精品解析：上海市民办上宝中学2022—2023学年下学期九年级数学练习（三）

初三（下）数学练习（三） 一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列方程是分式方程的是（ ） A. B. C. D. 关于的方程 2. 有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的个数有（ ） ① 两条弧的长度相等，那么它们是等弧：② 若两个圆心角相同，则它们所对应的弧相等；③在同圆或等圆中，若两弦相等，则所对的弧相等：④ 若两弧相等，则所对的圆心角相等；⑤过三点可以画一个圆；⑥三角形的外心在三角形外． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知，则（　　） A. B. C. D. 6. 如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：  ①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是（　　） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 实数范围内分解因式：__________． 8. 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是和，试写出符合要求的方程组________（只要填写一个即可）． 9. 化简计算：__________． 10. 如果不等式组的解集是，那么的值为 ． 11. 已知 ．①若，则a的取值范围是________；②若，且，则____． 12. 不等式的解集为__________． 13. 如图，直线经过两点，则不等式的解集为__________． 14. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围为______． 15. 已知为有理数，分别表示的整数部分和小数部分，且，则_________． 16. 如图，在中，．将绕C按逆时针方向旋转角后得，此时点B在上，交AB于点D．则的度数为__________． 17. 如果将点（-b，-a）称为点（a，b）“反称点”，那么点（a，b）也是点（-b，-a）的“反称点”，此时，称点（a，b）和点（-b，-a）是互为“反称点”．容易发现，互为“反称点”的两点有时是重合的，例如（0，0）的“反称点”还是（0，0）．请再写出一个这样的点：___ 18. 如图，在中，，，，动点、分别在边、上，，垂直平分线交于，交边于，设，则的取值范围__________． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 先化简，再求值：，其中 20. 解不等式组与方程组 （1）解不等式组：把它解集在数轴上表示出来，并求它的整数解． （2）解方程组： 21. 我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌，放置在教学楼的顶部(如图所示)．小明在操场上的点D处，用1米高的测角仪，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为，然后向教学楼正方向走了4米到达点F处，又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为．已知教学楼高米，且点A，B，M在同一直线上，求宣传牌的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：，，，) 22. 已知中，，D是边AC上一点，且，连接． （1）求证：； （2）若，试画出符合条件的大致图形，并求的长度． 23. 如图，梯形中，，对角线，，，，点E是边上一个点，，交于点F、交延长线于点G． （1）求证：； （2）若，求长． 24. 抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点为顶点． （1）求点及点的坐标． （2）连接，，抛物线的对称轴与轴交于点． 若线段上一点，使，求点的坐标． 若第一象限抛物线上一点，作，交直线于点，使，求点的坐标． 25. 如图，在等腰梯形中，，，，，连接，作，交边于点E． （1）设，，求关于的函数关系式并写出定义域； （2）当时，求的长； （3）当是等腰三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三（下）数学练习（三） 一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列方程是分式方程的是（ ） A. B. C. D. 关于的方程 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键； 根据分式方程的定义逐项判断即可． 【详解】A、是一元一次方程，不是分式方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，故本选项符合题意； C、的分母含未知数，但不是整式，不是分式方程，故本选项不符合题意； D、关于的方程分母不含未知数，不是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数与数轴，有理数的运算，正确从数轴得到的大小以及正负是解题的关键． 由数轴可得，，再分别判断各选项即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴，，，， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算法则．根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 4. 下列说法正确的个数有（ ） ① 两条弧的长度相等，那么它们是等弧：② 若两个圆心角相同，则它们所对应的弧相等；③在同圆或等圆中，若两弦相等，则所对的弧相等：④ 若两弧相等，则所对的圆心角相等；⑤过三点可以画一个圆；⑥三角形的外心在三角形外． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等弧的概念，在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条优弧（或劣弧），两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余 各组量都分别相等，过不在同一直线上的三点确定一个圆，三角形的外心等，熟练掌握相关知识点是解题的关键； 根据等弧的概念，可判定①；在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条优弧（或劣弧），两条弦中有一组量相等，那么它们所对的 其余各组量都分别相等，可判定②③④；根据过不在同一直线上的三点确定一个圆可判定⑤；根据三角形的外心知识可判定⑥． 【详解】等弧不仅要求长度相等，还要求弯曲程度相同．两条弧长度相等，并不能说明它们是等弧：故①不正确； 在同圆或等圆中，若两个圆心角相同，则它们所对应的优弧和劣弧分别相等．两个圆心角相同，并不能说明它们所对应的弧相等，故②不正确； 在同圆或等圆中，若两弦相等，则它们所对应的优弧和劣弧分别相等，故③不正确； 若两弧相等，则说明它们是等弧，它们在同圆或等圆中，故所对的圆心角相等，故④正确； 过不在同一直线上的三点可以画一个圆，若三点在同一直线上，过这三点不能画圆，故⑤不正确； 锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外，故⑥不正确； 综上可知，说法正确的是④． 故选：B． 5. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件进行解答即可． 【详解】解：由题意得：，， 解得：． 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式的被开方数为非负数． 6. 如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：  ①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是（　　） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】直接由判断①；把A点坐标代入抛物线y1=a（x+2）2-3求出a值判断②；由x=0求得y2，y1作差后判断③；由二次函数的对称性求出B，C的坐标，进一步验证2AB=3AC判断④． 【详解】解：对于①，，∴无论x取何值，y2的值总是正数正确； 对于②，∵抛物线y1=a（x+2）2-3过点A（1，3），则3=a（1+2）2-3，解得，②错误； 对于③，，当x=0时，，③错误； 对于④，∵抛物线y1=a（x+2）2-3与交于点A（1，3），∴可求得B（-5，3），C（5，3），求得AB=6，AC=4，则2AB=3AC，④正确． 故选D． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了二次函数的性质，属中档题． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 在实数范围内分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数范围内分解因式．先求出方程的两个根，再根据即可因式分解． 设，令，即，解出方程两根，再分解因式即可． 【详解】解：设 令，即 ， ， ． 故答案为：． 8. 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是和，试写出符合要求的方程组________（只要填写一个即可）． 【答案】 【解析】 【分析】从方程组的两组解入手，找到两组解之间的乘积关系为二元二次方程，倍数关系为二元一次方程，联立方程组即可. 【详解】解：根据方程组的解可看出：xy=8，y=2x， ∴符合要求的方程组为. 【点睛】根据未知数的解写方程组的题目通常是利用解之间的数量关系（和差关系或倍数关系等）来表示方程组的解. 9. 化简计算：__________． 【答案】61 【解析】 【分析】本题考查了整数指数幂的运算，分数指数幂的运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键； 先利用整数指数幂的运算法则，分数指数幂与根式的互相转化进行化简，再计算即可． 【详解】 ， ， ． 故答案为：61． 10. 如果不等式组的解集是，那么的值为 ． 【答案】1 【解析】 【分析】先解不等式组，再根据条件得到a，b的值，然后可求出a+b的值. 【详解】解得， 因为， 所以， ， ． 考点：不等式组． 11. 已知 ．①若，则a的取值范围是________；②若，且，则____． 【答案】 ① ②. 3 【解析】 分析】①由，可得，代入，即可求解，②由，，可得，即，再利用完全平方公式即可作答． 【详解】∵， 即， ①若，即， 即有， 解得：； ②若，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：①；②3． 【点睛】本题考查了求解不等式的解，运用完全平方公式进行计算等知识，根据已知条件确定a的符号是解答本题的关键． 12. 不等式的解集为__________． 【答案】，且 【解析】 【分析】本题考查了分式不等式，关键是掌握分式的加减运算，移项整理计算，即可得出结果． 【详解】解：原式为：， 移项得到 ，即，且． 解得，且． 故答案为：，且． 13. 如图，直线经过两点，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，注重数形结合，是解答本题的关键．先在坐标系中画出、的图象，再数形结合，找到在图象下方且在图象上方区域内，函数的自变量的范围，即可作答． 【详解】解：在坐标系中画出、的图象，如图， 直线经过两点，且过， 则结合图象可知：的解集为：， 故答案为：． 14. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围为______． 【答案】a＜4 【解析】 【详解】解： 将（1）+（2）得 则＜2 ∴a＜4 故答案为a＜4 15. 已知为有理数，分别表示的整数部分和小数部分，且，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为2＜＜3，所以2＜＜3，故m=2，n=-2=3-． 把m=2，n=3-代入amn+bn2=1得，2（3-）a+（3-）2b=1 化简得（6a+16b）-（2a+6b）=1， 等式两边相对照，因为结果不含， 所以6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=-0.5． 所以2a+b=3-0.5=2.5． 考点：1.二次根式的混合运算；2.估算无理数的大小． 16. 如图，在中，．将绕C按逆时针方向旋转角后得，此时点B在上，交AB于点D．则的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余求出，根据旋转可得，然后根据等腰三角形的性质求出，再求出，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕C按逆时针方向旋转角后得， ∴， ∴， ∴， 在中，． 故答案为． 17. 如果将点（-b，-a）称为点（a，b）的“反称点”，那么点（a，b）也是点（-b，-a）的“反称点”，此时，称点（a，b）和点（-b，-a）是互为“反称点”．容易发现，互为“反称点”的两点有时是重合的，例如（0，0）的“反称点”还是（0，0）．请再写出一个这样的点：___ 【答案】（3，-3）. 【解析】 【详解】试题分析：首先正确理解题意，然后再找出符合条件的点的坐标即可． 试题解析：根据题意可得这样的点是（3，-3）. 考点：关于原点对称的点的坐标． 18. 如图，在中，，，，动点、分别在边、上，，的垂直平分线交于，交边于，设，则的取值范围__________． 【答案】 【解析】 【分析】讨论点的位置，通过计算极端情况下，即点和点重合（取最大值）、点和点重合（取最小值）时的取值，可以得到的取值范围；熟练掌握垂直平分线、等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：①当取最大值时，如图，点和点重合，则垂直平分， ， 又， ，， ， ， ，， ， 在中，，， ． ②当取最小值时，如图，点和点重合，则垂直平分， ， 又， ， 在中，， ， 解得， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，实数的混合运算，特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握以上基本运算的运算法则与解题步骤是解题的关键． 先利用分式混合运算法则化简分式，得到化简的结果，然后计算零指数幂，特殊角的三角函数，负整数指数幂，乘方，最后把x的值代入计算即可． 【详解】解： ， ； 将代入化简后的式子，可得：． 综上，原式的值为． 20. 解不等式组与方程组 （1）解不等式组：把它的解集在数轴上表示出来，并求它的整数解． （2）解方程组： 【答案】（1），在数轴上表示见解析，整数解是，，0，1，2 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解二元二次方程组． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上，即可得出整数解； （2）把二元二次方程组转化为二元一次方程组，求解即可，解题的关键是把二元二次方程组转化为二元一次方程组． 【小问1详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 则不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ∴整数解是，，0，1，2； 【小问2详解】 解： ∴， ∴原方程可化为：（无解）或， 解得：． 21. 我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌，放置在教学楼的顶部(如图所示)．小明在操场上的点D处，用1米高的测角仪，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为，然后向教学楼正方向走了4米到达点F处，又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为．已知教学楼高米，且点A，B，M在同一直线上，求宣传牌的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：，，，) 【答案】1.3米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，结合图形构造直角三角形是解题的关键． 延长交于点，由题意得，，（米），在和中分别利用正切的定义求出的长，再利用线段的和差即可求出的高度． 【详解】解：延长交于点， 由题意得，，（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：宣传牌的高度为1.3米． 22. 已知中，，D是边AC上一点，且，连接． （1）求证：； （2）若，试画出符合条件的大致图形，并求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）或． 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，证明和分情况讨论是关键． （1）证明，又由，即可证明； （2）分两种情况画出图形，利用勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的性质进行解答即可． 【小问1详解】 证明：∵，D是边AC上一点，且， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 如图①，过点A作交的延长线于点， 在中， ∵ ∴， ∴，， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， 如图②所示，过点A作交于点， 在中， ∵ ∴， ∴，， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， 综上可知，的长度为或． 23. 如图，梯形中，，对角线，，，，点E是边上一个点，，交于点F、交延长线于点G． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识，数形结合是解题的关键； （1）利用题中条件证明，推出，再证明，推出， 变形得，结合，可证明； （2）利用勾股定理求出，的长，利用求出的长，再证明， 推出，代入求解即可． 【小问1详解】 ， ， ， ， 又，，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 又， ． 【小问2详解】 由勾股定理得，，， 由（1）知，，可得， ， ， ， ，， ， ， ． 24. 抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点为顶点． （1）求点及点的坐标． （2）连接，，抛物线的对称轴与轴交于点． 若线段上一点，使，求点的坐标． 若第一象限抛物线上一点，作，交直线于点，使，求点的坐标． 【答案】（1）点的坐标为， 点的坐标为 （2）点的坐标为．点的坐标为 【解析】 【分析】（1）令，解一元二次方程，确定点的坐标；将抛物线的解析式配方写成顶点式即可确定顶点的坐标． （2）根据抛物线解析式得到点、点的坐标．连接，过点作于，由勾股定理得出、的长，通过边角关系证明为直角三角形，分别延长、，与轴相交于点，． 根据两组角对应相等的两三角形相似证明，根据相似三角形对应边成比例得到，即，运用待定系数法求出直线和直线的解析式，联立两个解析式解方程组，即可求出点的坐标． 设交轴于点，过点作轴于点，先证明，由相似三角形对应边成比例得出．设，再证明，均为等腰直角三角形，然后用含的代数式表示点的坐标，将其代入抛物线解析式中，求出的值，进而得到点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于，两点（点在点左侧）， 当时，，解得或， 点的坐标为． ， 顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：抛物线与轴交于点， 点坐标为， ， ，， 对称轴为直线， 点的坐标为． 如图，连接，过点作于， 则点坐标为， 点的坐标为； ， ，， ， 为直角三角形． 分别延长、，与轴相交于点，． ， ， ， ， 又， ， ， 即， ，即， 设直线的解析式为， 则有： ，解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 则有： ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得， 点的坐标为； 如图，点在第一象限抛物线上，设交轴于点，过点作轴于点． ∵，，， ， ， ，， ， ， 即， ． 设，则， ， 轴， ， 为等腰直角三角形， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 将点代入抛物线， 得到，解得 或（舍去）， ． 所以，当时，点的坐标为． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质，熟练应用各知识点是解题的关键． 25. 如图，在等腰梯形中，，，，，连接，作，交边于点E． （1）设，，求关于的函数关系式并写出定义域； （2）当时，求长； （3）当是等腰三角形时，求的长． 【答案】（1） （2） （3）6或 【解析】 【分析】（1）延长，交于点，先证出，根据相似三角形的性质可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，然后根据求出的取值范围，由此即可得； （2）过点作于点，过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再设，则，在中，，在中，，据此建立方程，解方程即可得； （3）过点作于点，过点作于点，延长，交于点，设，则，，，，利用勾股定理可得，再得出，则分两种情况：①当时，证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得；②当时，先根据等腰三角形的性质求出，再根据含30度的直角三角形的性质可得，则可得，建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：如图，延长，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，，， ∴， 解得， 所以关于的函数关系式为． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，， 由（1）可知，， ∵， ∴在中，， ∴， 解得（符合题意）或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， 所以的长为． 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点，延长，交于点， 设， 由上知，，， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， ∵在等腰梯形中，，， ∴是钝角， ∴在中，， ∴， 又∵， ∴， 则分以下两种情况： ①当时，是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， ∴此时； ②当时，是等腰三角形， ∴， 设，， ∴，， ∴， 由（2）已证：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴，即， 解得（符合题意）或（不符合题意，舍去）， ∴此时； 综上，的长为6或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、函数关系式、含30度的直角三角形的性质、解直角三角形、一元二次方程的应用等知识，综合性强，通过作辅助线，构造相似三角形和全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $