专题06图形的相似（16大高频考点）（期中真题汇编，北师大版）九年级数学上学期

专题06图形的相似（16大高频考点） 16大高频考点概览 考点01 比例的性质 考点02成比例线段 考点03黄金分割 考点04相似多边形 考点05平行线分线段成比例定理 考点06相似三角形的判定条件 考点07证明两个三角形相似 考点08添加条件使三角形相似 考点09相似三角形与作图 考点10相似三角形的性质 考点11相似三角形与网格问题 考点12相似三角形的判定与性质 考点13相似三角形与动点问题 考点14相似三角形的应用 考点15位似图形 考点16相似三角形综合问题 地 城 考点01 比例的性质 1．（24-25九年级上·福建·期中）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质逐项判断解答即可． 【详解】解：A.由可得，等式不成立； B.由可得，等式不成立； C.由可得，等式成立； D. 由可得，即，等式不成立； 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知a，b，c为的三边长，且满足，，求的周长． 【答案】18 【分析】本题考查了比例的性质，熟练运用设法是解题的关键． 设，利用，求得，再利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴的周长为． 3．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知，求的值． 【答案】6 【分析】本题考查了比例的性质，通过“设法”表示出、、是解题的关键．设，那么，，，然后代入求解即可． 【详解】解：设 那么，，， 地 城 考点02 成比例线段 4．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）若线段a，b，c，d是成比例线段，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，根据成比例线段的定义，四条线段满足，即与的比等于与的比。将已知数值代入比例式，解方程即可求出的值。 【详解】解：线段，，，是成比例线段， ， 将，，代入， 可得：， 整理得：， 解得：， 故选：C． 5．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 【答案】(1) (2)，，． 【分析】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质求解即可． （1）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解，即可得到c的长； （2）设，然后用表示a，b，c，再代入，求解得到，即可得到a，b，c的值． 【详解】（1）解：∵c是a，b的比例中项线段， ∴， ∴（负值舍去） 即c的长为； （2）解：设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知线段，满足． (1)求的值； (2)当线段是的比例中项且时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了比例线段，代数式求值，能根据题中所给等式，用b表示出a进而代入计算是解题的关键． （1）根据题意，用b表示a，再进行计算． （2）根据比例中项的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵，且， ∴． 又∵线段是的比例中项， ∴， ∴（舍负）． 地 城 考点03 黄金分割 7．（24-25九年级上·安徽六安·期中）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割的有关计算．根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可得到答案． 【详解】解：点是线段的黄金分割点， ， ， ， 故选：C． 8．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）在绚丽多姿的秋色叶类植物中，爬山虎有着油画般浓郁的色彩。我们学校墙上的五叶爬山虎树叶，蕴含着一种数学美：“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为8cm，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义得到，代入值即可求出． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，的长度为， ∴， 故选：B． 9．（24-25九年级上·河南郑州·期中）把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割．根据黄金分割的定义及的长求出的长，据此求出的长即可解决问题． 【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，， ， ， 的长为． 地 城 考点04 相似多边形 10．（24-25九年级上·山东聊城·期中）下列说法中正确的有（    ） 位似图形都相似；两个等腰三角形一定相似；两个相似多边形的面积比为，则周长的比为；若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长，那么这两个三角形一定相似． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似图形的性质，根据相似三角形或相似多边形的定义以及性质即可作出判断，解题的关键是掌握相似三角形，相似多边形的定义和性质． 【详解】解：位似图形都相似，故正确； 两个等腰三角形不一定相似，故错误； 两个相似多边形的面积比为，则周长的比为，故错误； 若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长，那么这两个三角形不一定相似，故错误； 综上可知：正确， 故选：． 11．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，四边形四边形，分别求的长及的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，四边形内角和定理， 根据相似三角形的性质可得，再代入求值，然后根据四边形内角和定理得出答案. 【详解】解：∵四边形四边形， ∴. ∵ ∴ 解得， ∴. 12．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题：    (1)当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，若不存在，请说明理由． (2)边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在，“减半”矩形长和宽分别为与． (2)不存在，理由见解析。 【分析】本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系． （1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解． （2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是2，面积比就应该是，所以不存在“减半”正方形． 【详解】（1）解：存在，“减半”矩形长和宽分别为与． 假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为，，则， 由①，得：，③ 把③代入②，得， 解得，． 所以“减半”矩形长和宽分别为与． （2）解：不存在，理由如下： 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是， 所以正方形不存在“减半”正方形． 地 城 考点05 平行线分线段成比例定理 13．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点和点，若，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可求解，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 14．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，若，，，，则长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵，，， ∴， 解得． 故答案为：2． 15．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，D为上一点，且，过点D作交于点E，连接，过点D作交于点F．若，求的长． 【答案】8 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，比例的性质．先由得到，利用比例的性质可求出，再由得到，然后利用比例的性质可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 地 城 考点06 相似三角形的判定条件 16．（24-25九年级上·山西临汾·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．先根据，求出，再根据相似三角形的判定定理，逐项分析，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， A、添加， ∵，， ∴，故A选项不符合题意； B、添加， ∵，， ∴，故B选项不符合题意； C、添加， ∵，， ∴，故C选项不符合题意； D、添加，不能判定，故D选项符合题意． 故选：D． 17．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法逐一判断即可，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， 由，不能证明，符合题意； 故选：． 18．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，点分别在的边上，增加下列条件中的一个，①；②；③；④；⑤，能使与一定相似的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得出答案，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴，故②符合题意； ∵，， ∴，故④符合题意； 由，或，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明与相似，故③⑤不符合题意； 故答案为：①②④． 地 城 考点07 证明两个三角形相似 19．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如图所示，将矩形纸片沿折叠得到，且点恰好落在上．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，折叠的性质，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．根据矩形性质得出，根据余角的性质得出，根据两个对应相等的两个三角形相似，证明结论即可． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ． 矩形纸片沿折叠得到，且点在上， ， ， ， ． 20．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据余角的性质得出．根据，即可证明结论． 【详解】证明：，， ，， ． ，， ． ． 21．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并说明理由． 【答案】(1)； (2)相似，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出的度数，根据和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段的长度． （2）根据相似三角形的判定定理：对应边成比例，夹角相等，即可证明与相似． 【详解】（1）， ； 故答案为：；． （2）相似，理由如下: ， 又， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定，掌握相似三角形判定定理并根据图形得到两个三角形的边与边、角与角的关系是解题关键． 地 城 考点08 添加条件使三角形相似 22．（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在中，点D，E分别是边上的点，若，则需要增加的一个条件是 （只需增加一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定，和中，已满足一组对角相等，因此再添加一组对角相等，或相等的角的两条边长对应成比例，即可证明． 【详解】解：和中，， 若，则需要增加的一个条件是：或或， 故答案为：（答案不唯一）． 23．（24-25九年级上·福建三明·期中）如图，在中，D，E分别为边，上的点，试添加一个条件： ，使得与相似． 【答案】或或 【分析】本题的主要考查点是三角形相似的判定．和中，是公共角，再找一组对应角相等，或者夹的两边对应成比例都可得到两三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴当或或时，． 故答案为：或或． 24．（23-24九年级上·湖南常德·期中）如图1，在中，是边上的一点，联结．要使，还需要补充的一个条件是______，或______．    请回答： (1)补充的条件是______，或______； (2)请你参考上面的图形和结论，探究、解答下面的问题： 如图2，在中，，．求的度数． 【答案】(1)，，或； (2)． 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．运用两个角对应相等或者夹角相等，两边对应成比例即可证明（1）；延长到点D，使，易得，然后由相似三角形的对应角相等，求得，则可求得的度数，继而求得（2）中的的度数． 【详解】（1）解：由是公共角，可得要使， 所以还需要补充的一个条件是：，，或； （2）解：如图，延长到点D，使，    ∵， 即 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点09 相似三角形与作图 25．（23-24九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，请用尺规作图法，在上确定一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】根据相似三角形的判定，再作即可． 【详解】解：如图，点即为所求． 【点睛】本题考查作图相似变换，将所求问题转化为作是解题的关键． 26．（23-24九年级上·河南南阳·期中）如图，点D为边上一点，请用尺规作图法，在边上求作一点E，使与相似．（保留作图痕迹，画出一种即可，不写作法），并写出证明．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查作图相似变换，解题的关键是以为边、点为顶点在内部作一个角等于，角的另一边与的交点即为所求作的点． 【详解】解：如图，点即为所求作的点． 由作图可知：， 又， ∴．    地 城 考点10 相似三角形的性质 27．（24-25九年级上·广西南宁·期中）已知，相似比为，若的周长是9，则的周长为（   ）． A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形性质，根据相似三角形周长的比等于相似比求解，即可解题． 【详解】解：，相似比为， 的周长的周长， 的周长是9， 的周长为； 故选：C． 28．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，为上一点，且，在上取一点，若以、、为顶点的三角形与相似，则的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．本题应分两种情况进行讨论，①；②；可根据各相似三角形得出比例关系式求出的长即可． 【详解】解：当时，如图1， ， ，，， ， ， ； 当时，如图2， ， ，，， ， ． 综上，的长为3或． 故选：C． 29．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，正方形的边长为2，，线段的两端分别在上滑动，那么当 时，与相似． 【答案】或 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质，勾股定理，先计算出，再分和两种情况，代入数值计算即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴当时，， 即，解得； 当时，， 即，解得； 综上所述，为或时，与相似． 故答案为：或． 地 城 考点11 相似三角形与网格问题 30．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，在的正方形网格中，画个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定并根据网格结构判断出三角形的三边的比例是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：第1个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第2个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第3个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 第4个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 综上所述， 故选：D．正确的画法有4个． 31．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定，由，，判定． 【详解】解：这个格点三角形可以是（答案不唯一），理由如下： 由勾股定理得：， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 32．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 根据题意，得出的三边之比，并在直角坐标系中找出与各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 【详解】解：有图可知：的三边为： ，， ， 如图所示： 可能出现的相似三角形共有以下六种情况： ， 故答案为：6． 33．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图．    (1)在图1中画一个格点，使． (2)在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题主要考查了作相似三角形，相似三角形的性质和判定， 对于（1），延长至D，使，延长至E，使，连接，则是所求作的三角形.由，可得； 对于（2），在图中取点P，使，连接，交于点Q，由，得，进而得出，所以． 【详解】（1）如图所示．    （2）如图所示．    地 城 考点12 相似三角形的判定与性质 34．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，沿折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处； (1)求证：； (2)若是中点，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定、矩形与折叠问题、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和折叠的性质是解题关键． （1）先根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）设，则，再根据折叠的性质可得，然后利用勾股定理可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 设， ∵是中点， ∴， 由折叠的性质得：， 在中，， ∴． 35．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在中，D，E分别在，上，于点G，于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）证明，可得结论； （2）证明，推出可得结论． 【详解】（1）证明：∵于点G，于点F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 36．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图点E是矩形中边上一点，连接，沿线段翻折，点D的对应点F恰好落在边上 (1)求证：． (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了矩形的性质，翻折变化的性质． （1）首先利用折叠的性质得到，然后利用解析的性质可以证明，接着利用相似三角形的判定方法即可求解； （2）首先利用（1）中结论证明，然后利用已知条件和勾股定理建立方程模型即可求解． 【详解】（1）证明：沿线段翻折，点的对应点恰好落在边上， ， 四边形为矩形， ， ， ， ； （2）解：， ∴， 而， ∴， 而， ， 设， 则， 根据折叠得， 在中，， ， ， （舍去），， ． 37．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】根据矩形的性质可证、，根据平行线的性质可证，根据垂直平的性质可证，根据有两个角对应相等的三角形的两相似，可证，根据相似三角形的性质可证结论成立； 设，则，，利用勾股定理可得，因为，所以可得，所以可得，根据，可得关于的方程，解方程求出的值，根据矩形的性质即可求出的长； 连接，分别延长，交于点，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证结论成立． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 即； （2）解：，点为的中点， . ， ， 设，则，， ， 由知， ，即， ， ，且， ， 解得：， ， 的长是； （3）（3）证明：如图，连接，分别延长，交于点， ， ，. 在和中， ， ，是的中点， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据矩形的性质找到相等的角和边，从而证明三角形相似或全等，利用相似三角形或全等三角形的性质证明结论成立． 地 城 考点13 相似三角形与动点问题 38．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 【答案】C 【分析】此题考查了含角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用． 由中，，，，可求得的长，由为的中点，可求得的长，然后分别从若与若时，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：中，，，， ， ，为的中点，动点以的速度从点出发， ，， 若， ， ， ， ∴ ， 若时， ， ， ， ∴ ， 综上可得：的值为2或3.5． 故选：C． 39．（24-25九年级上·四川资阳·期中）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若与相似，求t的值． 【答案】(1)当时，的长度等于 (2)经过3秒时，线段能将分成面积的两部分 (3)秒或秒时，与相似 【分析】本题考查直角三角形中的动点问题，涉及一元二次方程的应用以及相似三角形的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用； （1）在中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）分的面积为面积的和的面积为面积的，列出方程进行求解即可． （3）设经过t秒时，与相似，分① 时，②当时，两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设经过秒后，的长度等于， 由题意，得：， ∴， 当时，在中， ， ， 整理，得：， 解得：； ∴当时，的长度等于． （2）解：设经过秒，线段能将分成面积的两部分， 依题意有：的面积， ①当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， 解得：； ②当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， ， ∴方程无实数根； ∴经过3秒时，线段能将分成面积的两部分． （3）解：设经过秒时，与相似， 时， ， ， ． ②当时， ， ， ， 综上所述，秒或秒时，与相似． 40．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒． (1)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)用含的代数式表示点的坐标； (3)的面积能否为6个平方单位？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)不能，见解析 【分析】此题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理结合和求出，分为①当时，②当时，分别列方程求解即可． （2）作轴于，轴于，得出，，根据相似三角形的性质求出，，即可求出点的坐标； （3）当的面积为6个平方单位时，即．整理得：，根据根判别式即可求解． 【详解】（1）解：、， ，， ， ①当时， ， ， ； ②当时， ， ， ， 当或时，以，，为顶点的三角形与相似； （2）解：作轴于，轴于， ，， ，， ，， ，， 的坐标为； （3）解：不能； 理由：当的面积为6个平方单位时，即． 整理得：， ， 此方程无实数根， 的面积不能为6个平方单位． 41．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，动点P从点B出发以速度向点C移动，同时动点Q从点C出发以的速度向点A移动，设它们的运动时间为t秒． (1)根据题意知： （用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的面积等于面积的？ (3)当运动几秒时，与相似？ 【答案】(1) (2)或秒 (3)或秒 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键；特别是（3）注意分类讨论． （1）结合题意，直接得出答案即可； （2）根据三角形的面积列方程即可求出结果； （3）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解：①若，②若，然后列方程求解． 【详解】（1）解：根据题意得：经过t秒后，； （2）解：根据题意得：经过t秒后，，则； 当的面积等于面积的时， 即， 解得；或； 答：经过或秒后，的面积等于面积的； （3）解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解， ①若则，即，解得； ②若则，即，解得； 由P点在BC边上的运动速度为，Q点在边上的速度为，可求出t的取值范围应该为， 验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件． 答：当运动的时间为或秒时，与相似． 地 城 考点14 相似三角形的应用 42．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据矩形的性质，得到，进而列出方程即可． 【详解】解：∵井的截面图为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 43．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E与点C，A共线.已知：，，测得，，，测量示意图如图所示，请根据相关测量信息，则河宽为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意可知，得到，根据相似三角形的性质得到，即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴ 解得：． 故选：C． 44．（24-25九年级上·福建·期中）如图，为一栋高楼，楼的底部不能到达．某广告公司计划在楼的顶部安装一块广告宣传画，但不能超出楼顶A也不能遮住这栋楼的窗户．小明先在这栋楼周围的空地上选一个点D，并在D处安装了测角仪，测得楼的顶部A的仰角（视线与水平线所成的锐角）为，窗户顶部M的仰角为，再在的延长线上确定一点G，使米，并在地面G处，水平放置一面镜子，小明沿方向移动，当小明到F处时，恰好在镜子中看到楼的顶部A，此时测得米，小明眼睛与地面的距离米，测角仪的高度米，已知点F，G，D，B在同一条水平线上，均垂直于地面．问：计划安装的广告宣传画的高度不能超过多少米？（参考数据：，） 【答案】计划安装的广告宣传画的高度不能超过米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用和相似三角形的实际应用，正确理解题意，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，解中，设，则，解中，则，可证明，则，求出，再由求解即可． 【详解】解：过点作于点， 由题意得：， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， 在中，，设 ∴， ∵在中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴ ∴计划安装的广告宣传画的高度不能超过米． 45．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度，手电间的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为，图中A，B，C，D在同一条直线上， (1)求的长； (2)求点E到地面的高度． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得出，代入数据求出的长即可； （2）由题意知，得出，由相似三角形的性质得出，代入数值求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， 即的长为； （2）解：由（1）知，， ∴， 由题意知，， ∴， ∴， ∴ ∴， 即点E到地面的高度为． 地 城 考点15 位似图形 46．（24-25九年级上·重庆合川·期中）如图，与是位似图形，点是位似中心，位似比为，若的周长为4，则的周长等于（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查位似图形的性质，根据题意，得到，进而利用两个相似三角形的周长比等于相似比列式求解即可得到答案，熟记位似图形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点是位似中心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 47．（2025·山东潍坊·二模）如图，每个小正方形的边长为1，的顶点在格点上．以点为位似中心，画，使与位似，，的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标是 B．与的周长之比为 C． D．一定在第一象限内 【答案】C 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质，根据位似的性质画出，可得点的坐标为或．根据位似的性质可得与的周长之比为，与的边长之比为，由勾股定理得，则，进而可得答案． 【详解】解：画出如图，有两种画法： 由图可得，点的坐标是或， 故A选项错误，不符合题意； ∵与位似，位似比为， ∴与的周长之比为，与的边长之比为， 故B选项错误，不符合题意； ∵， ∴， 故C选项正确，符合题意； 由图可知，在第一象限或第三象限， 故D选项错误，不符合题意． 故选：C． 48．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，且，．已知矩形与矩形位似，位似中心是原点O，且矩形的周长是矩形周长的，则点B的对应点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形是相似图形以及相似多边形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到矩形矩形，根据相似多边形的性质求出相似比，根据位似图形与坐标的关系计算，得到答案． 【详解】解：∵矩形与矩形位似， ∴， ∵矩矩形的周长是矩形周长的， ∴矩形与矩形的相似比为， ∵矩形的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，且，， ∴， 如图： ∴点的坐标为或，即或． 故答案为：或． 49．（25-26九年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点为位似中心，在第一象限内，对进行位似变换，得到（点A，，分别对应点，，），且与的相似比为．其中点坐标为． (1)画出． (2)点E的坐标为______． (3)线段上一点经过变换后对应的点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是位似变换的性质， （1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，再由在第一象限确定D、E、F的坐标，描出D、E、F，再顺次连接D、E、F即可； （2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此可得答案； （3）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵与关于原点位似，且相似比为， ∴点E的坐标为， 故答案为：； （3）解：∵与关于原点位似，且相似比为， ∴线段上一点经过变换后对应的点的坐标为 ， 故答案为：． 50．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图，平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为． (1)画出绕点逆时针旋转得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧，画出，使它与位似，且相似比为，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，点的坐标为 【分析】此题考查了中心旋转的作图和位似的作图，熟练掌握作图方法找到对应点是解题的关键． （1）作出点绕点逆时针旋转得到的对应点，顺次连接即可得到； （2）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，找到点的对应点，顺次连接即可得到，再写出点的坐标即可． 【详解】（1）即为所求； （2）即为所求， 点的坐标为． 地 城 考点16 相似三角形综合问题 51．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图1，平行四边形的面积为，，为锐角．点在边上，过点作边的垂线，交平行四边形的其它边于点，在的右侧作正方形． (1)如图2，若点在对角线上，则正方形的边长为　　　； (2)设与对角线交于点，如果点与点重合，求的值； (3)如果点在边上，且与相似，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点作于，交于点，先求出，设正方形的边长为，则，证明和相似，利用相似三角形的性质求出即可； （2）过点作于，当点与点重合，先求出，设正方形的边长为，证明和相似，利用相似三角形的性质求出，则，，根据得，进而根据即可得出的值； （3）依题意有以下三种情况：①当点在左侧时，设正方形的边长为，证明和相似得，，则，再根据和相似可求出，进而可得的长；②当点在上时，由（1）可知正方形的边长，根据相似得，由此可得的长；③当点在右侧时，如图6所示：由于，因此不存在与相似的情况，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：过点作于，交于点，如图2所示： ∵平行四边形的面积为，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴正方形的边长为， 故答案为：； （2）解：过点作于，当点与点C重合，如图3所示： 在中，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 设正方形的边长为，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：依题意有以下三种情况： ①当点在左侧时，如图4所示： 设正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当与相似时，只有一种情况：即， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； ②当点在上时，如图5所示： 由（1）可知：正方形的边长， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当点在右侧时，如图6所示： 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在右侧时，， ∵， ∴， ∴不存在与相似的情况， 综上所述：当点在边上，且与相似时，的长为或． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正方形的性质，理解平行四边形的性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 52．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图1，在矩形中，，点为的中点，将沿翻折至，直线分别交直线，直线于点，，连接． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图2．连接分别交，于点，，若， ①求证：． ②求的长． (3)设直线交于点，连接．记的面积为，的面积为，连接，当中有一个内角的正切值为时，求的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①详见解析；② (3)或 【分析】（1）先说明，再证明，由，得，即可解决问题， （2）①证明，得，，得四边形是平行四边形，再由，得是菱形，由相似三角形各边成比例，得，，得，求出，得，得，从而；②利用勾股定理计算即可； （3）先证，分两种情况：第一种情况，如图3，的正切值为，即，第二种情况，如图4，的正切值为，即，利用相似基本图形相关线段长度，分别求，，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵将沿翻折至， ， ，， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， （2）解：①连接   ，， ∴， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 是菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ，， ， ， ∴， ， ，得， ， ②在中，, 在中，. （3）解：，，， ， ， ， 第一种情况，如图3，            图3 ∵的正切值为，即 ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ， ∴， ，即, ，， ， ∵， ∴， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴， ∴ 第二种情况：如图4，         图4 ∵的正切值为，即， 同理可得，，，， ，， ， ∴ 综上所述或 【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的性质，菱形判定，全等三角形的综合问题，正切的定义，解决此题关键在于利用相似三角形的性质求出相关线段长度． 53．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）【问题背景】 如图1，已知正方形的边长为，点是边上的一点，把沿直线对折后，点落在点处． 【问题探究】 （1）如图2，当时，正方形的对角线与相交于点，与正方形另一条对角线相交于点，连接并延长，交线段于点． ①证明点是的中点； ②试探究与有怎样的关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图3，点是线段上的一点，且，连接、．在点从点运动到点的过程中，求的最小值． 【答案】（1）①证明见解析，②；，理由见解析；（2） 【分析】本题是相似性综合题，考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线定理、平行线的判定、勾股定理等知识，综合性强，熟练掌握折叠的性质和相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）①先证，得出，再根据是的中点，即可得到点是的中点； ②连接交于点，根据折叠的性质得垂直平分，点是的中点，则是的中位线，即可得答案； （2）在上截取，连接、，再证，得出，然后证当、、三点共线时，最小，则此时，最小，最后由勾股定理求出即可得出结果． 【详解】（1）证明：①∵正方形的边长为3， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即点是的中点； ②解：与的位置关系为：，理由如下： 如图2，连接交于点N， 由折叠的性质得：垂直平分，即点N是的中点， ∵点M是的中点， ∴是的中位线， ∴，即； （2）解：如图3，在上截取，连接、， 则， ∵四边形是边长为3的正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当B、F、P三点共线时，最小，则此时，最小， 此时，． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06图形的相似（16大高频考点） 16大高频考点概览 考点01 比例的性质 考点02成比例线段 考点03黄金分割 考点04相似多边形 考点05平行线分线段成比例定理 考点06相似三角形的判定条件 考点07证明两个三角形相似 考点08添加条件使三角形相似 考点09相似三角形与作图 考点10相似三角形的性质 考点11相似三角形与网格问题 考点12相似三角形的判定与性质 考点13相似三角形与动点问题 考点14相似三角形的应用 考点15位似图形 考点16相似三角形综合问题 地 城 考点01 比例的性质 1．（24-25九年级上·福建·期中）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知a，b，c为的三边长，且满足，，求的周长． 3．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知，求的值． 地 城 考点02 成比例线段 4．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）若线段a，b，c，d是成比例线段，且，则（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知线段，满足． (1)求的值； (2)当线段是的比例中项且时，求的值． 地 城 考点03 黄金分割 7．（24-25九年级上·安徽六安·期中）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为（   ）． A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）在绚丽多姿的秋色叶类植物中，爬山虎有着油画般浓郁的色彩。我们学校墙上的五叶爬山虎树叶，蕴含着一种数学美：“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为8cm，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·河南郑州·期中）把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若，求的长． 地 城 考点04 相似多边形 10．（24-25九年级上·山东聊城·期中）下列说法中正确的有（    ） 位似图形都相似；两个等腰三角形一定相似；两个相似多边形的面积比为，则周长的比为；若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长，那么这两个三角形一定相似． A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，四边形四边形，分别求的长及的度数． 12．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题：    (1)当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，若不存在，请说明理由． (2)边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 地 城 考点05 平行线分线段成比例定理 13．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点和点，若，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，若，，，，则长为 ． 15．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，D为上一点，且，过点D作交于点E，连接，过点D作交于点F．若，求的长． 地 城 考点06 相似三角形的判定条件 16．（24-25九年级上·山西临汾·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，点分别在的边上，增加下列条件中的一个，①；②；③；④；⑤，能使与一定相似的有 ．（填序号） 地 城 考点07 证明两个三角形相似 19．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如图所示，将矩形纸片沿折叠得到，且点恰好落在上．求证：．    20．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，，，，求证：． 21．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并说明理由． 地 城 考点08 添加条件使三角形相似 22．（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在中，点D，E分别是边上的点，若，则需要增加的一个条件是 （只需增加一个条件即可）． 23．（24-25九年级上·福建三明·期中）如图，在中，D，E分别为边，上的点，试添加一个条件： ，使得与相似． 24．（23-24九年级上·湖南常德·期中）如图1，在中，是边上的一点，联结．要使，还需要补充的一个条件是______，或______．    请回答： (1)补充的条件是______，或______； (2)请你参考上面的图形和结论，探究、解答下面的问题： 如图2，在中，，．求的度数． 地 城 考点09 相似三角形与作图 25．（23-24九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，请用尺规作图法，在上确定一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 26．（23-24九年级上·河南南阳·期中）如图，点D为边上一点，请用尺规作图法，在边上求作一点E，使与相似．（保留作图痕迹，画出一种即可，不写作法），并写出证明．    地 城 考点10 相似三角形的性质 27．（24-25九年级上·广西南宁·期中）已知，相似比为，若的周长是9，则的周长为（   ）． A．1 B．3 C．6 D．9 28．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，为上一点，且，在上取一点，若以、、为顶点的三角形与相似，则的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 29．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，正方形的边长为2，，线段的两端分别在上滑动，那么当 时，与相似． 地 城 考点11 相似三角形与网格问题 30．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，在的正方形网格中，画个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 31．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是 ． 32．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有 个． 33．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图．    (1)在图1中画一个格点，使． (2)在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使． 地 城 考点12 相似三角形的判定与性质 34．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，沿折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处； (1)求证：； (2)若是中点，求的值． 35．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在中，D，E分别在，上，于点G，于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的值． 36．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图点E是矩形中边上一点，连接，沿线段翻折，点D的对应点F恰好落在边上 (1)求证：． (2)若，，求线段的长． 37．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，求证：． 地 城 考点13 相似三角形与动点问题 38．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 39．（24-25九年级上·四川资阳·期中）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若与相似，求t的值． 40．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒． (1)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)用含的代数式表示点的坐标； (3)的面积能否为6个平方单位？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 41．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，动点P从点B出发以速度向点C移动，同时动点Q从点C出发以的速度向点A移动，设它们的运动时间为t秒． (1)根据题意知： （用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的面积等于面积的？ (3)当运动几秒时，与相似？ 地 城 考点14 相似三角形的应用 42．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 43．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E与点C，A共线.已知：，，测得，，，测量示意图如图所示，请根据相关测量信息，则河宽为（   ） A． B． C． D．无法确定 44．（24-25九年级上·福建·期中）如图，为一栋高楼，楼的底部不能到达．某广告公司计划在楼的顶部安装一块广告宣传画，但不能超出楼顶A也不能遮住这栋楼的窗户．小明先在这栋楼周围的空地上选一个点D，并在D处安装了测角仪，测得楼的顶部A的仰角（视线与水平线所成的锐角）为，窗户顶部M的仰角为，再在的延长线上确定一点G，使米，并在地面G处，水平放置一面镜子，小明沿方向移动，当小明到F处时，恰好在镜子中看到楼的顶部A，此时测得米，小明眼睛与地面的距离米，测角仪的高度米，已知点F，G，D，B在同一条水平线上，均垂直于地面．问：计划安装的广告宣传画的高度不能超过多少米？（参考数据：，） 45．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度，手电间的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为，图中A，B，C，D在同一条直线上， (1)求的长； (2)求点E到地面的高度． 地 城 考点15 位似图形 46．（24-25九年级上·重庆合川·期中）如图，与是位似图形，点是位似中心，位似比为，若的周长为4，则的周长等于（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 47．（2025·山东潍坊·二模）如图，每个小正方形的边长为1，的顶点在格点上．以点为位似中心，画，使与位似，，的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标是 B．与的周长之比为 C． D．一定在第一象限内 48．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，且，．已知矩形与矩形位似，位似中心是原点O，且矩形的周长是矩形周长的，则点B的对应点的坐标是 ． 49．（25-26九年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点为位似中心，在第一象限内，对进行位似变换，得到（点A，，分别对应点，，），且与的相似比为．其中点坐标为． (1)画出． (2)点E的坐标为______． (3)线段上一点经过变换后对应的点的坐标为______． 50．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图，平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为． (1)画出绕点逆时针旋转得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧，画出，使它与位似，且相似比为，并写出点的坐标． 地 城 考点16 相似三角形综合问题 51．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图1，平行四边形的面积为，，为锐角．点在边上，过点作边的垂线，交平行四边形的其它边于点，在的右侧作正方形． (1)如图2，若点在对角线上，则正方形的边长为　　　； (2)设与对角线交于点，如果点与点重合，求的值； (3)如果点在边上，且与相似，求的长． 52．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图1，在矩形中，，点为的中点，将沿翻折至，直线分别交直线，直线于点，，连接． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图2．连接分别交，于点，，若， ①求证：． ②求的长． (3)设直线交于点，连接．记的面积为，的面积为，连接，当中有一个内角的正切值为时，求的值． 53．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）【问题背景】 如图1，已知正方形的边长为，点是边上的一点，把沿直线对折后，点落在点处． 【问题探究】 （1）如图2，当时，正方形的对角线与相交于点，与正方形另一条对角线相交于点，连接并延长，交线段于点． ①证明点是的中点； ②试探究与有怎样的关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图3，点是线段上的一点，且，连接、．在点从点运动到点的过程中，求的最小值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $