3.2.1单调性与最大（小）值课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2 函数的基本性质 3.2.1单调性与最大（小）值 单调性 观察：观察下列各个函数图象，你能发现它们可以反映出函数的哪些性质吗？ 单调性 探究：我们以函数f(x)=x2为例，研究其单调性. 在y轴左侧，f(x)=x2图象下降的； 即当x≤0时，即f(x)随着x的增大而减小； 5 在y轴右侧，f(x)=x2图象上升的； 即当x>0时，即f(x)随着x的增大而增大. 问题：在y轴左侧和右侧，图像有什么不同，如何从自变量与函数值的角度描述这种不同？ 单调性 符号语言： 任意取, 这时我们就说函数在区间上是单调递减的. 5 思考：能否严格证明出这种关系？ 单调性 5 作差法： 因为, 所以<0 所以 思考：能否严格证明出这种关系？ 任意取, 当 有 单调性 思考：类比上述表述，描述一下当时的特点。 5 符号语言： 任意取, 当 这时我们就说函数在区间上是单调递增的. 单调性 一般地，设函数的定义域为，区间为: 如果,当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增(减）. 就叫做函数的单调递增区间，简称增(减)区间. 若函数在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它为增(减)函数 单调性 1.区间D一定是定义域I的子区间； 2.单调区间必须是连续的，不连续时要分成多个，并用逗号间隔 3.函数在某一点处不存在单调性问题，在区间端点处有定义时，书写单调区间，可以包括，也可以不包括；函数在区间端点处无定义时，书写单调区间时就不能包括端点. 拨 知 识 点 单调性 应用：图为函数y=f(x),x∈[-4,7]的图像,指出它的单调区间. 解:由图像知,函数f(x)的单调递增区间为[-1.5,3),[5,6), 单调递减区间为[-4,-1.5), [3,5), [6,7]. 单调性 探究：若函数对于某区间内任意的 ,，满足下列条件时，函数具有什么样的单调性。 在区间D单调递增(减） 单调性 探究：反比例函数的单调性并证明。 思考1：能说反比例函数是减函数吗？ 思考2：区间D上的部分自变量，满足当x1<x2，有f(x1)<f(x2)，你能说函数f(x)在区间D上单调递增吗？ 求单调性——定义法 拨 知 识 点 2.作差变形：，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，变形成几个式子乘除的形式。 3.定号：的符号确定，当符号不确定时，进行讨论 求单调性——定义法 的单调性。 解：定义域为则 ,因为，所以 ， 是增函数。 ， 是减函数。 求单调性——定义法 例2.物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强将增大，试证明此结论。 思考:“体积减少时，压强增大”的数学意义是什么？ 证明：, 求单调性——定义法 ，在单调递增；，在单调递减； ，在单调递增； ，在单调递减； 3 ，在单调递减； ，在单调递增； 或图象总结一次函数，二次函数，反比例函数的单调性。 求单调性——定义法 例3.根据定义证明函数区间单调递增。 解： 因为，所以, 因为,所以,于是即 所以函数区间单调递增。 $