期末综合检测·冲刺卷(一)-【一本】2025-2026学年高中数学必修第一册周末小测卷（人教A版）

一本高中数学周末小测卷 期末综合检测·冲刺卷（一） ⊙时间：120分钟号总分：150分8得分： ☑答案：P73 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 弥 1.(2025·广东汕头金山中学期中)已知全集U=R,集合A= p {x|x-1|≤1}，则CuA= A.[0,2] B.(2,十∞) C.(0,2) D.(-∞，0)U(2,+∞) 2.(2025·江苏南通期末)已知函数f(x)= cos 则 2x,x≤0， f[f(-1)]= A号 c- D、③ 2 T 3.(2025·贵州黔西第一中学学程考试)若不等式ax2十5x十1≤0 封 的解集为-号<-》则不等式二<1的解集为 ( A.3,+∞) B.(3,+∞) c(分) [] 4.(2025·山西省部分地市期末联考)已知函数f（x)= 蠻 Acos(ox十p)(A>0,w>0,p<)的部分图象如图所示，将 函数f(x)的图象向右平移于个单位长度得到函数g(x)的图 线 象，则 Ag(x)=2sin(x-5） B.g(x)=2sin(2z+3） 7π 12 幕 C.g(x)=2cos(z-3） D.g(x)=2cos(2x+5） 5.(2025·陕西咸阳普集高级中学模拟预测)已知c0s(a-石)- V3cosa=6则sin(2&-君)= 35 A.一36 c 6.(2025·湖南长沙湖南师范大学附属中学月考)已知f(x)是定 义在R上的偶函数，且在区间（一∞，0）上单调递增，若实数a满 足f(2la-1l)>f(一√2)，则a的取值范围是 () A(-,2) B(-,2U(g,+∞) c(分) n.(,+) 7.(2025·广东佛山第三中学月考)已知正实数a,b满 足a6+日+号-10，则贴+号的取值范固为() A.(0,7] B.[1,9] C.[2,8 D.[3,6] 8.(2025·福建龙岩期末)若函数f(x)= 2x-2,0<x≤1， i2fx-10,>1, 则函数g(x)=x2f(x)一1的零 点个数为 ( A.2 B.3 C.4 D.无数个 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得 部分分，有选错的得0分) 9.(2025·湖南常德优质高中学校联盟期末)已知某扇形纸片的周 长和圆心角分别为44和2，则 () A.该扇形纸片的半径为12 B.该扇形纸片的半径为11 C.该扇形纸片的面积为121 D.该扇形纸片的面积为125 10.(2024·江苏通州高级中学月考)已知函数f(x)= |log。(x+1)(a>1),下列说法正确的是 () A.函数f(x)的图象恒过定点(0,0) B.函数f(x)在区间(0，十∞)上单调递减 C函数f(x)在区间[-2,1]上的最小值为0 D.若对任意x∈[1,2]，f(x)>1恒成立，则实数a的取值范围 是(1,2) 必修第一册RJA版 11.(2025·湖南名校联考联合体期中)已知f(x)=2sin(2x十 3）,g(x)=2cos(ax+若）w>0),则下列结论正确的是() Af(x)的单调递增区间为[-段+m,登+]，k∈Z B.f(x)在区间[0,2]上的值域为[-1,2] C若f(x)的图象向左平移p(0<9<2)个单位长度后得到 g(x)的图象，则p-否 D.若g(x)在区间[0，π]上恰有两个零点，则ω的取值范围是 [停) 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.(2025·安徽铜陵期末)计算：log35十83-log315十eh2= 13.新考法新载体(2024·广东广州市南海中学月考)《几何原本》 卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方 数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理 或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如 图所示的图形，点F在以AB为直径的半圆上，O为圆心，点C 在半径OB上（不与点O重合），且OF⊥AB.设AC=-a,BC= b,则OC= (用含a,b的式子表示)，由FC>OF可 得关于a,b的不等式为 14.(2025·河北秦皇岛模拟考试)已知函数f(x)满足Hx∈R都 有f(x)十f(一x)=0成立.当x≥0时，f(x)=x2十2x,则不 等式f(f(x)+f(x十1)<0的解集为 四、解答题（本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分， 17题15分，18题17分，19题17分，解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 15.(2025·山东烟台招远第二中学月考)已知函数f(x)= sin'x+23 sin xcos x-cos'x. (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间； ·43· 一李高中数学周未小测卷 (2)当x∈[0，]时，求f(x)的最大值及取得最大值时x的 取值. 16.(2025·广东广州第六中学期末)已知函数f(x)是定义在R上 的奇函数，当x>0时，f(x)=log2x. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若g(x)=f(x)·f(),x∈[1,8]，求函数g(x)的值域. 17.新考法新情境(2025·湖北云学名校联盟联考)“绿色出行，低 碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环 保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新 能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.某新能源汽车配件公 司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品 的年固定成本为2000万元，每生产x(x∈N*)万件，需另投入 成本G(x)万元，当0<x<30时，G(x)=10x2+1600x;当 x≥30时，G(x)=2020z+32000 x一10 6000.由市场调研可知，该 产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全 部销售完. 。44● (1)求年利润y(万元)与年产量x(万件)的关系式（利润=销售 收人一成本) (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？ 最大年利润是多少？ 18.(2025·江西科技学院附属中学期末)已知二次函数f(x)满足 f(x十2)-f(x)=4x十6，且f(-1)=0,函数g(x)=2x. (1)求函数f(x)的解析式. (2)记函数h(x)=2f(x)-g(x十1) g(x) (D若(2)=-多，求实数：的值； (iD求p(x)=h(3)+2h(9)-32在区间[-1,1]上的最 大值 必修第一册RJA版 19.新考法新情境(2025·四川嘉祥教育集团期中)声音的本质是 介质振动形成的波，其基本特性可分解为三个正弦函数参数： 频率决定音高（单位：Hz),振幅对应响度(dB),相位差反映波 形偏移.复杂声波通过傅里叶变换可展开为多个振幅、频率各 异的正弦波叠加，如乐器声包含基频与泛音列的正弦组合.请 根据你所学的研究一个函数的性质，探究谐音函数f(x)= snx十号n2z十了sin3x的性质，请解答下列题日。 弥 (函数f)=snx+2sin2x+号sn3z的自变量x的取值范 围是R显然有f(一x)=一f(x),所以函数是奇函数，图象关 于原点对称) (1函数f(x)=mz+2n2z+日n3z的-个周期 为 ,简要说明理由。 (2)求出函数f(x)的零点. (3)对称轴的定义：若存在直线x=a,使得对任意h,有f(a十 h)=f(a一h),则称函数f(x)的图象关于直线x=a对称.试 封 判断函数f(x)=sinx十2sin2x+3sin3x的图象有无对称 轴若有，求出对称轴方程并证明；若没有，说明理由。 线调递减，则h(x)m=h(e)=+只，h(z)m=hG十1) 1+。 所以+5-(+1+，)=1，解得4-1图会 2 去)或=133 2 所以1=1，®， 2 即(x)在「-1二√33,1一3]上为美好函数” 2 2 ④当t十1≤-4，即t≤-5时，h(x)在[t,t十1]上单调递 增，则A(x)b=h(0=+日，h(x)=A+1D=计 9。 所以：中1+，马-飞+9)-1，方程无解，放合去 综上，4=-1+，√33或=-13图 2 2 期末综合检测·冲刺卷（一） 1.D由题意，得A={x0≤x≤2}=[0,2]，则CuA=(-∞， 0)U(2,十∞) 方法总结 |x-a≤b(b≥0)，则a-b≤x≤a+b. 2.C由分段函数的定义域可得f(-1)=2(-D=2,f(2)= 0s行=-号，所以ff(-1门=-2：（关健点：自变量x 属于哪个范围，就用哪一段的解析式求) 3.B因为不等式ax2+5x十1≤0的解集 所以x=-号和x=-弓是ar+6x十1=0的解， 5 ,解得a=6, 1,理，得0， 所以之二6 即x>3,(易错点：分式的分母不为0) 故不等式的解集为(3，十∞). 4B由题图，知A=2,T-=4X(径-）=元所以w-2 根据五点法作图，可得2×登十9-受解得甲一令， 所以fx)=2cos(2z+): 将函数f(x)的图象向右平移不个单位长度得到g(x)= 2aos[2(x-）+号]=2n(2x+号）.（易错点：年移针 对的是x) 5.0由cs(。-若）-5casa=日，得9asa+na 1 3cos a-6 即吃ma一号s。言所以a(。-舌）言， 1 所以m(2a-君）-[+(2a)]-(2a一）- 1-2si证(。-）-1-2×（合）°-18（关键点：寻找已 知角。一晋与未知角2a一音之间的关系，即2a-音=受 +(2a) 6.C【思路导引】f(x)是R上的偶函数，且在区间(-∞，0) 上单调递增→f(x)在区间(0，十∞)上单调递减→ 21a-11<√2. 因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（一∞，0）上单 调递增， 所以f(x)在区间(0，十∞)上单调递减. 因为2a-11>0,f(-√2)=f(W2), 所以21a-11<√2=2寸， 所以1a-1<号解得<a<号， 3 所以a的取值范围是(2,2 13 70因为a+6+日+号-10，所以（+号）(a+6+ 因为名+号≥2√会-6则（+）'+16≤ b 9a 10(日+号)（关健a:利用运本不等式，构造关于（日 号)的一元二次不等式) 解得2≤。+号≤8，当且仅当 +6+日+8-1o 1 a=2 即 3 时，等号成立，所以日+号的取值范 b2 或b=6 围为[2,8] 8.B【思路导引】根据函数解析式确定函数f(x)在(n一1， 1 n](n∈N)上是增函数且f(m)=2,零点个数转化为函数 1 f(x)与h(x)=三的图象交点个数，作出它们的大致图象 后，观察交点个数，从而得结论 2-2,0<x≤1， 由f(x)=1 f(x-1D,x>1,得fx)在区间，n+1]止 的函数值都是区间(n一1，n]上相应函数值的一半，n∈N“. 又当0<x<1时，)=2是增函数，即f6)f①=2 记f)=会，因此当x∈n-1,n时，fu)f)=去 函数g(x)=x2f(x)-1的零点个数，即x2f(x)=1的正 .1 解的个数，即f(x)=三的正解的个数， 3 即函数y=f(x)与函数)y=的图象的交点个数。 令=A()=是，它在0，十∞)上是减函数，A(m)=是， ke-是=f2,A(8)-日<f(8)=日-fD. A0站-f0,当2≥5时）是>会 在x>4时，f(x)的图象与h(x)的图象没有交点，所以在 (0,十∞)上，它们只有三个交点，所以g(x)的零点个数 为3. 9.BC设该扇形纸片的半径为r,弧长为l, 则-2 解得亿（易错点：扇形的周长=孤长十 1=22, l十2r=44, 2X半径) 所以该扇形纸片的面积S=女=合×2X11=121 结合选项可知，A,D错误，B,C正确. 10.ACD【思路导引】代入验证可判断A,由复合函数的单调 性可判断B,根据绝对值的意义及对数的运算性质可判断 C,由函数单调性建立不等式求解可判断D, 对于A,将(0,0)代入函数解析式，f(x)= log(x十1)(a>1)成立，故A正确. 对于B,当(0，十∞)时，x十1∈(1，+∞).又a>1,所以 f(x)=|log。(x十1)|=log.(x十1).由复合函数的单调性 可知，x∈(0，十o∞)时，f(x)=|log(x+1)|=log(x+ 1)单调递增，故B错误. 对于c当xe[-]时x+1e[22],所以) |1og(x十1)|≥log。1=0,故C正确. 对于D,当x∈[1,2]时，f(x)=|log(x+1)|=log(x+ 1)>1恒成立，所以由函数为增函数，知1og,2>1即可，解 得1<a<2,故D正确. 1.ACD对于A,由-吾+2km≤2x+号<受+2，k∈Z, 解得：∈[登+长是+小，kEZ,故A正确： 对于B,令1=2z+音由∈[0，]，得e[营]因 为y=2m在[号受]上单调递增，在[受，]上单调 递减，所以f(x)的值域为[-√5,2]，故B错误； 对于C,(关健点：当平移前后的三角函数名不一样时，需 先利用诱导公式将其化为同名函数) 因为f()的图象向左平移(0<9<受）个单位长度后 得到g(x)的图象，w>0,所以w=2,即g(x)=2cos(2x十 否).因为f(z+g)=2sm[2x+p）+]=2sin(2z+ 29+3）=2eos(2z+2g+3-）=2cos(2z+29 否)，所以2g-否=百+2k,k∈乙，即9=看+kπ， k∈Z 因为0<9<2，所以9=石，故C正确； 对于D,(点拔：求出x十p∈[x1十p,x2十p],然后讨 论az1十p,ω2十p的范围，使其满足题意) 令0=ar+晋，因为xE[0,d,所以0e[吾wx+晋] 因为g(x)在区间[0，π]上恰有两个零点， 所以y=2a0s0在区间[若wx+若]上恰有两个零点， 所以经<晋十wr<受，解得<w<子，故D正确 12；1og5+8手-lbg15+e-lkg5+(2)号-1- 1og35+2=2-8+1= 号.（关健点：注意对数等式。 M的使用) a2+b2 2 >((也可以写作√ a十bY 2 【思路导引】确定AB=a十b,根据线段间的关系计 年0心=0经：角定0r-生，0=V,根据 1a2+b2 FC>OF得到不等式. 由题意，得AB=AC+BC=a十6,0B=名AB-生，所 以c-0BBc-b=号，or-AB-, c-0+0c=√(22）+(2T 1a2+b2 由C>0可得V生即>(e 14(m,3二）【思路导引1f)+(-)=0 f(x)是R上的奇函数→x<0时，f(x)的解析式→f(x) 在R上的单调性→利用奇函数和单调性结合分段函数可 得两个不等式组. 因为Vx∈R都有f(x)+f(-x)=0, 所以f(x)是R上的奇函数. 又当x≥0时，f(x)=x2+2x=(x十1)2-1，显然f(x)在 (0,十∞)上单调递增， 故函数f(x)在R上单调递增. 当x<0时，-x>0,则f(-x)=x2-2x, 即f(x)=-f(-x)=-x2+2x. 由f(f(x)+f(x+1)<0可得f(f(x)<-f(x+1)= f(一x一1)，（关键点：利用函数的单调性求解） 故得f(x)<一x一1，（关键点：分段函数分段求） 有-皮2- 即/≥0， a十10支仁-10条得严 所以不等式f(f(x)十f(x十1)<0的解集为（一∞， 3-√13) 2 ● 15.解：(1)f(x)=sinx+2W3 sin xcos x-cosx=√3sin2x十 (sin'x+cos'x)(sin'x -cos'x)=3 sin 2x-cos 2x= 2sin(2x一6），（关键点：利用1=sina十cosa,二倍角公 式以及辅助角公式进行化筒》 所以f:)的最小正周期T-登-元 令2m-晋<2x-晋≤2十受，k∈Z, 解得kr吾<r十行，k∈Z. 所以fx)的单调递增区间为[kx一吾，kx十]，k∈乙 ②当ze[o,]时，2z-看∈[-吾]， 所以当2x- -受，即x=号时，f)取得最大值2， 故f(x)的最大值为2，取得最大值时x的取值为于 16.解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0. 因为当x>0时，f(x)=log2x, 所以当x<0时，f(x)=一f(一x)=一log2(一x), 1og2x,x>0, 所以f(x)=0,x=0, -log2(-x),x<0 (2)由题意，得g(x)=(ogx)·(1og年)=(1ogx)· (log2x-2)=(1og2x)2-21og2x,x∈[1,8].（关键，点：利用 对数的运算法则，将函数转化为关于10g2x的二次函数) 令log2x=t,则t∈[0,3]，则问题等价于求h(t)=t2一 2t,t∈[0,3]的值域. 因为函数h(t)=t2一2t的图象开口向上，对称轴为直线t=1, 所以h(t)在[0,1]上单调递减，在1,3]上单调递增. 因为h(1)=1-2=-1,h(0)=0,h(3)=9-6=3, 所以h(t)n=一1，h(t)mx=3, 所以函数g(x)的值域为[一1,3] 17.解：(1)由题意可知，y=2000x-G(x)-2000. 当0<x<30时，y=2000x-(10x2+1600x)-2000= -10x2+400x-2000; 当E≥30时，y=2000z-(2020z+3200-60）- x-10 200=4000-20z-32000, x-10 所以年利润y(万元)与年产量x(万件)的关系式为y= -10x2+400x-2000,0<x<30, 4o0-20r28s≥0 (易错点：对于实际问 题，注意函数的取值范围) (2)当0<x<30时，y=-10x2十400x-2000=-10(x- 20)2+2000,图象的开口向下， 所以当x=20时，y取最大值，ymx=2000; 当x≥30时，y=4000-20x- 32000 x-10 =3800- 1206-10)+3200075 E-10J3800-2V20z-10.3200 x-10 2200,(关键点：转化为基本不等式求最值，注意不等号的 75 符号，以及等号成立的条件) 当且仅当20-10)-209即x=50时，等号成立，比 时ymx=2200. 因为20002200， 所以该产品的年产量为50万件时，公司所获年利润最大， 最大年利润是2200万元. 18.解：(1)设二次函数f(x)=ax2十bx十c,a≠0，由f(x十 2)-f(x)=4x+6,得a(x十2)2+b(x十2)十c-(a.x2+ bz十c)=4z十6.整理，得4ax十4a十2b=4x十6， 则4a二，。解得a=1,6=1,则fx)=x2十z十c 4a+2b=6, 由f(-1)=0,得c=0, 所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2+x. (2)()由g(x)=2x,得g(x十1)=2x十2， 函数h(x)=2f)-g（c+D_2(x+x)-(2x+2 8(x) -g子0侧ac2-g云 1 由a(2)=-是得2=一令m=2>0,(关使 点：转化为关于2的一元二次方程，可以利用换元，简化运 算) 1 则m一m 2·整理，得2m十3m-2=0,而m>0,解 3 得m-2,即2=，解得1=-1 1 D由0，得p()=A(3)+24(9)-3*=3r-子+ 2(3*0)-学=-多-合(3产+) -2(3一)°+(3-)-1.（关能点：转化为关于 3 3的二次函数求最值) 令u=3r- ，函数一，)=子在取上都单润遥瑞。 则函数u=3一在R上单调递增， 当∈[-11时u∈[-号]，-(g)广+ (3-)-1=-7女+u-1=--10-≤ -,当且仅当=1时，等号成立， 所以(x)的最大值为一2 1 1 19.解：1)y=sinx,y=2sin2x,y=3sin3x的周期分别 为2，行其最小公倍数为2，所以函数f)的-个周 期为2元理由如下： f(x+2x)=sin(a+2x)+sin 2(x+2x)+3 sin 3( 1 1 2x)-sin x+sin 2x+3 sin 3x-f(a). 故函数f(x)的一个周期为2元 、(2)fx)=sinz士2sinm2zt3sin3z=snx+sin xcos十 in(x+2x) 1 =sin x+sin xcos x+sin x- 3 sin'r 4 -2sin asin acos sin' =snz(2+cosz-专sirz) 3six(2+3c0sx十4o0s2x).(关键点：将3x化为x十2x, 再利用两角和的正弦展开，最后利用1=sima十c0s2a化简) 因为2+36osx十4osx=(2omsz+）)'+瓷0，（关健 +23 点：配方，判断其符号的正负) 所以令f(x)=0,得sinx=0,因此x=kπ，k∈Z, 所以函数f(x)的零点为x=kπ，k∈Z. (3)没有对称轴.理由：假设存在对称轴x=a,展开方程并 将条件代人，得s血(a+)+7血2a+A)十日m3a十 A)=sin(a-b)+7sn2a-A)+号sn3a-A)， 1 利用三角恒等式展开各项： sin(a土h)=sin acos h士cos asin h, sin2(a±h)=sin2acos2h士cos2asin2h, sin3(a±h)=sin3acos3h±cos3asin3h, 即2 os asinh十cos2asin2h+2cos3asin3h=0. 3 由于等式需对任意h成立，故所有系数必须为零. 令各项系数为零：（关健点：分类讨论各项系数为0时，a的值） ①cosa=0,解得a=kr十受，k∈Z ②s2a=0,解得a经+晋k∈Z: ⊙s3a-=0,解得a-号+后∈Z 上述三个条件需同时满足a=寸登-6酰，a-十 2 号+音6为整数显然无共 6,a=3+6 同解， 1 1 所以函数f(x)=sinx十2sin2x+3sin3x的图象没有 对称轴。 期末综合检测·冲刺卷（二） 1.A由x2-2x-3<0,得-1<x<3,所以A= {x|-1<x<3}.由x-2≥0，得x≥2，所以B= {x|x≥2}，所以A∩B=[2,3).(易错点：集合B求的是函 数的定义域) 2A因为函数f(x)=1o(红+D,x<2,(关健点：由分段 f(x-1),x≥2， 函数的特点代入求解)则f(3)=f(2)=f(1)=1og22=1. 37=3,tang=V7=1 aA由题图，知ama=2=， 2w7=2,(关键 点：根据图形先求出α，B的正切值) 7 11 =-2 4D由fx)=2a-1r4,x≤1·是R上的增函数， x2-a.x+3,x>1 2a-1>0, 得<1 解得2<a<2.(关健点：分段函 2a-1-4≤1-a+3, 数的单调性必须满足段段单调，整体单调，注意间断，点处的 函数值) 5.C【思路导引】A,B,D举反例. 取x=1,y=2,则x一y=一1￠N,故A错误； 取x=√2，y=√2，则x一y=0,0不是无理数，故B错误； 设x=3k1(k1∈Z,y=3k2(k2∈Z),则x十y=3(k1十k2)∈ M,x一y=3(k1一k2)∈M,故C正确；（关键点：判断元素的 和与差是否满足定义) 取M1={x|x=3k,k∈Z},M2={xx=2k,k∈Z}, 由C可知M1是闭集合，同理可证M2也是闭集合，则M1U M2为被2整除或被3整除的全体整数集，取x=2,y=3, 则x十y=5,5不能被2或3整除，即5(M1UM2),故D 错误. 6,C由0<a<3<2,得-2<a-<0. 因为a-到=5，所以ma-》=一V个sa-历= 25 5… 因为cos2a= W10 10,0<2a<r, 所以sin2a=V1-cos2a-30 10, 所以cos(a十B)=cos[2a-(a-B)]=cos2acos(a-B)十 如2a血a-m=×9-3沿×25-号（使 10 5 点：a十B∈(0，π)，需要算余弦值，正弦值在此区间内为正) 又因为a十9e(0,,所以a十日=要 7.D【思路导引】先分析出f(x)为奇函数，结合x2f(x1)一 xf)>0可得，f）_f>0,从而拘造出g) fx）,然后根据g(x)的单调性和奇偶性解不等式. x 因为f(x一2)的图象关于点(2,0)对称，所以f(x)的图象 关于点(0,0)对称，即f(x)为奇函数. 因为当x>x1>0时，wfx1)-fx,)>0,所以） fx22>0. 令g）-/但，则g(2)=0,g)为偶两数，定义骏为 {xx≠0}，且在(0，十∞)上单调递减. 不等式xf(x)>0,即x2g(x)>0,所以g(x)>0=g(2), 于提g>ee则a.e(-20Uoa 6