专题01特殊的平行四边形（10大高频考点）（期中真题汇编，北师大版）九年级数学上学期

专题01特殊的平行四边形（10大高频考点） 10大高频考点概览 考点01 矩形的性质 考点02矩形的判定 考点03矩形的性质与判定 考点04菱形的性质 考点05菱形的判定 考点06菱形的性质与判定 考点07正方形的性质 考点08正方形的判定 考点09正方形的性质与判定 考点10四边形综合问题 地 城 考点01 矩形的性质 1．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图所示，矩形的两条对角线相交于点，，，则对角线的长是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，矩形中，，交于点，，分别为，的中点，若，则的长为（   ） A．16 B． C． D． 3．（23-24九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在矩形中，，为的中点，连接，为的中点，连接，，若为直角，则的长为（   ） A． B．2 C．4 D．5 4．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，点E是矩形的边上一点，把沿对折，点D的对称点F恰好落在上，已知，，则 ． 5．（23-24九年级上·广东梅州·期中）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，若四边形为正方形，矩形的长为17，正方形的边长为3，则图中阴影部分的面积为 ． 6．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长和的面积． 7．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，四边形是矩形，对角线与交于点O． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点F，交于点E；（保留作图痕迹，不写做法） (2)若，求的度数． 8．（23-24九年级上·山东菏泽·期中）如图所示，矩形中，，，为上的一动点，过点作于点，于点，试问当点在上运动时，的值是否发生变化？若不变，请求出定值． 地 城 考点02 矩形的判定 9．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，四边形是平行四边形，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·山西运城·期中）在中，和是其对角线．若添加一个条件使四边形是矩形，则这个条件可以是（    ） A．与互相平分 B． C． D． 11．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，分别是及其邻补角的平分线，于点E，于点F，四边形是矩形吗？请证明你的结论． 12．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，矩形 中，，，在 上，连接，，过点作，分别交，于点，，连接交于点．若，求证：四边形 是矩形． 13．（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，点E，F，G，H分别是四边形的边，，，的中点，连接四边形各边中点，当四边形满足 条件，四边形是矩形． 14．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于点F，若，求的长． 15．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）如图，在▱中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 16．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）如图，的对角线，相交于点，将对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 地 城 考点03 矩形的性质与判定 17．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，将矩形的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形，则矩形的周长为（  ） A． B． C． D．8 18．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，甲同学将按照下面方式操作： 第一步，将绕点逆时针旋转，得到；第二步，过作，交的延长线于点；第三步，作直线，交，分别于点，． 甲同学根据操作，写出了四个结论： ①；②；③是的中线；④．其中正确的结论是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．②④ 19．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，，，M为斜边上一动点，过M作于点D，过M作于点E，则线段的最小值为 ． 20．（24-25九年级上·云南保山·期中）如图，在 中， ，是边上的中线， 是 的外角，平分 过点 A 作． 于点D，点O是的中点， 于点H． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若 ①求的长； ②若点 P 是线段上的一动点，连接，过点 P 作 于点M，当 时，求的长． 21．（24-25九年级上·山西运城·期中）综合与探究 问题情境 如图，在矩形中，，，E为边上的一点，连接．将矩形沿直线折叠，点B的对应点为F． 问题解决 （1）如图1，当点F落在边上时． ①求的长． ②如图2，连接交于点G，过点B作于点N，交于点M，试判断，与的数量关系，并说明理由． 深入探究 （2）当点F落在上方时，交于点P，交于点Q，连接．若为等腰三角形，请直接写出的长． 22．（24-25九年级上·广东广州·期中）小明在一次数学活动中，进行了如下的探究活动：如图，在矩形中，，，以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点、、的对应点分别为、、． (1)如图①，当点落在边上时，求的长； (2)如图②，当点落在线段上时，与交于点．求的长． (3)记点为矩形对角线的交点，连接、，记面积为，求的取值范围． 地 城 考点04 菱形的性质 23．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图所示，在菱形中，，，则菱形边上的高的长是（   ） A． B． C． D． 25．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点、分别是边、的中点，连接、．若，，则的长为 ． 26．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 27．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，若，则的长为__________． 28．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）【感知】如图①，四边形、均为正方形．可知（不需要证明）． 【拓展】如图②，四边形、均为菱形，且，求证：． 【应用】如图③，四边形、均为菱形，点E在边上，点G在延长线上，若，，的面积为8，求菱形的面积． 地 城 考点05 矩形的判定 29．（24-25九年级上·黑龙江黑河·期中）若四边形的两条对角线相等，则顺次连结各边中点所得的四边形是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 30．（24-25九年级下·福建宁德·期中）利用一个平行四边形画菱形，对于以下两种作法，根据画图痕迹可以判断（   ） A．①②都正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①②都不正确 31．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在四边形中，分别是的中点，满足条件 时，四边形是菱形． 32．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，点、分别在、边上，连接、，，，求证：四边形是菱形． 33．（22-23九年级上·全国·期中）在中，，D是边的中点，点E、F分别在及其延长线上，，连接．求证：四边形是菱形． 34．（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形中，过对角线的中点O作垂线交边分别为点E，F，连接．求证：四边形是菱形．    地 城 考点06 菱形的性质与判定 35．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，分别是，的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 36．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点． 若，，则的长为 ． 37．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，，． (1)证明：四边形为菱形； (2)若四边形的周长为16，且，求的长． 38．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 39．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，在矩形中，，，点P从点D出发沿向终点A运动；点Q从点B出发沿向终点C运动．P，Q两点同时出发，它们的速度都是2．连接，，．设点P，Q运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形？ (2)当t为何值时，四边形是菱形？ 地 城 考点07 正方形的性质 40．（24-25九年级上·甘肃白银·期中）下列性质中正方形具有而菱形没有的是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．一条对角线平分一组对角 41．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 42．（24-25九年级上·山西长治·期中）如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 43．（24-25九年级上·河南安阳·期中）如图，边长为1的正方形绕点顺时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为 ． 44．（24-25九年级上·河北保定·期中）在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，如图所示，点在轴上，且坐标是，点在轴上， （1）则点的坐标为 ； （2）点的坐标为 ．    45．（21-22八年级下·安徽滁州·阶段练习）如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 46．（20-21九年级上·辽宁鞍山·期中）已知四边形和四边形都是正方形，且． (1)如图1，连接．求证：； (2)如图2，如果正方形绕点C旋转到某一位置恰好使得，． ①求的度数； ②若正方形的边长是，请求出的面积． 地 城 考点08 正方形的判定 47．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）满足下列条件的四边形一定是正方形的是（   ） A．对角线互相平分且相等的四边形 B．有三个角是直角的四边形 C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形 48．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，已知四边形是平行四边形，添加以下条件，不能判定四边形是正方形的是（    ） A．， B．， C． ， D． ， 49．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是 添加一个条件即可 50．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）如图，菱形的三个顶点E，F，G分别在矩形的边上，且，求证：四边形是正方形． 51．（24-25九年级上·河北保定·期中） 中，平分． (1)求证四边形是菱形． (2)满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由． 52．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，点D，E，F分别是，，的中点，连接，，，； (1)求证：，相平分； (2)现有三个条件：①；②平分；③； 请你从中选择两个条件（写序号）： 使得四边形是正方形，并加以证明． 地 城 考点09 正方形的性质与判定 53．（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点是正方形的对角线上的一点，连接，过点作，垂足为，若，，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 54．（16-17九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是 ． 55．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，点E是正方形的边上一点，连接，将绕着点E逆时针旋转，得到，过点G作，垂足为F，，垂足为H，连接，交于I． (1)求证：四边形是正方形； (2)求证：平分； (3)连接，若正方形的边长为，求的周长． 56．（24-25九年级上·海南三亚·期中）如图1，点是正方形内的一点，连接，点在点右侧，且，；连接，，． (1)如图1， ①求证：； ②延长交线段于点，若，，线段的长为______． (2)如图2，交于点，若，，三点在同一条直线上，且，求证：． 地 城 考点10 四边形综合问题 57．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】如图1，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； 【类比探究】如图2，在矩形中，，，点E、F分别是边上一点，点G、H分别是边上一点，连接，若，则_______； 【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段上，且，连接，若为等边三角形，求的值； 【拓展应用】如图4，在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，求的最小值． 58．（24-25九年级上·广东深圳·期中）综合与实践课上，徐老师和同学们开展了一场以“最小值”为主题的探究活动． 【提出问题】徐老师提出了一个问题：如图1，在矩形中，，，P为边上的一动点，以为边向右作等边，连接，如何求的最小值？ 【探究发现】小亮发现：如图4所示，以为边向下构造一个等边，便可得到，进而将的最小值转化为的最小值的问题． （1）按照小明的想法，求证：；并求出的最小值． 【拓展应用】 （2）小刚受此启发，举一反三，提出新问题：如图2，若将图1当中构造的等边三角形，改为以为边向右构造正方形，在运动过程中，求出的最小值． （3）小红同学深入研究了小刚的问题，并又提出了新的问题：如图3，若将图2当中构造的正方形改为以为边向右构造菱形，使，也可求得的最小值．请你直接写出最小值为______． 59．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，垂直平分，交于点，连接并延长，交于点，连接、，与交于点，以、为邻边作平行四边形，设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，是菱形？请说明理由． (2)当为何值时，点是的中点？请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 60．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，取一张矩形纸进行折叠，具体操作过程如下： (1)【操作发现】 操作一：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展开； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展开，连接，，． 根据以上操作，当点在上时： ①则图1中_____°； ②若，，则_____． (2)【迁移探究】 如果将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．如图2，当点在上时，_____°，_____； (3)【拓展应用】 如图3，改变点在上的位置（点不与点，重合），正方形的边长仍为，仍然按（1）中的方式操作，延长交于点，连接，当时，请直接写出的长_____． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01特殊的平行四边形（10大高频考点） 10大高频考点概览 考点01 矩形的性质 考点02矩形的判定 考点03矩形的性质与判定 考点04菱形的性质 考点05菱形的判定 考点06菱形的性质与判定 考点07正方形的性质 考点08正方形的判定 考点09正方形的性质与判定 考点10四边形综合问题 地 城 考点01 矩形的性质 1．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图所示，矩形的两条对角线相交于点，，，则对角线的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的对角线相等且互相平分可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：矩形的两条对角线相交于点， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，矩形中，，交于点，，分别为，的中点，若，则的长为（   ） A．16 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中位线的性质， 熟练掌握中位线的性质是解题的关键； 根据中位线的性质求出长度，再依据矩形的性质进行求解问题． 【详解】解：、分别为、的中点， ． ∵四边形是矩形， ． 故选：A 3．（23-24九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在矩形中，，为的中点，连接，为的中点，连接，，若为直角，则的长为（   ） A． B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．连接，过点作于，并延长，交于点，根据矩形的性质得出，利用矩形的判定和性质即可得到答案． 【详解】如图，连接，过点作于，并延长，交于点， 四边形是矩形，， ，，，， ， 四边形是矩形， 为的中点， ， ， ，， ， ， ， ． 为的中点， ， ， ， ． 故选C． 4．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，点E是矩形的边上一点，把沿对折，点D的对称点F恰好落在上，已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、翻折的性质、勾股定理等知识，先在中利用勾股定理求出线段，设，在中利用勾股定理列方程求出，最后由解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵是由翻折得来， ∴，， 设， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（23-24九年级上·广东梅州·期中）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，若四边形为正方形，矩形的长为17，正方形的边长为3，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】42 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，三角形面积的求解，根据题意得到，，再根据求出结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：42． 6．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长和的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的长为，的面积 【分析】本题考查了矩形的性质，图形折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是掌握图形翻折前后边长和角度不变． （1）根据矩形的性质可知，，可得，再由图形折叠的性质，可得，由此可得，即可证明； （2）设边长，则可得，在中使用勾股定理求解即可，再根据三角形的面积公式计算面积即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是由折叠得到， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，，， ∴由勾股定理可得，， 即，解得， ∴的长为； ∵是由折叠得到， ∴，， ∴． 7．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，四边形是矩形，对角线与交于点O． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点F，交于点E；（保留作图痕迹，不写做法） (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）按照尺规作图作角平分线的步骤进行即可； （2）由作法及矩形的性质得，，从而得是等边三角形，则由即可求解． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：∵四边形是矩形， ∴，； 由作图知，平分， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，尺规作图作角平分线等知识，证明等边三角形是解题的关键． 8．（23-24九年级上·山东菏泽·期中）如图所示，矩形中，，，为上的一动点，过点作于点，于点，试问当点在上运动时，的值是否发生变化？若不变，请求出定值． 【答案】的值不发生变化，永远是 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，勾股定理的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据勾股定理求出，求出、，求出三角形面积，求出三角形面积，根据三角形面积公式得出，求出即可． 【详解】解：当点在上运动时，的值不发生变化， 理由是：连接， 在矩形中，，， ，，， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 即当点在上运动时，的值不发生变化，永远是． 地 城 考点02 矩形的判定 9．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，四边形是平行四边形，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形． 可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形是矩形． 【详解】解：A、，当是平行四边形时都成立，故不符合题意； B、，当是平行四边形时都成立，故不符合题意； C、，则是菱形，故不符合题意； D、，对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意； 故选：D． 10．（24-25九年级上·山西运城·期中）在中，和是其对角线．若添加一个条件使四边形是矩形，则这个条件可以是（    ） A．与互相平分 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩行的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A.与互相平分，不能得到四边形是矩形； B.，能得到四边形是矩形； C.，四边形是菱形而不是矩形； D.，不能得到四边形是矩形； 故选：B． 11．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，分别是及其邻补角的平分线，于点E，于点F，四边形是矩形吗？请证明你的结论． 【答案】四边形是矩形，见解析 【分析】本题考查矩形的判定，根据由3个角是直角的四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：四边形是矩形． 理由：∵分别是及其邻补角的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形． 12．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，矩形 中，，，在 上，连接，，过点作，分别交，于点，，连接交于点．若，求证：四边形 是矩形． 【答案】见解析 【分析】根据四边形是矩形以及，得到四边形是平行四边形，从而得到四边形是平行四边形，即可得到四边形是平行四边形，再根据勾股定理求出，长，由勾股定理的逆定理得到是直角三角形，即可得证． 【详解】四边形是矩形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， 是直角三角形， ， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是掌握这些性质． 13．（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，点E，F，G，H分别是四边形的边，，，的中点，连接四边形各边中点，当四边形满足 条件，四边形是矩形． 【答案】 【分析】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定．根据三角形的中位线定理得到，，，，推出，，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知当四边形的对角线满足的条件时，四边形是矩形． 【详解】解：、分别是、中点， ，， 同理，， ，， 四边形是平行四边形． 、、、分别为四边形四条边上的中点， ，， ， ， 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形； 故答案为：； 14．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于点F，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质，三个角都是直角的四边形是矩形证明即可； （2）根据勾股定理，矩形的性质，三角形面积不变性，解答即可． 本题考查了等腰三角形的三线合一性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形面积性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 15．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）如图，在▱中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用已知条件得出线段相等关系，结合平行四边形的性质得到对边平行且相等，证明四边形是平行四边形，再依据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形 ）完成证明． （2）根据矩形性质求出相关线段长度，借助勾股定理逆定理判断三角形形状，再利用三角形面积公式求出的长，进而得到的长． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ，即． ∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，， ∴ ，， ∴ 四边形为平行四边形． 又∵ 于点， ∴ ， ∴ 四边形为矩形． （2）解：∵ 四边形为矩形，， ∴ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ ，， ∴ ， ∴ 是直角三角形，且． ∵ ， ∴， 解得． 又∵ 四边形是矩形，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理逆定理以及三角形面积公式，熟练掌握这些知识的内在联系和应用方法是解题的关键． 16．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）如图，的对角线，相交于点，将对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题的关键，解题时要注意选择适宜的判定方法． （1）由四边形是平行四边形易知，，即可得出结论； （2）证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质证出，根据矩形的判定可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，， ， ，即， 在与中， ， （2）证明：， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ，即， 平行四边形为矩形． 地 城 考点03 矩形的性质与判定 17．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，将矩形的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形，则矩形的周长为（  ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】由翻折的规律证明四边形是矩形及，再由矩形的性质结合已知条件求出的长度，即可求出的长度，由折叠性质证明，求得，最后由矩形的周长公式求得周长便可．本题考查了翻折变换，矩形的判定与性质，掌握翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等积法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示， ∵将矩形的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形， ∴ ∴ ∵， ∴ 同理，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ 由折叠知， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴矩形的周长 故选：C． 18．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，甲同学将按照下面方式操作： 第一步，将绕点逆时针旋转，得到；第二步，过作，交的延长线于点；第三步，作直线，交，分别于点，． 甲同学根据操作，写出了四个结论： ①；②；③是的中线；④．其中正确的结论是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题综合考查了旋转的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点．利用旋转的性质结合三角形的性质求得，即可判断①和③；证明四边形是矩形，推出和，即可判断②；利用勾股定理计算出和和，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， 由旋转的性质得，，，， ∴，， ∴， ∴，结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，结论③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，结论②正确； 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，结论④错误， 故选：C． 19．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，，，M为斜边上一动点，过M作于点D，过M作于点E，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形面积的计算方法等知识点，连接,先证明四边形是矩形，得出,当时最短，再由三角形的面积关系求出的最小值，即可得出结果，熟练掌握矩形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 【详解】解：连接,如图所示： , , , 四边形是矩形， , ,,, ， 当时，最短，此时的面积, 的最小值, 线段的最小值为， 故答案为：． 20．（24-25九年级上·云南保山·期中）如图，在 中， ，是边上的中线， 是 的外角，平分 过点 A 作． 于点D，点O是的中点， 于点H． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若 ①求的长； ②若点 P 是线段上的一动点，连接，过点 P 作 于点M，当 时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②． 【分析】本题考查矩形的判定以及勾股定理和相似三角形等内容．熟练掌握相关定理是解题的关键． （1）先得出，进一步进行等量代换得出即可证明四边形是矩形； （2）①由四边形是矩形以及勾股定理得出，即可根据得出的长； ②先证明，得出，进一步由勾股定理，得，即可得出的长． 【详解】（1）证明：∵在中，，是边上的中线， ∴，平分， ∵平分， 即 ∴四边形是矩形． （2）解：① ， 又∵O是的中点， , ． ∵四边形是矩形． ． 在中，由勾股定理，得: ∵O是的中点． ② ， ， 解得 在 中，由勾股定理，得： 解得 ． 21．（24-25九年级上·山西运城·期中）综合与探究 问题情境 如图，在矩形中，，，E为边上的一点，连接．将矩形沿直线折叠，点B的对应点为F． 问题解决 （1）如图1，当点F落在边上时． ①求的长． ②如图2，连接交于点G，过点B作于点N，交于点M，试判断，与的数量关系，并说明理由． 深入探究 （2）当点F落在上方时，交于点P，交于点Q，连接．若为等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】（1）①；②；理由见解析；（2）的长为 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理和等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉折叠的性质和全等三角形的应用． （1）①根据矩形的性质得，，，由折叠得，，即可利用勾股定理求得和，设，则，再次利用勾股定理即可求得； ②根据矩形得，，由折叠得，，，，即可判定，得，结合等腰三角形的性质得，则； （2）根据题意可知只有满足题意，证明，有，，设，，，，，，在中利用勾股定理即可求得． 【详解】解：（1）①∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∵将矩形沿直线折叠，点B的对应点为F， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 则， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， 则； ②；理由如下： ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵将矩形沿直线折叠，点B的对应点为F， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， 则； （2）的长为； 如图， ∵点F落在上方，， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，，则，，， 根据折叠的性质得，， ∴，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：，即， 解得， 则． 22．（24-25九年级上·广东广州·期中）小明在一次数学活动中，进行了如下的探究活动：如图，在矩形中，，，以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点、、的对应点分别为、、． (1)如图①，当点落在边上时，求的长； (2)如图②，当点落在线段上时，与交于点．求的长． (3)记点为矩形对角线的交点，连接、，记面积为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）由旋转性质知，由矩形性质知，再在中根据勾股定理可得； （2）利用旋转的性质可得：，，由“”可证，由全等三角形的性质和平行线的性质可得，可得，由勾股定理可求的值； （3）由勾股定理可求的值，可得，当点G在线段上时，面积有最小值，当点G在线段延长线上时，面积有最大值． 【详解】（1）解：由旋转的性质知， 四边形是矩形， ，， ； ； （2）解：由旋转知：，， ， ， 又， ， 设， 又在矩形中，有， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即； （3）解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 如图，始终在以为圆心，为半径的圆上，的底是定值为，当高最小或最大时，的面积就存在最小值或最大值， 　 当点在线段上时，此时最短，则面积有最小值； 当点在延长线上时，此时最长，则面积有最大值； 分情况讨论： 当点在线段上时，面积有最小值， ； 当点在线段延长线上时，面积有最大值． ． ． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 地 城 考点04 菱形的性质 23．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和定理，角的和差，解题的关键是掌握菱形的性质．由菱形的额性质可得：，，推出，由垂直的定义可得：，进而得到，最后根据角的和差求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， 于点，于点， ， ， ， 故选：C． 24．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图所示，在菱形中，，，则菱形边上的高的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形面积的计算方法，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理计算的值是解题的关键．对角线，交于点，则为直角三角形，在中，已知，根据勾股定理即可求得的长，根据菱形面积不同的计算方法可以求得的长度，即可解题． 【详解】解：对角线，交于点，则为直角三角形 则．， ， 菱形的面积根据边长和高可以计算，根据对角线长也可以计算， 即， ∴， 故选：B． 25．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点、分别是边、的中点，连接、．若，，则的长为 ． 【答案】/2.5 【分析】通过、是中点，得到为中位线，所以．根据菱形的面积，得到，利用菱形的对角线相互平分且垂直，得到，，根据勾股定理求出的长，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求解的长． 【详解】∵菱形， ∴，，， ∵、分别是、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了三角形的中位线、菱形的面积公式、菱形的性质、勾股定理及直角三角形斜边中线性质等知识点，熟练掌握中位线的定义、菱形面积公式以及勾股定理的计算是解题的关键． 26．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是三角形的中位线定理、菱形的性质、勾股定理解直角三角形．由三角形中位线定理可得，则当有最小值时，有最小值，即当时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可求的最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，分别为，的中点， ， 当有最小值时，有最小值， 当时，有最小值， 四边形是菱形， ，， 当时，， 的最小值， 的最小值为． 故答案为：． 27．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，若，则的长为__________． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2) 【分析】（1）由菱形，可得，，由，可得，可证四边形是平行四边形，由，即，可证四边形是矩形； （2）由菱形，，，可得，，，如图，在取，使，连接，则是的中位线，，由勾股定理得，，，计算求解，进而可求． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵菱形，，， ∴，， ∵菱形 ∴， 如图，在取，使，连接， ∴是的中位线， ∴， 由勾股定理得，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，中位线等知识．熟练掌握菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，中位线的性质是解题的关键． 28．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）【感知】如图①，四边形、均为正方形．可知（不需要证明）． 【拓展】如图②，四边形、均为菱形，且，求证：． 【应用】如图③，四边形、均为菱形，点E在边上，点G在延长线上，若，，的面积为8，求菱形的面积． 【答案】拓展：证明见解析；应用： 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 拓展：先根据菱形的性质可得，，，，从而可得，再证出，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证； 应用：先证出，根据三角形的面积公式可得，再根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据菱形的性质求解即可得． 【详解】证明：拓展：∵四边形、均为菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 解：应用：∵四边形为菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴的边上的高与的边上的高相等， ∴，即， ∵的面积为8， ∴， 同理可证：， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴菱形的面积为． 地 城 考点05 菱形的判定 29．（24-25九年级上·黑龙江黑河·期中）若四边形的两条对角线相等，则顺次连结各边中点所得的四边形是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 假设四边形，点分别是边的中点，，得到，，得出，，同理得到，得到四边形是平行四边形，，得到四边形是菱形，即可得到答案． 【详解】解：假设四边形，点分别是边的中点，，如图所示， 点分别是边的中点， 分别是的中位线， ，， ，， 同理可得， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形， 故选：B． 30．（24-25九年级下·福建宁德·期中）利用一个平行四边形画菱形，对于以下两种作法，根据画图痕迹可以判断（   ） A．①②都正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①②都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质及线段和垂直平分线的作法，根据作图方法结合平行四边形的性质利用菱形的判定定理逐一判定即可． 【详解】解：在作法①中，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 由作图可知垂直平分， 则， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，①正确； 在作法①中，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， 由作图可知， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵不一定相等，则不一定相等， ∴不能判定 四边形是菱形，②不正确； 故选：B． 31．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在四边形中，分别是的中点，满足条件 时，四边形是菱形． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行四边形的判定，中位线性质定理，连接，由分别是的中点，得，，则四边形是平行四边形，故当 时，四边形是菱形，菱形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵分别是的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，， ∴四边形是菱形， ∴满足条件时，四边形是菱形， 故答案为：． 32．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，点、分别在、边上，连接、，，，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； 利用平行四边形的性质和题中条件证明，可得，进而可证明四边形是菱形． 【详解】在中，， 由题知，，， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 33．（22-23九年级上·全国·期中）在中，，D是边的中点，点E、F分别在及其延长线上，，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质及菱形的判定方法．先证明，推出，易证得四边形是平行四边形，再根据，D是的中点，推出，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判定． 【详解】证明：∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； ∵，D是的中点， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 34．（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形中，过对角线的中点O作垂线交边分别为点E，F，连接．求证：四边形是菱形．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识点，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 由中点的定义可知，再利用平行四边形的性质证明可得 ，最后根据邻边相等的四边形是菱形即可证明结论． 【详解】证明：∵O为中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 地 城 考点06 菱形的性质与判定 35．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，分别是，的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定及性质，涉及到平行四边形的判定及平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据菱形的性质得出，，，然后根据菱形的判定即可判断①； 根据菱形的面积结合变形即可判断④； 根据菱形的性质得出，，再根据平行线的性质得出，，然后利用角的和差即可判断②； 根据直角三角形的性质即可判断③． 【详解】解：四边形为菱形 ，， ，分别是，的中点， ， 四边形为平行四边形 四边形是菱形，故①正确； ，故④正确； 四边形是菱形，四边形是菱形， ， ， 即，故②正确； 在中，为的中线 ，故③错误； 故选：C． 36．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点． 若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关知识．连接，设交于点，证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】如图，连接，设交于点， 由作图可知：，平分， ，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 在中，，， ， ． 故答案为：． 37．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，，． (1)证明：四边形为菱形； (2)若四边形的周长为16，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得，根据，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形为菱形，四边形的周长为16， ∴ 又∵ ∴ 38．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)24 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再结合矩形的性质得，故四边形是菱形； （2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求出面积，即可作答． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ∴， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， ，， ， ，， 四边形的面积． 39．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，在矩形中，，，点P从点D出发沿向终点A运动；点Q从点B出发沿向终点C运动．P，Q两点同时出发，它们的速度都是2．连接，，．设点P，Q运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形？ (2)当t为何值时，四边形是菱形？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定，菱形的判定，勾股定理和动点问题，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t． 【详解】（1）解∶P，Q两点同时出发，它们的速度都是， ， ， 四边形是矩形 ，即， 解得； （2）解：四边形是矩形， ， 四边形是菱形， ， 在中，， 即 ， ． 解得． 地 城 考点07 正方形的性质 40．（24-25九年级上·甘肃白银·期中）下列性质中正方形具有而菱形没有的是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．一条对角线平分一组对角 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，根据正方形和菱形的性质解题即可． 【详解】解：A、菱形和正方形的对角线都互相平分，不符合题意； B、正方形的对角线都相等，菱形的对角线不一定相等，符合题意； C、正方形与菱形的对角线都互相垂直，不符合题意； D、菱形和正方形的一条对角线都平分一组对角，不符合题意； 故选：B． 41．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质．先根据正方形的性质得到，，再根据等边三角形的性质得到，，所以，，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数，进而可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D 42．（24-25九年级上·山西长治·期中）如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的应用，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．判断出两个正方形的边长，可得结论． 【详解】解：两个正方形的面积分别为和， 两个正方形的边长分别为，． 阴影部分的面积 故选∶A． 43．（24-25九年级上·河南安阳·期中）如图，边长为1的正方形绕点顺时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，三角形的面积等知识点，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．连接，根据旋转的性质和正方形的性质得出，，， 三点共线，三点共线，根据勾股定理得求出长，再分别求出和的面积即可求出阴影面积． 【详解】解：如图，连接，， 正方形绕点顺时针旋转到正方形，， 点三点共线，三点共线，即点在对角线上，对角线过点， 在中，， ，， ， ， ， 的面积， 的面积正方形的面积， 阴影部分的面积的面积的面积 44．（24-25九年级上·河北保定·期中）在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，如图所示，点在轴上，且坐标是，点在轴上， （1）则点的坐标为 ； （2）点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质； （1）求出，即可求得； （2）过点作轴于点，证明，得到，，求出即可解决问题． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； （2）如图，过点作轴于点；   四边形为正方形， ，，而， ， ； 在与中， ， ， ，， ∴， 点的坐标为， 故答案为：；． 45．（21-22八年级下·安徽滁州·阶段练习）如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查四边形的综合应用，主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，同时注意解题方法的延续性． （1）由正方形得，，可证得，可证得结果； （2）①作于点P，于点Q，利用角平分线的性质得，证明，即可得出，从而证明结论； ②过点E作于M，先证明，可得，最后由勾股定理求得的长 【详解】（1）证明：∵在正方形中， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）①证明：如图，作于点P，于点Q， ∵在正方形中， ∴， ∴和均为等腰直角三角形， 由勾股定理可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ②解：∵在正方形，正方形中， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点E作于M，则是等腰直角三角形， 根据勾股定理得， ∵， ∵， 即正方形的边长为； 故答案为： 46．（20-21九年级上·辽宁鞍山·期中）已知四边形和四边形都是正方形，且． (1)如图1，连接．求证：； (2)如图2，如果正方形绕点C旋转到某一位置恰好使得，． ①求的度数； ②若正方形的边长是，请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①② 【分析】（1）根据正方形的性质可以得出，再由证明就可以得出结论； （2）①连接，根据平行线的性质可以得出，可以得出，由证得，得出，证得为正三角形即可以得出结果； ②延长交于点H，过点G作于N，由证明，得出，得出，，由勾股定理求出的值，得出的值，证出是等腰直角三角形，得出，由三角形面积公式即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形和四边形为正方形， ∴． ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴； （2）解：①连接，如图2所示： 由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴； ②延长交于点H，过点G作于N，如图3所示： 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质、证明三角形全等是解题的关键． 地 城 考点08 正方形的判定 47．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）满足下列条件的四边形一定是正方形的是（   ） A．对角线互相平分且相等的四边形 B．有三个角是直角的四边形 C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定，同时也考查了平行四边形、矩形及菱形的判定，掌握这些四边形的判定方法是关键．根据正方形的判定方法即可作出判断． 【详解】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形不是正方形，不符合题意； B、有三个角是直角的四边形是矩形不是正方形，不符合题意； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，符合题意． 故选：D． 48．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，已知四边形是平行四边形，添加以下条件，不能判定四边形是正方形的是（    ） A．， B．， C． ， D． ， 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定方法逐一判断即可求解． 【详解】∵是平行四边形，∴添加以下条件， A. ，，能判定四边形是正方形；     B. ，，能判定四边形是正方形； C. ，，能判定四边形是正方形；     D. ，，只能判定四边形是菱形，不能判定四边形是正方形． 故选：D． 49．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是 添加一个条件即可 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题重点考查正方形的判定、三角形中位线定理等知识，推导出四边形是矩形是解题的关键．由中位线定理得到，，，结合得四边形是矩形，当时，四边形是正方形，据此可添加条件． 【详解】解：点D，E，F分别是边的中点， ，且，，且， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 添加的条件可以是， 故答案为：．（答案不唯一） 50．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）如图，菱形的三个顶点E，F，G分别在矩形的边上，且，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】此题考查正方形的判定、菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识． 证明，得到，证明，即可得到四边形是正方形． 【详解】证明∶∵四边形是矩形，四边形是菱形， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形 51．（24-25九年级上·河北保定·期中） 中，平分． (1)求证四边形是菱形． (2)满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是正方形，理由见解析 【分析】本题考查正方形的判定，菱形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的需要的条件，利用正方形的判定、菱形的判定与性质解答． （1）根据交AB于点E，交AC于点F，可以判断四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立； （2）根据有一个角是直角的菱形是正方形可以解答本题． 【详解】（1）证明：， ∴四边形是平行四边形； 平分． ． ， ． ． ． ∴四边形是菱形． （2）解：当时，四边形是正方形； ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形． 52．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，点D，E，F分别是，，的中点，连接，，，； (1)求证：，相平分； (2)现有三个条件：①；②平分；③； 请你从中选择两个条件（写序号）： 使得四边形是正方形，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)①③或①②，证明见解析 【分析】本题考查了正方形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质． （1）由三角形中位线定理得，，再证四边形为平行四边形，即可得出结论； （2）添加①时，四边形是矩形；添加②平分时，，则，此时四边形是菱形；添加③时，由得到，四边形是菱形；选择①③或①②时，四边形是正方形，再根据正方形的判定定理得到结论． 【详解】（1）证明：、、分别是，，的中点， 、都是的中位线， ∴，， 四边形为平行四边形， 、互相平分； （2）解：①；②平分；③， ∵四边形为平行四边形， ∴添加①时，四边形是矩形； 添加②平分时，，则，此时四边形是菱形； 添加③时，由得到，四边形是菱形； ∴选择①③或①②时，四边形是正方形； 选择①③， 证明：四边形为平行四边形，， 四边形是矩形， 点、分别是、的中点， 是的中位线， ∴， ， ， 四边形是正方形， 选择①②， 证明：四边形为平行四边形，， 四边形是矩形， 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，此时四边形是菱形； 四边形是正方形， 故答案为：①③或①②． 地 城 考点09 正方形的性质与判定 53．（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点是正方形的对角线上的一点，连接，过点作，垂足为，若，，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判断和性质，勾股定理，过点作于，由正方形的性质可得，，即可得四边形是矩形，进而得到四边形是正方形，得到，再利用勾股定理求出可得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， 故选：． 54．（16-17九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形，即可列式作答． 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，连接交于点O，如图所示： ∵四边形和是正方形， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形面积， ∴， 那么两个正方形重叠的部分的面积等于， 故答案为：． 55．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，点E是正方形的边上一点，连接，将绕着点E逆时针旋转，得到，过点G作，垂足为F，，垂足为H，连接，交于I． (1)求证：四边形是正方形； (2)求证：平分； (3)连接，若正方形的边长为，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了旋转性质、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的判定及性质以及作出正确的辅助线是解决本题的关键． （1）先证根据证得四边形为矩形，再证明进而可证得，根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可得证； （2）延长到点M，使，连接，先证可得，，进而可证得，即可得证； （3）由（2）可知，则的周长为，由此可求得答案． 【详解】（1）证明：∵将绕着点E逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵在正方形中， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 在与中， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴矩形为正方形； （2）证明：如图，延长到点M，使得，连接， ∵在正方形中 ∴，， 在与中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：由（2）可知， ∴， 又∵， ∴， ∴的周长为， ∵正方形的边长为， ∴的周长为， 故答案为：． 56．（24-25九年级上·海南三亚·期中）如图1，点是正方形内的一点，连接，点在点右侧，且，；连接，，． (1)如图1， ①求证：； ②延长交线段于点，若，，线段的长为______． (2)如图2，交于点，若，，三点在同一条直线上，且，求证：． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)证明见解析 【分析】（1）①由已知并结合正方形的性质得，证明，即可得证； ②设交于点，推出，得到，则，继而得到，由，得，则，证明四边形是正方形，即可求得线段的长； （2）作交的延长线于点，则，证明四边形是正方形，得，作于点，则，再证明，得，因为，得，则，再证明，即可得证． 【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； ②解：如图1，设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴线段的长是， 故答案为：； （2）证明：如图2，作交的延长线于点， ∵，，三点在同一条直线上，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 作于点， ∵，； ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质，矩形的判定，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 地 城 考点10 四边形综合问题 57．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】如图1，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； 【类比探究】如图2，在矩形中，，，点E、F分别是边上一点，点G、H分别是边上一点，连接，若，则_______； 【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段上，且，连接，若为等边三角形，求的值； 【拓展应用】如图4，在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，求的最小值． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）可证得，再由全等三角形的性质可得； （2）作，交于，做，交于，可证得，从而，进而得出结果； （3）作，交的延长线于点，作直线于点，由（2）知：，进一步得出结果； （4）以、为邻边作平行四边形，连接，过点作于点，先根据勾股定理求出的长，再证和全等，得出，求的最小值转化为求的最小值，当、、在一条直线上时最小，即为的长，在等腰直角中求出的长即可． 【详解】解：（1），理由如下： 如图1， ，理由如下： 设，交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图2， 作，交于，做，交于， 四边形是矩形， ，，， 四边形和四边形是平行四边形， ，， ， ， 同理（1）可得：， ， ， ， 故答案为：； （3）如图3， 作，交的延长线于点，作直线于点， ， ， 四边形是矩形， 又， 由（2）知：， 是等边三角形， ，， ， ， ； （4）以、为邻边作平行四边形，连接，过点作于点， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， 在中，，， 由勾股定理得， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当、、在一条直线上时最小，即最小，此时最小值是的长，为． 【点睛】本题考查了矩形和正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作根据轴对称的性质转化线段． 58．（24-25九年级上·广东深圳·期中）综合与实践课上，徐老师和同学们开展了一场以“最小值”为主题的探究活动． 【提出问题】徐老师提出了一个问题：如图1，在矩形中，，，P为边上的一动点，以为边向右作等边，连接，如何求的最小值？ 【探究发现】小亮发现：如图4所示，以为边向下构造一个等边，便可得到，进而将的最小值转化为的最小值的问题． （1）按照小明的想法，求证：；并求出的最小值． 【拓展应用】 （2）小刚受此启发，举一反三，提出新问题：如图2，若将图1当中构造的等边三角形，改为以为边向右构造正方形，在运动过程中，求出的最小值． （3）小红同学深入研究了小刚的问题，并又提出了新的问题：如图3，若将图2当中构造的正方形改为以为边向右构造菱形，使，也可求得的最小值．请你直接写出最小值为______． 【答案】（1）见解析，；（2）；（3） 【分析】（1）过点作于，交于，可证得，得出，由为定点，可得当时，即点与点重合时，最小，再利用解直角三角形求得即可； （2）以为边向下作正方形，连接、交于点，连接，，过点作于，交于，可推出，，证得，得出，即，故当取得最小值时，最小，利用解直角三角形求得，进而可求得的最小值； （3）连接、交于，在下方作射线、射线，使，射线、射线交于点，过点作于，交于，连接，可证得，得出，即，故当取得最小值时，最小，由点为定点，可得当，即点与点重合时，最小，运用解直角三角形即可求得答案． 【详解】解：（1）如图，过点M作于K，交于L， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中，， ∴ ∴当最小时，最小， ∵M为定点， ∴当时，即点P与点K重合时，最小， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为； （2）如图，以为边向下作正方形，连接交于点O，连接，过点O作于，交于T， ∵四边形是正方形， ∴，，，是等腰直角三角形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 当BG取得最小值时，最小， ∵点O为定点， ∴当时，即点P与点重合时，最小， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的最小值为12， ∴的最小值为， （3）如图，连接交于O，在下方作射线、射线，使，射线、射线交于点Q，过点Q作于，交于K，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，最小， ∵点Q为定点， ∴当，即点P与点重合时，最小， 由（2）知：， ∴， ∴的最小值． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，构造全等三角形和相似三角形，此题难度较大，属于中考压轴题． 59．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，垂直平分，交于点，连接并延长，交于点，连接、，与交于点，以、为邻边作平行四边形，设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，是菱形？请说明理由． (2)当为何值时，点是的中点？请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在某一时刻，使得，此时的值为 【分析】（1）连接，交于点，利用菱形的性质得到，利用矩形的性质和平行线的判定定理得到为的中位线，则点为的中点，由此条件列出关于的方程解答即可； （2）由题意得：，利用线段垂直平分线的定义和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）由题意得：，则．利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质求得再利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质列出关于的方程解答即可． 【详解】（1）解：连接，交于点，如图， 在矩形中，， 是菱形， 四边形为矩形， 为的中位线， 点为的中点， 由题意得：， 当为时，是菱形； （2）解：四边形为矩形， 点是的中点， 由题意得：， 垂直平分， 当为时，点是的中点； （3）解：存在某一时刻，使得，此时的值为．理由： 由题意得：，则， 由(2)知：， 四边形为矩形， 若， 存在某一时刻，使得，此时的值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行线的性质，线段的垂直平分线的性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形，菱形的性质是解题的关键． 60．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，取一张矩形纸进行折叠，具体操作过程如下： (1)【操作发现】 操作一：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展开； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展开，连接，，． 根据以上操作，当点在上时： ①则图1中_____°； ②若，，则_____． (2)【迁移探究】 如果将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．如图2，当点在上时，_____°，_____； (3)【拓展应用】 如图3，改变点在上的位置（点不与点，重合），正方形的边长仍为，仍然按（1）中的方式操作，延长交于点，连接，当时，请直接写出的长_____． 【答案】(1)①30；② (2)15， (3)或 【分析】（1）①根据折叠的性质，得，取的中点，连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，可证为等边三角形，进而可结果； ②由，得到，求得，根据全等三角形的判定和性质定理得到，求得； （2）根据折叠的性质，可证即可求解； （3）由（2）可得，分两种情况：当点在点的下方时，当点在点的上方时，设，分别表示出，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①对折矩形，使与重合，得到折痕，沿折叠，使点落在矩形内部点处， 如图1，取的中点，连接， 为等边三角形， 故答案为：30； ②， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）四边形是正方形， 由折叠性质得：， 同法（1）可得：， 在中，， 根据勾股定理：， ， 即， 解得(负值舍去)， 在中，， 根据勾股定理：，即， 故答案为：； （3）解：当点在点的下方时，如图3.1， ， 由(2)可知，， 设， 即， 解得， 当点在点的上方时，如图3.2， 由(2)可知，， 设， 即， 解得， 综上所述，或． 故答案为：或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $