2.1.1直线的倾斜角和斜率学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦直线倾斜角与斜率的核心概念，通过“问题导学”层层推进，从确定直线的基本要素出发，自然引出倾斜角的定义与取值范围，再过渡到斜率的概念及其计算公式，最后建立两者之间的函数关系，形成清晰的知识链条，为后续解析几何学习奠定坚实基础。 本资料突出数学眼光、思维与语言三大核心素养的融合应用，以真实情境（如斜拉桥）激发学生观察力与建模意识，借助例题与随堂检测强化逻辑推理与运算能力，尤其在例3中通过线段交点问题引导学生构建斜率范围模型，体现数学表达的严谨性与实用性，是培养学生理性思维与实践能力的优质教学资源。

高二数学导学案 第二章 直线和圆的方程 2.1.1·倾斜角与斜率 一、学习目标： 1.理解直线倾斜角的概念，掌握直线倾斜角的取值范围，体会引入倾斜角的必要性 2.理解直线斜率的定义，掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能运用公式解决相关问题 3.理解直线的倾斜角和斜率之间的关系，能根据倾斜角求出斜率 二、学法指导：自学——类比——归纳——应用 三、问题导学： （一）自学导引 问题1：如何确定一条直线？ 问题2：体现直线倾斜程度的量有哪些？ 问题3：如何求直线的斜率？ （2） 新知导航： 知识点一 倾斜角 直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴__________与直线l__________的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角. 说明：1.当直线l与x轴平行或重合时，规定倾斜角为. 2.直线的倾斜角的取值范围为__________. 知识点二 斜率 1.直线的斜率：一条直线的倾斜角的__________叫做这条直线的斜率. 斜率常用小写字母k表示，即__________. 倾斜角是__________的直线没有斜率. 2.斜率公式：如果直线经过两点，，，那么斜率公式为______________. 3.斜率与方向向量：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为，则__________. （三）应用举例 例1：如图，已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．    【答案】，锐角；，钝角；，锐角 【知识点】直线的倾斜角、已知两点求斜率 【分析】通过两点求斜率的公式求得斜率，进而判断出倾斜角是锐角还是钝角. 【详解】直线的斜率，直线的斜率， 直线的斜率， 由>及可知，直线与的倾斜角均为锐角； 由可知，直线的倾斜角为钝角． 跟踪训练1：如图，已知三点，，．    (1)求直线AB，BC，CA的斜率； (2)求直线BC，CA的倾斜角． 【答案】(1)，，； (2)直线BC的倾斜角为，直线CA的倾斜角为. 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率 【分析】（1）利用两点式求直线斜率； （2）由所求的对应直线斜率，结合倾斜角范围及斜率、倾斜角关系求倾斜角大小. 【详解】（1）直线AB的斜率； 直线BC的斜率； 直线CA的斜率． （2）设直线BC的倾斜角为，由，则倾斜角． 设直线CA的倾斜角为，由，则倾斜角． 例2：已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析． 【知识点】直线斜率的定义、斜率与倾斜角的变化关系、斜率公式的应用 【分析】（1）根据斜率不存在时横坐标相等列方程，即可求参数； （2）由倾斜角为锐角、钝角时对应斜率的符号列不等式求参数范围. 【详解】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率，解得． 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率，解得或． 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为， 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为. 例3:已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. （四）随堂检测 1.下列说法中，正确说法的个数是（    ） ①任何一条直线都有唯一的斜率； ②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； ③任何一条直线都有唯一的倾斜角． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】由直线斜率和倾斜角的关系判断，选出答案. 【详解】当倾斜角时，直线的斜率不存在，所以①错误； 倾斜角时，，故“直线的倾斜角越大，它的斜率就越大”错误，②错误； 任何一条直线都有唯一的倾斜角，③正确． 故选：B． 2.经过，两点的直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率 【分析】先应用两点求斜率，再根据斜率和倾斜角的关系计算求解. 【详解】设倾斜角为，因为， 所以，又，故. 故选:D. 3.已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义 【分析】由倾斜角与斜率关系即可求解. 【详解】设倾斜角为，，则，解得，故倾斜角为， 故选：A. 4.已知直线的倾斜角为，方向向量．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线斜率的定义、直线方向向量的概念及辨析（平面中）） 【分析】根据直线的倾斜角可得直线斜率，再根据方向向量可得直线斜率，即可求解. 【详解】直线的倾斜角为，所以， 方向向量，则，. 故选：A. 四、数学情境 斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如下图是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.已知拉索上端相邻两个锚的间距约为4.4m，拉索下端相邻两个锚的间距均为16m.最短拉索的锚，满足，，则最长拉索所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知两点求斜率 【分析】根据题意利用已知长度可分别计算，，再利用斜率的定义可解. 【详解】解：如图，以为原点建系， 根据题意，最短拉索的锚，满足，， 且均为，拉索下端相邻两个锚的间距均为， 则，即点， 同理， 又，即点， 所以，， 即最长拉索所在直线的斜率为. 故选：B. 五、小结与反思 本节课你学会了哪些知识？可以解决哪些问题？还有哪些收获呢？ [作者姓名] 2 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学导学案 第二章 直线和圆的方程 2.1.1·倾斜角与斜率 一、学习目标： 1.理解直线倾斜角的概念，掌握直线倾斜角的取值范围，体会引入倾斜角的必要性 2.理解直线斜率的定义，掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能运用公式解决相关问题 3.理解直线的倾斜角和斜率之间的关系，能根据倾斜角求出斜率 二、学法指导：自学——类比——归纳——应用 三、问题导学： （一）自学导引 问题1：如何确定一条直线？ 问题2：体现直线倾斜程度的量有哪些？ 问题3：如何求直线的斜率？ （2） 新知导航： 知识点一 倾斜角 直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴__________与直线l__________的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角. 说明：1.当直线l与x轴平行或重合时，规定倾斜角为. 2.直线的倾斜角的取值范围为__________. 知识点二 斜率 1.直线的斜率：一条直线的倾斜角的__________叫做这条直线的斜率. 斜率常用小写字母k表示，即__________. 倾斜角是__________的直线没有斜率. 2.斜率公式：如果直线经过两点，，，那么斜率公式为______________. 3.斜率与方向向量：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为，则__________. （三）应用举例 例1：如图，已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．    跟踪训练1：如图，已知三点，，．    (1)求直线AB，BC，CA的斜率； (2)求直线BC，CA的倾斜角． 例2：已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 例3:已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． （四）随堂检测 1.下列说法中，正确说法的个数是（    ） ①任何一条直线都有唯一的斜率； ②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； ③任何一条直线都有唯一的倾斜角． A．0 B．1 C．2 D．3 2.经过，两点的直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3.已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 4.已知直线的倾斜角为，方向向量．则（    ） A． B． C． D． 四、数学情境 斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如下图是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.已知拉索上端相邻两个锚的间距约为4.4m，拉索下端相邻两个锚的间距均为16m.最短拉索的锚，满足，，则最长拉索所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 五、小结与反思 本节课你学会了哪些知识？可以解决哪些问题？还有哪些收获呢？ [作者姓名] 2 学科网（北京）股份有限公司 $