23.3.4相似三角形的应用（教学课件）数学华东师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的应用，通过生活中无法直接测量的实际问题（如金字塔高度、河宽）导入，以复习相似三角形的判定方法和性质为学习支架，衔接测量物体高度、两地距离及证明线段乘积关系的新知探究。 其特色在于融入建模思想、逻辑推理与应用意识，通过测量金字塔高度（例6）、估算河宽（例7）等实例，采用“问题-模型-求解”探究式教学，典例解析步骤清晰，课堂总结系统梳理应用场景与方法，助力学生发展抽象能力与创新意识，也为教师提供结构化教学资源。

华东师大版·九年级上册 23.3相似三角形 23.3.4相似三角形的应用 第二十三章 相似三角形 学 习 目 标 1 2 3 能利用相似三角形的性质解决实际问题，如测量物体高度、两地距离等，掌握利用相似三角形解决问题的一般方法和步骤。 通过实际问题的探究，经历 “实际问题 - 建立模型 - 求解验证” 的过程，培养学生的建模思想和逻辑推理能力。 体会数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。 复习回顾 相似三角形的判定方法 （1）定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似 （2）平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形 与原三角形相似 （3）三边成比例的两个三角形相似 （4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 （5）两角分别相等的两个三角形相似 复习回顾 相似三角形的性质 对应角相等，对应边成比例。 对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于相似比。 面积的比等于相似比的平方。 知识导入 在生活中，我们经常会遇到一些不能直接测量的物体高度（如金字塔的高度）或两地距离（如河的宽度），如何利用我们所学的数学知识来解决这些问题呢？ 新知探究 探究1 探究利用相似三角形测量物体高度 问题1： 古代数学家是如何利用相似三角形测量金字塔高度的？ 抽象出数学模型 金字塔的高度 木棒 太阳光线 太阳光线 太阳光线可以看作是平行光线 1 2 所以∠1=∠2 ¬ ¬ 3 4 ∵∠3=∠4 构造相似三角形 利用相似三角形的性质解决实际问题 典例解析 探究1 探究利用相似三角形测量物体高度 例6 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法: 如图23. 3. 16,为了测量金字塔的高度 OB,先竖一根已知长度的木棒 O′B′,比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长 AB,即可近似算出金字塔的高度 OB. 如果 O′B′ = 1米,A′B′ = 2米,AB = 274 米, 求金字塔的高度 OB。 解析： 1.证△OAB∽△O′A′B′ 2.由相似的性质得= 3.代入数值，计算出OB 典例解析 探究1 探究利用相似三角形测量物体高度 例6 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法: 如图23. 3. 16,为了测量金字塔的高度 OB,先竖一根已知长度的木棒 O′B′,比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长 AB,即可近似算出金字塔的高度 OB. 如果 O′B′ = 1米,A′B′ = 2米,AB = 274 米, 求金字塔的高度 OB。 解题过程： 解：∵太阳光线是平行线， ∴∠OAB=∠O’A’B’， ∵∠ABO=∠A’B’O’=90°， ∴△OAB∽△O′A′B′， ∴= ∴OB===137（米） 答：金字塔的高度OB为137米。 新知探究 探究1 探究利用相似三角形测量物体高度 归纳与小结 利用相似三角形测量物体高度的一般步骤： 1.构建相似三角形模型。 2.证明两个三角形相似。 3.根据相似三角形对应边成比例列方程。 4.代入已知数据求解。 新知探究 探究2 探究利用相似三角形测量两地距离 如何利用相似三角形估算河的宽度？ 问题2： 典例解析 探究2 探究利用相似三角形测量两地距离 例7 如图 23. 3. 17,为了估算河的宽度,我们可以在河的对岸选定一个目标作为点 A, 再在河的这一边选定点 B 和 C,使 AB ⊥ BC,然后,再选定点 E,使 EC ⊥ BC,用视线确定 BC 和 AE 的交点 D. 此时如果测得 BD = 118 米, DC = 61 米,EC = 50 米, 求河的宽度 AB. (精确到0. 1 米) 解析： 1.∠ADB=∠EDC（对顶角相等） ∠ABD=∠ECD=90°（垂直定义） ∟ ∟ 2.由两角分别相等判定△ABD∽△ECD 3.由相似的性质得= 4.代入数值计算AB的宽度。 典例解析 探究2 探究利用相似三角形测量两地距离 例7 如图 23. 3. 17,为了估算河的宽度,我们可以在河的对岸选定一个目标作为点 A, 再在河的这一边选定点 B 和 C,使 AB ⊥ BC,然后,再选定点 E,使 EC ⊥ BC,用视线确定 BC 和 AE 的交点 D. 此时如果测得 BD = 118 米, DC = 61 米,EC = 50 米, 求河的宽度 AB. (精确到0. 1 米) 解题过程： ∟ ∟ 解：∵∠ADB=∠EDC ∠ABD=∠ECD=90° ∴△ABD∽△ECD（两角分别相等的两个三角形相似） ∴ 解得：AB==≈96.7（米） 答：河的宽度AB约为96.7米。 典例解析 探究2 探究利用相似三角形测量两地距离 归纳与小结 利用相似三角形测量两地距离的方法与测量物体高度类似，都是通过构建相似三角形模型，利用相似三角形的性质列方程求解。 典例解析 探究3 探究利用相似三角形证明线段乘积关系 如图 23. 3. 18,已知 D、E 分别是△ABC 的边AB、AC 上的点, 且∠ADE = ∠C. 求证: AD·AB = AE·AC. 问题3： 例8 证明： ∵∠ADE=∠C，∠A=∠A ∴△ADE∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似） ∴= ∴AD∙AB=AE∙AC ∙ 典例解析 探究3 探究利用相似三角形证明线段乘积关系 归纳与小结 利用相似三角形可以证明线段之间的乘积关系，通常是先证明三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质进行推导。 课堂练习 1. 小明的身高是1. 6 m，他的影长是2 m，同一时刻学校旗杆的影长是10 m，则旗杆的高是___m. 2. 如图，铁道口栏杆的短臂长为1. 2 m，长臂长为8 m，当短臂端点下降0. 6 m时，长臂端点升高___m(杆的粗细忽略不计). 8 4 课堂练习 3. 如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度. 已知人的站位点A、镜子O、树底B三点在同一水平线上，眼睛距地面的高度为1. 6 m，OA＝2. 4 m，OB＝6 m，则树的高度为___m. 4 课堂练习 4. 如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4 m宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙角距离CE＝5 m，窗口高AB＝2 m，那么窗口底边离地面的高BC＝_____m. 2. 5 课堂练习 5. 如图，A，B两点间有一湖泊，无法直接测量，已知CA＝60米，CD＝20米，DE＝15米，DE∥AB，求AB长. 解：∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CAB. ∴AB＝45米. ∴ . 课堂练习 6. 如图，身高1. 6 m的小华站在距路灯杆5 m的点C处，测得她在灯光下的影长CD为2. 5 m，求路灯的高度AB. 解得AB＝4. 8. ∴路灯的高度AB为4. 8 m. 解：依题意，得 . 课堂练习 7.李老师带领学生去测量教学楼的高度，在阳光下，测得身高为1. 8 m的冯同学BC的影长BA为1. 2 m，与此同时，测得教学楼DE的影长DF为14 m，如图所示. 请你根据已测得的数据，求出教学楼DE的高度. 解得DE＝21. ∴教学楼高21 m. 解：依题意，得 . 课堂练习 8.如图，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 如果木杆EF长2 m，它的影子FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO. 解：依题意，得△BOA∽△EFD. 解得BO＝134. ∴金字塔的高度为134 m. ∴ . 课堂总结 相似三角形的应用 应用场景 测量物体高度 测量两地距离 解决方法 涉及数学思想 证明线段乘积关系 构建相似三角形模型 证明三角形相似 利用相似性质列比例求解 建模思想 转化思想 逻辑推理思想 感谢聆听! $