精品解析：广东省茂名市高州市卓越联盟2020-2021学年七年级下学期第二次月考数学试卷

2020-2021学年广东省茂名市高州市卓越联盟七年级（下）第二次月考数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确答案对应的字母填入相应的括号里内． 1. 下列计算正确的是（　　） A. a2•a3＝a6 B. （2a）3＝6a3 C. （a+b）2＝a2+b2 D. （﹣a2）3＝﹣a6 2. 如果，那么x的值为（　　） A. ﹣1 B. 1 C. 2 D. 3 3. 如图，在中，于，于，与交于点．请你添加一个适当的条件，使≌．下列添加的条件不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水区和浅水区，如果这个水池以固定的流量注水，能大致表示水的最大深度h与时间t的函数关系的图象的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，用尺规作图：“过点C作CNOA”，其作图依据是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角相等，两直线平行 D. 同旁内角互补，两直线平行 6. 已知：，，，则代数式的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 一列快车从甲地开往乙地，一列慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车离乙地的路程s(千米)与行驶时间t(小时)的关系如图所示，则下列结论中错误的是( ) A. 甲、乙两地的路程是400千米 B. 慢车行驶速度为60千米/小时 C. 相遇时快车行驶了150千米 D. 快车出发后4小时到达乙地 8. 如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连结交于点N，连结、，以下说法：①，②，③，④中，正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 10. 在数学中，为了书写简便，我们通常记，如，，则化简的结果是（　 　） A. B. C. D. ； 二、填空题（本大题共7小题，每一小题4分，共28分）请将各题的正确答案填写在相应的横线上． 11. ___________． 12. 若的展开式中不含有x的一次项，则a的值为________； 13. 若，，则_______． 14. 若是完全平方式，则a＝______ ． 15. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则________度． 16. 对于任意实数，规定，则当时， ______ ． 17. 某地市话的收费标准为：(1)通话时间在3分钟以内(包括3分钟)话费0.3元；(2)通话时间超过3分钟时，超过部分的话费按每分钟0.11元计算．在一次通话中，如果通话时间超过3分钟，那么话费y(元)与通话时间x(分)之间的关系式为______________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每一小题6分，共18分） 18. 计算：． 19. 先化简，再求值：[（x+3y）2﹣（x﹣3y）2﹣（3y+x）（x﹣3y）﹣9y2]÷（2x），其中x，y满足x2﹣4x+y2+2y+5＝0 20. 已知：如图，点A、F、E、D在同一条直线上，AB＝CD，∠A＝∠D，AF＝DE，求证：BE∥CF． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每一小题8分，共24分） 21. 如图，直线与相交于点O，是的平分线，． （1）若，请求出的度数； （2）OP平分∠EOF吗？为什么？ 22. 如图，是潜望镜工作原理示意图，，是潜望镜里的两面平行放置的镜子，已知光线经过镜子反射时，有，．进入潜望镜的光线l和离开潜望镜的光线m有什么位置关系？请说明理由． 23. 如图，在等腰中，，是的角平分线，，垂足为E． （1）试说明； （2）线段与有什么数量关系？请说明理由． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每一小题10分，共20分） 24. 某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为（元），用水量为（立方米）． 用水量（立方米） 收费（元 不超过10立方米 每立方米2.5元 超过10立方米 超过的部分每立方米3.5元 （1）写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式； （2）若某户居民某月用水量为7立方米，则应交水费多少元？ （3）若某户居民某月交水费27元，则该户居民用水多少立方米？ 25. 如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）． （1）求证：ABDE． （2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）． （3）连结PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020-2021学年广东省茂名市高州市卓越联盟七年级（下）第二次月考数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确答案对应的字母填入相应的括号里内． 1. 下列计算正确的是（　　） A. a2•a3＝a6 B. （2a）3＝6a3 C. （a+b）2＝a2+b2 D. （﹣a2）3＝﹣a6 【答案】D 【解析】 【分析】A：应用同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案；B：应用积的乘方法则进行计算即可得出答案；C：应用完全平方公式进行计算即可得出答案；D：应用多项式加法法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：A：因为a2•a3=a2+3=a5，所以A选项不符合题意； B：因为（2a）3=8a3，所以B选项不符合题意； C：因为（a+b）2=a2+2ab+b2，所以C选项不符合题意； D：（-a2）3＝-a6，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，多项式加法、同底数幂的乘法、积的乘方，熟练应用完全平方公式，多项式加法、同底数幂的乘法、积的乘方法则进行计算是解决本题的关键． 2. 如果，那么x的值为（　　） A. ﹣1 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减．据此计算即可． 【详解】解：∵， ∴3﹣（x﹣2）＝6， 解得x＝﹣1． 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法、解一元一次方程，掌握幂的运算法则是解答本题的关键． 3. 如图，在中，于，于，与交于点．请你添加一个适当的条件，使≌．下列添加的条件不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直关系，可以判断△AEF与△CEB有两对角相等，就只需要添加一对边相等就可以了． 【详解】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E， ∴∠AEF=∠CEB=90°，∠ADB=∠ADC=90°， ∴∠EAF+∠B=90°，∠BCE+∠B=90°， ∴∠EAF=∠BCE． A.在Rt△AEF和Rt△CEB中 ∴≌（AAS），故正确； B.在Rt△AEF和Rt△CEB中 ∴≌（ASA），故正确； C.在Rt△AEF和Rt△CEB中 ∴≌（AAS），故正确； D.在Rt△AEF和Rt△CEB中 由不能证明≌，故不正确； 故选D． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 4. 下图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水区和浅水区，如果这个水池以固定的流量注水，能大致表示水的最大深度h与时间t的函数关系的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系变为先快后慢． 【详解】根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢． 故选：C． 【点睛】考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的作图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象． 5. 如图，用尺规作图：“过点C作CNOA”，其作图依据是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角相等，两直线平行 D. 同旁内角互补，两直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行的判定方法得出其作图依据即可． 【详解】解：如图所示：“过点C作CNOA”， 其作图依据是：作出∠NCO=∠O，则CNAO， 故作图依据是：内错角相等，两直线平行． 故选B． 【点睛】此题主要考查了基本作图以及平行线判定，正确掌握作图基本原理是解题关键． 6. 已知：，，，则代数式的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先根据已知条件得到，再把原式变形为，最后利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴ ， 故选：D． 7. 一列快车从甲地开往乙地，一列慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车离乙地的路程s(千米)与行驶时间t(小时)的关系如图所示，则下列结论中错误的是( ) A. 甲、乙两地的路程是400千米 B. 慢车行驶速度为60千米/小时 C. 相遇时快车行驶了150千米 D. 快车出发后4小时到达乙地 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的图象中的相关信息逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：观察图象知甲乙两地相距400千米，故A选项正确； 慢车的速度为150÷2.5=60千米/小时，故B选项正确； 相遇时快车行驶了400-150=250千米，故C选项错误； 快车的速度为250÷2. 5=100千米/小时，用时400÷100=4小时，故D选项正确． 故选C． 8. 如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形先求出拼接后大正方形的边长和小正方形的边长，再由阴影部分的面积关系建立等式即可； 【详解】解：由图可知，拼接后大正方形的边长为，小正方形的边长为， 阴影部分的面积， 阴影部分的面积是4个小长方形的面积和， 阴影部分的面积， ． 9. 如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连结交于点N，连结、，以下说法：①，②，③，④中，正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质及，利用全等三角形的性质可得，由折叠可得，于是对①作出判断；可证出，进而对②作出判断；由可得出，再根据，等量代换对③作出判断；由全等三角形和轴对称的性质可得，进而得出是等边三角形，从而对④作出判断． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 由折叠可得，，， ∴， 因此①正确； 由折叠可得，，， 又∵， ∴， ∴，， 因此②正确； ∵，， ∴， 因此③正确； 由和折叠可得，，， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 因此④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 10. 在数学中，为了书写简便，我们通常记，如，，则化简的结果是（　 　） A. B. C. D. ； 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中的新定义得出整式的乘法，然后计算化简即可． 【详解】解：根据题意得： =（x-1）（x-2）+（x-2）（x-3）+（x-3）（x-4） =-2x-x+2+-3x-2x+6+-4x-3x+12 =3-15x+20； 故选A． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：多项式乘以多项式法则，去括号法则，以及合并同类项法则，弄清题中的新定义是解本题的关键． 二、填空题（本大题共7小题，每一小题4分，共28分）请将各题的正确答案填写在相应的横线上． 11. ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据平方差公式以及完全平方公式展开，再合并同类项即可求出答案． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 12. 若的展开式中不含有x的一次项，则a的值为________； 【答案】 【解析】 【分析】首先利用多项式乘以多项式法则进行计算，再根据结果中不含x的一次项(即一次项的系数为零)求出a的值即可． 【详解】解： 的展开式中不含有x的一次项， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 13. 若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，逆用同底数幂的除法，幂的乘方，进行计算即可． 【详解】解：由，得；由，且，得； 故， 故答案为： 14. 若是完全平方式，则a＝______ ． 【答案】13或-11 【解析】 【分析】根据完全平方公式：进行分类讨论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：13或-11． 【点睛】本题考查完全平方公式参数问题，掌握完全平方公式的展开特点与分类讨论是解题关键． 15. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则________度． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，找出图中的全等三角形是解题的关键． 利用网格得出，，再利用全等三角形的性质以及三角形外角的性质即可得出答案． 【详解】解：如图， 由图可得，，， ， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：45． 16. 对于任意实数，规定，则当时， ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义运算法则进行化简，然后将代入原式即可求出答案． 【详解】 ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式、多项式乘多项式运算法则． 17. 某地市话的收费标准为：(1)通话时间在3分钟以内(包括3分钟)话费0.3元；(2)通话时间超过3分钟时，超过部分的话费按每分钟0.11元计算．在一次通话中，如果通话时间超过3分钟，那么话费y(元)与通话时间x(分)之间的关系式为______________． 【答案】y=0.11x+0.03 【解析】 【分析】话费=三分钟以内的基本话费0.3+超过3分钟的时间×0.11，把相关数值代入即可求解． 【详解】超过3分钟的话费为0.11(x-3)， 那么通话时间超过三分钟那么话费y(元)与通话时间x(x取整数，单位：分钟)之间的函数关系式为y=0.3+0.11(x-3)=0.11x-0.03 故答案为y=0.11x-0.03． 【点睛】本题考查了函数的关系式，理解话费由规定时间的费用+超过规定时间的费用两部分组成是解答本题的关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每一小题6分，共18分） 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，根据零指数幂、负整数指数幂以及绝对值的性质，积的乘方的逆用进行解答即可． 【详解】解：原式 ． 19. 先化简，再求值：[（x+3y）2﹣（x﹣3y）2﹣（3y+x）（x﹣3y）﹣9y2]÷（2x），其中x，y满足x2﹣4x+y2+2y+5＝0 【答案】-x+6y；-7 【解析】 【分析】原式中括号中利用完全平方公式，平方差公式计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝（x2+6xy+9y2﹣x2+6xy﹣9y2﹣x2+9y2﹣9y2）÷（2x）＝（﹣x2+12xy）÷（2x）＝﹣x+6y， 由x2﹣4x+y2+2y+5＝0，得到（x﹣2）2+（y+1）2＝0， 解得：x＝2，y＝﹣1， 则原式＝﹣1﹣6＝﹣7． 【点睛】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20. 已知：如图，点A、F、E、D在同一条直线上，AB＝CD，∠A＝∠D，AF＝DE，求证：BE∥CF． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据SAS证明△ABE与△DCF全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】证明：∵AF＝DE， ∴AF＋FE＝DE＋FE， ∴AE＝DF， 在△ABE与△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠CFD＝∠BEA， ∴BE∥CF． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确运用三角形全等的判定方法是解题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每一小题8分，共24分） 21. 如图，直线与相交于点O，是的平分线，． （1）若，请求出的度数； （2）OP平分∠EOF吗？为什么？ 【答案】（1）155° （2）平分，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的定义；对顶角、邻补角、垂线等知识． （1）根据对顶角相等、角平分线的性质求得，然后由平角的定义即可得到答案； （2）根据垂直的定义、角平分线的定义求得即可． 【小问1详解】 解：∵直线与相交于点O， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴ 【小问2详解】 平分， 理由如下：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，即， ∴平分． 22. 如图，是潜望镜工作原理示意图，，是潜望镜里的两面平行放置的镜子，已知光线经过镜子反射时，有，．进入潜望镜的光线l和离开潜望镜的光线m有什么位置关系？请说明理由． 【答案】 进入潜望镜的光线l和离开潜望镜的光线m平行． 理由如下：如图， ∵放置的两面镜子平行，即， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据可得内错角，进而结合已知条件可得，利用内错角相等、两直线平行，可得． 【详解】略 【点睛】本题考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质定理与判定定理是解题的关键． 23. 如图，在等腰中，，是的角平分线，，垂足为E． （1）试说明； （2）线段与有什么数量关系？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）结论：，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质等知识，证明是关键． （1）证明，即可得到结论； （2）证明，，由，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：结论：． 理由：在等腰中， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴是等腰三角形， ∴， 又∵， ∴． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每一小题10分，共20分） 24. 某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为（元），用水量为（立方米）． 用水量（立方米） 收费（元 不超过10立方米 每立方米2.5元 超过10立方米 超过的部分每立方米3.5元 （1）写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式； （2）若某户居民某月用水量为7立方米，则应交水费多少元？ （3）若某户居民某月交水费27元，则该户居民用水多少立方米？ 【答案】（1）当时，，当时，y=3.5x-10；（2）17.5；（3） 【解析】 【分析】（1）根据收费用量区间与收费标准列出两种收费解析式，当时，用收费标准×使用水量；当时，基础收费+超出部分费用； （2）先确定用量范围，再求代数式值即可； （3）先根据费用确定解析式，列方程求解即可． 【详解】解：（1）当时，， 当时，； （2）∵7＜10， ∴当时，（元， 答：应交水费17.5元； （3）∵27＞25， ∴当时，， ， 答：该户居民用水立方米． 【点睛】本题考查列分段一次函数解析式应用收水费问题，掌握收费区间与标准，代数式的值，列解方程是解题关键． 25. 如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）． （1）求证：ABDE． （2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）． （3）连结PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值． 【答案】 （1）证明：在ABC和EDC中， ， ∴ABC≌EDC（SAS）， ∴∠A＝∠E，AB=DE=4 ∴ABDE． （2）线段AP的长为3tcm或（8﹣3t）cm；（3）t的值为1s或2s． 【解析】 【分析】（1）由SAS证明ABC≌EDC（SAS），得∠A＝∠E，即可得出结论； （2）分两种情况计算即可； （3）先证ACP≌ECQ（ASA），得AP＝EQ，再分两种情况，当0≤t≤时，3t＝4﹣t，解得t＝1；当＜t≤时，8﹣3t＝4﹣t，解得t＝2即可． 【详解】（1）略 （2）解：当0≤t≤时，AP＝3tcm； 当＜t≤时，BP＝（3t﹣4）cm， 则AP＝4﹣（3t﹣4）＝（8﹣3t）cm； 综上所述，线段AP的长为3tcm或（8﹣3t）cm； （3）解：由（1）得：∠A＝∠E，ED＝AB＝4cm， 在ACP和ECQ中， ， ∴ACP≌ECQ（ASA）， ∴AP＝EQ， 当0≤t≤时，3t＝4﹣t， 解得：t＝1； 当＜t≤时，8﹣3t＝4﹣t， 解得：t＝2； 综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为1s或2s． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及一元一次方程的应用等知识；证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $