第8节培优专题：圆的轨迹与曲线方程讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦圆的轨迹与曲线方程专题，系统梳理曲线与方程的定义关系、交点求解及轨迹方程的五种常用方法，构建从概念理解到应用实践的知识链条。通过典例引导、变式训练和分层练习，前后知识点环环相扣，形成清晰的学习支架，助力学生从直观感知走向理性建构。 本资料突出核心素养导向，体现“抽象能力”“逻辑推理”和“数学建模”三大亮点。如典例28利用圆的定义直接写出轨迹方程，强化几何直观与符号意识；练习36通过距离比值条件建立代数关系，展现数学语言表达现实问题的能力；练习45结合角平分线与单位圆动态变化，融合几何性质与代入法求解，凸显思维深度。教师可借此提升课堂效率，学生则能在真实情境中发展数学眼光与探究能力，实现知识迁移与素养落地。

第八节专题：圆的轨迹与曲线方程 重点题型专练 【1】D 解析：因为方程F(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点 不妨取方程x2-y2=1x>0),曲线取双曲线x2-y2=1对应的曲线， 则，双曲线的左支上的点的坐标不满足方程x2-y2=1x>0),故A错误 双曲线的左支上的点的坐标不满足方程x2-y2=1(G>0),但该点在双曲 线x2-y2=1上，故B错误：由曲线与方程的定义可知，C选项错误： 因为以方程x2-y2=1(>0)的解为坐标的点都在曲线上，所以D选项正 确.故选：D. 【2】B 解析：若点M在曲线x2=4y上，则x=±2少： 当点M的坐标满足方程x=2√少时，必有x2=4y,即点M在曲线x2=4y 上，故“点M在曲线x2=4y上”是“点M的坐标满足方程x=2√9”的必要 不充分条件.故选：B 【3】2或-3 解析：将点(a,3)代入方程(x-y+1(x+y)=0得(a-3+1)(a+3)=0 解得：a=2或a=-3故答案为：2或-3. 【4】D 解析：2y2+3x+3=0与x2+y2-4x-5=0联立得： 子45=0，整理得：2兰号-0号》+小-0 2 2 当x=号时，方程组无解，当x=1时，y=0,故两曲线有1个公共点 【5】B 解折：由= x2+y2=5 =1或/ 5可得=2西 ,故选：B y=1 【6】2 解折：由2+2=0 y+=0 可有+=0，所以8该所以交 点个数是2.故答案为：2 【7】相交，交点坐标为：0-和（号4）。 析：将直线方程与曲线方程联得：/rs、1儿 2x2-15x-50=0 2x+5y-15=0 解得x=10,或x= 5 2 ,当=10时，y=-1当=时，y=4, 因此直线2x+5y-15=0与曲线y=-1°相交，交点坐标为：Q0,-少和 x 【8】C 解析：由y=√36-x2得y2=36-x2,即x2+y2=36(y≥0)，，曲线表示圆 x2+y2=36在x轴上方的半圆.故选：C 【9】A 解析：对y=-V4-x2两边平方整理得x2+y2=4(y≤0)，所以，方程表示 圆心为坐标原点，半径为2的圆在x轴及下方的部分，A选项满足.故 选：A 【10】D 解析：：方程x-1=√-0-1)2等价于G-)2+0-1)2=1(x) 表示的曲线是半个圆.故选：D. 【11】A 解析：由方程(x+a)++b)=0得x+a=0且y+b=0, 所以x=-a,y=-b,所以方程(x+a)了+心+b=0所表示的图形是点 (（-a,-b).故选：A 【12】A 解析：由方程卜-=-0-，两边平方得-=(W-(心-')2 即(x-1)+(心-1)=1，所以方程表示的轨迹为一个圆，故选：A 【13】A 解析：由x-y+y-x2=1可知，xe[-1,]ye[-1], 显然x<0y<0时方程不成立，排除C, 又-y∈[0,1]，-∈[0,1]所以y<0不成立排除BD,故选：A 【14】y=土x两条直线 解析：由x2-y2=0得(x-y)(x+y)=0, 即x-y=0或x+y=0 方程x2-y2=0表示的图形是y=±x两条直线. 故答案为：y=土x两条直线， 【15】直线x=0和单位圆x2+y2=1 解析：由方程x(x2+y2-1)=0可得：x=0或x2+y2=1, 所以方程x(x2+y2-=0表示的曲线是直线x=0和单位圆x2+2=1 故答案为：直线x=0和单位圆x2+y2=1. 【16】一条射线和一条直线 解折由方程容仁0或-3=0，即天+741=0之动或 故方程√x-3,(x+y+1)=0表示的几何图形是一条射线和一条直线. 故答案为：一条射线和一条直线 【17】如图所示，面积为12 解析：当x21时，|y=4-2x: 当-1≤x<1时，|y=4: 当x≤-1时，|y=4+2x 作出图形如图： 3 所以曲线围成的图像的面积为：2×二×(2+4)×2=12. 【18】C 解析：由曲线y=-x2得x2+y2=1(y≥0)，表示以原点为圆心，半径为 1的半圆， 当直线y=x+b与半圆y=√1-x2相切时， =1,则b=5 √2 此时直线为y=x+√2： 当直线y=x+b过点(0,1)时，b=1,此时直线为y=x+1, 要使直线y=x+b与曲线y=√-x2有两个交点，则b取值范围为 [山，).故选：C. 【19】D 解析：由题可知，直线1可转化为(x+2)k-y+4=0,所以直线1恒过点 A(仁2,4)，又因为曲线y=√4-x2可转化为x2+y2=4(y≥0)，则其表示 圆心为原点，半径为2的圆的上半部分， 当直线1与该曲线相切时，点(Q0到直线的距离日=上-2-2，解得 Vk2+1 设o,则w号1 由图可得，若要使直线1：6-y+4+2业=0与曲线y=√4-不有两个交 点需要-15<即-1<到 4 故选：D 【20】B 解析：1：-y-2k+1=0→(x-2-(y-1)=0,所以直线恒过定点 4(2,),且斜率为飞： 曲线C:y+1=-V-x2+6x-5,整理得(x-3)+6+1=4,0y≤-1) 故该曲线是以(3，-)为圆心，2为半径的下半圆， 如图所示，令y=-1,代入(x-3+(y+1=4,整理得(x-3)2=4,解得 x=1或5：故B(-L,-1),C(5,-1), A 一片2。=号所以直线与曲线有交点只需22或t≤号即 可，故选B。 【21】D 解析：由x=√4-y2,得x2+y2=4(≥0) 如图 当直线：y=-x+m与x2+y2=46≥0)相切时，m=2√2 当直线：y=-x+m过点(0,2)时，有两个交点 若直线：y=-x+m与曲线x=√4-y2有两个公共点，则实数m的取 值范围是2,2√2).故选：D 【a1信引 解析：如图 D 化简曲线y=1+√4-x2(-2≤x≤2)得：x2+(-1)=40y≥) 曲线表示以C(0,为圆心，半径r=2的圆的上半圆 直线y=(x-2)+4可化为y-4=(x-2), 直线经过定点A(2,4)且斜率为飞 又：半圆y=1+√4-x2(-2≤x≤2)与直线y=(x-2)+4有两个交点， 设直线与半圆的切线为AD,半圆的左端点为B(一2,1)， 当直线的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时， 直线与半圆有两个相异的交点， 由点到直线的距离公式当直线与半圆相切时满足上1一2北+4-2 VE2+1 解之得t=品即o品 5 又因为直线AB的斜率k如=手， 3 所以直线的斜率：的范偶为：（品引故答案为：品到 【23】D 解析：因为y=-x,即x2+y=10≥0)， 则曲线y=√-x2表示以坐标原点O为圆心，半径为1的上半圆，并记为 c, 设点P(x,y）,则BP=(x,y+1),BA=(L1). 所以8丽.A=x+y+1,令=x+y+1,则y=-x+t-1, 故直线y=-x+t-1(斜率为-1，纵截距为t-1)与曲线C有公共点， 如图所示： 直线：y=-x+m过点D(-1,0),则0=1+m,即m=-1, 直线=+n与曲线C相切，则一风 VP+12 =1,解得n=√反或 n=-√5（舍去）， 所以-1≤t-1≤2，则0≤t≤反+1，所以BP.函的最大值为√反+1 故选：D. 【24】B 解析：曲线y=√x2+2x,其中-x2+2x≥0，y20,即0≤x≤2，y≥0， 曲线方程可化为(x-1)2+y2=1,其中0≤x≤2，y≥0，即曲线的轨迹是 一个半圆 因为圆心a,0)到直线3新-4y+5=0的距离d=B+8 V32+425 故半圆上一点到直线的最小距离m=d-r= 3 半圆上点(2,0)到直线的距离最大m= 6+5到= V3+4 则m的取值范围为 311 55 ,故选：B. VA 3x-4+5-0 【25】D 解析：由-x-y=0可得y=-2,则y20,在等式y=-x2两边 平方并整理得x2+y2=1, 所以，曲线-之-y=0为圆x2+y2=1的上半圆，该圆的半径为r=1 作出曲线-不2-y=0与直线3x-4y-10=0的图象如下图所示： 3410=0 10 原点0到直线3x-4y-10=0的距离为分+4可 =2 设点P到直线3x-4y-10=0的距离为d, 当点P的坐标为L,0),d取最小值，即d= 3x1-4×0-10_ V3+(4)月 5 由图象可知，dm=2+r=2+1=3, 因此，点P到直线-4-10=0的距离的取值范以是[仔 故选：D. 【o1[居 解析：V1-x2-y=0即x2+y2=1(心≥0)， 所以曲线√1-x2-y=0是圆心为(0,0)，半径为1的圆的上半部分， 如图，点P是曲线√-x2-y=0上的动点 3x4y10=0 则点P到直线3x-4y-10=0距离的最大值为原点到直线距离加上圆的 10 半径，即 +1=3 V3+4 点P为(1,0)时到直线3x-4y-10=0的距离最小，最小值为 13-1017 V32+45 则点P到直线3x-4y-10=0距离的取值范围 B 故答案为：[仔习 【27】(-1-√2，-2]U0U[2,1+2) 解析：依题意，-1≤y≤1,04x|-1≤1，即-2≤x≤-1或1≤x≤2 当-2≤x≤-1时，曲线方程(x+)2+y2=1表示在直线x=-1及左侧半圆 圆心为(-L,0),半径为1， 当1≤x≤2时，曲线方程(G-1)2+y2=1表示在直线x=1及右侧半圆，圆 心为L,0),半径为1， 曲线-y2x-1与直线y=x+b有两个不同的交点 等价于上述两个半圆组成的图形与直线y=x+b有两个不同的交点 在同一坐标系内作出曲线W1-y2x-1与直线y=x+b,如图， (x+1)2+y2=1 y=x+b (s-1) (1)}2+y2-1 (x2-1) 1+ 1 当直线y=x+b与半圆(+1)+y2=1(-2≤x≤-1)相切时 2 b>1 解得b=1+√2， 当直线y=x+b过点(~1)时，b=2,由图形得当2≤b<1+√2时，直线 y=x+b与这个半圆有两个交点， 当直线y=x+b过点(-1-1)时，b=0,这条直线也过点A,),符合题意 h+ 当直线y=x+b与半圆(x-1)2+y2=11≤x≤2)相切时， 2 =1,解得 b<-1 b=-1-√2 当直线y=x+b过点Q-)时，b=-2,由图形得当-1-√互<b≤-2时， 直线y=x+b与这个半圆有两个交点， 所以实数b的取值范围是(-1-√2，-2]U0}U[2,1+2) 故答案为：(-1-√2，-2]U{0U[2,1+V2) 【28】(x+1)2+(0y-5)=25(x≠2且x≠-4) 解析：由题意，点A(2,1),B(4,9),动点P满足∠APB=90°， 所以点P落在以AB为直径的圆上，其中圆心坐标为(-1,5)，半径为 r=5, 所以点P的轨迹方程为(x+1)2+(y-5)2=25,其中x≠2且x≠4 【29】(x-1)2+y2=2 解析：由圆x2+y2-2x=0的方程可知，圆心为(L,0),半径r=1,PA是圆 的切线且PA=1,则点P到圆心的距离为√互 y 设Px,),则V(x-1)2+y2=√互， 化简得(x-1)2+y2=2. 故答案为：(x-)2+y2=2 【30】(x-1+y2=9(y≠0) 解析：设C(x,y),由于直角三角形斜边上的中点为M(L0),如图所示， y B A-2M 则半径为42a+2+0-o可吓=3， 即得圆的方程为(-1+y2=9, 但是项点C不能在直线AB上，因此y≠0 因此C点满足的方程为(x-1)+y2=9(y≠0). 故答案为：(x-1)+y2=9(y≠0) 【31】(-1+0+2=5 解析：直线：r-2y=2m+8,即mt-2)-20y+4)=0恒过定点 A(2,-4), 由原点O在直线1上的射影点为P,得OP⊥1，则点P在以OA为直径 的圆上， 该圆圆心为0-2)，半径为r=√P+←2分=5， 所以点P满足的轨迹方程为(x-1)+(y+2)=5. 【32】x2+y2=4 解析：以两个定点的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系 A 0 则A(-3,0),B(3,0),设M(x,y), 则4+B=26,…(+3)+少2+(-3)+y2=26 化简得M点的轨迹方程为x2+y2=4. 【33】(x-12+y2=9 解析：设C(,y),AC=(x-3,y),BC=+L,y), 4C.8C=(c-36+1)+y2=5,得(x-12+y2=9. 【34】(x-4)2+y2=16 .1=2,即1MAF22B 解析：B 设M(,),则V+4+y2=2V-2+y2,整理得(G-4+y2=16 【35】x2+y2=1(y≠0) 解析：设P(x,y),因为PA上PB, 所以由A.PB=0,得(x+1y)(x-1y)=x2-1+y2=0 所以动点P轨迹方程为x2+y2=1(y≠0) 【36】x2+y2+3y=0 解析：设点M(x,y),则 V2+0-3y 3,整理得 x2+y2+3y=0,所以动点M的轨迹方程为x2+y2+3y=0,故答案 为：x2+y2+3y=0. 【37】3 解析：因为角A的平分线交BC于点D,则∠BAD=∠CAD,故 品品则拾是 AC DC 2 以D为坐标原点建立如图平面直角坐标系， 因为50=3器片放(1oce0,设46小 则区++少片，化简可符+红+y广=0，即+2r+=4 “(-2)}°+y24 (y≠0). 【38】(6-4+y2=4(0≠0) 解析：以B为原点，以BD所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如 图所示， 因为BD=3,可得B(0,0),D3,0) 为片，可得-+ 设A,》,因为可五 V2+y2 片可 (-4+y2=4y≠0) 【39】(x+6)2+y2=48 解析：设P(,),因为动点P到点O0,0)和4(2,0)的距离之比为5 2 所以G-0+0-0哑=5+3 V-2y+0-0y2’(G-2+y4 即：4x2+4y2=3(x2-4x+4)+3y2, 所以x2+y2+12x=12,即(x+6)2+y2=48, 所以点P的轨迹方程是(x+6)2+y2=48 故答案为：(x+6)2+y2=48 【o1(**- 解析：设线段AP中点M的坐标为(x,y),且点P(), 又由4(-1,0)，可得 2 ,解得 =2x+1 y- (=2y 2 又由+4，可得(2++广产=4，即(+ +y2=1 41-9+-s 解析：设点M(,),点P(x。y) =5+0 则{ P&0 2 因为点P(x。)在圆C:x2+y2-8x-10y+21=0上， 所以x行+y-8x。-10y。+21=0, 所以(2x)2+(2y)2-8×(2x)-10×(2y)+21=0, 所以点M的轨迹方程为+2-4-5y+2头=0 4 即-+（引-5，放答类为：-+=5. 【42】(x-9)'+(0-6)=4 解析：设B(x,y),由于C(4,3)是线段AB的中点，根据中点坐标公式可 得A(8-x,6-y), 将A点坐标代入圆(x+1)+y2=4, 得(9-x+(6-y)=4, 所以B点的轨迹方程为(-9)+(-6)'=4 【43】(x+4)+y2=8 解析：设A(x,y,),M(x,y),,AM=BA,且M在BA的延长线上， ,A为线段MB的中点， 42 由中点坐标公式得{ 2 ,A在圆上运动，将点A的坐标代入圆的方程，可得 份2 2 化简得(x+4)+y2=8,∴，点M的轨迹方程为(x+4)+y2=8 【44】(x-1)2+0-8)2=9 解折：设M6,川，0a,),由丽=2远，符二88公，所 a=4-x b=8-y 又因为点D在圆C:(x-3)2+y2=9上， 所以(4-x-3)2+(8-y)'=9,即(x-1)2+心-8)=9. 【45】6-3+y-00 3 解析：由三角形的角平分线的性质，可得 B0=20, 设点(xy),P6。%0y。≠0)，则(《-2，月=26。-x,。-y), 烈2似生告 因为%≠0，所以y≠0， 又因为点P在圆。上，所以（己+（受=1，即 -+y=0*0. 即点Q的轨迹方程为-子+y产-C￥0). 第八节 专题:圆的轨迹与曲线方程 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 124 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:曲线的方程与方程的曲线 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线与方程之间具有如下关系: （1）曲线上的点的坐标都是方程的解; （2）以方程的解为坐标的点都在曲线上. 则称曲线为方程的曲线,方程为曲线的方程. ▍知识点2:两曲线的交点 已知两条曲线和的方程分别为,,求两条曲线和的交点坐标,只要联立两个方程得方程组求方程组的实数解就可以得到. ［对应练习:题型1—题型3］ ▍知识点3:点的轨迹方程 曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹,所以曲线方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程. ▍知识点4:轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程. （1）当动点满足的几何条件易于“坐标化”时,常采用直接法;当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时,常采用定义法;当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时,可采用代入法（或称相关点法）. （2）求轨迹方程时,一要区分“轨迹”与“轨迹方程”;二要注意检验,去掉不合题设条件的点或线等. （3）求轨迹方程的步骤: ①建立适当的直角坐标系,用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标; ②列出关于的方程; ③把方程化为最简形式; ④除去方程中的假点（即不符合题意的点）; ⑤作答. ▍知识点5:求动点轨迹方程常见的方法 （1）直接法 当动点直接与已知条件发生联系时,在设出曲线上动点的坐标为后,可根据题设条件将普通语言运用基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式等）变换成表示动点坐标间的关系式（等式）的数学语言,从而得到轨迹方程.这种求轨迹方程的方法称为直接法.直接法求轨迹方程经常要联系平面图形的性质. （2）定义法 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义,可以设出其标准方程,然后用待定系数法求解,这种求轨迹方程的方法称为定义法.利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征. （3）代入法 若所求轨迹上的动点与另一个已知曲线上的动点存在着某种联系,可把点的坐标用点的坐标表示出来,然后代入已知曲线的方程,化简即得所求轨迹方程,这种求轨迹方程的方法称为代入法（又称相关点法）. （4）参数法（椭圆,双曲线,抛物线部分再做研究） 如果所求轨迹的动点的坐标之间的关系不易找到,也没有相关信息可用时,可先考虑将,用一个或几个参数来表示,消去参数得轨迹方程,此法称为参数法.参数法中常选变角、变斜率等为参数. （5）交轨法（椭圆,双曲线,抛物线部分再做研究） 交轨法一般用于求两动曲线交点的轨迹方程.若动点是由两动曲线相交所得,其过程是选出一个适当的参数,求出两动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程. ［对应练习:题型4］ ▍练题型 曲线与方程的概念 1 【典例▪1】已知命题“方程的解为坐标的点都是曲线C上的点”是真命题,则下列命题正确的是（    ） A.曲线C上的点的坐标都是方程的解 B.坐标不满足方程的点不在曲线上 C.曲线C是方程的曲线 D.不是曲线C上点的坐标,一定不满方程 【变式▪2】“点M在曲线上”是“点M的坐标满足方程”的（    ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【练习▪3】若点在方程的曲线上,则 . 【练习▪4】（2024·全国）曲线与曲线的公共点的个数是（    ） A.4 B.3 C.2 D.1 【练习▪5】曲线与的交点是（    ） A. B. C.或 D.或 【练习▪6】曲线与曲线的交点个数是 . 【练习▪7】判断直线与曲线是否相交,如果相交,求出交点的坐标. ▍练题型 由方程研究曲线的类型与性质 2 【典例▪8】方程y＝表示的曲线是（    ） A.一个圆 B.两条射线 C.半个圆 D.一条射线 【练习▪9】方程表示的曲线是（    ） A. B. C. D. 【练习▪10】方程表示的曲线是（   ） A.一个圆 B.一个椭圆 C.两个圆 D.半圆 【练习▪11】方程所表示的图形是（    ） A.点 B.点 C.以为圆心的圆 D.以为圆心的圆 【练习▪12】方程表示的曲线是（    ） A.一个圆 B.两个半圆 C.两个圆 D.半圆 【练习▪13】方程的对应曲线图形是（    ） A. B. C. D. 【练习▪14】方程表示的图形是 . 【练习▪15】（2024·全国高三）方程表示的曲线是 . 【练习▪16】方程表示的几何图形是 . 【练习▪17】（2024·全国高二专题）在直角坐标平面内,画出曲线围成的图形并求其面积. ▍练题型 曲线的交点问题 3 【典例▪18】直线与曲线有两个交点,则实数取值范围为（    ） A. B. C. D. 【变式▪19】（2023·连云港）若直线与曲线有两个交点,则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【练习▪20】（2024·山西）直线与曲线有交点,则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【练习▪21】直线与曲线有两个公共点,则实数m的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【练习▪22】若曲线与直线有两个交点,则实数k的取值范围是 . 【练习▪23】（2024·北京模拟）已知,, P是曲线上一个动点,则的最大值是（   ） A.2 B. C. D. 【练习▪24】（2024·江苏高二）设曲线上点到直线的距离为,则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【练习▪25】已知点是曲线上的动点,则点到直线距离的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【练习▪26】已知点是曲线上的动点,则点到直线距离的取值范围是 . 【练习▪27】曲线与直线有两个不同的交点,则实数的取值范围是 . ▍练题型 轨迹问题 4 ▷方法1:定义法 当列出的关系式符合圆的定义时可利用定义写出动点的轨迹方程. 【典例▪28】点,动点P满足,则动点P的轨迹方程为______________. 【变式▪29】设A为圆上的动点,是圆的切线且,则P点的轨迹方程是_____. 【练习▪30】若Rt△ABC的斜边为,, ,则点满足的方程为_____________. 【练习▪31】（2024·四川模拟）已知坐标原点在直线上的射影为点,则点满足的轨迹方程为_____________. ▷方法2:直接法 根据题目的条件,建立适当的平面直角坐标系,设出动点坐标,并找出动点坐标所满足的关系式. 【典例▪32】两个定点的距离为6,点到这两个定点的距离的平方和为26,求点的轨迹方程. 【变式▪33】在平面内,,,C为动点,若,求点C的轨迹方程. 【变式▪34】平面直角坐标系中,,,点满足,求点的轨迹方程. 【练习▪35】在平面直角坐标系中,已知点, ,动点P满足,求动点P的轨迹方程. 【练习▪36】已知动点与两个定点的距离之比为,求动点的轨迹方程. 【练习▪37】在中,的角平分线交边于点,若,求点的轨迹方程. 【练习▪38】已知等腰的腰AC上的中线BD的长为3,求点的轨迹方程. 【练习▪39】已知平面上的动点到点和的距离之比为,求点的轨迹方程. ▷方法3:代入法 若动点随着圆上的另一动点运动而运动,且,可用,表示则可将点的坐标代入已知圆的方程,即得动点的轨迹方程. 【典例▪40】已知定点为圆的动点,求线段的中点的轨迹方程. 【变式▪41】（2024·天津滨海新高二期末）已知为坐标原点,点在圆上运动,求线段的中点的轨迹方程. 【变式▪42】（2024·山西高二）如图,已知线段的中点的坐标是,端点在圆上运动,求线段的端点的轨迹方程. 【练习▪43】（2024·江苏高二）已知圆上动点,轴上定点,将延长到,使,求动点的轨迹方程. 【练习▪44】已知圆,是圆上的动点,点,若动点满足,求点的轨迹方程. 【练习▪45】（2024·全国高二专题）如图,已知点的坐标为,是以点为圆心的单位圆上的动点（不与点重合）,的角平分线交直线于点,求点的轨迹方程. $