专题05概率的进一步认识（6大高频考点）（期中真题汇编，北师大版）九年级数学上学期

专题05概率的进一步认识（6大高频考点） 6大高频考点概览 考点01 列举法求概率 考点02列表法求概率 考点03树状图法求概率 考点04用频率估计概率 考点05用频率估计概率的应用 考点06游戏公平性问题 地 城 考点01 列举法求概率 1．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）在三张卡片上分别标上数字，2，，先从这三张卡片中随机抽出一张记所标数字为a，然后放回打乱，再从中随机抽出一张记所标数字为b，则一次函数的图象经过第二象限和第三象限的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，列举法求概率．熟练掌握一次函数的图象与性质，列举法求概率是解题的关键． 由题意知，当或时，一次函数的图象经过第二象限和第三象限，然后列举所有的情况，进行求解作答即可． 【详解】解：由题意知，当或时，一次函数的图象经过第二象限和第三象限， 由题意知，有，，，，，，，，共9种等可能的结果， 其中使一次函数的图象经过第二象限和第三象限，有，，，，共5种等可能的结果， ∴一次函数的图象经过第二象限和第三象限的概率为， 故选：D． 2．（23-24九年级下·四川绵阳·期中）如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列举法求事件的概率，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意可得出所有等可能的结果数以及能让灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将这些开关随机闭合至少两个，所有等可能的结果有： 闭合两个的情况有：，，，，，，，，，，，， 闭合三个的情况有：，，，，，，，，，，，， 闭合四个的情况有：，，，， 故这些开关随机闭合至少两个共11种， 其中能让灯泡发光的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共9种， 将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为． 故选：D． 3．（23-24九年级上·广东梅州·期中）有四张除正面图案外完全相同的邮票，邮票正面分别印有：A．祖冲之；B．李时珍；C．张衡；D．僧一行．现将这四张邮票背面朝上放置，搅匀后从中一次性抽取两张，则抽到的两张邮票正面的图案是祖冲之和李时珍的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，需先确定所有可能的抽取结果及符合条件的结果数，即可解答． 【详解】解：四张邮票分别记为A、B、C、D．从中一次性抽取两张，所有可能的抽取结果为： (A，B)、(A，C)、(A，D)、(B，C)、(B，D)、(C，D)，共6种等可能的情况． 其中，抽到A和B的情况仅有1种． 因此，所求概率为． 故选B． 4．（24-25九年级上·河南焦作·期中）小颖有红、黄、蓝三支彩笔，这三支彩笔的笔杆与笔帽的颜色一致，完成绘画后她随机将三个笔帽盖在笔杆上，每个笔帽与笔杆的颜色都不匹配的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用列举法求概率．列出所有可能出现的结果，再找出每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的结果，利用概率公式计算即可求解，正确列出所有可能出现的结果是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，共有种结果：红红，黄黄，蓝蓝；红红，蓝黄，黄蓝；黄红，红黄，蓝蓝；黄红，蓝黄，红蓝；蓝红，红黄，黄蓝；蓝红，黄黄，红蓝； 其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的有种结果， ∴每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是， 故答案为：． 5．（23-24九年级下·宁夏银川·期中）我们把十位上的数字比个位、百位上的数字都要大的三位数叫做“凸数”，如：571就是一个“凸数”．若十位上的数字为4，则从2，3，5， 6中任取两个不同的数，能与4组成“凸数”的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查运用列举法求概率，直接列出所有的可能结果，得到符合要求的情况，利用概率公式计算即可． 【详解】解：由题意，从中任取两个不同的数，有，共12种情况，其中能与组成“凸数”的有，共2种情况， 所以所求概率为， 故答案为：． 6．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）现有4根小木棒，长度分别为：2，3，4，5(单位：)，从中任意取出3根． (1)列出所选的3根小木棒的所有可能情况； (2)如果用这3根小木棒首尾顺次相接，求它们能搭成三角形的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用列举法即可列举出所选的3根小木棒的所有可能情况； （2）由能搭成三角形的情况有3种，利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）解：所有可能情况：； （2）解：∵能搭成三角形的情况有，，，共有种， ∴能搭成三角形的概率为． 【点睛】本题考查了列举法求概率的知识．此题难度不大，注意要不重不漏，注意概率所求情况数与总情况数之比． 地 城 考点02 列表法求概率 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）“中华麋鹿园”“丹顶鹤自然保护区”“盐城大纵湖旅游景区”和“黄海海滨国家森林公园”是盐城市四个有代表性的旅游景点．若小丽从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“丹顶鹤自然保护区”的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，根据题意正确列表成为解题的关键． 先根据题意列表得到所有等可能性的结果数，再找到选择两个景点中有“丹顶鹤自然保护区”的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设“中华麋鹿园”“丹顶鹤自然保护区”“盐城大纵湖旅游景区”和“黄海海滨国家森林公园”四个景点分别用A、B、C、D表示，列表如下： A B C D A （A,B） （A,C） （A,D） B （B,A） （B,C） （B,D） C （C,A） （C,B） （C,D） D （D,A） （D,B） （D,C） 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选择“丹顶鹤自然保护区”的结果数有6种， ∴这两个景点中有“丹顶鹤自然保护区”的概率为． 故选：D． 8．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）将1，2，3三个数字随机取一个数字作为一个点的横坐标，放回后再从中抽取一个数字作为这个点的纵坐标．从这些坐标构成的点中取一点，则这个点在函数图象上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的运算求解，熟练掌握概率的计算公式是解决本题的关键． 首先确定所有可能的点的总数，再找出满足条件的点的数量，最后计算概率即可． 【详解】解：横坐标和纵坐标分别从1、2、3中随机选取（有放回）， 列表可知 横坐标 纵坐标 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 ∴由表格可知，有9种不同的点， 在函数 图像上的点满足横坐标等于纵坐标， 即 ，，，共3个点， ∴概率为 ． 故选：B ． 9．（23-24九年级上·广东梅州·期中）用如图所示的两个转盘进行“配浅黄色”游戏（也就是两个转盘转出的一个是黄色，一个是白色），则配成“浅黄色”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题是一道关于概率计算的题目，关键是掌握计算公式． 利用列表法分别列举出转动两个转盘后得到的颜色搭配的情况总数； 然后根据黄色和白色可以配成“浅黄色”，再结合概率公式即可完成此题． 【详解】列表如下： 红 白 黄 红 红，红 白，红 黄，红 白 红，白 白，白 黄，白 黄 红，黄 白，黄 黄，黄 由表可知，配成浅黄色的概率是． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“灵”、“武”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． (1)若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率； (2)甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用列表法或树状图法求概率： （1）直接根据概率公式计算，即可求解； （2）根据题意，列出表格，可得一共有12种等可能结果，其中甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的有2种，再根据概率公式计算，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：摸出球上的汉字刚好是“美”的概率为； （2）解：根据题意，列出表格如下： 美 丽 灵 武 美 丽美 灵美 武美 丽 美丽 灵丽 武丽 灵 美灵 丽灵 武灵 武 美武 丽武 灵武 一共有12种等可能结果，其中甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的有2种， 所以甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的概率为． 11．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）今年5月份，某校九年级学生参加了银川市中考体育考试，测试结果显示该校体育成绩满分共有3人，其中男生2人，女生1人，要从这3人中随机选取2人到八年级进行交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率． 【答案】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图及列表法求解概率是解题的关键；因此此题可根据列表法求解概率． 【详解】解：设2名男生为A、B，1名女生为C，由题意可列表如下： A B C A / B / C / 从这3人中选取2人到八年级进行交流的情况有共6种情况，其中恰好选到一男一女的有4种情况，所以其概率为． 12．（24-25九年级上·广东湛江·期中）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有，，三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化（、）；生成其他物质的变化叫做化学变化（、、）． (1)若从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到化学变化的概率是______； (2)从两个口袋中分别随机取出张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是物理变化的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率． （）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到化学变化的结果有种，利用概率公式可得答案； （）列表可得出所有等可能的结果数以及抽出的两张卡片均是物理变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：乙口袋中有张卡片，其中是物理变化，、是化学变化， 共有种等可能的结果，其中抽到化学变化的结果有种， 从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到化学变化的概率是， 故答案为：； （2）解：甲口袋中是物理变化，是化学变化， 只有同时抽到和才符合要求， 根据题意，列表如下： 由表可知，所有等可能出现的结果共有种，其中两次抽出的卡片均为物理变化的情况有种， 抽出的两张卡片均是物理变化的概率为． 地 城 考点03 树状图法求概率 13．（24-25九年级上·北京海淀·期中）不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到红色小球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键在于掌握概率所求情况数与总情况数之比． 根据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，即可解题． 【详解】解：依题意，画树状图如下： 由图知，共有4种等可能的结果，其中两次都取到红色小球的结果有1种， 两次都取到红色小球的概率为． 故选：D． 14．（22-23九年级上·山东枣庄·期末）郓城某学校开展了校内冬奥知识竞赛活动，并评出一等奖3人．现欲从小明等3名一等奖获得者中任选2名参加全市冬奥知识竞赛，则小明被选到的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了画树状图法求概率．树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件． 先根据题意画出画树状图，可知共有种等可能的结果，其中小明被选中的结果有种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：依题意，把这三人分别记为甲、乙、丙,其中丙是小明，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中丙被选中的结果有种，即小明被选中的结果有种 小明被选中的概率为， 故选：D． 15．（24-25九年级上·福建·期中）如图，三角形①，②，③，④是四个完全相同的三角形，从这四个三角形中任选两个三角形，则这两个三角形只有一个公共顶点的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了树状图法求概率以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有12种等可能的结果，其中两个三角形只有一个公共顶点的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两个三角形只有一个公共顶点的结果为：①③，②④，③①，④②，共有4种， 这两个三角形只有一个公共顶点的概率是． 故答案为：． 16．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查，请用画树状图或列表的方法求甲组抽到 A 小区同时乙组抽到C小区的概率． 【答案】 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率．根据题意列出树状图，找到甲组抽到 A 小区同时乙组抽到C小区的情况数和所有等可能的情况数，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中甲组抽到A小区同时乙组抽到C小区的结果只有1种， ∴甲组抽到A小区同时乙组抽到C小区的概率为 ． 17．（24-25九年级上·吉林·期中）一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2）、1个白球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀． (1)从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是________________； (2)先从中任意摸出1个球，再从余下的2个球中任意摸出1个球，请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的球是一红一白的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键要熟练掌握概率的求法：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解； （2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出两次摸到的球是一红一白的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率． 故答案为：； （2）解：画树状图如图． 共有6种等可能的结果数，其中两次摸到的球是一红一白的结果数为4，所以两次摸到的球是一红一白的概率． 18．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）一只不透明的袋子中装有6个小球，分别标有1，2，3，4，5，6这6个号码，这些球除号码外都相同． (1)直接写出事件“从袋中任意摸出一个球，号码为3的整数倍”的概率； (2)用画树状图或列表格等方法，求事件“从袋中同时摸出两个球，号码之和为6”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了简单的概率计算、利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． （1）从袋中任意摸出一个球共有6种等可能的结果，其中，从袋中任意摸出一个球，号码为3的整数倍的结果有2种，利用概率公式计算即可得； （2）先根据题意画出树状图，从而可得从袋中同时摸出两个球共有30种等可能的结果，其中，从袋中同时摸出两个球，号码之和为6的结果共有4种，再利用概率公式计算即可得． 【详解】（1）解：因为从袋中任意摸出一个球共有6种等可能的结果，其中，从袋中任意摸出一个球，号码为3的整数倍的结果有2种：即3和6， 所以事件“从袋中任意摸出一个球，号码为3的整数倍”的概率． （2）解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，从袋中同时摸出两个球共有30种等可能的结果，其中，从袋中同时摸出两个球，号码之和为6的结果共有4种， 所以事件“从袋中同时摸出两个球，号码之和为6”的概率． 19．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）庆祝北京冬奥会三周年暨奥林匹克历史知识产权授权产品“冰墩墩”蛇年新春特别版“蛇墩墩”系列新品在北京发布，现场发布了五个形象的“蛇墩墩”手办，产品在设计上则采用了“五福临门”的㝢意．小明收集了如图所示的五张印有“蛇墩墩”图案的卡片：A．“福星蛇墩墩”，B．“禄星蛇墩墩”，C．“寿星蛇墩墩”，D．“喜星蛇墩墩”，E．“财星蛇墩墩”（除正面内容不同外，其余均相同），现将五张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从五张卡片中随机抽取一张卡片是“福星蛇墩墩”的概率是______； (2)小明从五张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，记下卡片正面内容后，再将剩下四张卡片洗匀后从中随机抽取一张卡片，记下卡片正面内容，请用列表法或画树状图法，求小明两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列表或画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两次抽取的卡片都没有抽到“福星蛇墩墩”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有5张卡片，卡片上的文字是“福星蛇墩墩”的卡片有1张，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴小明从中随机抽取一张卡片，抽取的卡片上的文字是“福星蛇墩墩”的概率为； （2）解：画树状图下： 由树状图可知，共有20种等可能的结果，两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的有12种， 则小明两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的概率为． 20．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）为准备参加元旦文娱汇演活动，学校“原木”吉他社团需招收新成员．、、、四名同学报名参加了应聘活动，其中、同学来自八年级，、同学来自九年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行面试． (1)若随机抽取一名同学，恰好抽到同学的概率为 ； (2)若随机抽取两名同学，请用画树状图或列表法求两名同学均来自九年级的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法或树状图法、概率公式，得到所有等可能的结果数是解答的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）先画树状图列出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解即可得出答案．列举出所有可能出现的结果情况解题的关键． 【详解】（1）解：从4名同学中随机抽取一名同学，恰好抽到同学的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 总共有12种等可能的结果，其中两名均来自九年级的结果有2种， ∴两名同学均来自九年级的概率为． 地 城 考点04 用频率估计概率 21．（23-24九年级上·广东梅州·期中）盒子中有黄色小球和橙色小球若干个，小明同学进行了如下试验：每次摸出一个小球记下它的颜色并放回盒中，如此反复1500次，摸出橙色小球300次，由此可估计摸出橙色小球的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是根据频率估计概率的原理，先计算橙色小球出现的频率，根据原理可得概率的估计值． 【详解】解：在大量重复试验中，事件发生的频率会稳定于其概率附近，小明共进行了1500次摸球试验，其中橙色小球被摸出300次， 因此，橙色小球的频率为：， 由此可估计摸出橙色小球的概率为， 故选：A 22．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（   ） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6 D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 【答案】C 【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率．根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】解：根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下， A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，本选项不符合题意； B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，本选项不符合题意； C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是的概率是，本选项符合题意； D、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，本选项不符合题意； 故选：C． 23．（24-25九年级上·福建·期中）农科院某研究所在相同条件下做某种农作物的发芽率试验，结果如下表所示： 种子个数 200 500 700 800 900 1000 发芽种子个数 187 435 624 718 814 901 种子发芽率 0.935 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901 下面有四个判断，其中合理的是（    ） A．试验种子的个数最少的那次试验得到的种子发芽的频率一定是种子发芽的概率 B．试验种子的个数最多的那次试验得到的种子发芽的频率一定是种子发芽的概率 C．种子发芽的概率为 D．随着参加试验的种子数量增加，种子发芽的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定的位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：根据大量试验得到的发芽率即为概率，故说法正确的是D选项， 故选：D． 24．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二维码已深入人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图是一个边长为的正方形二维码，若在该二维码内随机抛掷100个点，有60个点落入黑色部分，则估计黑色部分的面积是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了频率估计概率，由落入黑色部分的频率稳定在0.6，可根据几何概率求黑色部分的面积；理解频率与概率之间的关系，掌握解法是解题的关键． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， 据此可以估计黑色部分的面积为． 故答案为：15． 地 城 考点05 用频率估计概率的应用 25．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）在一个不透明的箱子中装有10个红球和若干个绿球，这些球除颜色外全一样，搅匀后从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了400次，发现有80次摸到红球，由此可估计箱子中有 个绿球． 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率，概率公式求概率，解题的关键是要计算出红球所占的比例．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率．先根据频率求出摸到红球的概率，再设绿球个数为个，根据红球的概率,即可求解． 【详解】解：摸了次，发现有次摸到红球， 估计摸到红球的概率为， 设绿球个数为个， ， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 估计箱子中有个绿球． 故答案为：． 26．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除颜色外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在附近． (1)估计摸到红球的概率是___________； (2)若袋中有10个红球，求袋中一共有多少个球？ 【答案】(1) (2)袋中一共有25个球 【分析】本题主要考查了根据频率估计概率，根据概率计算数量，解分式方程，解题的关键是熟练掌握概率公式，列出方程，注意解分式方程要进行检验． （1）根据摸到黑球的频率逐渐稳定在附近得出估计摸到红球的频率在，然后根据频率估计概率即可； （2）设袋中一共有个球，根据频率公式得出，解方程即可． 【详解】（1）解：经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在附近， 估计摸到红球的频率为， 估计摸到红球的概率是， 故答案为：； （2）设袋中一共有个球， 根据题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的解， 答：袋中一共有25个球． 27．（24-25九年级上·陕西西安·期中）工厂新进一台机床，初步调试后做了4个零件，经检测有3个合格、1个不合格，机床经过精准调试后，确保做出的零件均能合格．操作人员将最新做出的x个合格零件与之前的4个零件混在一起进行试验：随机抽取1个零件检测后放回，多次重复这个试验，通过大量试验后发现，抽到合格零件的频率稳定在，请估计x的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此可得抽到合格零件的概率为，再根据概率计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵多次重复这个试验，通过大量试验后发现，抽到合格零件的频率稳定在， ∴抽到合格零件的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 28．（24-25九年级上·北京·期中）某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．表格是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 （结果保留小数点后两位） 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70    (1)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为_________；（结果保留小数点后一位） (2)铅笔每只0.5元，饮料每瓶3元，经统计该商场每天约有4000名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每天需要支出的奖品费用． 【答案】(1) (2)5000元 【分析】本题考査了频率估计概率、概率公式,掌握根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是关键． （1）利用频率估计概率求解； （2）利用（1）得到获得铅笔的概率为0.7和获得饮料的概率为0.3，然后计算即可． 【详解】（1）转动该转盘一次,获得铅笔的概率约为， 故答案为：； （2）元， 所以该商场每天大致需要支出的奖品费用为5000元． 29．（24-25九年级上·陕西西安·期中）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黄、白两种颜色的乒乓球共40个，某数学兴趣小组做摸球试验，将乒乓球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 300 500 800 1000 摸到黄色乒乓球的次数 69 102 143 213 353 560 701 摸到黄色乒乓球的频率 0.69 0.68 0.715 a 0.706 0.70 b (1)①上表中的_____，_____； ②根据上表估计，当n很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是_____；（精确到0.1） (2)试估计盒子中黄色乒乓球的个数． 【答案】(1)①0.71，0.701； ②0.7 (2)盒子中黄色乒乓球的个数大约是28个 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率， 对于（1）①，利用概率公式求出，的值即可； ②根据表格中的数据即可得出结论； 对于（2），根据②中的概率计算即可得出结论． 【详解】（1）解：①由题意得， 故答案为：0.71，0.701； ②由表格中的数据可知，摸到黄色乒乓球的频率在0.7附近， 当很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是0.7， 故答案为：0.7； （2）解：由（1）可知，摸到黄色乒乓球的概率约是0.7， 盒子中黄色乒乓球的个数（个）． 答：盒子中黄色乒乓球的个数大约是28个． 地 城 考点06 游戏公平性问题 30．（24-25九年级上·山西晋中·期中）小明、小颖和小凡都想去看周末电影，但只有一张电影票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则为：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜；若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上、一枚反面朝上，则小凡获胜．下面关于这个游戏说法正确的是（    ） A．若小明连续掷两枚硬币都是正面朝上，则小颖和小凡掷硬币时出现正面朝上的概率大 B．小明获胜的概率是 C．小凡获胜的概率是 D．这个游戏是公平的 【答案】C 【分析】本题考查画树状图求概率．根据题意画出树状图，再分别求出概率逐一对选项进行分析即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中： 小明获胜概率：， 小颖获胜概率：， 小凡获胜概率：即， 这个游戏不公平，故选项C说法正确，符合题意， 故选：C． 31．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看，他们约定，若两个人所写的数的和是偶数，则小明获胜，若两个人所写的数字和是奇数，则小亮获胜，这个游戏（    ） A．无法确定对谁有利 B．对小亮有利 C．对小明有利 D．游戏公平 【答案】D 【分析】本题主要考查了游戏的公平性，根据游戏规则，总结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇，而和为偶数的情况和和为奇数的情况都为两种，则和为偶数的概率和和为奇数的概率相同，故游戏公平，据此可得答案． 【详解】解：根据游戏规则，总结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇； ∵奇数与奇数的和为偶数，偶数与偶数的和为偶数，奇数与偶数的和为奇数， ∴和为偶数的情况和和为奇数的情况都为两种， ∴和为偶数的概率和和为奇数的概率相同， ∴这个游戏是公平的， 故选：D． 32．（24-25九年级上·福建·期中）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到红球或黄球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色，若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数为个，个和个 (2)游戏不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是根据概率求数量和游戏公平性的判断． （1）根据概率计算出各小球的数量即可； （2）列表求出甲、乙获胜的概率，然后比较解答即可． 【详解】（1）解：红球的个数为个，黄球的个数为个， 蓝球个数为个， 答：盒中红球、黄球、蓝球的个数为个，个和个； （2）解：游戏不公平，理由为： 列表为： 红1 红2 黄 蓝 红1 红1，红1 红2，红1 黄，红1 蓝，红1 红2 红1，红2 红2，红2 黄，红2 蓝，红2 黄 红1，黄 红2，黄 黄，黄 蓝，黄 蓝 红1，蓝 红2，蓝 黄，蓝 蓝，蓝 由表格可知共有16种等可能结果，甲胜出的结果数有6种，乙胜出的结果数有10种， 故甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∵， ∴游戏不公平． 33．（24-25九年级上·云南昆明·期中）某学校举办了“创建全国文明城市，争做文明学生”的演讲比赛，每个班只有一个参赛名额．某班为了从两位优秀演讲者小云、小南中选出一位参加比赛，他们决定采用摸球的办法确定谁去，规则如下：在一个不透明的盒子中装有三个分别标有1、2、3的小球（小球除了数字不同，其余都相同），充分摇匀后从盒子里摸出一个小球记下标号后放回摇匀，再从中随机摸出一个小球记下标号．如果两个数字之积为偶数则小云去，反之则小南去． (1)请你用列表法或树状图法表示出两次摸球数字积的所有可能出现的结果； (2)你认为这个规则公平吗? 请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)这个规则不公平，理由见解析 【分析】本题考查了游戏的公平性列表法求概率； （1）列表可得所有等可能结果； （2）结合表格求出小云去和小南去的概率，即可得出答案． 【详解】（1）解：两次摸球数字积的所有可能出现的结果列表如下： （2）这个规则不公平， 由表知，共有9种等可能结果，其中两个数字之积为偶数的有5种结果，两个数字之积为奇数的有4种结果， 所以小云去的概率为，小南去的概率为 ∵ ∴这个规则不公平． 34．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别都标上数字1，2，3，将这两组卡片分别放入两个不透明的盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张． (1)请用画树状图或列表的方法求取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率； (2)若取出的两张卡片上的数字和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平；理由见解析 【分析】本题考查借助树状图或列表法求概率．如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率． （1）依据题意画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能，然后根据概率公式求出该事件的概率； （2）根据（1）中树状图，进而求出两人获胜的概率，即可得出答案． 【详解】（1）解：画树状图得：    由上图可知，所有等可能结果共有9种，其中两张卡片数字都为奇数的结果有4种， 则取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率是； （2）不公平；理由： 取出的两张卡片上的数字和为奇数的有4种，数字和为偶数的有5种， 则取出的两张卡片上的数字数字和为奇数的概率是，和为偶数的概率是， ∵， 因此，这个游戏不公平． 35．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将三张卡片放入纸盒．小明随机抽取一张卡片后放回，小亮再随机抽取一张卡片．计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数则小明胜，和为偶数则小亮胜． (1)求两人卡片数字和为5的概率； (2)请判断该游戏对双方是否公平？请用列表法或树状图等方法说明理由． 【答案】(1) (2)该游戏对双方不公平，见解析 【分析】本题考查了游戏公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了列表法与树状图法． （1）先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两人卡片数字和为5的结果数，然后根据概率公式计算； （2）找出和为奇数的结果数为4种，和为偶数的结果数为5种，再计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，然后通过比较两概率大小可判断游戏是否公平． 【详解】（1）解：（1）画树状图为： 共有9种等可能的结果，其中两人卡片数字和为5的结果数为2， 所以两人卡片数字和为5的概率； （2）不公平． 理由如下： 和为奇数的结果数为4种，和为偶数的结果数为5种， 所以小明胜的概率，小亮胜的概率， 因为， 所以该游戏对双方不公平． 36．（24-25九年级上·广东茂名·期中）今年是共青团成立100周年，为继承和发扬“五四”运动光荣传统，引导广大团18．某校团委举办以“无悔青春献祖国，接力奋斗新时代”为主题的演讲比赛，九（1）班准备从演讲水平相当的明明和乐乐中任选一名参加本次比赛，班长设计了一个游戏：转动如图所示的被平均分成三个扇形且分别标有数字1、2、3的转盘，连续转动两次，若指针前后所指数字之和为偶数，则明明参加；否则，乐乐参加．（如果指针恰好停在分割线上，则重新转动，直到指针指向某一扇形区域为止）． (1)第一次转动转盘，转到数字是3的区域的概率是______； (2)请你用列表或画树状图的方法，判断班长设计的这个游戏对双方是否公平． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查树状图或列表法求概率，熟练掌握概率公式，是解题的关键： （1）根据概率公式直接计算即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：第一次转动转盘可能出现的情况有种，转到数字是3的区域可能情况有种， 第一次转动转盘，转到数字是3的区域的概率； （2）列表如下： 明明 乐乐 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 所有可能情况有9种，其中指针前后所指数字之和为偶数的情况有5种，指针前后所指数字之和为奇数的情况有4种， 则P（明明参加），P（乐乐参加）， ∵， ∴班长设计的这个游戏对双方不公平． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05概率的进一步认识（6大高频考点） 6大高频考点概览 考点01 列举法求概率 考点02列表法求概率 考点03树状图法求概率 考点04用频率估计概率 考点05用频率估计概率的应用 考点06游戏公平性问题 地 城 考点01 列举法求概率 1．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）在三张卡片上分别标上数字，2，，先从这三张卡片中随机抽出一张记所标数字为a，然后放回打乱，再从中随机抽出一张记所标数字为b，则一次函数的图象经过第二象限和第三象限的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·四川绵阳·期中）如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·广东梅州·期中）有四张除正面图案外完全相同的邮票，邮票正面分别印有：A．祖冲之；B．李时珍；C．张衡；D．僧一行．现将这四张邮票背面朝上放置，搅匀后从中一次性抽取两张，则抽到的两张邮票正面的图案是祖冲之和李时珍的概率为（     ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南焦作·期中）小颖有红、黄、蓝三支彩笔，这三支彩笔的笔杆与笔帽的颜色一致，完成绘画后她随机将三个笔帽盖在笔杆上，每个笔帽与笔杆的颜色都不匹配的概率为 ． 5．（23-24九年级下·宁夏银川·期中）我们把十位上的数字比个位、百位上的数字都要大的三位数叫做“凸数”，如：571就是一个“凸数”．若十位上的数字为4，则从2，3，5， 6中任取两个不同的数，能与4组成“凸数”的概率为 ． 6．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）现有4根小木棒，长度分别为：2，3，4，5(单位：)，从中任意取出3根． (1)列出所选的3根小木棒的所有可能情况； (2)如果用这3根小木棒首尾顺次相接，求它们能搭成三角形的概率． 地 城 考点02 列表法求概率 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）“中华麋鹿园”“丹顶鹤自然保护区”“盐城大纵湖旅游景区”和“黄海海滨国家森林公园”是盐城市四个有代表性的旅游景点．若小丽从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“丹顶鹤自然保护区”的概率是（　　） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）将1，2，3三个数字随机取一个数字作为一个点的横坐标，放回后再从中抽取一个数字作为这个点的纵坐标．从这些坐标构成的点中取一点，则这个点在函数图象上的概率是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·广东梅州·期中）用如图所示的两个转盘进行“配浅黄色”游戏（也就是两个转盘转出的一个是黄色，一个是白色），则配成“浅黄色”的概率是 ． 10．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“灵”、“武”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． (1)若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率； (2)甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的概率． 11．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）今年5月份，某校九年级学生参加了银川市中考体育考试，测试结果显示该校体育成绩满分共有3人，其中男生2人，女生1人，要从这3人中随机选取2人到八年级进行交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率． 12．（24-25九年级上·广东湛江·期中）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有，，三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化（、）；生成其他物质的变化叫做化学变化（、、）． (1)若从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到化学变化的概率是______； (2)从两个口袋中分别随机取出张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是物理变化的概率． 地 城 考点03 树状图法求概率 13．（24-25九年级上·北京海淀·期中）不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到红色小球的概率为（    ） A． B． C． D． 14．（22-23九年级上·山东枣庄·期末）郓城某学校开展了校内冬奥知识竞赛活动，并评出一等奖3人．现欲从小明等3名一等奖获得者中任选2名参加全市冬奥知识竞赛，则小明被选到的概率为（  ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·福建·期中）如图，三角形①，②，③，④是四个完全相同的三角形，从这四个三角形中任选两个三角形，则这两个三角形只有一个公共顶点的概率是 ． 16．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查，请用画树状图或列表的方法求甲组抽到 A 小区同时乙组抽到C小区的概率． 17．（24-25九年级上·吉林·期中）一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2）、1个白球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀． (1)从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是________________； (2)先从中任意摸出1个球，再从余下的2个球中任意摸出1个球，请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的球是一红一白的概率． 18．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）一只不透明的袋子中装有6个小球，分别标有1，2，3，4，5，6这6个号码，这些球除号码外都相同． (1)直接写出事件“从袋中任意摸出一个球，号码为3的整数倍”的概率； (2)用画树状图或列表格等方法，求事件“从袋中同时摸出两个球，号码之和为6”的概率． 19．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）庆祝北京冬奥会三周年暨奥林匹克历史知识产权授权产品“冰墩墩”蛇年新春特别版“蛇墩墩”系列新品在北京发布，现场发布了五个形象的“蛇墩墩”手办，产品在设计上则采用了“五福临门”的㝢意．小明收集了如图所示的五张印有“蛇墩墩”图案的卡片：A．“福星蛇墩墩”，B．“禄星蛇墩墩”，C．“寿星蛇墩墩”，D．“喜星蛇墩墩”，E．“财星蛇墩墩”（除正面内容不同外，其余均相同），现将五张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从五张卡片中随机抽取一张卡片是“福星蛇墩墩”的概率是______； (2)小明从五张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，记下卡片正面内容后，再将剩下四张卡片洗匀后从中随机抽取一张卡片，记下卡片正面内容，请用列表法或画树状图法，求小明两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的概率． 20．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）为准备参加元旦文娱汇演活动，学校“原木”吉他社团需招收新成员．、、、四名同学报名参加了应聘活动，其中、同学来自八年级，、同学来自九年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行面试． (1)若随机抽取一名同学，恰好抽到同学的概率为 ； (2)若随机抽取两名同学，请用画树状图或列表法求两名同学均来自九年级的概率． 地 城 考点04 用频率估计概率 21．（23-24九年级上·广东梅州·期中）盒子中有黄色小球和橙色小球若干个，小明同学进行了如下试验：每次摸出一个小球记下它的颜色并放回盒中，如此反复1500次，摸出橙色小球300次，由此可估计摸出橙色小球的概率为（     ） A． B． C． D． 22．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（   ） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6 D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 23．（24-25九年级上·福建·期中）农科院某研究所在相同条件下做某种农作物的发芽率试验，结果如下表所示： 种子个数 200 500 700 800 900 1000 发芽种子个数 187 435 624 718 814 901 种子发芽率 0.935 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901 下面有四个判断，其中合理的是（    ） A．试验种子的个数最少的那次试验得到的种子发芽的频率一定是种子发芽的概率 B．试验种子的个数最多的那次试验得到的种子发芽的频率一定是种子发芽的概率 C．种子发芽的概率为 D．随着参加试验的种子数量增加，种子发芽的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9 24．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二维码已深入人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图是一个边长为的正方形二维码，若在该二维码内随机抛掷100个点，有60个点落入黑色部分，则估计黑色部分的面积是 ． 地 城 考点05 用频率估计概率的应用 25．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）在一个不透明的箱子中装有10个红球和若干个绿球，这些球除颜色外全一样，搅匀后从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了400次，发现有80次摸到红球，由此可估计箱子中有 个绿球． 26．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除颜色外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在附近． (1)估计摸到红球的概率是___________； (2)若袋中有10个红球，求袋中一共有多少个球？ 27．（24-25九年级上·陕西西安·期中）工厂新进一台机床，初步调试后做了4个零件，经检测有3个合格、1个不合格，机床经过精准调试后，确保做出的零件均能合格．操作人员将最新做出的x个合格零件与之前的4个零件混在一起进行试验：随机抽取1个零件检测后放回，多次重复这个试验，通过大量试验后发现，抽到合格零件的频率稳定在，请估计x的值． 28．（24-25九年级上·北京·期中）某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．表格是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 （结果保留小数点后两位） 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70    (1)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为_________；（结果保留小数点后一位） (2)铅笔每只0.5元，饮料每瓶3元，经统计该商场每天约有4000名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每天需要支出的奖品费用． 29．（24-25九年级上·陕西西安·期中）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黄、白两种颜色的乒乓球共40个，某数学兴趣小组做摸球试验，将乒乓球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 300 500 800 1000 摸到黄色乒乓球的次数 69 102 143 213 353 560 701 摸到黄色乒乓球的频率 0.69 0.68 0.715 a 0.706 0.70 b (1)①上表中的_____，_____； ②根据上表估计，当n很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是_____；（精确到0.1） (2)试估计盒子中黄色乒乓球的个数． 地 城 考点06 游戏公平性问题 30．（24-25九年级上·山西晋中·期中）小明、小颖和小凡都想去看周末电影，但只有一张电影票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则为：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜；若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上、一枚反面朝上，则小凡获胜．下面关于这个游戏说法正确的是（    ） A．若小明连续掷两枚硬币都是正面朝上，则小颖和小凡掷硬币时出现正面朝上的概率大 B．小明获胜的概率是 C．小凡获胜的概率是 D．这个游戏是公平的 31．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看，他们约定，若两个人所写的数的和是偶数，则小明获胜，若两个人所写的数字和是奇数，则小亮获胜，这个游戏（    ） A．无法确定对谁有利 B．对小亮有利 C．对小明有利 D．游戏公平 32．（24-25九年级上·福建·期中）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到红球或黄球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色，若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 33．（24-25九年级上·云南昆明·期中）某学校举办了“创建全国文明城市，争做文明学生”的演讲比赛，每个班只有一个参赛名额．某班为了从两位优秀演讲者小云、小南中选出一位参加比赛，他们决定采用摸球的办法确定谁去，规则如下：在一个不透明的盒子中装有三个分别标有1、2、3的小球（小球除了数字不同，其余都相同），充分摇匀后从盒子里摸出一个小球记下标号后放回摇匀，再从中随机摸出一个小球记下标号．如果两个数字之积为偶数则小云去，反之则小南去． (1)请你用列表法或树状图法表示出两次摸球数字积的所有可能出现的结果； (2)你认为这个规则公平吗? 请说明理由． 34．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别都标上数字1，2，3，将这两组卡片分别放入两个不透明的盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张． (1)请用画树状图或列表的方法求取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率； (2)若取出的两张卡片上的数字和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 35．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将三张卡片放入纸盒．小明随机抽取一张卡片后放回，小亮再随机抽取一张卡片．计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数则小明胜，和为偶数则小亮胜． (1)求两人卡片数字和为5的概率； (2)请判断该游戏对双方是否公平？请用列表法或树状图等方法说明理由． 36．（24-25九年级上·广东茂名·期中）今年是共青团成立100周年，为继承和发扬“五四”运动光荣传统，引导广大团18．某校团委举办以“无悔青春献祖国，接力奋斗新时代”为主题的演讲比赛，九（1）班准备从演讲水平相当的明明和乐乐中任选一名参加本次比赛，班长设计了一个游戏：转动如图所示的被平均分成三个扇形且分别标有数字1、2、3的转盘，连续转动两次，若指针前后所指数字之和为偶数，则明明参加；否则，乐乐参加．（如果指针恰好停在分割线上，则重新转动，直到指针指向某一扇形区域为止）． (1)第一次转动转盘，转到数字是3的区域的概率是______； (2)请你用列表或画树状图的方法，判断班长设计的这个游戏对双方是否公平． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $