5.3 实际问题与一元一次方程 导学案2025—2026学年 人教版七年级数学上册

5.3.1配套问题和工程问题

【课标要求】

1.会通过列方程解决“配套问题”和“工程问题”；

2.掌握列方程解决实际问题的一般步骤，体会建模思想。

【预习导学】教材第133-134页

一、配套问题的基本数量关系

配套问题的两个未知量及两个等量关系：

(1)两个未知量的和一定要等于参加生产的总人数(或原材料的总数)(m个单位)．即设其中一个为x个单位，则另一个为(m－x)个单位．

(2)加工总量成比例，若一件产品需要A，B两种配件配成，A，B两种配件的数量比是a∶b，则相等关系为：A种配件总数量×b＝B种配件总数量×a.

二、配套问题的实际问题

1.某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1 200 个螺栓或 2 000 个螺母. 1 个螺栓需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？

审题：等量关系为                                                 ；

解：设x人生产螺栓，则                   人生产螺母，

依题意得          ×2＝                       ，

解得x＝           ，∴生产螺母人数为：                   .

答：应分配            人生产螺栓，          人生产螺母．

还能怎么列方程？

 

【合作探究】

探究一、用一元一次方程解决配套问题

1.一张方桌由一个桌面和四条腿组成，则一张方桌中桌腿的数量是桌面数量的       倍，用等量关系可以表示为：            ×桌面数量 =              .

2.41人参加劳动，有30根扁担，安排一部分人挑土，一部分人抬土，安排x人抬土，则下列方程正确的是（     ）

A.      B.      C.       D.

3.一套仪器由一个 A 部件和三个 B 部件构成.用 1 m3 钢材可做 40 个 A 部件或者 240 个 B 部件.现要用 6 m3 钢材制作这种仪器，设 x m3 钢材做 A 部件，剩余钢材做 B 部分恰好配成这种仪器.

(1) 共能做______个 A 部件，_________个 B 部件(用含有 x 的式子表示)；

(2) 求出 x 的值；

(3) 用 6 m3 钢材配成这种仪器_____套(直接写出结果).

 

 

 

探究二、用一元一次方程解决工程问题

工程问题的基本数量关系

(1)基本量：工作量、工作效率、工作时间

(2)当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体1，则工作效率＝.

(3)常见的相等关系：

①工作量＝人均效率×人数×时间；②总工作量＝各部分工作量之和；

③按工作时间，各时间段工作量之和＝完成工作量；

④按工作者，若一项工作有甲、乙两人参与，则甲的工作量＋乙的工作量＝完成的工作量.

2.整理一批图书，由 1 个人做要 40 h 完成.  现计划由一部分人先做 4 h，然后增加 2 人与他们一起整理 8 h，完成这项工作.  假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？

①审题：等量关系为                                               =1；

②设先安排x人进行整理；

	人均效率	人数	时间	工作量
前一部分工作		x	4
后一部分工作		x＋2	8

③列表分析；

 

 

 

④列方程，得                          ；

⑤解方程，得                          ；

⑥答：                                 .

【课堂反馈】

1.一件工作，甲单独做 20 小时完成，乙单独做 12 小时完成，现在先由甲单独做 4 小时，剩下的部分由甲、乙合做.  剩下的部分需要几小时完成？

 

 

 

2.为打造绿色生态环境，一段长为 2 400 米的河道整治任务交给甲、乙两个工程队接力完成，共耗时 80 天.已知甲队每天整治 32 米，乙队每天整治 24 米. 求甲、乙两队分别整治河道多少米?(写出完整的解答过程).

 

 

 

【思维拓展】

1.加工某种工件，甲单独作要 20 天完成，乙只要 10 天就能完成任务，现在要求二人在 12 天内完成任务．（1）问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？

（2）若要求二人在 8 天内完成任务，乙先加工几天后，甲加入合作加工，恰好能如期完成任务？

 

5.3.2 销售盈亏问题

【课标要求】

1. 掌握“盈亏问题”中的相关概念及数量关系.

2. 掌握解决“盈亏问题”方法，准确理解打折销售问题中的利润（利润率）、成本、销售价之间的关系.

3. 感受方程与生活的密切联系，增强应用意识。

【合作探究】教材第135页

探究一、盈亏问题涉及的概念

（1）成本价：也称进价；

（2）标价：商家在出售时，标注的价格；                (3）售价：消费者购买时真正花的钱数；

（4）利润：商品出售后，商家所赚的部分；             （5）利润率：商品出售后利润与成本的比值；

（6）打折：以标价为基础，按一定比例降价出售，如：打8折，就是按标价的80℅出售；打x折，就是按标价的出售

其中：（1）利润＝售价－进价；（2）利润率=℅；(3)实际售价=标价×打折率；

1.(1)原价200元的商品打9折后价格为           元.

(2)商品进价是 150 元，售价是 180 元，则利润是       元，利润率是_____.

(3)某商品原来每件零售价是 a 元，现在每件降价10%，降价后每件零售价是    　　元.

(4)一件衬衣进价为 b 元,利润率为20% 这件衬衣售价为 ______ 元.

(5)某种品牌的彩电降价 20% 以后，每台售价为 c 元，则该品牌彩电每台原价应为　        元.

(6)某商品按定价的六折出售，若售价是 12.6 元，则原定售价是　    元.

2.一件夹克衫先按成本提高50%标价，再以8折出售，结果获利28元，若设这件夹克衫的成本是x元，根据题意，可得到的方程是(　　)

A．(1＋50%)x×80%＝x－28   B．(1＋50%)x×80%＝x＋28

C．(1＋50%x)×80%＝x－28   D．(1＋50%x)×80%＝x＋28

 

探究二、销售中的盈亏问题

3.(1)某商场将一种商品以每件60元的价格售出，盈利25%，要求该商品的进价x元，根据利润＝进价×利润率，得利润为                元，

再根据利润＝售价－进价，列方程为               ＝60－      ，解得x＝       .

或根据进价×(1＋盈利率)＝售价，列方程为x(1＋           )＝       ，解得x＝        .

(2)某商场将一种商品以每件60元的价格售出，亏损25%，要求该商品的进价y元，

根据进价×(1－亏损率)＝售价，列方程为y(1－         )＝        ，解得y＝       .

(3)商店同时卖出这两种商品各一件，则商店在卖出这两件商品时盈亏情况如何？

 

 

1. 某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为 960 元.其中一台盈利 20%，另一台亏损 20%. 这次琴行是盈利还是亏损，或是不盈不亏？