第1-2 章阶段性学习巩固月考模拟卷- 2025-2026学年浙教版九年级数学上册基础知识专项突破讲练

第1-2章阶段性学习巩固（月考模拟卷） （年级：九年级上册 范围：第一、二章 考试时间：90分钟，满分120分） 试卷信息：本卷试题共24题，选择题10题，填空题8题，解答题6题，本试卷着重考查学生基础知识、基本技能，有较强的针对性！ 第 Ⅰ 卷（选择题，共30分） 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段练习）抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．（2025·江苏徐州·中考真题）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（    ） A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球 C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球 3．（25-26九年级上·北京·开学考试）抛物线与x轴交点的横坐标是（   ） A．2， B．，3 C．2，3 D．， 4．（25-26九年级上·全国·期中）从标有号码1到100的100张卡片中，随意地抽出一张，其号码是3的倍数的概率是（    ） A． B． C． D．不确定 5．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图是函数的部分图象，已知其对称轴为直线，则当（　　）时，函数值大于0． A．或 B． C． D． 6．（2020·辽宁抚顺·模拟预测）下列事件中是不可能事件的是（    ） A．三角形内角和等于 B．两实数之和为正 C．抛物线的开口方向向上 D．抛一枚硬币2次都正面朝上 7．（2023·山东东营·三模）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 8．（2024九年级下·山西·专题练习）山西省太原市金源区稻花城蔬菜大棚自实施以来，既提高了蔬菜的产能，又增加了村民的经济收入．如图，这是某蔬菜大棚的截面图（近似看成二次函数的图象——抛物线），其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·福建漳州·模拟预测）已知直线与抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，若抛物线的对称轴是y轴，则等于（） A．1﹕2 B．1﹕3 C．1﹕4 D．3﹕4 10．（25-26九年级上·北京·开学考试）抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是关于x的方程的一个根．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分） 2、 填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·全国·单元测试）抛物线的顶点坐标为 ． 12．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）连续抛掷一枚质地均匀的一元硬币9次，出现了8次正面朝上，则第10次抛掷该硬币出现正面朝上的概率是 ． 13．（2023年浙江省宁波市中考数学全景复习指导（六））从中任取一个数作为，则抛物线的开口向上的概率是 ． 14．（20-21九年级上·浙江杭州·期末）函数为常数，且在自变量的值满足时，其对应的函数值的最大值为，则的值为 ． 15．（22-23九年级上·全国·期末）如果函数的图像与x轴有公共点，那么m的取值范围是 ． 16．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）在一个不透明的盒子中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则这个盒子中大约有 个白球． 17．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知a和b由抛骰子得到（等概率抛到1，2，3，4，5，6），则方程有实数解的概率为 ． 18．（2025·上海·模拟预测） 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为 ． 三、解答题（本大题共6个小题,共58分） 19.（本小题满分8分）（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知二次函数． （1）求此二次函数的图象与x轴的交点坐标． （2）将的图象经过怎样的平移，就可以得到二次函数的图象． 20.（本小题满分8分）（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）一个不透明的口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外完全相同，充分摇匀后随机摸出一球，发现是白球． （1）如果将这个白球放回，摇匀后再摸出一球是白球的概率是多少？ （2）如果将这个白球不放回，再加入个红球，将口袋摇匀后，摸出一球是白球的概率是多少？ 21.（本小题满分10分）（22-23九年级上·全国·期末）如图，直线分别交x轴，y轴于点A，B，抛物线的顶点为C，连接， （1）求出A，B，C三点的坐标； （2）求出的面积． 22.（本小题满分10分）（2024·山西·模拟预测）为培养学生的兴趣爱好，扩大求知领域，陶冶情操，展示学生才华，某中学结合学生兴趣与身心的发展特点，立足学校实际，开设了篮球、排球、足球、游泳等社团活动，要求每个学生只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有_____人；请将条形统计图补充完整； （2）若该校共有2100名学生加入了社团，请估计这2100名学生中参加篮球社团的人数； （3）通过初选有4名优秀同学（两男两女）顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐2名同学参加市级新一轮比赛，请用画树状图或列表法求参加市级比赛的两人恰为一男一女的概率． 23.（本小题满分10分）（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）近年来，农产品直播带货发展迅猛，拓展了农产品的销售渠道．某经销商国庆期间在某电商平台上进行猕猴桃的直播销售．已知猕猴桃的成本价为6元/千克，规定每千克售价不得低于成本价且不高于18元/千克．经销售发现，每日的销售量（千克）与销售单价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示． 售价（元/千克） 8 10 12 销售量千克 1000 800 600 （1）求与之间的函数表达式． （2）设每天的总利润为（元），求与之间的函数表达式（利润收入成本）． （3）试说明（2）中总利润随售价的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？ 24.（本小题满分12分）（2024·山东临沂·二模）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，连接，点D在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）小明探究点D位置时发现：如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值； （3）小明进一步探究点D位置时发现：如图2，点D在抛物线上移动，连接CD，存在，请帮助小明求出时点D的坐标． 2 / 30 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4．（25-26九年级上·全国·期中）从标有号码1到100的100张卡片中，随意地抽出一张，其号码是3的倍数的概率是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查概率，求出总得可能结果数和满足条件的结果数，然后利用概率计算方法计算即可． 解：一共有100种可能，号码是3的倍数的有3，6，9，…，99，共33种， ∴号码是3的倍数的概率是． 故选：A． 5．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图是函数的部分图象，已知其对称轴为直线，则当（　　）时，函数值大于0． A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，二次函数的对称性，先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的取值范围即可． 解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵函数开口向上， ∴当或时，． 故选：A． 6．（2020·辽宁抚顺·模拟预测）下列事件中是不可能事件的是（    ） A．三角形内角和等于 B．两实数之和为正 C．抛物线的开口方向向上 D．抛一枚硬币2次都正面朝上 【答案】A 【分析】本题考查事件的分类，同时考查了二次函数的图象和性质，实数的运算，三角形的内角和定理，根据相关知识点，结合不可能事件是一定条件下，一定不会发生的事件，进行判断即可． 解：A、三角形内角和等于，是不可能事件，符合题意； B、两实数之和为正，是随机事件，不符合题意； C、抛物线的开口方向向上，是必然事件，不符合题意； D、抛一枚硬币2次都正面朝上，是随机事件，不符合题意； 故选A． 7．（2023·山东东营·三模）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据反比例函数图象确定的正负，再结合二次函数图象的开口方向、对称轴位置等确定、的正负，最后依据一次函数的性质判断其图象是否符合．本题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象与性质，熟练掌握三种函数的图象与系数的关系是解题的关键． 解：∵反比例函数的图象在一、三象限， ∴． ∵二次函数的图象开口向下， ∴． ∵二次函数对称轴， ∴，矛盾，不符合题意．故A项错误． ∵二次函数的图象开口向下， ∴． ∵二次函数对称轴， ， ∴，矛盾，不符合题意．故B项错误． ∵二次函数的图象开口向上， ∴． ∵二次函数对称轴，， ∴，符合， ∵二次函数图象与轴交点在负半轴， ∴． 对于一次函数，，， ∴一次函数图象经过二、三、四象限，不符合，故C项错误． ∵二次函数的图象开口向上， ∴． ∵二次函数对称轴，， ∴，符合． ∵二次函数图象与轴交点在负半轴， ∴． 对于一次函数，，， ∴一次函数图象经过二、三、四象限，符合，故D项正确． 故选：D． 8．（2024九年级下·山西·专题练习）山西省太原市金源区稻花城蔬菜大棚自实施以来，既提高了蔬菜的产能，又增加了村民的经济收入．如图，这是某蔬菜大棚的截面图（近似看成二次函数的图象——抛物线），其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题关键．设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出时，的值，由此即可得． 解：由题意，设抛物线的解析式为，点的坐标为， 将代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为， 将代入得：，即， 则， 故选：D． 9．（2025·福建漳州·模拟预测）已知直线与抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，若抛物线的对称轴是y轴，则等于（） A．1﹕2 B．1﹕3 C．1﹕4 D．3﹕4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合． 由抛物线的对称轴为y轴，可求得，联立直线与抛物线方程，解得交点、，直线与x轴交点．利用三角形面积公式分别计算和的面积，再求比值即可． 解：抛物线对称轴为y轴，即顶点横坐标，解得． 代入得抛物线方程得． 联立方程和，得， 解得或． ∴和． 令，代入得， 即． ∵、、． ∴； ∵、、． ∴； ． 故选B． 10．（25-26九年级上·北京·开学考试）抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是关于x的方程的一个根．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得，，即可判断①；由题意可得抛物线的对称轴为直线，从而由对称性可得抛物线经过点，即可判断②；求出，，再结合抛物线的顶点为，即可判断③；由抛物线的对称性可得点关于对称轴对称的点为，即可判断④；熟练掌握以上并灵活运用是解此题的关键． 解：∵抛物线图象开口向下， ∴， ∵抛物线图象交轴于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过点， ∴由对称性可得抛物线经过点， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线的顶点为， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵抛物线经过点， ∴点关于对称轴对称的点为， ∴一定是关于x的方程的一个根，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共个， 故选：C． 第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分） 2、 填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·全国·单元测试）抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质以及顶点式，根据，顶点坐标是，可得答案． 解：的顶点坐标为（，）， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）连续抛掷一枚质地均匀的一元硬币9次，出现了8次正面朝上，则第10次抛掷该硬币出现正面朝上的概率是 ． 【答案】/ 【分析】根据概率的意义可知，每一次正面朝上的概率都为，据此即可求解． 解：每一次正面朝上的概率都为， 第10次抛掷该硬币出现正面朝上的概率是． 故答案为： 13．（2023年浙江省宁波市中考数学全景复习指导（六））从中任取一个数作为，则抛物线的开口向上的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求概率，二次函数的图象和性质，对于二次函数，其开口方向由二次项系数判定． 根据时开口向上求出开口向上的数量，进而求概率即可． 解：∵时，抛物线的开口向上 ∴时，抛物线的开口向上 ∴使抛物线的开口向上 即抛物线的开口向上的概率是 故答案为： 14．（20-21九年级上·浙江杭州·期末）函数为常数，且在自变量的值满足时，其对应的函数值的最大值为，则的值为 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 先转化二次函数解析式为，利用二次函数的增减性即可求得a的值． 解：∵二次函数，且， ∴该函数的对称轴是直线， 该函数图象大致如下： ∴该二次函数在时，y随x的增大而减小， 又∵二次函数在自变量的值满足时，其对应的函数值的最大值为， ∴可知当时，函数值的最大值为， ∴，解得， 则的值为． 故答案为： ． 15．（22-23九年级上·全国·期末）如果函数的图像与x轴有公共点，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握时抛物线与x轴有公共点，是解题的关键． 由函数的图像与x轴有公共点，可知，解不等式即可得出答案． 解：函数的图像与x轴有公共点， ， 解得：； 故答案为：． 16．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）在一个不透明的盒子中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则这个盒子中大约有 个白球． 【答案】12 【分析】此题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，首先根据红球的个数和摸到红球的频率求出球的总个数，然后减去红球的个数即可得到白球的个数． 解：∵有3个红球，摸到红球的频率稳定在0.2左右， ∴这个盒子中大约有个球， ∴（个）， ∴这个盒子中大约有12个白球． 故答案为：12． 17．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知a和b由抛骰子得到（等概率抛到1，2，3，4，5，6），则方程有实数解的概率为 ． 【答案】 【分析】先确定数对的所有可能情况，再分和两种情况，根据方程类型及根的判别式判断方程有实数解的情况数，最后计算概率．本题主要考查了一元二次方程根的判别式及简单事件概率的计算，熟练掌握根的判别式的应用和概率的计算方法是解题的关键． 解：数对共有种可能， 当时，方程为，是一元一次方程， ∴当时，方程有实数解，即共种情况方程有解； 当时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数解， ∴， ∴， 当时，得，解得或， ∴，共种情况方程有解； 当时，，解得或， ∴，共种情况方程有解； 当时，，解得或， ∴，共种情况方程有解； 当时，，解得或， ∴，共种情况方程有解． 当时，，解得或， ∴无满足条件的． 综上，方程有实数解的情况数为种． ∴方程有实数解的概率为． 故答案为：． 18．（2025·上海·模拟预测） 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求出二次函数解析式，再把代入解析式求出即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 解：根据题意得：二次函数经过，， ∴， 解得 ， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴第三年的增长率为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6个小题,共58分） 19.（本小题满分8分）（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知二次函数． （1）求此二次函数的图象与x轴的交点坐标． （2）将的图象经过怎样的平移，就可以得到二次函数的图象． 【答案】（1）、；（2）先向右平移1个单位，再向下平移4个单位． 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，以及二次函数图象与几何变换，要求二次函数与轴的交点，即，得到关于的方程来求解；要求二次函数与轴的交点，即，求出的值即可，并且熟练掌握二次函数图象的平移规律是解本题第二问的关键． （1）令二次函数解析式中，得到关于的一元二次方程，求出方程的解可得出二次函数与轴的交点坐标； （2）将二次函数化为顶点形式，然后比较与，根据图象的平移规律“上加下减、左加右减”，可得出平移的过程． 解：（1）解：二次函数的解析式， 令，得到， 解得：； 则此二次函数的图象与轴的交点坐标分别为、； （2）解：将二次函数化为顶点式为， ∴将的图象先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，可得到二次函数的图象． 20.（本小题满分8分）（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）一个不透明的口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外完全相同，充分摇匀后随机摸出一球，发现是白球． （1）如果将这个白球放回，摇匀后再摸出一球是白球的概率是多少？ （2）如果将这个白球不放回，再加入个红球，将口袋摇匀后，摸出一球是白球的概率是多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查条件概率的理解与应用，重点在于分析不同操作（放回、不放回并加入球）后总球数和目标球数的变化． （）放回白球后，总球数和白球数均恢复初始状态，概率直接由初始比例确定； （）不放回且加入红球后，总球数和剩余白球数发生变化，需重新计算概率． 解：（1）解：放回白球：第一次摸出白球后放回，口袋中仍为个白球和个红球，总球数为， 概率计算：第二次摸球时，白球数量未变，因此概率为：； （2）不放回白球：第一次摸出白球后，剩余白球数为，红球数仍为， 加入个红球：总红球数变为， 总球数变为， 剩余白球数为，总球数为，因此概率为：． 21.（本小题满分10分）（22-23九年级上·全国·期末）如图，直线分别交x轴，y轴于点A，B，抛物线的顶点为C，连接， （1）求出A，B，C三点的坐标； （2）求出的面积． 【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为；（2） 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积． （1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，把抛物线解析式化成顶点式，即可求得C的坐标； （2）作轴于E，则，，根据即可求得． 解：（1）解：∵直线分别交x轴，y轴于点A，B， 当时，当时 ∴点A的坐标为，点B的坐标． ∵， ∴抛物线顶点C的坐标为 （2）解：作轴于E， 则，， 则． 22.（本小题满分10分）（2024·山西·模拟预测）为培养学生的兴趣爱好，扩大求知领域，陶冶情操，展示学生才华，某中学结合学生兴趣与身心的发展特点，立足学校实际，开设了篮球、排球、足球、游泳等社团活动，要求每个学生只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有_____人；请将条形统计图补充完整； （2）若该校共有2100名学生加入了社团，请估计这2100名学生中参加篮球社团的人数； （3）通过初选有4名优秀同学（两男两女）顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐2名同学参加市级新一轮比赛，请用画树状图或列表法求参加市级比赛的两人恰为一男一女的概率． 【答案】（1）450，图见分析；（2）估计这2100名学生中参加篮球社团的人数为560人；（3） 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，利用树状图或列表法求概率，根据题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键． （1）先根据参加游泳社团的人数为150人，占总调查人数的，求出抽样调查的总人数，再求出参加“足球”社团的学生的人数，即可求解； （2）用总人数乘以参加“篮球”社团的人数所占的百分比，即可求解； （3）根据题意，画出树状图，再根据概率公式计算，即可求解． 解：（1）解：这次被调查的学生共有（人）． 故答案为450． 参加足球社团的人数为（人）． 补全条形统计图如图所示： （2）解：（人）． 答：估计这2100名学生中参加篮球社团的人数为560人． （3）解：将两名男生分别记为，，将两名女生分别记为，， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中参加市级比赛的两人恰为一男一女的结果有： ，，，，，，，，共8种， 参加市级比赛的两人恰为一男一女的概率为． 23.（本小题满分10分）（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）近年来，农产品直播带货发展迅猛，拓展了农产品的销售渠道．某经销商国庆期间在某电商平台上进行猕猴桃的直播销售．已知猕猴桃的成本价为6元/千克，规定每千克售价不得低于成本价且不高于18元/千克．经销售发现，每日的销售量（千克）与销售单价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示． 售价（元/千克） 8 10 12 销售量千克 1000 800 600 （1）求与之间的函数表达式． （2）设每天的总利润为（元），求与之间的函数表达式（利润收入成本）． （3）试说明（2）中总利润随售价的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）当销售单价定为12元时，总利润最大，最大利润为3600元 【分析】本题考查了一次函数、二次函数在实际问题中的应用． （1）设与之间的函数表达式为，代入和，利用待定系数法求解即可； （2）根据“利润收入成本”可得，即可求解； （3）将写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案． 理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法、二次函数的性质是解题的关键． 解：（1）解：由题意设与之间的函数表达式为， 把和代入得：，解得：， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：由题意得： 即：； （3）∵ 即： ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3600， ∴当销售单价定为12元时，总利润最大，最大利润为3600元． 24.（本小题满分12分）（2024·山东临沂·二模）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，连接，点D在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）小明探究点D位置时发现：如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值； （3）小明进一步探究点D位置时发现：如图2，点D在抛物线上移动，连接CD，存在，请帮助小明求出时点D的坐标． 【答案】（1）；（2）面积的最大值是4；（3）点D的坐标为或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）先直线的解析式，设点，，根据三角形的面积公式列出函数解析式求解即可； （3）分两种情况求解：当点D在x轴上方时和当点D在x轴下方时． 解：（1）解：∵抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点， ∴ 解得 ∴求抛物线的解析式为； （2）如答图1，过点D做轴，交线段于点E，垂足为点F， 当时，，则， ∵直线经过点，， 设 ∴， 解得： ∴直线的解析式为：， 设点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴当，面积最大，面积的最大值是4． （3）如答图2，当点D在直线的上方的抛物线上时， ∵， ∴ ， ∴点C，D的纵坐标相等，即点D的纵坐标为2， 当时，则， 解得，（舍去）， ∴ ， 如答图3，当点D在直线的下方的抛物线上时， 设交x轴于点G， ∵， ∴． 设， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得： ， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， 综上所述，点D的坐标为或． 【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，平行线的判定，勾股定理，等腰三角形的判定，二次函数与几何综合，数形结合是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $