5.1 方程 导学案2025—2026学年 人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦一元一次方程的初步认识与等式性质的应用，从生活情境出发引导学生抽象出方程模型，通过设未知数、找等量关系逐步建立从算术思维到方程思想的过渡，形成清晰的知识脉络。以“问题驱动+任务导向”设计学习支架，前后衔接自然，帮助学生在真实问题中理解方程的本质，为后续解方程和应用打下坚实基础。 本资料突出数学眼光、数学思维与数学语言的融合培养，体现核心素养导向。其亮点在于：一是用现实问题激发兴趣，如纪念币面积、水杯单价等贴近生活的情境，强化数学眼光；二是通过分层习题训练推理能力，尤其在等式性质应用中注重逻辑严谨性，发展数学思维；三是设置多类表达任务，如列方程、检验解、解释结果，提升数学语言表达力。整体结构清晰，练习典型且有梯度，利于学生建构系统认知，实现从知识掌握到能力迁移的跃升。

第五章一元一次方程 5.1.1　方程（第1课时） 【课标要求】 1. 经历分析实际问题的过程，会用字母表示未知数，并表示相关的量. 2. 通过列方程和列算式解决实际问题，感受从算术到方程的进步，初步体会方程思想，提高学生的迁移运用能力. 【预习导学】教材第111-113页 一、一元一次方程定义 1.(1)含有 的等式叫做方程，方程的含义中包含两个要求：①必须是等式；②必须含有未知数．例如：2x＋3y＝1，x＝8，x2＋1＝0. 二、根据实际问题列方程 2. 分析实际问题中的数量关系，利用其中的 列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法. 3.用买 3 个大水杯的钱可以买 4 个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多 5 元，两种水杯的单价各是多少元？ 解：设 依题意列方程得： 4.右图是一枚长方形的庆祝中国共产党成立 100 周年纪念币，其面积是 4 000 mm2，长和宽的比为 8 ∶5 (即宽是长的)，这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米？（只列方程） 【合作探究】 探究一、方程的定义 下列各式是方程的是____________________. ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 探究二、根据实际问题列方程 1.（厦门·期中）已知长方形的长与宽分别为 16、x，周长为 40，根据条件，列出方程为 . 2.（福州·期末）“x 的 5 倍与 2 的和等于 x 的 与 4 的差”， 用等式表示为 . 3.某校女生占全体学生数的 52%，比男生多 80 人，这所学校有多少名学生？（只列方程） 4.一块正方形绿地沿某一方向加宽 5 m，扩大后的绿地面积是 500 m2，求正方形绿地的边长.（只列方程） 5.用一根长 24 cm 的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？（只列方程） 6.一台计算机已使用 1700 h，预计每月再使用 150 h，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间 2450 h？（只列方程） 7.某文具店一支铅笔的售价为 1.2 元，一支圆珠笔的售价为 2 元．该店在“6·1”儿童节举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打 8 折出售，圆珠笔按原价打 9 折出售，结果两种笔共卖出 60 支，卖得金额 87 元. 求卖出铅笔的支数. 【课堂检测】 1.（德州·期末）在 ①2 - 5；②1 + 7x = -8y + 3；③x = 6；④3x = 2x - 9；⑤2x>7中，方程共有 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 根据下列问题，找出等量关系，设未知数列出方程， （1）环形跑道一周长 400 m，沿跑道跑多少周，可以跑 3000 m？ （2）一个梯形的下底比上底多 2 cm，高是 5 cm，面积是 40 cm2，求上底． 【思维拓展】 1.小明看一本书，第一天看了全书的，第二天看的页数是第一天的 6 倍少 3 页，剩下还没看的页数比全书的多 4 页. 求全书共多少页. 5.1.2　一元一次方程（第2课时） 【课标要求】 1. 通过观察、归纳一元一次方程的概念，理解一元一次方程的定义，会判断一个方程是不是一元一次方程. 2. 通过方程的解的定义，理解什么是方程的解，会估算简单的一元一次方程的解，并会检验一个数值是不是方程的解. 【预习导学】教材第114-115页 一、方程的解和检验方法 1. 能使方程中_________________________的值，叫做这个方程的解. 2.方程x－2＝2－x的解是（ 　） A．x＝1　 B．x＝－1　 C．x＝2 D．x＝0 二、一元一次方程定义 3.只含有 未知数，未知数的次数都是 ，等号两边都是 的方程叫做一元一次方程． 4.一元一次方程的条件：①等号两边都是_______；②是方程：③只含有一个_________；④__________的次数都是1（化简后）.例如：3x－1＝2，2y＝4,3m－2＝0. 三、列一元一次方程方程解应用题 5.足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，负一场得0分，平一场得1分．一个队打了8场球，只输了一场，共得17分，那么这个足球队胜了x场，可列方程： 6. 轮船在静水中速度为20 km/h．水流速度为每小时4 km/h，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用5 h(不计停留时间)，求甲、乙两码头的距离．设两码头间距离为x(km)，则列出方程正确的是( ) A．(20+4)x+(20-4) x =5 B．20 x+4 x =5 C． D． 【合作探究】 探究一、方程的解和检验方法 1.（1）x = 2，x =是方程 2x = 3 的解吗？ （2）x = 10，x = 20 是方程 3x = 4(x - 5) 的解吗？ 2. x = 60 是方程x2 = 4 000 的解吗？x = 80 呢？ 探究二、一元一次方程的定义 1.下列属于方程是 .下列属于一元一次方程是 .（填序号） ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩ 3.若关于 x 的方程是一元一次方程，则n的值为 . 4.方程是关于 x 的一元一次方程，则 m = . 【练一练】 1.下列选项中是一元一次方程的是 ( ) A. 2x－3 B. x＋y＝0 C. 4x2＋2x＋1＝0 D. 6x＝1 2.已知关于 x 的方程 (k - 2)x|k|-1+6= 3k 是一元一次方程，则 k = ( ) A.±2 B.2 C.-2 D.±1 3.检验括号中的数是否为方程的解：x－3(x+2)＝6+x (x＝3，x＝－4) 4.已知x＝2是关于x的方程的解，求a的值． 【课堂检测】 1.下列方程中，一元一次方程的是( ) A. x＝ －2 B. 2x－3y＝3 C. x2－2x＝1 D. 2x－ ＝3 2.下列方程中，解是 x＝2 的方程是( ) A. x＋4＝6 B.－ x＋6＝5x C. 15－ x ＝0 D. 7x－ 10＝4 3. 若 x = 1 是方程 x2 －2mx +1 = 0 的一个解，则 m 的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. -1 4. 下列式子： 其中是方程的是 ，是一元一次方程的是 ．(填序号) 【思维拓展】 1.已知：方程 (m - 3)x|m|-2 + 3 = m - 6 是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值. 2．已知y＝1是方程my＝y＋2的解，求m2－3m＋1的值． 5.1.3　等式的性质（第3课时） 【课标要求】 1.掌握等式的性质． 2.能利用等式的性质解一元一次方程. 【预习导学】教材第115-117页 一、等式性质的探究 1.(1)用“>、<、=”填空： 5=5 5+6 5+6 ； -7=-7 -7-5 -7-5； a=b a+5 b+5 a=b a-2 b-2 ； x=y x+m y+m ； a=b a+（m+n） b+（m+n） 等式的这个性质可以怎样描述： 用含字母的式子表示： ⑵我们再看一个实验，请同学们认真观察后然后用“>、<、=”填空： 6=6 6×5 6×5；-3=-3 -3×（-2） -3×（-2）； a=b 6a 6b 8=8 8÷2 8÷2；-10=-10 -10÷（-5） -10÷（-5）； m=n m n 等式的这个性质可以怎样描述： 用含字母的式子表示： 2、 解方程 3.利用等式的性质解方程的目的是将方程一步一步地变形为x＝a(常数)的形式，步骤如下： (1)方程两边加(或减)同一个数(或式子)，使一元一次方程左边是含 的项，右边是 项； (2)方程两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，使未知数的 化为1，从而得出方程的解． 检验某数是不是某方程的解，方法是把这个数分别代入方程的左边和右边，注意“分别”看方程左、右两边的值是否 ，若 ，则是方程的解；若 ，则不是. 【合作探究】 探究一、等式的性质的应用 1.下列变形错误的是(　 　) A．若a＝b，则a＋c＝b＋c　 B．若a＋2＝b＋2，则a＝b C．若4＝x－1，则x＝4＋1　 D．若2＋x＝3，则x＝3＋2 2.已知m＋a＝n＋b，根据等式的性质变形为m＝n，那么a，b必须符合的条件是(　 　) A．a＝－b　 B．－a＝b C．a＝b　 D．a，b可以是任意有理数或整式 3.下列运用等式性质进行的变形，正确的是( ). A. 如果a＝b，那么a＋c＝b－c B. 如果，那么a＝b C. 如果a＝b，那么 D. 如果，那么a＝3 4.下列变形错误的是(　 　) A．由－3x＝－3y，得x＝－y　 B．由＝1，得x＝4 C．由a＝b，得＝　 D．当a ≠ 0时，由x＝y，得＝ 5.已知 mx = my，下列结论错误的是（ ） A. x = y B. a + mx = a + my C. mx－y = my－y D. amx = amy 6.从 3ac = 4a 能不能得到 3c = 4，为什么? 二、运用等式的性质解方程 6.如果2x－5＝6，那么2x＝ ，x＝ ，这两步变形的依据分别是 . 7.在等式x＝－20的两边都 或 ，得x＝ ，其根据是 . 8.应用等式的性质解下列方程并检验: (1) x+7=26； (2) -5x =20； (3)； (4) 【课堂检测】 1.(石狮市校级期中)根据等式的基本性质，下列结论正确的是（ ） A. 若 x＝y，则 z＋2＝y－2 B. 若 2x＝y，则 6x＝y C. 若 ax＝2，则 x＝ D. 若 x＝y，则 x－c＝y－c 2.(滨州)在物理学中，导体中的电流 I 跟导体两端的电压 U、导体的电阻 R 之间有以下关系：I ＝ 去分母得 IR ＝ U，那么其变形的依据是____________________________________________________. 3. 下列变形，正确的是（ ） A. 若 ac = bc，则 a = b B. 若，则 a = b C. 若 a2 = b2，则 a = b D. 若 ，则 x = －2 【思维拓展】 1.已知2x2－3＝7，那么x2＋1＝_____. 2.已知关于x的方程和方程3x－10 =5的解相同，求m的值. 学科网（北京）股份有限公司 $