第1-2 章阶段性学习巩固月考模拟卷- 2025-2026学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲练

第1-2章 阶段性学习巩固（月考模拟卷） （年级：九年级上册 范围：第一、二章 考试时间：90分钟，满分120分） 试卷信息：本卷试题共24题，选择题10题，填空题8题，解答题6题，本试卷着重考查学生基础知识、基本技能，有较强的针对性！ 第 Ⅰ 卷（选择题，共30分） 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25九年级上·四川成都·期末）关于x的一元二次方程不含x的一次项，则（　　） A．3 B．1 C．0 D．4 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（  ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·吉林·开学考试）如图，在直角三角形中，，，，为直角三角形的中线，则的长为（    ）    A．5 B．6 C．6.5 D．1 4．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）设方程的两个根为，那么的值等于（    ） A． B． C．4 D．6 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程时所得到的解正确的是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为E，若，则的大小为（   ） A．33度 B．34度 C．57度 D．67度 7．（25-26九年级上·山东青岛·开学考试）如果三角形的两边长分别为3和5，第三边是方程的解，那么这个三角形的面积是（   ） A．10 B．12 C．10或12 D．6 8．（23-24八年级下·安徽淮南·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．四边相等的四边形是正方形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 9．（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在线段上，，点在线段上，．连接，点为的中点，连接，则的长为（   ） A． B．13 C． D． 10．（2025·河南新乡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点A与原点O重合，位于x轴正半轴上，，点B的坐标为，点D为的中点，进行以下操作：①将沿x轴正方向平移，当点A与点D重合时，得到，点B，C的对应点分别为P，Q；②将绕点D在平面内旋转．当点Q落在的延长线上时，点Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分） 2、 填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·河南南阳·期中）方程的解是 ． 12．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在菱形中，对角线与交于点，且，，垂直于，则 ． 13．（24-25八年级下·四川遂宁·阶段练习）若，则方程的根是 ． 14．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标是，则的长为 ． 15．（25-26九年级上·四川绵阳·开学考试）已知矩形的一条边长为，对角线，相交于点．若，的长是关于的方程的两个根，则矩形的面积为 ． 16．（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数与一次函数（是常数）的图象交于两个不同的点，若点的横坐标是，则点的横坐标是 ． 17．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，某学校综合实践基地内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供学生赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．则观花道的直角边（如图所示）为 ． 18．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在平行四边形中，，是的垂直平分线，且的长是一元二次方程的一个根，则平行四边形的周长为 ． 三、解答题（本大题共6个小题,共58分） 19.（本小题满分8分）（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）解方程． （1）（因式分解法） （2）（公式法） 20.（本小题满分8分）（23-24八年级上·湖南株洲·阶段练习）如图，菱形，E是的中点，且，． （1）求的度数；（2）求对角线的长． 21.（本小题满分10分）（24-25九年级上·北京西城·期末）已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根： （2）若方程的一个根比另一个根大3，求的值． 22.（本小题满分10分）（2024八年级下·北京·专题练习）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连结，．   （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 23.（本小题满分10分）（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）新学期开始时．某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，准备到一家植物种植基地购买两种花苗，据了解，购买种花苗3盆，种花苗5盆，需210元；购买种花苗4盆，种花苗10盆，需380元． （1）求两种花苗的单价分别是多少元？ （2）经九年级一班班委会商定，决定购买两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买多少盆种花苗，种花苗每盆就降价多少元．若九年级一班的同学本次购买花苗共花费了256元，请计算出本次购买了两种花苗各多少盆． 24.（本小题满分12分）（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在菱形中，，，点为边上一个动点，延长到点，使，且，相交于点． （1）求菱形的面积； （2）若点运动到中点时，求证：四边形是平行四边形； （3）若时，探究的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1-2章阶段性学习巩固（月考模拟卷） （年级：九年级上册 范围：第一、二章 考试时间：90分钟，满分120分） 试卷信息：本卷试题共24题，选择题10题，填空题8题，解答题6题，本试卷着重考查学生基础知识、基本技能，有较强的针对性！ 第 Ⅰ 卷（选择题，共30分） 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25九年级上·四川成都·期末）关于x的一元二次方程不含x的一次项，则（　　） A．3 B．1 C．0 D．4 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，理解一元二次方程的基本定义是解题关键．根据一次项的定义先确定一次项，然后确定系数即可． 解：∵一元二次方程，即不含x的一次项， ∴， ∴， 故选A． 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 解：， ， ， ． 故选：B． 3．（25-26九年级上·吉林·开学考试）如图，在直角三角形中，，，，为直角三角形的中线，则的长为（    ）    A．5 B．6 C．6.5 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的斜边中线的性质，掌握直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，是解题关键．由勾股定理可得，再根据直角三角形斜边中线的性质求解即可． 解：在直角三角形中，，，， ， 为直角三角形的中线， ， 故选：C． 4．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）设方程的两个根为，那么的值等于（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，则，”，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程的根与系数的关系可得，代入计算即可得． 解：∵方程的两个根为， ∴， ∴， 故选：C． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程时所得到的解正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法解一元二次方程，利用公式法直接求解即可得到答案，熟悉一元二次方程的常见解法是解决问题的关键． 解：， ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 6．（25-26九年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为E，若，则的大小为（   ） A．33度 B．34度 C．57度 D．67度 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理，由菱形的性质可得，，，再结合三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握菱形的性质是解此题的关键． 解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 7．（25-26九年级上·山东青岛·开学考试）如果三角形的两边长分别为3和5，第三边是方程的解，那么这个三角形的面积是（   ） A．10 B．12 C．10或12 D．6 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，三角形三边关系，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式等知识．先求出方程的解，再分当时，当时，两种情况讨论即可得解． 解：解方程得：， 当时，三边长度分别为：，， ∴不能构成三角形， 当时，三边长度分别为：，，， ∴能构成以3和4为直角边长的直角三角形， ∴这个三角形的面积为， 故选：D． 8．（23-24八年级下·安徽淮南·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．四边相等的四边形是正方形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，根据菱形，矩形和正方形的判定定理逐一判断即可． 解：A、四边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，原说法错误，不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法正确，符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，不符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 9．（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在线段上，，点在线段上，．连接，点为的中点，连接，则的长为（   ） A． B．13 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由菱形对角线互相垂直且平分，可得，，，取中点，连接，则，，再用勾股定理解即可． 解：在菱形中，对角线与相交于点，，， ，，， ， ， ， 如图，取中点，连接， ， 点为的中点，点为的中点， ，， ， ， ， 在中，， ， （负值舍去）， 故选：D． 10．（2025·河南新乡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点A与原点O重合，位于x轴正半轴上，，点B的坐标为，点D为的中点，进行以下操作：①将沿x轴正方向平移，当点A与点D重合时，得到，点B，C的对应点分别为P，Q；②将绕点D在平面内旋转．当点Q落在的延长线上时，点Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形平移、旋转，等腰直角三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，能够找出延长线上点的坐标特点，以及掌握平移、旋转的性质是解题的关键．利用延长线上点的横纵坐标相同，设出点Q的坐标为，利用列方程，解出a的值，即可作出选择． 解：如图，绕点D在平面内旋转．点Q落在的延长线上， ∵是等腰直角三角形， ∴的延长线上点的横纵坐标相同， ∴可设点， ∵点B的坐标为，点D为的中点， ∴，，点， ∴， ∵， ∴， 整理，得， 解得（舍去），， ∴点Q的坐标为， 故选：． 第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分） 2、 填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·河南南阳·期中）方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种解法是解题的关键． 先移项，然后再运用因式分解解一元二次方程即可． 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 故答案为：，． 12．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在菱形中，对角线与交于点，且，，垂直于，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，由菱形的性质可得，，，进而由勾股定理得到，即得，再利用菱形的面积公式即可求出，掌握菱形的性质是解题的关键． 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·四川遂宁·阶段练习）若，则方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求方程根的问题，属于基础问题，培养学生计算能力．由建立方程，进行化简配方可解得方程的根． 解：， 化简，得， 解得， 经检验是原分式方程的根， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标是，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形、矩形的性质、勾股定理等知识点，合理利用勾股定理求长度是解题的关键．根据勾股定理求出，根据矩形的性质得出即可解答． 解：连接如图所示， 点坐标是， ， 四边形是矩形， ． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·四川绵阳·开学考试）已知矩形的一条边长为，对角线，相交于点．若，的长是关于的方程的两个根，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程，由四边形是矩形，则，，又，的长是关于的方程的两个根，故有，求得，从而得，，然后通过勾股定理和面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，的长是关于的方程的两个根， ∴， 整理得：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴矩形面积为， 故答案为：． 16．（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数与一次函数（是常数）的图象交于两个不同的点，若点的横坐标是，则点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．将两个函数进行联立，根据根与系数的关系进行计算． 解：二次函数与一次函数（是常数）的图象交于两个不同的点， ， 即， 故， 由于点的横坐标是， 故点的横坐标是． 故答案为：． 17．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，某学校综合实践基地内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供学生赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．则观花道的直角边（如图所示）为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意弄清图形间的面积关系是解题的关键． 直接利用直角三角形面积的求法列出方程即可求解． 解：由题意可得， 即， 解得：或（舍）， 故答案为：1． 18．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在平行四边形中，，是的垂直平分线，且的长是一元二次方程的一个根，则平行四边形的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，因式分解法求一元二次方程的根． 根据因式分解法解一元二次方程得，可得，再根据等腰直角三角形，垂直平分线的性质，勾股定理可得，，，结合平行四边形的性质即可求解． 解：， 变形得，， 移项得，， 提取公因式得，， ∴或， 解得，， ∵的长是一元二次方程的一个根， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，，则， ∵， ∴是等腰直角三角形，则， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴平行四边形的周长为， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共6个小题,共58分） 19.（本小题满分8分）（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）解方程． （1）（因式分解法） （2）（公式法） 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据因式分解法即可求解； （2）运用公式法求解即可． 解：（1）解： ， ， ∴或， ∴，． （2）解： ，． 20.（本小题满分8分）（23-24八年级上·湖南株洲·阶段练习）如图，菱形，E是的中点，且，． （1）求的度数； （2）求对角线的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键． （1）先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质求解即可得； （2）先根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得，由此即可得． 解：（1）解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ， 是的中点，且， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， 又， ． （2）解：如图，连接，交于点， ∵四边形是菱形，， ， ， ． 21.（本小题满分10分）（24-25九年级上·北京西城·期末）已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根： （2）若方程的一个根比另一个根大3，求的值． 【答案】（1）证明见分析；（2）或 【分析】此题主要考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题的关键是利用根与系数的关系建立关于的方程解决问题． （1）利用一元二次方程的根的判别式即可求解； （2）利用根与系数的关系建立关于的方程即可求解． 解：（1）证明：， 因为，所以， 所以方程总有两个实数根． （2）解：解方程，得， 整理，得或， ∵方程的一个根比另一个根大3，∴或， ∴或． 22.（本小题满分10分）（2024八年级下·北京·专题练习）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连结，．   （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据菱形的性质可得，，结合已知条件，即可证明四边形是菱形； （2）根据题意可得是等边三角形，勾股定理求得的长，进而求得的长，在中，根据勾股定理即可求解． 解：（1）证明：四边形是菱形， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 在中，，， ， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， 答：的长为． 23.（本小题满分10分）（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）新学期开始时．某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，准备到一家植物种植基地购买两种花苗，据了解，购买种花苗3盆，种花苗5盆，需210元；购买种花苗4盆，种花苗10盆，需380元． （1）求两种花苗的单价分别是多少元？ （2）经九年级一班班委会商定，决定购买两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买多少盆种花苗，种花苗每盆就降价多少元．若九年级一班的同学本次购买花苗共花费了256元，请计算出本次购买了两种花苗各多少盆． 【答案】（1）种花苗的单价为20元，种花苗的单价为30元；（2）购买了种花苗10盆，种花苗2盆或购买了种花苗4盆，种花苗8盆 【分析】（1）设种花苗的单价为元，种花苗的单价为元，根据题意建立二元一次方程组即可求解； （2）设购买种花苗盆，则购买种花苗盆，可建立一元二次方程求解． 解：（1）解：设种花苗的单价为元，种花苗的单价为元， 依题意得 解得 答：种花苗的单价为20元，种花苗的单价为30元． （2）解：设购买种花苗盆，则购买种花苗盆．依题意得． 整理得， 解得． 当时，； 当时，， 答：购买了种花苗10盆，种花苗2盆或购买了种花苗4盆，种花苗8盆． 【点拨】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用．正确理解题意是解题关键． 24.（本小题满分12分）（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在菱形中，，，点为边上一个动点，延长到点，使，且，相交于点． （1）求菱形的面积； （2）若点运动到中点时，求证：四边形是平行四边形； （3）若时，探究的值． 【答案】（1）；（2）证明见分析；（3）32 【分析】（1）连接，交于点，先证明为等边三角形求出，再根据勾股定理求出即可求出，最后根据菱形的面积公式即可求得答案； （2）根据E是中点证明，再证明,，即可证得四边形是平行四边形； （3）过点C作，垂足为H，设，先证明，再证明，从而得到，进一步得到的表达式，再求出的表达式和的值，最后利用勾股定理建立等式进行变形即可求得答案． 解：（1）如图，连接，交于点， 四边形是菱形， 为等边三角形 在中， ∴菱形的面积 （2）如下图所示，连接、， 为中点， ， ， 四边形是菱形， , , 四边形是平行四边形； （3）过点C作，垂足为H，设，如图所示， 四边形是菱形 ， ， 在中， ， ， ， 在中，，， ，即， 整理得： ． 【点拨】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是利用勾股定理建立等式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $