，④，以上说法正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．下列各式运用运算律不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，这是一个“数值转换机”，若输入数字1，则输出结果为（   ） A． B．3 C． D．11 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．比较大小： （用“＞”或“＜”表示）． 12．若a的绝对值小于5，写出a的一个值 ．（写出一个即可） 13．若，，且在数轴上表示a的点在表示b的点的左侧，则 ． 14．符号化简 ． 15．某市某日的最高气温为，最低气温为，则该日的温差是 ． 16．若，则 ． 17．规定符号的意义是，那么 18．小华同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为，这个数用科学记数法表示为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共50分） 19．（本题10分）把下列各数分别填入相应的集合里．（填序号即可） ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 正有理数集合：{                        …}；负有理数集合：{                       …}； 整数集合：{                       …}；负整数集合：{                       …}； 有理数集合：{                       …}． 20．（本题12分）计算 (1) (2) (3) (4)（用简便方法计算） 21．（本题8分）如图，数轴上有、两点． (1)、两点表示的数分别是____，____； (2)若点表示，点表示，请你把点、点表示在如图所示的数轴上； (3)将四个点所表示的数用“”连接起来． 22．（本题10分）某一出租车一天下午以汉阳商场为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：、、、、、． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车位于汉阳商场什么位置？（提示：画数轴表示） (2)直接写出该出租车在行驶过程中，离汉阳商场最远的距离是___________； (3)出租车按物价部门规定，行程不超过，按起步价10元收费，若行程超过，则超过的部分，每千米加收1.6元，该司机这个下午的营业额是多少？ 23．（本题10分）阅读下列内容，并完成相关问题． 小明定义了一种新的运算，取名为※（加乘）运算．按这种运算进行运算的算式举例如下： ；； ；； ；． 问题： (1)请归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时，________．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，________． (2)计算：．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请任选一个运算律，判断它在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com 2025-2026学年七年级上学期数学同步培优 ——重点、热点、难点题型全归纳 2025-2026学年七年级上学期（2024苏科版） 第二章 有理数 - 2 - - 8 - 【题型1 正负数的概念——判断一个数是正数、负数】 - 8 - 【题型2 正负数的作用——表示具有相反意义的量】 - 8 - 【题型3 有理数的概念及分类——判断一个数属于什么类别】 - 9 - 【题型4 有理数的大小比较——比较几个有理数的大小】 - 11 - 【题型5 相反数的概念——判断或直接写出一个数的相反数】 - 13 - 【题型6 绝对值的概念——判断或写出一个数的绝对值或根据绝对值写数】 - 15 - 【题型7 多重符号的化简——根据相反数和绝对值化简多重符号】 - 17 - 【题型8 数轴——用数轴上的点表示有理数】 - 18 - 【题型9 有理数的混合运算——根据有理数加减乘除乘方法则计算】 - 22 - 【题型10 有理数的乘方——根据乘方的概念填空或计算】 - 29 - 【题型11 乘方的简单应用——根据乘方的概念列式计算】 - 29 - 【题型12 科学记数法——利用科学记数法表示一个大数】 - 31 - 【题型13 程序图计算——利用有理数的运算法则按程序计算】 - 36 - 【题型14 有理数运算的应用——利用有理数的运算解决实际问题】 - 36 - 【题型15 算24点问题——利用有理数的运算设计24点】 - 38 - 【题型16 新定义运算问题——利用有理数的运算法则按新定义计算】 - 46 - 【题型17 绝对值的非负性——利用绝对值的非负性求字母的值】 - 46 - - 50 - 知识点1：正数与负数 1.引入正数和负数两个概念是为了表示两个相反意义的量： （1） 表示海拔高度超过海平面的用正数表示，海拔高度低于海平面的用负数表示； （2） 表示温度高于0摄氏度用正数表示，温度低于0摄氏度用负数表示； （3） 表示盈利的钱数用正数表示，亏损的钱数用负数表示。 2.表示两个相反意义的量，哪个用正数表示，哪个用负数表示，是人为规定的，一般表示高的，上涨的，等量用正数表示，相反的用负数表示。 3.正数：像+1、2、1.2、、π等大于0的数，叫做正数； 4.负数：像-1、-2、－1.2、－π等小于0的数，叫做负数． 知识点2：有理数的概念及分类 1. 有理数的概念：整数和分数统称为有理数。 2. 有理数的四种表现形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数。判断一个数是不是有理数，只要看看这个数是不是这四种就行了，如果是这四种中一个，那这个数一定是有理数；如果不是这四种中的任何一种，那它一定不是有理数。 3. 有理数的分类方法： （1）按概念分类： （2）按正负分类： 　 知识点3：数轴的概念、画法、数轴上的点与有理数的关系 1.数轴是规定了原点，正方向，单位长度的直线。 2.数轴的三要素：原点，正方向，单位长度。 3.数轴的画法 （1）第一步：画一条直线（通常画成水平的）； （2）第二步：在这条直线上描上一个点作为原点，用这个点表示0； （3）第三步：在这条直线的右末端画上箭头，用来表示正方向； （4）第四步：根据实际需要，选取适当的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 这样，数轴就画好了。 4.有理数可以用数轴上的一个点表示，但数轴上的点表示的数并不都是有理数。 （1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示． （2）任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点表示的数不一定都是有理数，还可以表示其他数（无理数），比如等． 知识点4：有理数的大小比较 1.可以将有理数a，b都画在数轴上，这样两个数就可以用两个点表示，两个数的大小关系就转化为两个点的左右位置关系，显然数轴上两个点的位置关系分为三种： 两个数a,b的大小关系 两个点的位置关系 2.有理数的大小比较方法： （1）在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大（可以类比人的右手力量大于左手形象记忆）； （2）正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 3. 对于有理数 a，b，下列三种关系有且只有一种成立: ,, 4.有理数的大小关系可以借助数轴转化为点的位置关系。 ，说明，画在数轴上对应的点的位置关系是在的右边， ，说明，画在数轴上对应的点的位置关系是在的右边， 所以，一定在的右边，即。 同理，我们可以得到如果,那么就有。 5.有理数的大小关系与自然数一样也具有传递性： （1）如果,那么就有。 （2）如果,那么就有。 知识点5：绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a|. 3.绝对值的代数意义： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 4.绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。 5.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即 6.利用绝对值比较两个有理数的大小： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 知识点6：相反数 1.相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0，即：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数。 2.相反数的表示方法：的相反数为。 3.相反数的性质： （1）和的关系：若两数互为相反数，则；反之，若，则两数互为相反数。 （2）位置关系：互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等. 4.多重符号的化简问题： 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定： 若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-1)]}=1 ； 若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-1)]}=-1 . 知识点7：有理数的加法 1.有理数的加法法则：（分类讨论的数学思想） （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 名师点拨：如何利用加法法则进行加法运算？ （1）判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则；； （2）确定和的符号(是“+”还是“－”)． （3）求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)． 2.加法运算律： （1）加法交换律： （2）加法结合律： 名师点拨： （1）加法运算律的作用：简化运算，凑整十整百，凑同分母的，同号的数； （2）交换加数的位置时，不要忘记符号． 知识点8：有理数的减法 1.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 名师点拨： （1）将减法转化为加法时，注意“两变”，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”． （2）灵活使用减法法则，比较熟练的同学也可以不按步骤，直接写结果，提高效率。 知识点9：有理数的加减混合运算 1.做有理数的加减混合运算题目时的步骤： （1）观察问题中包含的运算，思考能否使用加法运算律，能用则用，简化运算； （2）将加减法统一成加法运算； （3）利用加法运算法则解决问题。 知识点10：有理数的乘法 1.有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 名师点拨： （1）不为0的两数相乘，先定符号，再把绝对值相乘． （2）当乘数中有负数时，必须用括号括起来，如5与-3的乘积，应列为5×(-3)，不应该写成5×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广：（乘法的符号法则） （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定： 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 名师点拨： （1）几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等：即：． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 即：． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 即：． 名师点拨： （1）利用交换律时，要连同符号一起交换，符号也是乘数的一部分． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，运算是恒等变形，可以从前到后，也可以从后到前，也就是可以正用，也可以逆用． 4.倒数的概念： 乘积是1的两个数互为倒数． 名师点拨： （1）“互为倒数”的两个数是一种关系，必须成对出现.如-2的倒数是，不能说是倒数； （2）0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； （3）互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)因此，正数的倒数必定还是正数；负数的倒数必定还是负数． 知识点11：有理数的除法 1. 有理数除法法则： 法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 名师点拨： （1）0不能当除数； （2）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 2.有理数的乘除混合运算： 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 3.有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 知识点12：乘方 1.乘方的定义：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 即有：. 底数：在中，叫做底数， 指数：n叫做指数. 1. 特别地，当指数=2时，一般成为平方；当指数=3时，一般成为立方。 名师点拨： （1）乘方与幂是不同的，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果． （2）当底数是以下几种情况时，要用括号括起来： 底数是负数、底数是分数、底数不是单独的一个数而是含有运算的式子。 （3）一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写． 2.乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即． 名师点拨： （1）有理数的乘方运算，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． （2）计算幂时，可以转化成乘法计算。 知识点13：科学记数法 1.科学记数法的定义： 把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法. 名师点拨： （1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样； （2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1. 知识点14：有理数的混合运算 1.有理数的混合运算顺序：（三原则） (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 3. 乘方运算的结果及符号的规律 知识点21 有理数的混合运算顺序 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算．运算顺序是先算高级，再算低级；同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的． 知识点22 科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种记数方法叫作科学记数法．对于小于10的数也可以类似表示．例如． 【题型1 正负数的概念——判断一个数是正数、负数】 1．（24-25七年级上·江苏常州·期中）四个数，0，3，2，其中负数是（　　） A． B．0 C．3 D．2 【答案】A 【知识点】正负数的定义 【分析】此题考查了负数的知识，熟练掌握负数的定义是解题的关键． 本题根据负数的意义即可得到答案． 【详解】解：，是负数，故A选项符合题意； 0既不是正数，也不是负数，故B选项不符合题意； ，是正数，故C选项不符合题意； ，是正数，故D选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）在，，，中，负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了负数的定义，根据负数的定义求解即可． 【详解】解：在，，，中，负数是，，共有个， 故选：C． 3．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）下列各数中是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了负数的定义，根据负数的定义解题即可． 【详解】解：是负数， 故选：B． 4．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）下列各数中，是负数的是（   ） A．4 B． C． D．0 【答案】C 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了正数和负数，小于零的数是负数． 根据小于零的数是负数，可得答案． 【详解】解：A、，故4是正数，故A错误； B、，不是负数，故B项错误； C、是负数，故C正确； D、0不是负数，故D错误； 故选：C． 5．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）在五个数中，正数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】正负数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查了正数，根据正数大于0，负数小于0判断即可．掌握正数的定义是解答本题的关键． 【详解】解：在五个数中，正数有，5共2个． 故选：B． 【题型2 正负数的作用——表示具有相反意义的量】 6．（24-25七年级上·江苏南京·期中）冰箱冷藏室的温度零上，记作，冷冻室的温度零下，应记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据零上为正，零下为负，即可求解． 【详解】解：冰箱冷藏室的温度零上，记作，冷冻室的温度零下，应记作， 故选：B． 7．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利50元，记作“元”，那么亏损20元，记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：“正”和“负”相对， 所以，如果盈利50元，记作元，那么亏损20元，记作元． 故选：A． 8．（24-25七年级上·江苏南通·期中）中国是世界上最早认识和应用负数的国家，如今，负数在日常生活中得到了十分广泛的应用，例如，零上记作，那么，零下记作（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相反意义的量 【分析】此题主要考查正数和负数的意义，理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量是解题的关键． 根据正数和负数的意义，零上记作“”，零下记作“”，解答即可． 【详解】解：∵气温为零上记作， ∴气温为零下记作， 故选：A． 9．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）若收入200元记为元，那么支出50元将记为（  ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了正负数的意义，根据收入200元记为元，那么支出50元将记为元，即可作答． 【详解】解：∵收入200元记为元， ∴支出50元将记为元， 故选：B． 10．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）《九章算术》是中国古典数学最重要的著作，其中在“方程章”中提出了“正负术”．如果支出80元记作元，那么收入100元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【知识点】相反意义的量 【分析】本题主要考查了正数和负数，理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量是解题的关键． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示即可． 【详解】解：如果支出80元记作元，那么收入100元记作元． 故选：B． 【题型3 有理数的概念及分类——判断一个数属于什么类别】 11．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）下列一组数：，2.7，，，0，2，分数有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】有理数的分类 【分析】本题主要考查分数的识别，小数也属于分数． 【详解】解：在，2.7，，，0，2中，2.7，，是分数，共3个， 故选：C． 12．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）下列四个数中是整数的是（    ） A． B．2.4 C．0 D． 【答案】C 【知识点】有理数的分类 【分析】此题考查了有理数的分类，根据整数的概念求解即可．整数包括正整数，负整数和零． 【详解】解：下列四个数中是整数的是0． 故选：C． 13．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）下列关于有理数的描述：（   ） ①有限小数和循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】0的意义、有理数的定义、带“非”字的有理数、有理数的分类 【分析】本题考查有理数的相关概念和分类．根据有理数分为：整数和分数或者分为：正有理数，0，负有理数解答即可，熟记这些内容是解题关键． 【详解】解：有限小数和循环小数都是有理数，故①正确； 0是非负有理数，故②正确； 0既不是正数，也不是负数，是有理数，故③错误； 一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数，故④正确． 综上可知正确的个数是3个． 故选C． 14．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下列各数：，，0，，，，其中分数有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查的是有理数中分数的识别，根据分数的含义判断即可． 【详解】解：，，0，，，，其中分数有，，，，共4个， 故选：C． 15．（24-25七年级上·江苏常州·期中）下列说法正确的是（   ） A．正整数和负整数统称为整数 B．零表示不存在，所以零不是有理数 C．非负有理数就是正有理数 D．整数和分数统称为有理数 【答案】D 【知识点】带“非”字的有理数、有理数的分类 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：因为正整数，0，负整数统称为整数，所以A不正确； 因为0是有理数，所以B不正确； 因为非负有理数就是正有理数和0，所以C不正确； 因为整数和分数统称为有理数，所以D正确． 故选：D． 【题型4 有理数的大小比较——比较几个有理数的大小】 16．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下列数中，比小的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，正数都大于负数即可得出结论． 【详解】解：∵，，，，， ∴， ∵， ∴比小的数是， 故选：D． 17．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期，下列各组有理数大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】化简多重符号、有理数大小比较、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，化简绝对值和多重符号，先化简各个数字，再比较大小即可． 【详解】解：A．∵， ∴， 故不正确； B．∵， ∴， 故不正确； C．∵， ∴， 故正确；     D．∵， ∴， 故不正确； 故选C． 18．（24-25七年级上·江苏南京·期中）已知有理数a，b，c，下列推理体现有理数大小的传递性的是（    ） A．如果，且，那么 B．如果，且，那么 C．如果，且，那么 D．如果，且，那么 【答案】A 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数大小比较的方法；根据有理数大小比较的方法逐项判断即可． 【详解】解：、如果，且，那么，故本选项符合题意； 、如果，且，那么，故本选项不符合题意； 、如果，且，那么，故本选项不符合题意； 、如果，且，a与c大小无法比较，故本选项不符合题意； 故选：． 19．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）下列各数中，比小的数是（   ） A． B． C．0 D．5 【答案】A 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，熟知正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小是解题的关键． 根据有理数比较大小的方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选A． 20．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）下列数中，相反数等于本身的数是（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】C 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的意义．根据相反数的意义，只有符号不同的两个数为相反数，0的相反数是0求解即可． 【详解】解：相反数等于本身的数是0． 故选：C． 【题型5 相反数的概念——判断或直接写出一个数的相反数】 21．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）的相反数是（   ） A． B． C． D．2025 【答案】A 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可． 【详解】解：的相反数是． 故选A． 22．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）若x是的相反数，，则的值是（    ） A． B．7 C．或 D．或7 【答案】D 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，相反数的定义，绝对值的意义；分别求出与的值，然后代入中即可求出答案． 【详解】解：∵x是的相反数，， ∴ 当时， 当时， 故选：D． 23．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）若a的相反数等于2，则a是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】相反数的定义 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵a的相反数等于2， ∴， 故选：B． 24．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（   ） A．2024 B． C． D． 【答案】A 【知识点】相反数的定义 【分析】本题主要考查了相反数的定义，根据“只有符号不同的两个数叫互为相反数”直接求解即可得到答案，掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意可得的相反数是2024， 故选：A． 25．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）下列说法正确的是（    ） A．是相反数 B．与互为相反数 C．是的相反数 D．与互为相反数 【答案】C 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键．根据相反数的定义判断即可． 【详解】A．和是相反数，只有一个数不能称为相反数，故本选项错误； B．与，所含数字不同，不是相反数，故本选项错误； C．是的相反数，故本选项正确； D．与，所含数字不同，不是相反数，，故本选项错误； 故选：C． 【题型6 绝对值的概念——判断或写出一个数的绝对值或根据绝对值写数】 26．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）绝对值是的负数为 ． 【答案】/ 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了化简绝对值，根据绝对值是的负数，则为，即可作答． 【详解】解：依题意，绝对值是的负数为， 故答案为：． 27．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）一个数a在数轴上的对应点在原点左侧，且，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了数轴的特征，以及绝对值的含义和应用，首先根据在数轴上的对应点在原点左边，可得，然后根据，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵数a在数轴上的对应点在原点左侧， ∴， 故答案为：． 28．（24-25七年级上·全国·期中）一个数在数轴上表示的点离原点的距离是5，这个数是 ． 【答案】5或 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【解析】略 29．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）在数轴上，表示一个数的点与原点的距离是3，那么这个数的绝对值是（    ） A．3或-3 B．3 C．-3 D．不能确定 【答案】B 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查的是数轴和绝对值的知识，理解绝对值的概念是本题考查的重点；在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，根据绝对值的概念解答即可． 【详解】∵在数轴上，表示一个数的点与原点的距离是3， 根据绝对值的概念可知，这个数的绝对值是3， 故选：B． 30．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）计算：（    ） A．10 B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查的是求解一个数的绝对值，掌握绝对值的含义是解本题的关键． 【详解】解：， 故选A 【题型7 多重符号的化简——根据相反数和绝对值化简多重符号】 31．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习） ； ． 【答案】 2 【知识点】化简多重符号、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查求一个数的相反数和绝对值，根据求一个数的相反数和绝对值的意义化简求解． 【详解】解：；， 故答案为：2；． 32．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】化简多重符号 【分析】本题主要考查了化简多重符号，根据化简多重符号的方法即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 33．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习） ， ． 【答案】 2 【知识点】化简多重符号、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查了化简多重符号、化简绝对值等知识，熟练掌握绝对值的性质和相反数的性质是解题关键．根据相反数和绝对值的定义和性质，即可获得答案． 【详解】解：，． 故答案为：2，． 34．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）化简： ， ． 【答案】 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解题的关键；根据一个数前面的正号可以省略不写，一个负数的相反数为正数即可求解． 【详解】解：，； 故答案为：； 35．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）化简： ． 【答案】100 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查了相反数的定义，去括号，熟练掌握仅有符号不同的两个数称为互为相反数是解题的关键． 利用相反数的定义即可求解． 【详解】解：， 故答案为：100． 【题型8 数轴与有理数——用数轴上的点表示有理数】 36．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）（）如图是一个不完整的数轴，请将数轴补充完整，并把下列各数在数轴上表示出来； ，，，，． （）将上述各数按从小到大的顺序用“”把它们连接起来． 【答案】（）数轴表示见解析；（） 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、化简多重符号、带有字母的绝对值化简问题、用数轴上的点表示有理数 【分析】（）先化简各数，再把各数在数轴上表示出来即可； （）根据数轴比较大小即可； 本题考查了利用数轴比较有理数的大小，正确画出数轴是解题的关键． 【详解】解：（）∵，， ∴各数在数轴上表示如下： （）由数轴可得，． 37．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）（1）请你在数轴上表示下列各数：，，，， （2）将上列原数按照从小到大的顺序用不等号“＜”连接起来． 【答案】（1）见解析 （2） 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查数轴和有理数的大小： （1），，，按照数轴的定义，即可求得答案； （2）在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大． 【详解】（1），，，在数轴上表示各数如下： （2）在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，可得： 38．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）把下列各数在数轴上表示出来，并把各数用“”连接起来： ，，， ． 【答案】见解析． 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较的应用，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由大到小用“”号连接起来即可． 【详解】解：，， ， 把，，，表示在数轴上为 如图， ∴． 39．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）在数轴上表示下列各数，并用“＜”把这些数连接起来． ． 【答案】数轴见解析；． 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数和有理数大小比较，先在数轴上表示各数，根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案． 【详解】解：∵， ∴把它们表示的点画在数轴上如下： ∴． 40．（24-25七年级上·江苏南京·期中）在数轴上画出表示，2，这些数的点，并按从小到大的顺序，用“”号把这些数连接起来． 【答案】图见解析， 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，先将各数在数轴上进行表示，根据数轴上的数右边的比左边的大，比较大小即可． 【详解】解：数轴表示各数如图所示： 由数轴可知：． 【题型9 有理数的混合运算——根据有理数加减乘除乘方法则计算】 41．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)20 (2)2 (3)6 (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数加法运算、有理数乘法运算律、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可； （4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 42．（24-25七年级上·江苏常州·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)5 (2)34 (3) (4) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可； （3）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可； （4）根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 43．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）根据加法法则计算即可； （2）先把减法转化为加法，然后根据加法法则计算即可； （3）根据乘法分配律计算即可； （4）先算乘方和括号内的式子，再算括号外的乘除法，然后算减法即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 44．（24-25七年级上·江苏南京·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、求一个数的绝对值、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】（1）按照有理数的加减混合运算法则进行计算即可； （2）先将除法运算转化为乘法运算，然后进行多个有理数的乘法运算即可； （3）先将除法运算转化为乘法运算，然后运用有理数的乘法分配律即可； （4）先计算乘方并求绝对值，然后计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，有理数四则混合运算，有理数乘除混合运算，有理数的加减混合运算，有理数乘法运算律，求一个数的绝对值等知识点，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 45．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律、有理数加减中的简便运算、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算： （1）从左到右进行加减运算即可； （2）利用乘法分配律进行简便运算； （3）利用加法交换律、结合律进行简便运算； （4）先计算乘方，去绝对值，再计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【题型10 有理数的乘方——根据乘方的概念填空或计算】 46．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）下列各式中与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，解题关键是熟练掌握乘方的意义． 先根据乘方的意义计算，然后各个选项分别根据乘方的意义进行计算，然后根据计算结果进行判断即可． 【详解】解：， A．因为，所以此选项中的式子与不相等，故此选项不符合题意； B．因为，所以此选项中的式子与不相等，故此选项不符合题意； C．因为，所以此选项中的式子与相等，故此选项符合题意； D．因为，所以此选项中的式子与不相等，故此选项不符合题意． 故选：C． 47．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）下面各组数中，相等的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【知识点】化简多重符号、有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方，以及多重符号的化简，根据相关运算法则计算各项，并进行比较判断，即可解题． 【详解】解：A、，，，不符合题意； B、，，与相等，符合题意； C、，，不符合题意； D、，，不符合题意； 故选：B． 48．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）下列有理数数中，平方最大的数是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】有理数大小比较、有理数的乘方运算 【分析】本题考查的是有理数大小的比较，熟记有理数的比较法则是解题的关键．先计算出平方，再比较大小． 【详解】解：． ， 平方最大的数是， 故选：A． 49．（24-25七年级上·江苏常州·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方，根据有理数的乘方法则依次对各选项进行计算，即可作出判断．掌握有理数的乘方法则是解题的关键． 【详解】解：A．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； B．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； D．∵，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 50．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）下列各组数中，相等的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【知识点】化简多重符号、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】根据有理数的乘方运算，化简绝对值，化简多重符号，解答即可．本题考查了有理数的乘方运算，化简多重符号、绝对值定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：A．，，，故选项A符合题意； B．，，，故选项B不符合题意； C．，，，故选项C不符合题意； D．，，，故选项D不符合题意． 故选：A． 【题型11 乘方的简单应用——根据乘方的概念列式计算】 51．（24-25七年级上·江苏南京·期中）珠穆朗玛峰高约为米，而一张纸的厚度约为毫米．假设这张纸能够无限次对折，若要使它的厚度超过珠穆朗玛峰高度，则这张纸对折的次数至少是（    ）（参考数据：） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】A 【知识点】乘方的应用 【分析】本题主要考查有理数的乘方，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键，由题意可知，纸张对折次，纸张厚度为毫米，若要使它的厚度超过珠穆朗玛峰高度，则使，再由有理数的乘法逐步计算即可． 【详解】一张纸的厚度约为毫米， 纸张对折次，纸张厚度为毫米， 珠穆朗玛峰高约为米， 若要使它的厚度超过珠穆朗玛峰高度， 则有， ，，， 至少对折次后，它的厚度超过珠穆朗玛峰高度． 故选：A． 52．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）在课外兴趣小组活动中，小明对制作的行走机器人进行5分钟行走测试．若机器人第1分钟行走，从第2分钟起每分钟的行走路程是前一分钟的2倍，则机器人在第5分钟行走的路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】乘方的应用 【分析】本题主要考查有理数乘方的应用，熟练掌握有理数的乘方是解题的关键． 【详解】解：由题意得：第5分钟行走的路程是． 故选：B． 53．（23-24七年级上·江苏南京·期中）某种细菌每分钟可由1个分裂成2个，将1个细菌放在培养瓶中经过64分钟就能分裂满一瓶．若将4个这种细菌放入同一个培养瓶中，分裂满一瓶的时间是（　　） A．16分钟 B．32分钟 C．52分钟 D．62分钟 【答案】D 【知识点】数字类规律探索、乘方的应用 【分析】本题考查有理数的乘方应用，数字类规律探究．根据细菌分裂的规律以及有理数乘方的计算方法分别进行计算即可． 【详解】解：将1个细菌放在培养瓶中， 第1分钟，细菌的个数为， 第2分钟，细菌的个数为， 第3分钟，细菌的个数为， 第4分钟，细菌的个数为， ……； ∴第n分钟，细菌的个数为； ∴第64分钟，细菌的个数为； 将4个细菌放在培养瓶中， 第1分钟，细菌的个数为， 第2分钟，细菌的个数为， 第3分钟，细菌的个数为， 第4分钟，细菌的个数为， ……； ∴第n分钟，细菌的个数为， ∴第62分钟，细菌的个数为； 故选：D． 54．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为64米的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是 米． 【答案】2 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数乘方，掌握有理数乘方的意义及性质，理解题意写出算式是解题关键． 根据题意依次算出每一天剩余木棍的长度，观察规律即可求得第5天截取后木棍剩余的长度． 【详解】解：第一天截取后剩：米 第二天截取后剩：米 …… ∴第五天截取后剩：米． 故答案为：2． 55．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）有一张厚度为毫米的纸，将它对折一次后，厚度为毫米，对折10次后的厚度最接近于（   ） A．数学课本的厚度 B．成人的手掌宽度 C．课桌的高度 D．一层楼的高度 【答案】B 【知识点】乘方的应用 【分析】本题主要考查了有理数乘方的实际应用，根据每次对折厚度是原来的2倍，求出对折十次后的厚度即可得到答案． 【详解】解；有一张厚度为毫米的纸，将它对折一次后，厚度为毫米，对折10次后的厚度为毫米，即接近成人的手掌宽度， 故选：B． 【题型12 科学记数法——利用科学记数法表示一个大数】 56．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）2024年9月25日，中国人民解放军火箭军在南太平洋相关公海海域成功发射了1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，并准确落入预定海域，射程约12000000米，创下了全球洲际导弹实际测试中的最远纪录．用科学记数法表示12000000是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：， 故选B． 57．（24-25七年级上·江苏南京·期中）马赫是表示速度的量词，1马赫即音速（音速）．东风型洲际弹道导弹的飞行速度高达25马赫，则25马赫约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数乘法的实际应用、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法—表示较大的数，有理数乘法的实际应用等知识点，牢记科学记数法的表示形式是解题的关键：科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值；确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，绝对值与小数点移动的位数相同：当原数绝对值时，是正数，当原数的绝对值时，是负数，据此确定的值以及的值即可． 先求出东风型洲际弹道导弹以为单位的飞行速度，然后将结果用科学记数法表示即可． 【详解】解：25马赫， 故选：． 58．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）目前东台沿海拥有1560000亩滩涂，数据1560000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据1560000用科学记数法表示为， 故选：A． 59．（24-25七年级上·江苏常州·期中）神舟十七号航天员汤洪波在轨飞行总时长达到多分钟，成为目前中国在轨飞行时间最长的航天员，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B 60．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）2024年6月25日13时41分许，嫦娥六号返回器以每秒米的速度第一次进入地球大气层，最终实现世界首次月球背面采样返回．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：， 故选：B． 【题型13 程序图计算——利用有理数的运算法则按程序计算】 61．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）如图，按下面的程序计算，当输入时，则输出y的值是（    ） A．14 B． C．18 D． 【答案】A 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数加法运算、程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，将代入列式求解即可． 【详解】解：当输入时，． 故选：A． 62．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）如图，是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数乘法与减法的应用，将代入程序图，根据有理数的乘法与减法法则进行计算，直到计算结果小于即可得．读懂计算程序图是解决问题的关键． 【详解】解：输入时，输出的结果为：， 输入时，输出的结果为：， 则最后输出的结果是， 故选：B． 63．（23-24七年级上·江苏南京·期中）如图是一数值转换机的示意图，若输入的x值为2，则输出的结果是（   ） A．6 B．3 C．1 D． 【答案】A 【知识点】程序流程图与代数式求值、程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查列代数式，代数式求值．根据数值转换机列代数式，将代入计算可求解． 【详解】解：由题意可得， 当时，， 故选：A． 64．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）根据如图所示的计算程序，若输出的值，则输入的值 ． 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了了流程图与有理数的混合运算，由题意可得，即得，据此即可求解，看懂计算程序是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 65．（24-25七年级上·江苏常州·期中）按如图所示的程序计算，若输入的数值为3，则输出的结果是 ． 【答案】/ 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数的运算．按照程序把3代入进行计算，若小于或等于，再代入计算即可求解． 【详解】解：当输入的数值为3时， ， 故答案为：． 【题型14 有理数运算的应用——利用有理数的运算解决实际问题】 66．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）杨老师到市政务中心办理业务，假设乘电梯向上一楼记作，向下一楼记作．杨老师从1楼（即地面楼层）出发，电梯上下楼层依次记录如下：（单位：层），，，，，，． (1)请通过计算说明杨老师最后是否回到了出发地1楼？ (2)该中心大楼每层楼高约3米，电梯每向上或向下1米需要耗电度，根据杨老师现在所处位置，请你算算，他办理业务时电梯需要耗电多少度？ 【答案】(1)杨老师最后回到了出发地1楼 (2)32.4度 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、有理数加法在生活中的应用、正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）把上下楼层的记录相加，根据有理数的加法运算法则进行计算，如果等于0则能回到1楼，否则不能； （2）求出上下楼层所走过的总路程，然后乘以即可得解． 【详解】（1）解： ， ∴杨老师最后能回到出发点1楼； （2）解：杨老师走过的路程是： ， 他办事时电梯需要耗电（度． 答：他办事时电梯需要耗电度． 67．（24-25七年级上·江苏常州·期中）作为城市高质量发展“大动脉”的常州地铁，近年来为城市发展和居民生活提供了高效便捷的公共交通服务．其中1号线是常州市第一条开工建设的地铁线路，于2019年9月21日开通运营，这条线路呈南北走向，北起新北区森林公园站，途经天宁区，南至武进区南夏墅站．如图为1号线串联的部分站点．据统计，2024年10月1日至7日，常州地铁1号线客流量达万人次． (1)若万人次用科学记数法表示为人次，则_______． (2)某天，小红同学从环球港站开始乘坐地铁1号线，在地铁各站点做志愿者服务，到A站下车时，本次志愿者服务活动结束，约定向南夏墅站方向为正，当天的乘车记录如下（单位：站）：． ①请通过计算说明A站是哪一站？ ②若相邻两站之间的平均距离为千米，求这次小红志愿服务期间乘坐地铁行进的路程是多少千米？ 【答案】(1)6 (2)①站是奥体中心站；②54千米 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法、正负数的应用、有理数加减法与乘法的应用等知识，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键． （1）本题考查了科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．由此即可得． （2）①将记录的数字相加，由此即可得； ②将记录的数字的绝对值相加，再乘以相邻两站之间的平均距离即可得． 【详解】（1）解：万， ∵万人次用科学记数法表示为人次， ∴， 故答案为：6． （2）解：① （站）， 所以由题意可知，站是奥体中心站． ② （千米）， 答：这次小红志愿服务期间乘坐地铁行进的路程是54千米． 68．（24-25七年级上·江苏南京·期中）巴黎奥运会十米气步枪决赛中，中国选手盛李豪以24枪环的成绩夺冠．若以环为基准，记录相对环数，超过的环数记为正数，不足的环数记为负数．最后10枪的射击成绩（单位：环）的相对环数记录如下表． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 相对环数 (1)序号⑩所对应的射击成绩为______环； (2)求最后10枪的平均射击成绩． 【答案】(1) (2)环 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、有理数加法在生活中的应用、正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用，有理数加法在生活中的应用等知识点，读懂题意，根据题中正负数的含义，正确列式计算是解题的关键． （1）根据“射击成绩基准相对环数”即可得出答案； （2）根据“平均射击成绩基准相对环数的平均数”即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得： 序号⑩所对应的射击成绩为（环）， 故答案为：； （2）解：由题意可得： （环）， 最后枪的平均射击成绩为环． 69．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）出租车司机王师傅某天下午的营运都是在东西方向的洪泽湖路上进行，如果规定向东行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下：、、、、、、、． (1)若把王师傅下午出发地记为0，他将最后一名乘客送抵目的地时，王师傅距下午出发地有多远，他最后在出发地的什么方向？ (2)如果汽车耗油量为0.05升/千米，那么这天下午汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)13千米，在出发地的西边 (2)2.05升 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、绝对值的几何意义、有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的混合运算的实际应用，根据题意列出算式是解题关键，注意不论向哪个方向行驶都耗油． （1）根据有理数的加法，可得王师傅距下午出发地有多远； （2）根据行车路程，可得耗油量． 【详解】（1）解：（千米）． 答：他将最后一名乘客送抵目的地时，距下午出发地有13千米远，他最后在出发地的西边； （2）解：（升）． 答：这天下午汽车共耗油2.05升． 70．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）连云港市在创建全国文明过程中，建设中建造了一批道路，建设完工之后，将极大的方便当地群众出行．某公路养护小组，乘车从出发点沿南北向公路巡视维护，如果约定向北为正，向南为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，，，． (1)养护小组到达最北面的地方记为点，到达最南面的地方记为点，、两地的距离多远？ (2)若汽车耗油量为每千米升，则这次养护共耗油多少升？ 【答案】(1)千米 (2)这次养护共耗油升 【知识点】有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查了有理数加减法的应用，正负数的应用．根据题意列出算式是解题的关键． （1）先求出点、表示的数，再算两者的距离； （2）求各数据的绝对值的和，乘以每千米的耗油量计算即可． 【详解】（1）解：第一次到达巡视点：， 第二次到达巡视点：， 第三次到达巡视点：， 第四次到达巡视点：， 第五次到达巡视点：， 第六次到达巡视点：， 第七次到达巡视点：， 第八次到达巡视点：， 第九次到达巡视点：， 第十次到达巡视点：． 最北面点表示的数为，最南面点表示的数为， 千米． （2）千米， （升）， 答：这次养护共耗油升． 【题型15 算24点问题——利用有理数的运算设计24点】 71．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）玩“24点”游戏，规则如下：任取四个整数（每个数只用一次）进行“、、、”四则运算，使其运算结果为24.现有四个整数、、4、5，请用上述规则，写出算式 ． 【答案】或（答案不唯一） 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数混合运算的式子解答即可． 【详解】解： ； ． 故答案为：或（答案不唯一）． 72．（2024七年级上·江苏·专题练习）有一种扑克牌游戏叫做“24点”．要求是可以用加、减、乘、除、乘方五种运算把扑克牌牌面上的数算成24．每张牌必须用且只能用一次．如果有四张牌如图所示，请列出一种“24点”算式 ． 【答案】 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式． 根据题意和图形，可以写出一个结果为24的算式． 【详解】解：， 故答案为：． 73．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．这两张卡片上的数字分别是 ； (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小．则这个最小的商为 ； (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子及运算过程．（写出一种即可） 【答案】(1) (2) (3)（答案不唯一），运算过程见解析． 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算、算“24”点 【分析】（1）找出两个数字，要使其积最大，必须是同号相乘，即可作答； （2）找出两个数字，要使其商最小，必须是异号，即可作答； （3）利用24点游戏规则判断即可． 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∵ ∴这两张卡片上的数字分别是，此时积最大； 故答案为：，； （2）解：根据题意得：，， ∵， ∴这个最小的商为； 故答案为：； （3）解：由题意得： ． 74．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）红红有6张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 ； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是 ； (3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次），请写出两种符合要求的运算式子： ， ． 【答案】(1)18 (2) (3)； 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算、算“24”点 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出算式，找出积最大值即可； （2）根据题意列出算式，找出商最小值即可； （3）利用“24点”游戏规则列出算式即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ． 故答案为：18； （2）解：由题意，得 ． 故答案为：； （3）解：由题意，得 ；． 故答案为：；． 75．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）已知五个数分别为：，，，，． (1)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来； (2)将前四个数通过有理数的混合运算（每个数只能算一次），得到运算结果“24”，请写出算式． 【答案】(1)在数轴上表示各数见解析， (2)（答案不唯一） 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、算“24”点、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查绝对值的化简与有理数的运算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键， （1）先把各点在数轴上表示出来，从左到右用“”连接起来即可； （2）根据有理数混合运算，列式计算即可． 【详解】（1）解：， 如图， 由图可知，； （2）解：由题可得： ． 【题型16 新定义运算问题——利用有理数的运算法则按新定义计算】 76．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）对于有理数a、b定义一种新运算“”，例如：． (1)填空：______，______， (2)若，则______； (3)判断“”运算是否满足交换律，请说明理由． 【答案】(1)，6 (2) (3)满足交换律，理由见解析 【知识点】整式的加减运算、带有字母的绝对值化简问题、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了绝对值、有理数的加减法、整式的加减，理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义列出运算式子，再化简绝对值，计算有理数的加减法即可得； （2）先求出，再根据新运算的定义列出运算式子，化简绝对值，计算整式的加减即可得； （3）分三种情况：①，②和③，再根据新运算的定义求出和的值，由此即可得． 【详解】（1）解： ． ． 故答案为：，6． （2）解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． （3）解：满足交换律，理由如下： ①当时，则，， ∴， ， ∴， 此时“”运算满足交换律； ②当时， ∴， ， ∴， 此时“”运算满足交换律； ③当时，则，， ∴， ， ∴， 此时“”运算满足交换律； 综上，“”运算满足交换律． 77．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）对于两个有理数a、b，我们对运算“”作出如下定义： (1)计算： ； (2)若，求的值． 【答案】(1)22 (2) 【知识点】绝对值非负性、有理数四则混合运算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查定义新运算，有理数计算，绝对值和完全平方非负性等． （1）根据题意展开计算即可； （2）根据题意先利用非负性求出，再利用题意展开计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：22； （2）解：∵， ∴， ∴ ， ， ， ． 78．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）现定义某种新运算：对任意两个有理数a、b ，有．如：，． (1)计算： (2)计算： 【答案】(1)5 (2) 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的减法运算 【分析】本题考查新定义运算，有理数减法运算，绝对值，理解新定义的运算，熟练掌握有理数减法运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，转化成有理数减法运算，计算即可； （2）根据新定义的运算，将中括号内转化成有理数减法运算计算，再根据新定义的运算，转化成有理数减法运算，计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 79．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）七年级王华同学在学习完第二章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣．她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． 比如： (1)求的值； (2)用学习有理数的经验和方法来验证这种新运算“”是否具有交换律？请写出你的验证过程． 【答案】(1)4 (2)这种新运算“⊕”不具有交换律，理由见解析 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】（1）将，代入计算可得； （2）先计算，再与比较即可得出答案． 【详解】（1）解：（1） ； （2）解：这种新运算“⊕”不具有交换律，理由如下： ， ， ∵， ∴， ∴这种新运算“⊕”不具有交换律． 【题型17 绝对值的非负性——利用绝对值的非负性求字母的值】 80．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若，则 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 81．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）若与互为相反数，则 【答案】1 【知识点】相反数的定义、绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，先根据相反数的定义以及非负数的性质求出a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 82．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）若，则 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，解题的关键是掌握非负数的性质．根据题意得到，，求出、的值即可求解． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 83．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知，则 ； ． 【答案】 8 6 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题主要考查了方程的解和非负数的性质等知识点，根据非负数的性质得出，，进而求出x、y的值即可，熟练掌握非负数的性质是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴，， 解得：，， 故答案为：8，6． 84．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）已知，则的值是 ． 【答案】1 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了非负数的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 根据非负数的性质列式求出、，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：由题意得：，， 解得，， 所以，． 故答案为：1． 85．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么 ．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为 ． 【答案】 或 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，根据绝对值的意义解答①，由得式子表示到的距离与到的距离与到的距离的倍的和，可知，当在的位置时，距离之和最小，据此即可解答②，运用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴式子表示到的距离与到的距离与到的距离的倍的和， 可知，当在的位置时，距离之和最小，最小值为， 故答案为：或，． 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．下列各有理数：，，，，，，，，，中（ ） A．只有，，，是整数 B．只有，，是负分数 C．非负数有，，， D．其中有三个数是正整数 【答案】B 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类．根据正整数、整数（正整数、零和负整数）、非负数和负分数的定义进行解答即可． 【详解】解：A、整数包括：，，，，，故本选项错误； B、负分数包括，，，故本选项正确； C、非负数包括，，，，，故本选项错误； D、正整数只有两个，即和，故本选项错误． 故选：B． 2．若某条河的水位上升，记作，则水位下降，应记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的意义，明确题目的规定是解答的关键．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示即可． 【详解】解：水位上升，记作，则水位下降，应记作， 故选：A． 3．点A在数轴上表示的数是，将点A沿数轴移动5个单位长度后得到点B，则点B所表示的数是（    ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】C 【知识点】数轴上点的平移（动点问题） 【分析】此题是考查数轴的认识． 点A为数轴上表示的点，即点A在原点左边表示2个单位长的点，当点A沿数轴移动5个单位长度到点B时，有两种情况：一是向右移动；二是向左移动．若向右移动，移动5个单位长度时，到原点右边表示3个长度单位的点，即3，若向左移动5个单位，B点在原点左边7个单位长度的点，即． 【详解】解：点A为数轴上表示的点，当点A沿数轴移动5个单位长度到点B时，点B所表示的数为3或． 故选：C． 4．如图，如果有理数的绝对值是的绝对值的倍，那么数轴的原点是，，，中的哪个点?（         ） A．点 B．点 C．点或点 D．点或点 【答案】C 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上找原点 【分析】本题考查的知识点是数轴上找原点、用数轴上的点表示有理数，解题关键是熟练掌握数轴的相关知识点． 依题得：，分别假设数轴的原点是，，，，判断是否满足题意即可． 【详解】解：依题得：， 当数轴的原点是点时，，，不满足 当数轴的原点是点时，，，不满足； 当数轴的原点是点时，，，满足； 当数轴的原点是点时，，，满足； 综上，点或点都有可能是数轴的原点． 故选：． 5．比较下列各组数的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】化简多重符号、求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题考查化简多重符号，绝对值，比较有理数的大小．先化简多重符号、绝对值，再根据“正数大于0，0大于负数，两个负数比较时绝对值大的反而小”比较大小即可． 【详解】解：A．，错误，不合题意； B．，错误，不合题意； C．，错误，不合题意； dD．，即，正确，符合题意； 故选：D． 6．如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、相反数的应用、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了有理数的大小比较．从数轴得出，，据此判断即可． 【详解】解：由题意可知，，且，如图， ， 观察四个选项，选项B符合题意． 故选：B． 7．下列运算中正确的个数有（    ） ①     ②    ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查有理数的加减运算，掌握运算法则正确计算是解题关键．根据有理数的加减法法则进行计算，然后确定正确的个数从而求解． 【详解】解：①，故①错误； ②，故②错误； ③，故③正确； ④，故④正确， 故正确的个数有2个， 故选：B． 8．如图，点A，B对应的数分别为a，b．对于结论：①，②，③，④，以上说法正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的加法和乘法计算，根据数轴可知 ，，据此根据乘法和加法计算法则求解即可. 【详解】解：∵ ，    ∴①，此项正确；           ②，此项正确； ③，此项正确； ④，此项错误； 故选：C. 9．下列各式运用运算律不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，根据有理数的乘法运算律进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 10．如图，这是一个“数值转换机”，若输入数字1，则输出结果为（   ） A． B．3 C． D．11 【答案】B 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的运算，理解“数值转换机”的程序步骤是解题的关键． 将输入数字乘以再加上，得到计算结果，判断结果是否为正数，是则输出结果，否则再重复上一步骤，直到输出结果为止，据此即可求解． 【详解】解：，此时结果为负数， ，此时结果为正数，输出结果为3． 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．比较大小： （用“＞”或“＜”表示）． 【答案】 【知识点】化简多重符号、求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题考查了求绝对值，化简多重符号，有理数的大小比较． 化简两数后比较即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 12．若a的绝对值小于5，写出a的一个值 ．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，利用绝对值的意义进行求解即可． 【详解】解：∵a的绝对值小于5，， ∴a的值可以为1， 故答案为：1． 13．若，，且在数轴上表示a的点在表示b的点的左侧，则 ． 【答案】或 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了已知绝对值求这个数，根据数轴比较大小． 先根据绝对值求出，，再根据数轴得到，，进而代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵在数轴上表示a的点在表示b的点的左侧 ∴ 即， ∴或 故答案为：或 14．符号化简 ． 【答案】24 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查了去括号的运算法则，括号前面是正号，则可直接去括号，若括号前面是负号，则去括号要变号． 【详解】解：， 故答案为：24 15．某市某日的最高气温为，最低气温为，则该日的温差是 ． 【答案】9 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数的减法，正负数的意义，解题的关键是掌握有理数的减法法则． 利用有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】解：该日的温差是， 故答案为：9． 16．若，则 ． 【答案】6 【知识点】绝对值非负性、有理数的减法运算 【分析】本题主要考查绝对值的非负性及有理数的减法，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴； 故答案为6． 17．规定符号的意义是，那么 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解：依题意， 故答案为：． 18．小华同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为，这个数用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题，共50分） 19．（本题10分）把下列各数分别填入相应的集合里．（填序号即可） ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 正有理数集合：{                        …}；负有理数集合：{                       …}； 整数集合：{                       …}；负整数集合：{                       …}； 有理数集合：{                       …}． 【答案】①③④⑧；②⑤⑦；①④⑤⑥；⑤；①②③④⑤⑥⑦⑧ 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数． 根据有理数的定义作答即可． 【详解】正有理数集合：{①③④⑧…}； 负有理数集合：{ ②⑤⑦…}； 整数集合：{ ①④⑤⑥…}； 负整数集合：{⑤…}； 有理数集合：{①②③④⑤⑥⑦⑧…} 20．（本题12分）计算 (1) (2) (3) (4)（用简便方法计算） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键． （1）直接利用加法，减法运算法则计算即可； （2）先把除法化为乘法，再计算即可； （3）先算乘方与括号里面的，再算加减运算； （4）把原式化为，再利用分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解： ． 21．（本题8分）如图，数轴上有、两点． (1)、两点表示的数分别是____，____； (2)若点表示，点表示，请你把点、点表示在如图所示的数轴上； (3)将四个点所表示的数用“”连接起来． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了数轴，理解数轴的性质是解答关键． （1）观察数轴求解； （2）根据数轴的性质点、点表示在如图所示的数轴上即可； （3）根据数轴上右边的数总比左边的大来求解． 【详解】（1）解：根据题意得 点表示的数为4，点表示的数为． 故答案为：4，； （2）解：根据题意表示如下 （3）解：因为数轴上右边的数总比左边的数大可知 ． 22．（本题10分）某一出租车一天下午以汉阳商场为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：、、、、、． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车位于汉阳商场什么位置？（提示：画数轴表示） (2)直接写出该出租车在行驶过程中，离汉阳商场最远的距离是___________； (3)出租车按物价部门规定，行程不超过，按起步价10元收费，若行程超过，则超过的部分，每千米加收1.6元，该司机这个下午的营业额是多少？ 【答案】(1)出租车位于汉阳商场东边处 (2)14 (3)故该司机这天的营业额是149.6元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题是实际应用题，充分考查了有理数的四则运算． （1）向东为正，向西为负，结合有理数的加减运算做题即可； （2）按照累计有理数的运算求得离远点最远的位置即可； （3）根据题意求得每次的价格累计即可． 【详解】（1）解：， 故将最后一名乘客送到目的地，出租车位于汉阳商场东边处． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故离汉阳商场最远的距离是向西14， 故答案为：14； （3）解： 元 故该司机这天的营业额是149.6元． 23．（本题10分）阅读下列内容，并完成相关问题． 小明定义了一种新的运算，取名为※（加乘）运算．按这种运算进行运算的算式举例如下： ；； ；； ；． 问题： (1)请归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时，________．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，________． (2)计算：．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请任选一个运算律，判断它在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得此数的绝对值； (2)； (3)见解析． 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，正确理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据所给示例，进行总结即可； （2）根据总结的运算法则进行计算即可； （3）结合加法交换和结合律，根据运算法则举例计算，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知：两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，都得此数的绝对值； （2）解：； （3）解：选择交换律，交换律仍然适用， 例如：，， 所以， 故交换律仍然适用； 选择结合律，结合律不适用， 举例：，， ∴， 所以结合律不适用． - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $