函数与导数：双变量问题、利用导数证明不等式、零点问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

函数与导数：双变量问题、利用导数证明不等式、零点问题专项训练 函数与导数：双变量问题、利用导数证明不等式、零点问题专项训练 考点目录 双变量问题 利用导数证明不等式 零点问题 考点一 双变量问题 1 1.(23-24高二下·福建福州期末)已知x,y为不相等的正实数，血x+lny=二-x,则() y A.x>y B.x<y C.x+y>I D.x+y<I 2.(2425高三上·湖北武汉期中)函数f(x)=a+lx+b(a∈R,b∈R)的两个极值点x,x,满足x<,≤2x,则 e x,+2x,的最大值为() A.21n2 B.3ln2 C.4ln2 D.5In2 3.(2425高二下-河北秦皇岛期末)已知实数x,y满足= -ln2x),则y的最小值为() y 1 A. B.1 C.e D.e2 e 4.(2025·陕西咸阳模拟预测·多选)已知f(x)=(x-1)-x2，则下列说法正确的是() A.函数f(x)在(0，ln2)上单调递增 B.函数f(x)有1个零点 c.对在意，ke,,÷·都有f生之≥f（色生产 2 D.若函数g(x)=f(x)-m在区间[0,2)上有且只有一个零点，则m∈[-1，e2-4] 函数与导数：双变量问题、利用导数证明不等式、零点问题专项训练 5.(2425高三下·河北邢台阶段练习多选)已知函数f(x)=x-lnx+aa∈R),f(x的图象与直线y=t交于 Mx,)、N(x2,两点，且x<x2,则下列说法正确的是（) A.若t=0,则a的取值范围为a≤-1 B.若gx)=fx-f(2-x,则gx无最值 C.+玉>西-x 2 In x2 -Inx D.f(x)在x=+立处的切线的斜率大于0 2 6.（2425高二上·浙江温州期末)已知函数∫x=ae-r-1有两个零点x,x2,且x<x2.设n为常数，当a变化时， x,+x2+(n+1)有最小值e,则常数n的值为 7.(2425高二下福建漳州期末)，1,2，且x+,不等式e-c<m恒成立，则m的取值范围 七3-x1 为一 8.(2526高三上内蒙古巴彦淖尔阶段练习)已知函数f)=e_2ex>0,g=nx (I)求函数h(x)=f(x)+g(x)在[l,]上的最值及其零点个数； (2)若对于任意的0<x,<x,,均有f（x)-ag(x)<f(x2)-gx),求a的取值范围. 2 函数与导数：双变量问题、利用导数证明不等式、零点问题专项训练 9.(25-26高三上江苏扬州阶段练习)已知fx)=x-alnr-x2 2 (I)若曲线y=∫(x在x=1处的切线与y=x垂直，求实数a的值； (2)若函数y=∫(x存在两个不同的极值点x,x2,求f(x)+f(x2)的取值范围. 10.(25-26高三上·北京·阶段练习)已知f(x)=2Wx-alnx-ax-1. (I)若a=-1,求曲线y=f(x在点P(1,f()处的切线方程； (2)若函数y=∫(x存在两个不同的极值点x,x2,求证：f(x)+f(x2)>0. 函数与导数：双变量问题、利用导数证明不等式、零点问题专项训练 1.2526高三上重肤开学考试)已知函数1=+中有两个极值点与且<与 (1)求实数a的取值范围； (2)证明：x+2x2>3. 12.(25-26高三上重庆开学考试)已知函数f(x)=nx+1,g()=a (1)讨论函数f(x)+g(x+1)在定义域内的单调性； (2)若存在唯一一组实数x1,x2(x,<x2),使得f(x)在[x,x2]上的值域为[g(x2),g(x)】. (i)求证：x1+x2>2; (ii)求实数a的取值范围. 函数与导数：双变量问题、利用导数证明不等式、零点问题专项训练 13.(25-26高三上湖北开学考试)设函数f(x)=e+e-ax2,其中a>0为参数 (1)当a=1时，求f(x的单调区间. (2)求a的取值范围，使得f(x)≥0对所有实数x成立. (3)设a>a0,其中4为(2)中范围的右端点，记x,x2为f(x)=0的两个正实数解0<x1<x2),为(2)中定义 的正实数（满足anhx,=2.证明：，->-X 14.(2025福建泉州模拟预测)已知函数fx)=(m+1sinr-xcOSx,x∈[0，π. (1)当m=0时，求f(x的值域； (②)若∫x)存在唯一的极值且为极小值，求m的取值范围； (3)设neR,若存在m∈(-0,0)使得m≤V2(f(x)-n对x∈[0，π恒成立，求n的最大值. 函数与导数：双变量问题、利用导数证明不等式、零点问题专项训练 考点二 利用导数证明不等式 1.(24-25高二下·江苏连云港·阶段练习)下列四个不等式①lnr<x<e②xlnr≥x-1③nx≥x-1④sinr<x(x>0)中 正确个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 2.(25-26高三上云南昆明阶段练习)若0<x<x2<1,则() A.e*-e Inx2 Inx B.e*-e<Inx,Inx C.x2e<e D.x2e>x e* 3.(2425高二下·湖南阶段练习多选)已知a≠b且a、b满足√a2+1-√b2+1<a+b,则下列不等式恒成立的是 () A.a+b>0 B.a-b>0 C.24-2b>3“-3 D.e+bx1 4.（2526高三上·海南海口开学考试)设函数f(x)=lnx-x+1. (1)求f(x)的单调区间； 2证明：当re山，+D时，1<-<x; Inx 6 函数与导数：双变量问题、利用导数证明不等式、零点问题专项训练 5.(2526高三上安徽开学考试)已知函数f=mv+anr-2r-,xe0号 (1)当k=0时，判断∫(x的单调性； ②若对任意的x0引，不等式川>0恒成立，求的取值范围： (③)求证：5imr+iar>2G(xe0,. 6.(25-26高三上辽宁开学考试)已知函数f(x)在区间(a,b)上有定义，记f'x为f(x)的导函数，f"(x)为 f'x的导函数.若f"(x)>0,则称f(x)为(a,b)上的“V”函数.已知F(x=x2+m sin x(m∈R)是R上的“V”函数 (1)求m的取值范围； (2)已知直线y=为曲线y=F(x在原点处的切线，求kx-F(x)的最大值； 3)证明：当x>0时，x2+sinx>[n(x+1]+ x+1 函数与导数：双变量问题、利用导数证明不等式、零点问题专项训练 7.(2425高三上北京·期中)已知f(x)=e-ax-1,a∈R,e是自然对数的底数. (1)当a=1时，求函数y=f(x)的单调区间、极值以及对应的极值点； (②)若关于x的方程∫(x)+1=0有两个不等实根，求a的取值范围： (3)当a>0时，若满足f)=fx2)x1<x2),求证：x+x2<2lna. 8。(2526高三上·江苏南京阶段练习)已知函数)=h(2x+m侧+号(m∈R). (1)若曲线y=∫(x在x=1处的切线的斜率为2，求切点的坐标： (2)讨论函数fx)的单调性： 同当m=20到引时，求证：r+分+1 6 函数与导数：双变量问题、利用导数证明不等式、零点问题专项训练 9.(25-26高三上·江苏扬州开学考试)已知函数f(x)=x-1-xnx,g(x)=x-1-alnx,a∈R且a≠0. (I)求函数f(x)的最大值； (2)若g(x)≥0，求a的值； (6)求证：。宁号+>2026（其中e是自然对数的底数） 10.(25-26高三上·福建开学考试)已知函数f(x)=x-3x-2-4 (1)证明：a∈(0，+o),f(a<0 回装居 上只有一个零点，求a的取值范围 (3)设x,x2是f(x的两个零点，证明：x,+x2+6n3>2a+6+6ln2. 0 函数与导数：双变量问题、利用导数证明不等式、零点问题专项训练 11.(25-26高三上重庆沙坪坝开学考试)记函数f(x)=1+x+x2+…+x2,n∈N; (I)求函数∫x)的极值点个数； (2)记函数∫n（x)的极值点为x,,证明： ①xn21 2n ②数列{x}单调递减. (提示：x1时，1+x+…+x=-1, x-1,n∈N) 10函数与导数：双变量问题、利用导数证明不等式、零点问题专项训练 函数与导数：双变量问题、利用导数证明不等式、零点问题专项训练 考点目录 双变量问题 利用导数证明不等式 零点问题 考点一 双变量问题 1．（23-24高二下·福建福州·期末）已知为不相等的正实数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得：， 构造函数，则， 可知在上递增， 结合，得 ，即 由基本不等式可知：， 当且仅当时等号成立，所以. 故选：C. 2．（24-25高三上·湖北武汉·期中）函数的两个极值点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，的定义域为，， 因为有两个极值点，所以，则①， 令，因为，所以， 将代入①整理可得， 所以， 令，则， 设，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以. 故选：D 3．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）已知实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 即，所以， 令，求导得， 所以在上单调递增， 而，即， 从而，所以， 令，， 求导得，，， 所以在单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. 故选：C. 4．（2025·陕西咸阳·模拟预测·多选）已知，则下列说法正确的是（   ） A．函数在上单调递增 B．函数有1个零点 C．对任意，，都有 D．若函数在区间上有且只有一个零点，则 【答案】BC 【详解】函数的定义域为R，则， 对于A，当时，，则在单调递减； 当或时，，则在，单调递增，故A错误； 对于B，由A可知，在处取极大值，在处取极小值， 极大值为且； 又当，，故在R上只有一个零点，故B正确； 对于C，代表该函数为凹函数， 记，则， 又，当时，恒成立，函数为凹函数，故C正确； 对于D，由上知在单调递减，在单调递增， 又，， 所以在区间上有且仅有一个根等价于函数在上的图象与直线只有一个交点， 所以或，故D错误． 故选：BC． 5．（24-25高三下·河北邢台·阶段练习·多选）已知函数，的图象与直线交于、两点，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则a的取值范围为 B．若，则无最值 C． D．在处的切线的斜率大于 【答案】BCD 【详解】对于A选项，函数的定义域为，， 令，则，令，则， 所以函数的单调减区间为，单调增区间为， 所以函数的极小值为，作出函数的图象如下图所示： 当时，则函数有两个零点，所以，，解得，A错； 对于B选项，若， 对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 且， ， 当且仅当时，等号成立， 所以，函数在上为减函数，函数无极值，B对； 对于C选项，因为函数的单调减区间为，单调增区间为，则， 要证，即证， 令，，其中，则， 所以，函数在上为增函数，当时，， 所以，，C对； 对于D选项，因为， 所以，所以， 因为，则， 因为所以函数在处的切线斜率大于，D对. 故选：BCD. 6．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知函数有两个零点，且.设为常数，当变化时，有最小值，则常数的值为 . 【答案】 【详解】由题意知，两式作比得， 令，则，令， 则，解得， 所以 ， 设，则. 要使在存在最小值， 则关于的方程在有解，设为的根， 则， 当时，等式左边，右边， 又，故不满足题意，故； 由此可解得， 所以 ， 故， 令，则， 令则， 令，解得， 则当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 且，，； 故存在，使得， 则当时，，即，则在单调递增； 当，，即，则在单调递减. 又， 由单调性可知在有唯一解， 即有唯一解， 代入，得. 故答案为：. 7．（24-25高二下·福建漳州·期末），且，不等式恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】设（），原不等式可变形为： 令函数，则上述不等式等价于（当时），即在上单调递减. 函数单调递减的充要条件是导数在上恒成立： . 因（），故等价于：. 令，求导：. 因且时，故，即在上单调递增. 因此，的最大值在端点处： . 由恒成立，且的最大值为，得到 故答案为：. 8．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）已知函数． (1)求函数在上的最值及其零点个数； (2)若对于任意的，均有，求的取值范围． 【答案】(1)最大值为，最小值为，只有1个零点； (2) 【详解】（1）易知， 则定义域上恒成立， 所以在上单调递增，则， 即最大值为，最小值为， 又，根据零点存在定理和函数的单调性，则在上只有一个零点； （2）设，则对于任意的，均有， 即在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 令，则，即在上单调递增， 又，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，故. 9．（25-26高三上·江苏扬州·阶段练习）已知. (1)若曲线在处的切线与垂直，求实数的值； (2)若函数存在两个不同的极值点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 又曲线在处的切线与垂直， 所以，解得. （2）因为，， 所以的两个极值点是方程的两正根， 所以，解得， 所以 ， 令，则， 所以在单调递减， 当时，，且， 所以的取值范围是. 10．（25-26高三上·北京·阶段练习）已知． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数存在两个不同的极值点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当时，，， ， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）， 令，得，令，则， 原方程可化为①，则是方程①的两个不同的根， 所以，解得， 由韦达定理得，则， 所以 ， 令，则， 所以函数在上单调递减， 所以， 所以. 11．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知函数 有两个极值点 且 . (1)求实数 的取值范围； (2)证明: . 【答案】(1) (2)证明见解析. 【详解】（1）由已知可得， 因为有两个极值点，所以有两个根， 所以函数与函数有两个交点， 对函数，， 当时；当时，. 所以函数在单调递增，在单调递减， 当时，取得最大值，且时，；时，， 所以函数的图象如图所示，    所以若函数与函数有两个交点，则， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）可知，，所以①，②， ①-②得， 令，则，所以，， 所以， 令，则， 令，则， 所以在单调递减，所以， 所以在单调递增，所以， 即，得 又，所以， 即，得证. 12．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知函数， . (1)讨论函数在定义域内的单调性； (2)若存在唯一一组实数 ，使得在上的值域为 . （i） 求证: ; （ii） 求实数的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）设函数，定义域为. ，方程的解即的根. 设，对于二次方程, 若，即时，二次方程至多只有一个解，此时. 故当时，在定义域上单调递增. 当时，设方程的两个根为，且. 由韦达定理可知，，可得两根同号. 若，函数图像的对称轴为，故， 即在上，没有根，即亦无根，且. 故当时，在定义域上单调递增. 当时，函数图像的对称轴为，故， 由求根公式得，，由函数图像可知， 当时，，即，即单调递增； 当时，，即，即单调递减. 综上所述： 当时，在定义域上单调递增； 当时，在区间和上单调递增，在上单调递减. （2）（i）定义域为，因此，且在定义域上单调递增， 因此.故在上的值域为. 因而，即. 联立两方程消去可得. 设函数,是方程的两个根. ，当时，，即单调递增； 当时，，即单调递减. 因此有. 设函数，，. 通分化简得，因此. 即当时，，则. 而，此区间内递减，故，即. （ii）因为，所以. 由于，所以. 函数在上单调递增，且,所以. 设函数，. 因为，所以. 当时，， 记，， 所以在上单调递增，故， 所以，即在上单调递增，， 所以在无零点，即不存在使命题成立. 当时，，设，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为，，当时，， 故存在，使得当时，，即，单调递增， 当时，单调递减. 因为，且在上单调递增所以. 又 因此在上，递增，在上，递减， 故在上存在唯一的使得且. 综上， 13．（25-26高三上·湖北·开学考试）设函数，其中为参数． (1)当时，求的单调区间． (2)求的取值范围，使得对所有实数成立． (3)设，其中为（2）中范围的右端点，记为的两个正实数解，为（2）中定义的正实数（满足）．证明：． 【答案】(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）当时， ， ， 设，则 ， 根据基本不等式（当且仅当 ，即时取等号）， 所以 ，在上单调递增，在上单调递增， ， 所以当时，，当时，0， 所以的单调递减区间为 ，单调递增区间为. （2）由于，则为偶函数，且成立， 则只需要对于，恒成立，即恒成立， 又由于，，则只需恒成立， 设， 则， 由于在单调递增， 在单调递增，所以在单调递增， ， 所以存在唯一，使得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 极小值，由于， 化简可得， 则，， 设，则时，对所有实数成立， 综上：的范围是，其中，是方程的唯一正实数解. （3）由（2）得，为的两根，且， 设，， 则， 设，， 则， ， 由在恒正且单调递增，在单调递减， 可得在单调递减， 由于则， 所以，， 所以单调递增，单调递增， 则， 所以单调递减，， 则， 而， 则， 由于，，在单调递增， 所以， 即得证. 14．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求的值域； (2)若存在唯一的极值且为极小值，求的取值范围； (3)设，若存在使得对恒成立，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，由，得， 又，，，所以， 故在单调递增． 又，， 故在上的值域为． （2）由（1）可知； 依题意得：； （ⅰ）若， ①时，，，此时， 故在无极值． ②当时，令，得． 由，，，则，从而在单调递增． 又，， 由零点存在性定理可知，存在，使得． 从而当，，当，． 在单调递减，在单调递增， 所以是在上唯一的极值且为极小值，故符合题意． （ⅱ）若，， 令，，， 则． 令， 则，故在单调递增， 所以，即，所以在单调递增． 因为，时，， 所以的值域为． 故当时，有唯一解， 且当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 此时在有唯一极大值点，不合题意，故舍去． 综上，． （3）解法一：由（2）可知，有且仅有一个极小值点， 故． 因为，所以， 由题意知，，可得， 即， 化简得，， 设，． 又 ． 因为，所以， 当时，，； 当时，，； 故在上单调递增，在上单调递减． 所以，此时，依题意，， 故的最大值是． 解法二：由得． 令， 则． 因为， 由（2）知，有且仅有一个极小值点，且． ①当时，．因为，所以． 又在上递减，在上递增．所以． 所以． ②当时，因为，所以． 又在上递减，所以． 此时． ③当时，因为，所以． 又在上递增．所以． 此时． 综上，当时，取得最大值， 依题意的最大值为． 考点二 利用导数证明不等式 1．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）下列四个不等式①②③④中正确个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】对于①，令，求导得，令，解得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 令，求导得，令，解得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，故①正确； 对于②，令，求导可得，令，， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，故②正确； 对于③，令，求导得，令，， 当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，故③错误； 对于④，令，求导可得，由，则， 所以函数在上单调递增，由，，则， 所以当时，，故④正确. 故选：C. 2．（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）若则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，可得，令，则， 所以在上单调递增，且， 所以存在，使， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上不是单调函数，无法判断与的大小，故选项A、B错误； 设，可得， 当时，，所以在上单调递减， 又因为，所以，即，所以， 所以C不正确，D正确. 故选：D. 3．（24-25高二下·湖南·阶段练习·多选）已知且、满足，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】令，则， 所以，函数在上为减函数， 对于A选项，由已知得，即， 所以，故，A正确，B错误； 对于C选项，令，因为函数、均为上的增函数， 故函数在上为增函数， 因为，则，即，故，C正确； 对于D选项，构造函数，故， 由可得，由可得， 所以，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数， 所以，，即，所以，即，D对. 故选：ACD. 4．（25-26高三上·海南海口·开学考试）设函数． (1)求的单调区间； (2)证明：当时，； 【答案】(1)单调增区间为；单调减区间为； (2)证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为， 导函数为， 由，可得；由，可得． 即有的单调增区间为；单调减区间为； （2）当时，要证明，只需证明． 由（1）可得在递减， 可得当时，，即有； 设， 当时，，可得在单调递增，即有， 即有，则原不等式成立； 即当时，． 5．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知函数． (1)当时，判断的单调性； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围； (3)求证：（）． 【答案】(1)在上单调递增 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）， 由，则，故， ，故在上恒成立， 故在上单调递增． （2）令，， 由（1）得在上单调递增，又， 所以， （i）当时，恒成立． （ii）当时，令，则， 当时，，单调递减， 又，所以，故时，，（*） 由（*）式可得， 令，则， 由（*）式可得， 令，，， 故在上单调递增，又，， 所以存在使得，即时，， 所以时，，单调递减， 又，所以， 即时，，与矛盾． 综上，满足条件的的取值范围是． （3）证明：由，则，， 要证，只需证， 即只需证， 由（2）知，故只需证， 即只需证，令，， 则， 由，当且仅当时等号成立， 又，故不能取等，即有， 则， 令，，则， 故在上单调递增，则， 即，故在上单调递增，则， 即有，即得证． 6．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知函数在区间上有定义，记为的导函数，为的导函数.若，则称为上的“”函数.已知是上的“”函数. (1)求的取值范围； (2)已知直线为曲线在原点处的切线，求的最大值； (3)证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由已知， 则，， 又，则， 由已知是上的“”函数， 则， 即， 解得； （2）由已知，， 则， 又直线为曲线在原点处的切线， 则， 设，即， 所以，， 由（1）得， 则恒成立， 所以在上单调递减，且， 即当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 即的最大值为； （3）设，， 则， ， ，恒成立，恒成立， 设，， 则恒成立， 所以在上单调递增， 即， 所以， 即在上单调递增， 所以， 即函数在上单调递增， 所以， 即成立. 7．（24-25高三上·北京·期中）已知，，e是自然对数的底数． (1)当时，求函数的单调区间、极值以及对应的极值点； (2)若关于x的方程有两个不等实根，求a的取值范围； (3)当时，若满足，求证：． 【答案】(1)单调区间见解析；当时，取得极小值0，无极大值 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，函数的定义域为，求导得， 由可得，当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以当时，取得极小值. 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，取得极小值0，无极大值. （2）由方程有两个不等实根可知，， 依题意，方程有两个不等实根等价于函数与有两个交点. 由，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得极大值， 且当；当，，故可作出函数的图象如下.    由图知，当且仅当时，函数与有两个交点.，故a的取值范围为. （3）因，由，当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 因，且，则可得，， 要证，需证， 因，且函数在上单调递减， 则只需证，又， 即需证，即证. 设， 则， 于是， 因，当且仅当 ，即当时，等号成立， 故，即函数在上单调递增，因， 则， 则，即得， 又函数在上单调递减，则，故得证. 8．（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）已知函数. (1)若曲线在处的切线的斜率为2，求切点的坐标； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求证：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由于， 所以，所以. 所以，所以切点的坐标为. （2）函数的定义域为. （i）当，即时，. （ii）当，即，或时， 方程的两根为. ①当时，由于， 所以， 令，解得，或； 令，解得； ②当时，由于， 所以， 令，解得. 综上，当时，在上单调递增， 当时，在 和上单调递增， 在上单调递减. （3）要证，只需要证明，其中， 设， 设 因为函数在上均为减函数， 则在区间内单调递减， 因为， 所以，，使得， 当时，；当时，. 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减 又因为，使得， 当时，；当时，. 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减. 因为， 故内恒成立，原不等式得证. 9．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数且. (1)求函数的最大值； (2)若，求的值； (3)求证：（其中是自然对数的底数）. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得最大值. （2）函数的定义域为，求导得， ①当时，恒成立，在单调增，而，不符合题意； ②当时，由，得；由得，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 由恒成立，得，由（1）知，则，解得， 所以. （3）由（1）知，即，则，即， 因此，即，则（当且仅当时取等号）， 取，得，则， 所以. 10．（25-26高三上·福建·开学考试）已知函数. (1)证明：. (2)若在上只有一个零点，求的取值范围. (3)设是的两个零点，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）证明：. 设，则， 当时，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以， 故，. （2）解：由，得， 设，则， 当或时，单调递增，当时，单调递减， 所以在处取得极大值，且极大值为，在处取得极小值，且极小值为， ，当时，， 故的取值范围是. （3）证明：因为是的两个零点，所以， 则， 则， 因为，所以， 所以. 设，，则， 当时，，当时，， 所以， 所以， 即. 11．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）记函数 ； (1)求函数 的极值点个数； (2)记函数 的极值点为 ，证明： ① ； ②数列 单调递减． (提示： 时， ) 【答案】(1)存在唯一极小值点，无极大值点； (2)①证明见解析；②证明见解析. 【详解】（1）由提示知，，显然不是其极值点， 故，， 令,， ， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，且代入，此时， 故存在，有， 且时，，且时，(不恒为零）， 从而在上单调递减，上单调递增， 故存在唯一极小值点，无极大值点. （2）①由（1）可知，为唯一的极值点，且为极小值点， 由单调性和正负性可知，等价于， 又，只需证， 即证，令， 只用证，， 令， 易知在单调递减，且， 则存在，有，且时，，时，， 故在单调递增，在单调递减，又， 且由洛必达法则，， 故时，，即，，证毕； ②由（1）可知，，故单调递减只需证， 即证：， 由，则有， 代入有： ， 因为，则，若， 只需：， 关注到因式分解，有：， 只需， 由前可知，，证毕． 考点三 零点问题 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若在上存在唯一的零点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，因为，所以，令，所以， 因为存在唯一的满足：， 所以，当时，；当时，， 所以在、上分别单调递增、单调递减，为极大值点， 因为，所以当且仅当时， 直线与的图象有唯一的交点，即在上存在唯一的零点， 所以或，所以或. 结合选项，只有D符合题意， 故选：D. 2．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为有两个不同的零点，所以方程有两个不同的根， 因为不是方程的根， 所以方程有两个不同的根， 所以直线与曲线有两个交点． 令，则， 令可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，；当时，， 当时，，当且时，， 当且时，；时，；又， 画出函数的大致图象如下： 所以当时，直线与曲线有两个交点， 即实数的取值范围是． 故选：C 3．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知函数，则函数所有零点之和为（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【详解】由题意知，， 所以在和上单调递增， 又因为，当时，，所以在上必存在唯一的零点， 因为， 所以为奇函数，则在上必存在唯一的零点， 根据奇函数图象的对称性，可知的所有零点之和为. 故选：B 4．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段练习）若关于x的方程恰有三个不同的实根（），则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若是其中一个根，则有，但此时方程不足三个根， 所以，则方程，可得或， 令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，且， 令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，且， 画出函数和的图象，如图所示， 要使得方程恰有三个不同的实根， 则满足，且 ①， 由于，即，且， 因为在上单调递减，所以 ②， 由于，即，且，， 因为在上单调递增，所以 ③， 由①得：，整理并代入②③式，可得，所以D正确. 又因为，且，所以等号不成立， 综上所述，选项D正确. 故选：D.    5．（2025·辽宁大连·一模·多选）记的导函数，下列说法正确的是（   ） A．在上一定有3个极值点 B．在上一定有4个零点 C．过上一点作切线，若存在三个点的切线斜率相同，则k的取值范围为 D．记，则一定是偶函数 【答案】ACD 【详解】由题意，，设，. 对于A，由 ， 令，得或， 令，得或 所以函数在和上单调递减， 在和上单调递增， 则在上有3个极值点，故A正确； 对于B，当时，， 由A知，函数在和上单调递减， 在和上单调递增， 又，，，， 结合单调性及零点存在性定理，可知在上有2个零点，故B错误； 对于C，由题意，有三个不同实根， 设，，则， 令，得或，令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则，解得， 即k的取值范围为，故C正确； 对于D，由， 可设，， 则， 则为偶函数，故D正确. 故选：ACD. 6．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习·多选）已知函数有两个零点，则下列说法正确的是（   ） A．不存在负数满足条件 B．的值可以取 C．的值可以取 D．的值关于单调递减 【答案】ABD 【详解】函数的定义域为， 因为，所以， 对于A，当时，恒成立， 所以函数为减函数，至多只有一个零点，与条件矛盾， 所以，故A正确， 当时，，令，可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，取最小值， 最小值为， 对于B，当，， 因为，所以，故， 因为函数在上单调递增， 所以，故，则， 当时，，当时，， 所以函数在和上各有一个零点，故B正确， 对于C，当时，， 所以函数在上无零点，故C错误， 对于D，令，可得，所以， 由已知是方程的两个根， 所以可视为函数与函数的图象的交点的横坐标， 当增加时，直线斜率变小，同时向下平移，故收缩变小，D正确， 故选：ABD. 7．（2025·广东·模拟预测）已知函数.若恰有4个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意有：恰有4个零点，令，即，所以与的函数图像有4个交点， 当时，设与相切于点， 即，解得， 即与相切， 当时，，所以， 令，解得，由， 所以在单调递增，在单调递减， 所以的极小值为， 设与相切与点， 所以， 所以切线方程为：，又过点， 所以，解得，即， 所以与相切， 作出的函数图像： 由图可知：当时，与有3个交点， 当时，与有两个交点， 所以与的函数图像有4个交点，即， 故答案为：. 8．（25-26高三上·江苏常州·开学考试）已知函数，用表示中的较小值，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】，， 若，恒成立，函数至多有一个零点， 不可能有三个不同的零点， 故，令，则，（舍）， 即在单调递减，在上单调递增，且，时，， 因为，所以要使（）恰有三个零点， 则需在上有两个零点， 则须满足，，， 即，解得. 故答案为：. 9．（25-26高三上·北京·开学考试）已知函数，． (1)求在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)求的零点个数． 【答案】(1) (2)见详细解析 (3)2 【详解】（1）将代入可得，又， ，所以切线方程为，即． （2）当时，，即证明当时，， 令，，则， 因为，有，所以当时，在上单调递减， 所以当时，，也即． （3），令，再求导得， 因为，有，且，故，即在上单调递减， 又因为时，，，且单调递减， 可知在上有且仅有一个零点，其中， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 又因为，则，且时，，时，， 所以有2个零点， 综上，的零点个数为2． 10．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知函数的图象在点处的切线经过点． (1)求实数的值； (2)证明：； (3)证明：有且仅有一个零点． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又因为， 所以函数的图象在点处的切线为，即， 又切线过点，所以； （2）令，则， 当时单调递增；当时单调递减； 所以， 所以，即； （3）因为，所以， 当时，，所以，所以在上单调递减； 因为， 所以时存在唯一使得； 当时，由（2）知：，当且仅当时等号成立， 又因为， 所以， 所以，所以时没有零点； 又因为， 所以当时，有一个零点；当时，没有零点； 所以当时，有且仅有一个零点； 11．（24-25高三上·北京·期中）已知函数 (1)当时 ①求曲线在点处的切线方程； ②求的单调区间与极值． (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)①；②递增区间为，递减区间为，极大值为，无极小值； (2). 【详解】（1）①当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. ②函数的定义域为，， 由，得；由，得， 所以函数的递增区间为，递减区间为， 函数在处取得极大值，无极小值. （2）函数，由，得，令， 由函数有2个零点，得直线与函数的图象有2个交点， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，且， 而当时，恒有，，在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象得，当且仅当时，直线与函数的图象有2个交点， 因此函数有两个零点时，， 所以实数的取值范围为. 12．（25-26高三上·河北·开学考试）已知函数，其中． (1)求的单调区间； (2)若函数有两个不相等的零点． ①求实数a 的取值范围； ②证明： 【答案】(1)答案见解析； (2)①；②证明见解析. 【详解】（1）函数的定义域为，， 求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的递减区间为，递增区间为； 当时，函数的递减区间为，递增区间为； 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递减区间为，递增区间为. （2）①由（1）知，当时，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意； 当时，函数在处取得极大值，最多一个零点，不符合题意； 当时，函数在处取得极大值，最多一个零点，不符合题意； 当时，， 由函数有两个不相等的零点，得，则， 当从大于0的方向趋近于0时，趋近于正无穷大，函数在上有唯一零点； 而，函数在有唯一零点， 因此当时，函数有两个不相等的零点， 所以实数a 的取值范围是. ②由①知，当时，函数有两个不相等的零点，不妨令， 令函数，求导得 ，函数在上单调递减， 则，即当时，，于是， 因此，又，函数在上单调递增， 则，所以. 13．（2025·福建漳州·模拟预测）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若存在两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）依题意得，要证，只需证， 令，所以. 设， 当时，，所以在区间上单调递增， 所以当时,，即，所以在区间上单调递增， 故当时,. 故当时，，即. （2），. 若，则，所以在上单调递增，所以至多有1个零点，舍去； 若，令，解得， 所以当时，；当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 因为 ，所以当时，;当时，; 由存在两个零点，得，即，所以,所以. 综上所述，的取值范围是. 设，， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，从而，即， 此时，由(1)知，，且， 所以在区间和区间内分别存在唯一零点，符合题意. 综上所述，若在定义域内存在两个零点，则的取值范围是. 解法二： 因为，所以不是的零点. 所以存在两个零点等价于关于的方程有两个不同的解， 即函数的图象与常数函数的图象有两个不同的交点. 因为， 当或时，；当时，. 所以在区间和上单调递减，在区间上单调递增. 当时，；当时，. 当时，因为在区间上单调递减， 此时与至多一个交点，舍去； 当时，要使得与有两个交点，需满足， 在的条件下， 因为及，且在区间上单调递减， 所以与在区间上恰1个交点； 由(1)知，， 又因为，且在区间上单调递增， 所以与在区间上恰1个交点. 综上所述，若在定义域内存在两个零点，则的取值范围是. 14．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若的极小值小于，求m的取值范围； (3)当时，证明：有2个零点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，则， 所以，， 则曲线在点处的切线方程为， 整理得：． （2）函数的定义域为，且， ① 当时，易得，在上单调递减，则无极小值，不合题意； ② 当时，由，得，即在上单调递增； 由，得时，即在上单调递减， 所以的极小值为：， 因为的极小值小于，所以，即． 令，则， 所以当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以由可得. （3）． 令，得， 令，则与有相同的零点， 且． 令，则， 因为，则，所以在区间上单调递增， 又，，所以，使得， 所以当时，，即；当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为． 由，得， 即， 令，，则，则在单调递增． 因为，所以，则， 所以，从而，， 所以的最小值． 当趋近于0时，趋近于0或时，趋近于， 又因，所以， 所以有2个零点，故有2个零点． 15．（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若函数在区间上有零点，求的取值范围. 【答案】(1)的极大值为0，无极小值． (2) 【详解】（1）当时，， 则， 由得，即，得， 由得，即，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 得在处取得极大值，，无极小值． 故的极大值为0，无极小值． （2）， 当时，因为，所以， 在区间上单调递增，且， 因为在区间上有零点， 所以， 解得 ， 所以； 当时， 由，得， 当时，即，得函数在上单调递减， 而， 则在区间上没有零点， 当时，即， 由得，即，得， 由得，即，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 而， 因为在区间上有零点， ， 得 令， 因为函数，在上是增函数， 所以函数在上是增函数， 又，所以， 综上所述，的取值范围是. 16．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)若，求函数的零点个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)两个零点 【详解】（1）由已知，则，， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由已知，且. 令，解得. 当时，在上单调递减，在上单调递增. 当时，，此时在上单调递增. 当时，，此时在上单调递增. （3）要求函数的零点个数，即求函数与直线的交点个数. 由（2）知，当时，在上单调递减，在上单调递增. 若，则在上单调递减，在上单调递增. 所以，又，所以， 又当和时，， 所以函数与直线有两个交点，故函数有两个零点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $