第一章集合与常用逻辑用语复习课课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学单元复习课件系统梳理了集合与常用逻辑用语的核心知识，从集合的概念、关系、运算到充分条件与必要条件，再到全称量词与存在量词，层层递进，逻辑清晰。通过列举法与描述法的对比讲解，结合Venn图直观呈现交集、并集、补集等运算关系，帮助学生建立概念间的内在联系，形成结构化的知识网络。 其亮点在于融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，设计“概念辨析—命题判断—逻辑推理”三阶活动，如引导学生用符号语言表达“所有实数都有算术平方根”，再通过真假判断深化对全称量词的理解，体现从具体到抽象的思维跃迁。练习题设置分层明显，既有基础巩固题也有综合应用题，满足不同层次学生需求，助力教师精准诊断学情，提升复习效率。

第一章 集合与常用逻辑用语 复习课 §1.1 集合的概念 §1.2 集合间的基本关系 §1.3 集合的基本运算 §1.4 充分条件与必要条件 §1.5 全称量词与存在量词 索引 必修 第一册 1 索引 第一章 集合与常用逻辑用语 请你列举出1～10之间的所有偶数 2，4，6，8，10 我们把研究对象统称为元素，通常用小写字母a，b…表示，把元素组成的总体叫做集合（简称集），通常用大写字母A，B…表示。 例如在上例中，“2，4，6，8，10”中某一个或某几个数都属于集合“1～10之间的所有偶数”中的元素。 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，用符号∈表示，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，用符号 ∉表示，记作a ∉A； 上例中，我们可以记作“2”∈“1～10之间的所有偶数”，“4”∈“1～10之间的所有偶数”，“1”∉“1～10之间的所有偶数”…… 索引 §1.1 集合的概念 3 列举出1～10之间的所有偶数 2，4，6，8，10 探究：集合的特性 （1）确定性：给定集合的元素是唯一确定的。 在给定的集合“1～10之间的所有偶数”中，元素“2，4，6，8，10”一定属于该集合且唯一确定，而元素“1，2，5，7，9”等等元素不是该集合的元素，一定不属于该集合。 （2）互异性：在给定集合中的元素一定互不相同。 在给定的集合中的元素不会重复出现。只要构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的。 （3）无序性：在给定集合中的元素的排列方式可以不同，但是元素都是相同的。 索引 §1.1 集合的概念 4 概念补充：数学中的一些常用数集 数集 符号 非负整数集 N 正整数集 N*或N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 索引 §1.1 集合的概念 5 集合的表示方法——（1）列举法 把集合的所用元素一一列举出来，用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法。 例1：用列举法表示出集合“1～10之间的所有偶数” {2，4，6，8，10} 例2：用列举法表示出集合“x2-3x+2=0的所有实数根” {1，2} 索引 §1.1 集合的概念 6 集合的表示方法——（2）描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特性P(x)的元素x所组成的集合表示为{ x∈A | P(x) }，这种表示集合的方法称为描述法。 例1：用描述法表示出集合A=“x-7<3的所有整数解” A={ x∈Z | x<10 } 例2：用描述法表示出集合A=“x-7<3的解集” A={ x∈R | x<10 } 或 A={ x | x<10 } 例3：用描述法表示出集合B=“所有奇数集” B={ x∈Z | x=2k+1，k∈Z } 索引 §1.1 集合的概念 7 集合间的基本关系——包含关系 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集。 用Venn图（用平面上的封闭曲线代表集合的方式）表示： B A 符号语言： A⊆B（或B⊇A） 读作：A包含于B（或B包含A） 推论：若A⊆B，且B⊆A，则A=B 引例：集合A={2，3}，B={1，2，3，4}，集合A与B是什么关系？ 索引 §1.2 集合间的基本关系 8 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x ∉A，就称集合A是集合B的真子集。 符号语言： A ⫋B（或B ⫌A） 读作：A真包含于B（或B真包含A） 在引例中，我们不难发现，A ⫋B。 我们知道，方程x2+1=0没有实数根，所以方程x2+1=0的实数根组成的集合中没有元素。 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为Ø。 空集的特点：（1）空集是任何集合的子集； （2）空集是任何非空集合的真子集； （3）空集的子集就是本身。 索引 §1.2 集合间的基本关系 9 推论：若集合A中含有n个元素，则 集合A中含有2n个子集； 集合A中含有2n-1个真子集； 集合A中含有2n-2个非空真子集； 索引 §1.2 集合间的基本关系 10 1. 并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集。 用Venn图表示： 符号语言： A∪B 读作：A并B A∪B={ x | x∈A，或x∈B } 例：设A={2，3，4，5，6}，B={3，5，7，8，9}，求A∪B？ A∪B={2，3，4，5，6，7，8，9} B A 索引 §1.3 集合的基本运算 2. 交集 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集。 用Venn图表示： 符号语言： A∩B 读作：A交B A∩B={ x | x∈A，且x∈B } 例：设A={2，3，4，5，6}，B={3，5，7，8，9}，求A∩B？ A∩B={3，5} B A 索引 §1.3 集合的基本运算 3. 补集 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。 用Venn图表示： U A 符号语言： ∁UA ∁UA={ x | x∈U，且x ∉A } 例：设U={1，2，3，4，5}，A={3，5}，求∁UA？ ∁UA={1，2，4} 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。 索引 §1.3 集合的基本运算 3. 交集、并集、补集的一些性质 （3）A∪(∁UA)=U （4）A∩(∁UA)=Ø （5）∁UU=Ø ；∁UØ=U （6）∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB) （7）∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB) （2）A∪A＝A，A∪Ø＝A，A∪B＝B∪A （1）A∩A＝A，A∩Ø＝Ø，A∩B＝B∩A 索引 §1.3 集合的基本运算 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题。 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理就可以得出q，这时，我们就说，由p推出q。 符号语言：p⇒q 并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。 “若p，则q”为假命题，我们就说，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件。 索引 §1.4 充分条件与必要条件 15 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就可以得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题。 “若p，则q” “若q，则p” p是q的 符号语言 真命题 假命题 充分不必要条件 p⇒q且q⇒/ p 假命题 真命题 必要不充分条件 p⇒/ q且q⇒p 真命题 真命题 充要条件 p⇔q 假命题 假命题 既不充分也不必要条件 p⇒/ q且q⇒/ p 索引 §1.4 充分条件与必要条件 16 例：下列“若p，则q”形式的命题中，p分别是q的什么条件？ （1）若两个三角形的两角和其中一角与所对的边相等，则这两个三角形全等； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形周长相等。 充要条件 充分不必要条件 索引 §1.4 充分条件与必要条件 17 全称量词与存在量词 一般地，短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示。含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示。含有全称量词的命题，叫做存在量词命题。 对于一个全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x) 对于一个存在量词命题“对M中存在一个x，p(x)成立”可用符号简记为：∃x∈M，p(x) 索引 §1.5 全称量词与存在量词 18 例：请写出下列全称量词命题或存在量词命题，并判断其真假。 （1）任何实数都有算数平方根； （2）存在一个实数，使得x2+1=0。 ∀x∈R，x有算数平方根，假命题 ∃x∈R，x2+1=0，假命题 索引 §1.5 全称量词与存在量词 19 全称量词命题与存在量词命题的否定 对于命题p(x)的否定，我们一般用符号“¬p(x)”表示，表示“p(x)不成立”。 全称量词命题的否定： 存在量词命题的否定： 索引 §1.5 全称量词与存在量词 20 D 索引 §1.5 全称量词与存在量词 21 B 索引 集合与常用逻辑用语练习题 22 A 索引 集合与常用逻辑用语练习题 23 A 索引 集合与常用逻辑用语练习题 24 C 索引 集合与常用逻辑用语练习题 25 D 索引 集合与常用逻辑用语练习题 26 3 索引 集合与常用逻辑用语练习题 27 索引 集合与常用逻辑用语练习题 28 A 索引 集合与常用逻辑用语练习题 29 A 索引 集合与常用逻辑用语练习题 30 例9 “a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 B 解析　若a2＝b2，则当a＝－b≠0时， 有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab， 所以a2＝b2⇒/ a2＋b2＝2ab； 若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0， 即(a－b)2＝0，所以a＝b， 则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2. 所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件. 索引 集合与常用逻辑用语练习题 B 索引 集合与常用逻辑用语练习题 32 $