高三数学月考质量检测卷（范围：集合与逻辑、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

高三数学月考质量检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合U＝{x|﹣1≤x＜3，x∈Z}，A＝{x|x2﹣x＝0}，则集合∁UA＝（　　） A．{﹣1，1} B．{﹣1，2} C．{2，3} D．{3} 【答案】B 【分析】根据集合的基本运算求解即可． 【解答】解：因为集合U＝{x|﹣1≤x＜3，x∈Z}＝{﹣1，0，1，2}，A＝{x|x2﹣x＝0}＝{0，1}， 所以集合∁UA＝{﹣1，2}． 故选：B． 2．已知不等式x2+bx+c＜0的解集为{x|3＜x＜4}，则cx2+bx+1＞0的解集为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由题意可得方程x2+bx+c＝0的两个根分别为3和4，结合韦达定理可求得b，c，进而求解即可． 【解答】解：因为不等式x2+bx+c＜0的解集为{x|3＜x＜4}， 所以方程x2+bx+c＝0的两个根分别为3和4， 则，解得， 所以cx2+bx+1＞0，即12x2﹣7x+1＞0， 即（3x﹣1）（4x﹣1）＞0，即或， 所以cx2+bx+1＞0的解集为或． 故选：C． 3．已知a，b∈R，则“a＞b＞0”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由已知结合不等式的性质检验充分必要性即可求解． 【解答】解：当a＞b＞0时，一定成立，即充分性成立； 当时，a＞b＞0不一定成立，例如a＝﹣1，b＝1时，即必要性不成立． 故选：A． 4．已知函数f（x）＝aex﹣e﹣x（a为常数），则（　　） A．∀a∈R，f（x）为奇函数 B．∃a∈R，f（x）为偶函数 C．∀a∈R，f（x）为增函数 D．∃a∈R，f（x）为减函数 【答案】B 【分析】由已知结合函数的奇偶性及单调性的定义及性质，导数与单调性关系及指数函数性质检验各选项即可判断． 【解答】解：当a＝2时，f（x）＝2ex﹣e﹣x显然不是奇函数，A错误； 当a＝﹣1时，f（x）＝﹣ex﹣e﹣x为偶函数，B正确； 当a＝﹣1时，f（x）＝﹣ex﹣e﹣x，f（0）＝﹣2，f（1）＝﹣e，显然f（0）＞f（1），C错误； 若f（x）为减函数，则存在a∈R，使得f′（x）＝aex+e﹣x≤0恒成立， 不论a为正还是负，当x→+∞和x→﹣∞时，总存在f′（x）＞0的情况， 即不存在a，使得a≤﹣e﹣2x恒成立，D错误． 故选：B． 5．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，则a＝（　　） A．5 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】设外接圆半径为R，根据正弦定理和二倍角公式化简求出，即，再根据余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，求得a，即得答案． 【解答】解：设外接圆半径为R，由正弦定理得，， 因为， 所以， 即， 在△ABC中，B∈（0，π），， 所以，所以，即， 所以b2＝a2+c2﹣2accosB， 即49＝a2+9+3a，解得a＝5或a＝﹣8（舍）． 故选：A． 6．设a∈R，对任意实数x，记f（x）＝min{|x|﹣2，x2﹣ax+3a﹣5}．若f（x）至少有3个零点，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，2] B．[10，+∞） C．（﹣∞，2]∪[10，+∞） D．（﹣∞，2）∪（10，+∞） 【答案】B 【分析】令g（x）＝x2﹣ax+3a﹣5，先由题意得到a≤2或a≥10，再结合g（﹣2）和g（2）的符号分类讨论得到结果． 【解答】解：y＝|x|﹣2的图象与x轴有2个交点（﹣2，0）和（2，0）， 因此g（x）＝x2﹣ax+3a﹣5的图象和x轴至少有一个交点， 从而根的判别式Δ＝a2﹣12a+20≥0，解得a≤2或a≥10． g（x）的图象的对称轴为直线， 设g（x）＝0的两根分别为x1，x2（x1≤x2），当时，g（2）＝a﹣1＜0，g（﹣2）＝5a﹣1＜0， 因此﹣2和2不是函数f（x）的零点，函数f（x）只有2个零点，不符合题意； 当时，g（﹣2）＝5a﹣1≥0，g（2）＝a﹣1＜0，则2不是函数f（x）的零点， 函数f（x）只有2个零点，不符合题意； 当1≤a≤2时，g（﹣2）＞0，g（2）≥0，则﹣2＜x1≤x2≤2， 函数f（x）只有2个零点，不符合题意； 当a≥10时，函数g（x）图象的对称轴方程满足，且g（2）＞0， 所以2＜x1≤x2，函数f（x）至少有3个零点，符合题意． 综上，实数a的取值范围是[10，+∞）． 故选：B． 7．将函数f（x）＝sinx图象上的所有点经过平移和伸缩变换得到函数g（x）＝sin（）（|φ|））的图象，若点被变换成了点A′（x0，y0），且sinx0，则φ的所有可能值之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先依据题意求出函数的关系式，进一步利用函数的性质求出结果． 【解答】解：由于点， 因为A被变换成A'（x0，y0）且， 则或，k∈Z， 对于函数f（x）＝sinx变换到 设经过变换后为A'（x0，y0）， 当时，，代入g（x）得， 即或，n∈Z， 对于，因为，当k＝2m时，， 对于， 化简得 ，不满足舍去． 当时，，代入g（x）得， 即或，m∈Z． 对于， 化简得 ， 因为，当k＝2m时，，对于， 化简得（2m﹣k）， 不满足舍去． 所有可能值为和，它们的和为． 故选：A． 8．若不等式e2x+2t2x≥tex（2+x）对任意x∈[1，+∞）恒成立，则实数t的最大值是（　　） A． B．e C． D．e2 【答案】C 【分析】由已知不等式变形得出，分x＝2、1≤x＜2、x＞2三种情况讨论，解不等式，结合恒成立可求出t的取值范围． 【解答】解：由题（ex）2﹣（2ex+xex）t+2xt2≥0， 即（ex﹣2t）（ex﹣tx）≥0对任意的x∈[1，+∞）恒成立，即， 令，其中x≥1，则对任意的x≥1恒成立， 即函数f（x）在[1，+∞）上为增函数， 考虑当时，x＝2，此时， 要使得对任意的x∈[1，+∞）恒成立， 当x＝2时，则有显然成立； 当1≤x＜2时，，由可得或， 此时或； 当x＞2时，，由可得或， 由于当x→+∞时，，则显然不等式，即，则， 综上所述，t的最大值为． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设正实数m，n满足m+n＝1，则（　　） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．m2+n2的最小值为 【答案】ABD 【分析】运用基本不等式逐一运算判断即可． 【解答】解：对于A，因为正实数m，n，满足m+n＝1， 所以，当且仅当且m+n＝1，即，时等号成立，故A正确； 对于B，， 则，当且仅当且m+n＝1，即时等号成立，故B正确； 对于C，，解得，，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为，故C错误； 对于D，由，可得， 当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：ABD． 10．定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+2）﹣f（x）＝f（1），则（　　） A．f（1）＝0 B．f（1﹣x）+f（1+x）＝0 C．f（1+2x）＝f（1﹣2x） D． 【答案】AC 【分析】依题意，可求得f（x）是以2为周期的周期函数，且关于直线x＝0，x＝1对称，依次逐项分析可得答案． 【解答】解：∵f（x）为定义在R上的偶函数， ∴f（﹣x）＝f（x）， 又f（x+2）﹣f（x）＝f（1）， ∴当x＝﹣1时，有f（1）﹣f（﹣1）＝f（1），即f（﹣1）＝f（1）＝0，A正确； ∴原条件化为f（x+2）﹣f（x）＝0，即f（x+2）＝f（x），① ∴f（x）是以2为周期的周期函数． 在①中，令x＝0，得f（2）＝f（0），但不能确定f（0）是否为0， ∴f[1﹣（﹣1）]+f[（1+（﹣1）]不一定为0， 即f（1﹣x）+f（1+x）＝0不一定成立，B错误； 在①中，用﹣x替换x，得f（2﹣x）＝f（﹣x）＝f（x）， ∴f（x）的图象关于直线x＝1对称， ∴f（1+2x）＝f（1﹣2x），C正确； ∵f（1）＝f（3）＝f（5）＝....＝f（19）＝0， f（0）＝f（2）＝f（4）＝....＝f（20），但f（2）的值无法确定， ∴f（i）的值不确定，D错误． 故选：AC． 11．已知函数，则（　　） A． B．f（x）在区间上单调递增 C．若f（x）在区间（0，π）上恰有一个极值点，则ω的取值范围是 D．若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，由二倍角公式及辅助角公式可判断，对于B，由，确定的范围即可判断，对于C，通过x∈（0，π），确定的范围，再结合恰有一个极值点得到即可判断，对于D，先确定的范围，再由和两类讨论即可． 【解答】解： ，A正确； 因为，所以，此时正弦函数单调递增， 所以f（x）在区间上单调递增，B正确； 因为0＜x＜π，所以， 因为f（x）在区间（0，π）上恰有一个极值点， 所以，解得，C错误； ∵π＜x＜2π，∴， 根据正弦函数的性质可知，若函数f（x）在区间 （π，2π）内没有零点， （1）， 则，k∈Z， 则2k，取k＝0， ∵ω＞0，∴； （2）， 则 ， 解得，取k＝0， ∴； 综上可知：ω 的取值范围是 ，D正确． 故选：ABD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若曲线y＝ln（ax）与直线y＝x﹣1相切，则a＝　 　 ． 【答案】1 【分析】由题意，然后求出斜率为1时的x＝1，从而可求解． 【解答】解：因为y＝ln（ax），所以．直线y＝x﹣1的斜率为1， 令y′1，解得x＝1，y＝x﹣1＝0，即切点是（0，0），所以0＝lna，解得a＝1． 故答案为：1． 13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设BC边上的高为h，若A为锐角，，则的最大值为　 　 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理，求出sinA，根据同角三角函数关系式求出cosA，用余弦定理得，借助等面积法，得，两式联立运用基本不等式即可求出． 【解答】解：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设BC边上的高为h， 由，利用正弦定理得， 又sinB＞0，则， A为锐角，则， 由余弦定理可知， 由等面积法知，即， 则， 当且仅当b＝c时取等号， 则的最大值为． 故答案为：． 14．已知定义在上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且当时，f（x）tanx+f′（x）＞0，且有，则f（x）＜4cosx的解集为　 　 ． 【答案】 【分析】构造，得出其单调性、奇偶性以及，最后将问题转化为求g（x）＜4的解集即可． 【解答】解：由于当时，cosx＞0，那么根据f（x）tanx+f′（x）＞0，可得f（x）sinx+f′（x）cosx＞0， 令函数，，那么，因此函数g（x）在上单调递增， 由于函数f（x）为上的函数且满足f（﹣x）＝f（x）， 那么，那么函数g（x）为上的偶函数， 又因为，那么， 由于时cosx＞0，那么f（x）＜4cosx，即g（x）＜4，也即， 结合函数g（x）的奇偶性和单调性可得，，解得， 因此f（x）＜4cosx的解集为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．如图为一个摩天轮的示意图，该摩天轮半径为5m，圆上最低点与地面距离为1m，300秒转动一圈．图中OA与地面垂直，摩天轮上的某车厢开始位于最低点A处，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h． （1）求h与θ间的函数关系式； （2）设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求该车厢第2次到达最高点时用时是多少． 【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合条件求出点B的坐标后可得h与θ之间的函数关系式． （2）由ts转过的弧度数为可得θ与t之间的关系，代入（1）中的关系式中可得h与t之间的函数解析式，即可求得答案． 【解答】解：（1）以圆心O原点，建立如图所示的坐标系， 则以Ox为始边，OB为终边的角为θ， 故点B坐标为（5cos（θ），5sin（θ））， h＝6+5sin（θ）＝6﹣5cosθ． （2）300秒转动一圈，该摩天轮转动的周期T＝300s， 所以其转动的角速度是ω， 所以ts转过的弧度数为，即θ， 所以h＝6﹣5cos，t∈（0，+∞）． 令6﹣5cos11，得cos1，所以π+2kπ，k∈Z， 解得t＝150+300k，k∈Z，令k＝1，得t＝450s， 所以该车厢第2次到达最高点时，用的时间为450s． 16．已知△ABC的面积． （1）求证：； （2）设D为BC的中点，且∠ADC＝45°，求的值． 【分析】（1）由正弦定理可证得结论； （2）分别在两个三角形中，有余弦定理可得的值． 【解答】（1）证明：△ABC的面积BC•ACsinC， 由正弦定理可得：sin2CsinAsinBsinC， 在△ABC中，sinC＞0，可得sinCsinAsinB； （2）解：在△ABD中，由余弦定理得，， 同理，在△ACD中，， ①﹣②得，， 在△ACD中，由正弦定理得，， 所以，即， 所以． 17．已知函数f（x）＝cosωx（ω＞0）的最小正周期为π． （1）若是奇函数，求φ的值． （2）设函数． （i）求g（x）的值域； （ii）求方程在区间上的实根． 【分析】（1）根据三角函数的周期公式求出ω＝2，结合f（x+φ）为奇函数且，列式求出φ的值； （2）（i）根据三角恒等变换公式化简得，结合余弦函数的性质求出g（x）的值域； （ii）利用同角三角函数关系，结合因式分解算出，然后根据，结合正弦函数的性质求出方程g（x）+tan（2x）＝0在区间上的实根． 【解答】解：（1）由f（x）的最小正周期为π，可得，解得ω＝2． 因为函数f（x+φ）＝cos（2x+2φ）是奇函数， 所以f（x+φ）化简的结果是y＝sin2x或﹣sin2x， 可得，结合，取k＝1，解得． （2）（i）由题意得 ． 结合余弦函数的性质，可得g（x）的值域为； （ii）方程可化为， 当时，． 所以原方程可化为， 可得， 因式分解得， 由正弦函数的性质，可知sin（2x）不成立， 所以sin（2x）＝﹣1，即， 结合，可得，即． 18．设t＞0，函数y＝f（x）的定义域为R．若对满足x2﹣x1＞t的任意x1、x2，均有f（x2）﹣f（x1）＞t，则称函数y＝f（x）具有“P（t）性质”． （1）在下述条件下，分别判断函数y＝f（x）是否具有P（2）性质，并说明理由； ①； ②f（x）＝10sin2x； （2）已知f（x）＝ax3，且函数y＝f（x）具有P（1）性质，求实数a的取值范围； （3）证明：“函数y＝f（x）﹣x为增函数”是“对任意t＞0，函数y＝f（x）均具有P（t）性质”的充要条件． 【分析】（1）代入P（2）性质直接计算即可． （2）将原式等价与当m＞1时，恒成立的问题即可求解． （3）由充要条件的概念以及函数单调性的性质判断即可． 【解答】解：（1）①是，因为对任意x2﹣x1＞2，， 所以符合定义； ②不是，学生只需举一组反例； （2）显然a＞0，所以设x2﹣x1＝m＞0， 则f（x2）﹣f（x1）， 当时，取f（x2）﹣f（x1）最小值， 原问题等价于当m＞1时，恒成立， 即恒成立， 由m＞1，可得4， 所以得a≥4； （3）证明：充分性： 如果函数y＝f（x）﹣x为增函数，则对任意的x2＞x1，均有f（x2）﹣x2≥f（x1）﹣x1， 即f（x2）﹣f（x1）≥x2﹣x1，因此，对任意t＞0，若x2﹣x1＞t， 则f（x2）﹣f（x1）＞t，函数y＝f（x）具有P（t）性质，充分性得证； 必要性： 若对任意t＞0，函数y＝f（x）均具有P（t）性质， 假设函数y＝f（x）﹣x不是增函数，则存在x2＞x1，满足f（x2）﹣x2＜f（x1）﹣x1， 即f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1，取， 则显然f（x2）﹣f（x1）＜t0＜x2﹣x1， 即对于t0，存在x2﹣x1＞t0，但是f（x2）﹣f（x1）＜t0， 与“对任意t＞0，函数y＝f（x）均具有P（t）性质”矛盾，因此假设不成立， 即函数y＝f（x）﹣x为增函数，必要性得证． 所以“函数y＝f（x）﹣x为增函数”是“对任意t＞0，函数y＝f（x）均具有P（t）性质”的充要条件． 19．朗伯W函数可用于表示超越方程的根．如图，设函数y＝xex在定义域（﹣∞，﹣1）和[﹣1，+∞）上的反函数分别为W﹣1（x）和W（x），统称为朗伯W函数．其中函数W﹣1（x）的定义域为，值域为（﹣∞，﹣1），在定义域内单调递减；函数W（x）的定义域为，值域为[﹣1，+∞），在定义域内单调递增．借助朗伯W函数，方程xex＝a的解有以下三类情形： ①当时，方程有一个实数根W（a）； ②当时，方程有两个不相等的实数根W（a）和W﹣1（a）； ③当时，方程没有实数根． 通过将超越方程整理变形为f（x）ef（x）＝a的形式，便可以借助朗伯W函数表示方程的根，例如：方程的解可表示为和． （1）求W（0）的值； （2）讨论方程的解的个数，并用朗伯W函数表示； （3）设an是方程的解（n∈N+）．证明：a2+a3+⋯+a2025＜1023． 【分析】（1）根据函数值计算求解； （2）先求导函数得出函数的单调性及极值，再分类讨论得出解即可； （3）化简函数应用指对数转化得出，再应用裂项相消证明不等式． 【解答】解：（1）由0e0＝0，可知W（0）＝0； （2）设，（x＞0），则， x （﹣∞，e） x＝e x∈（e，+∞） f′（x） + 0 ﹣ f（x） 单调递增 极大值 单调递减 可知， 因为a⇔lna⇔lna， 结合函数y的性质可知： ①若，由题意得，方程有一个解x＝e﹣W（a）； ②若，由题意，或， 方程有两个解x＝e﹣W（a）或； ③若，方程无解； （3）证明：由题意，8x﹣4⇔⇔（x） ⇔（x）lnn，n∈N+，， 由题意，， 因此，方程有唯一实数根， 又当x∈（﹣∞，0）时，ex﹣1＜0，当时x∈（0，+∞），ex﹣1＞0， 因此x（ex﹣1）≥0，即当x≠0时，xex＞x， 由反函数的性质可知，当x≠0时，W（x）＜x， 因此， 即． 1 / 3学 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学月考质量检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合U＝{x|﹣1≤x＜3，x∈Z}，A＝{x|x2﹣x＝0}，则集合∁UA＝（　　） A．{﹣1，1} B．{﹣1，2} C．{2，3} D．{3} 2．已知不等式x2+bx+c＜0的解集为{x|3＜x＜4}，则cx2+bx+1＞0的解集为（　　） A． B． C．或 D．或 3．已知a，b∈R，则“a＞b＞0”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数f（x）＝aex﹣e﹣x（a为常数），则（　　） A．∀a∈R，f（x）为奇函数 B．∃a∈R，f（x）为偶函数 C．∀a∈R，f（x）为增函数 D．∃a∈R，f（x）为减函数 5．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，则a＝（　　） A．5 B．8 C． D． 6．设a∈R，对任意实数x，记f（x）＝min{|x|﹣2，x2﹣ax+3a﹣5}．若f（x）至少有3个零点，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，2] B．[10，+∞） C．（﹣∞，2]∪[10，+∞） D．（﹣∞，2）∪（10，+∞） 7．将函数f（x）＝sinx图象上的所有点经过平移和伸缩变换得到函数g（x）＝sin（）（|φ|））的图象，若点被变换成了点A′（x0，y0），且sinx0，则φ的所有可能值之和为（　　） A． B． C． D． 8．若不等式e2x+2t2x≥tex（2+x）对任意x∈[1，+∞）恒成立，则实数t的最大值是（　　） A． B．e C． D．e2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设正实数m，n满足m+n＝1，则（　　） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．m2+n2的最小值为 10．定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+2）﹣f（x）＝f（1），则（　　） A．f（1）＝0 B．f（1﹣x）+f（1+x）＝0 C．f（1+2x）＝f（1﹣2x） D． 11．已知函数，则（　　） A． B．f（x）在区间上单调递增 C．若f（x）在区间（0，π）上恰有一个极值点，则ω的取值范围是 D．若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若曲线y＝ln（ax）与直线y＝x﹣1相切，则a＝　 　 ． 13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设BC边上的高为h，若A为锐角，，则的最大值为　 　 ． 14．已知定义在上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且当时，f（x）tanx+f′（x）＞0，且有，则f（x）＜4cosx的解集为　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图为一个摩天轮的示意图，该摩天轮半径为5m，圆上最低点与地面距离为1m，300秒转动一圈．图中OA与地面垂直，摩天轮上的某车厢开始位于最低点A处，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h． （1）求h与θ间的函数关系式； （2）设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求该车厢第2次到达最高点时用时是多少． 16．（15分）已知△ABC的面积． （1）求证：； （2）设D为BC的中点，且∠ADC＝45°，求的值． 17．（15分）已知函数f（x）＝cosωx（ω＞0）的最小正周期为π． （1）若是奇函数，求φ的值． （2）设函数． （i）求g（x）的值域； （ii）求方程在区间上的实根． 18．（17分）设t＞0，函数y＝f（x）的定义域为R．若对满足x2﹣x1＞t的任意x1、x2，均有f（x2）﹣f（x1）＞t，则称函数y＝f（x）具有“P（t）性质”． （1）在下述条件下，分别判断函数y＝f（x）是否具有P（2）性质，并说明理由； ①； ②f（x）＝10sin2x； （2）已知f（x）＝ax3，且函数y＝f（x）具有P（1）性质，求实数a的取值范围； （3）证明：“函数y＝f（x）﹣x为增函数”是“对任意t＞0，函数y＝f（x）均具有P（t）性质”的充要条件． 19．（17分）朗伯W函数可用于表示超越方程的根．如图，设函数y＝xex在定义域（﹣∞，﹣1）和[﹣1，+∞）上的反函数分别为W﹣1（x）和W（x），统称为朗伯W函数．其中函数W﹣1（x）的定义域为，值域为（﹣∞，﹣1），在定义域内单调递减；函数W（x）的定义域为，值域为[﹣1，+∞），在定义域内单调递增．借助朗伯W函数，方程xex＝a的解有以下三类情形： ①当时，方程有一个实数根W（a）； ②当时，方程有两个不相等的实数根W（a）和W﹣1（a）； ③当时，方程没有实数根． 通过将超越方程整理变形为f（x）ef（x）＝a的形式，便可以借助朗伯W函数表示方程的根，例如：方程的解可表示为和． （1）求W（0）的值； （2）讨论方程的解的个数，并用朗伯W函数表示； （3）设an是方程的解（n∈N+）．证明：a2+a3+⋯+a2025＜1023． 1 / 3学 学科网（北京）股份有限公司 $