第5章 第14周 三角恒等变换-【一本】2025-2026学年高中数学必修第一册周末小测卷（人教A版）

[-1,-受)上单调递减，在[-受，3]上单调递增， 则h0=A(-受）-受-受-2m+号0， 解得-9≤m≤1. 又-6≤m≤2，所以-6≤m≤1. 当-受>3，即m<-6时，h(e)在[-1,3]上单调递减， 则五0m=A(3)=9十3m-2m十号≥0，解得m≥-织 又m<-6,所以-早≤m<-6, 综上m的取值范围是[一织] 18.A0由题意可得，snaa+不，6osa√公不 a 则b=√a2+bsin a,a=√a2+b2 cos a,所以Ti(a)= 书-所以)十细〔候 根据新定义，求出f(x)的解析式) os(-x）+sim(5-z） 对于A,由f(一x） os(5-x）-sin(5-x) sin z+cos a=-f(x), sin x-cos x 得（平，0）是函数∫(x)的图象的一个对称中 心，故A正确。 对于B,由f(x)= ,得0s十sn1 cosx一sinx 21 化简可得，tanx=一 ,易知存在唯一的xo∈（牙，使 得tan xo-= 专故B错误 对于C,由A可知，函数f(x)的图象关于（于，0）成中心 对称， 则函数f(x)的图象向左平移个单位长度可得， 函数f(x十平)的图象关于(0,0)成中心对称，故C错误； 1+tanx=-(1-tanc)+2=-1+ 对于D,由f(x)=1-tanz 1-tan x 1一an工，（关能点：分离常数，判断函数的单调性) 2 且函数y=anx在（不，受）上单调递增，则函数f(x)在 (年，受)上单调递增，故D正确， 19解：1因为f)=smx,定义域D=[-受，]， 所以f(0)=sin0=0,所以Sro={x|f(x)≥f(0)=0}= {x|sinx≥0}= [o,] (2川思路导引】先求f(若)，由Sm2S,()即可求解。 因为f(晋）=sn吾-，所以S,(③)={zsmx≥ 。5 2}={红<≤} 又因为Sfw={x|sinx≥sint}={x|x≥t},且Sw2 S()所以-≤≤石， 所以：e[吾晋] (3)川思路导引】根据定义判断出函数单调递减，由f(x)= 2cos2x十acos x-1,令λ=c0sx,λ∈[-1,1]，则g()= 2λ2十a以一1，λ∈[一1,1]，根据复合函数的单调性即可 求解。 由题意，知对任意t,t2∈D,t<t2,都有S)二Su), 所以f(t2)≥f(t1). 又t1<t2,所以f(x)在[O,π]上单调递增. 因为f(x)=2cos2x十acos x一1. 令λ=cosx,λ∈[-1,1]，则g()=22+a以-1. 由入=cosx在[0，π]单调递减，根据复合函数的单调性可 得g()=2x2十aλ一1在[-1,1]单调递减， 所以-号≥1，即a<-4 综上所述，a∈(-o∞，-4]. 第周三角恒等变换 1B由正弦的二倍角公式可得，m吾吾=合s血子 吉×号送健点细-如m 2.Csin40°cos160°+sin20°cos140°=-sin40°cos20°- Sin20°cos40°=一sin(40+20°)三一Y%.(关健点：利用诱争 公式化简为sin acos B士sin Bcos a的形式) ③D【思路导引】根据齐次式可得，am口=。，进而根据两角 差的正切公式求解， n8o8os。=2,得ana-2,解得ana-之， 1 3 由sina一cosa tan a-tan r 3 因此tan(e一） 4 =21 1 1+tan eian1+×15 1 4.B因为&为锐角，cosa=7, 所以m&=V-w。-45 因为0<a<受，0<p<受，所以0<a+Kx,且a+>a, 元 Γ14<sina=4y3 因为sin(a+8》=53 ,函数y=sinx在(0， ）上单调递增，在（受，）上单调递减， 所以受<a十K, 所以a+创=--面a+分=是 所以cosB=cos[(a十B)-a]=cos(a十B)cosa十sin(a十B)· sina(关健点：将所求角B用已知角a,a十B来表示，即B (α十B)一a,然后利用两角差的余弦公式计算) ● 7=2 5.A由题意，得tan200°=tan(180°+20)=tan20°，且 m0=m2w+40-巴m0-原， 所以tan20°+tan40°=√3-√3tan20°tan40°， 所以tan20°+tan40°+√3tan20°tan40°=√3. 方法总结 tana十tanB 1.tan(a+B)=1-tan atan B →tana+tanB=(1-tana· tan B)tan(a+B)=tan(a+B)-tan atan Btan (a+B) tan a+tan B+tan atan Btan(a+B)=tan(a+B). tan a-tan B 2,tana-B)=i千tan atan月>tana-tanB=(1+tana· tanB)tan(a-B)=tan(a-B)十tan atanβtan(a-B)→ tan a-tan B-tan atan Btan(a-B)=tan(a-B). 6.C由于0=sin(A-B)+sinC=sin(A-B)+sin(A十B) 2 sin Acos B,在△ABC中，sinA≠0，所以cosB=0,所以 B=受，（关键点：在三角形中，注意A十B十C=元的使用， 且sinC=sin(A+B) 所以△ABC是直角三角形. 7.A【思路导引】利用辅助角公式化简函数，得f(x)= 13sn(z十g）,且am9=号，根搭了)取得最大值时工十 9=受+2k,k∈乙，得amz=a(受-9十2谈m),利月诱 导公式化简即可求解。 根据辅助角公式asin x十bcos x=√a2+bsin(x十p),其 中m9名得a=5,6=12, 12 所以√25+144=13，tan9=5: 所以f(x)=13sin(x+p). 当sin(x十o)=1时，f(x)取得最大值， 此时x十9=受+2k元，k∈乙，解得x=受-9+2k元，k∈乙， 所以anx=tan(分-9十2k示)，k∈Z, in() 所以anx=tan(受-p）= cos os(2-) sin o 15 tan 12 8.BD对于A,易知cos72°cos12°-sin72°sin12°=cos(72°+ 120=c0s84≠2，故A错误： 对于B易知血15ms15=号×2a15as15°-7如30- 子，放B正确， 对于C,易知c0s415°-sin415°=(c0s215°+sin215°)(cos215° s如15=cos15°-sr15”=60s30°-号，放C错误：（关能 点：将式子分解，并结合二倍角的余弦公式计算) 5 对于D, 1 =1 1-tan8 D正确. 9.AC f(x)=sin'x+2 3 sin xcos x-cosx=3 sin 2x- c0s2x=2sim2z-否），（关键点：利用二倍角公式和辅助 角公式进行化简，得出函数的解析式) 所以-2≤f(x)≤2，f(x)的最小正周期为π，故A,C正确； =，kEZ可得x经+是：Ez因为x 令2x-6 （0,,所以x=音或x受放B错误， 当=号x时)=-1，所以x=号x不是fx)图象的 一条对称轴，故D错误 10- ,【思路导引】利用二倍角公式和两角和的余弦公式， 展开化简三角函数式，求出sm(e十)=分，根据a∈ (二，0)即可求解. 由2a=m(at）,得wsa-a-号(m。-如 a). 因为a∈(-登，0），所以cosa-sina≠0，所以cosa十 血&-受，所以s如(e+)合 由a∈(-受0)得a+∈(-，)，所以a+晋 合解得a=一品 1.解：(1)因为0<a<受，所以sina>0,cosa>0, 若选①由sina十cos2a=1, 得sima=4y3 1 7,cos a=7. 若选@由2a-1一2。=一铝得。8 48 因为a∈(0，，所以ma=4, 7 所以6cas&=V小-sa-子 若选8南1-得21-s01-血a 所以W3sina+2cosa=2. 又si血a十osa=1,得s血a=4y】 7,cos a=7. 综上，血a-4y5sa= 1 所以m。君）=如ao晋-ase血吾-费 (2)I思路导引】利用角的变换，B=a-(a一B),再通过sinB- 5。-a一0]限开后求值，得到血月-怎，结合角的取 值范围即可求出B的大小 因为0<<a<受， 所以-5<一B<0,所以0<a一B<受 因为sma一)-3得所以wsa一创-是 又由1)，知sina=4 1 7,cos a=7, 所以sinB=sin[a-(a-B)] -sin acos(a-B)-cos asin(a-B) -9×格×9， 所以B=子 12.解：(1)【思路导引】先根据三角函数的有关公式（诱导公 式、和差公式、辅助角公式)把函数化成y=Asin(x十p) 的形式，再求函数的最小值及对应的x的值 fx)=m(z+若）-os(x+）+sim(受+z） 2+cos x= sin=2sm(e+吾）， 所以f(x)的最小值为一2， 此时x十吾=2张一受，A∈Z,即x=2kx-子k∈乙 (2)gx）=f(2z-5）=2m(2x-号+若）=2sin(2x ). 由T-受-=x,得函数g)的最小正周期为元 由2kx+8≤2z-百≤2km+,keZ, 得kx十晋<r<x+语，k∈乙。 所以函数g(红)的单调递减区间为元十苓，k元十 EZ 13解：1)因为fc)=2sinx(aosx-sinx)+1,则f(F)= 2x号×（。9）+1=a=1 (2)思路导引】由f(x)=0结合变量分离法可得出a= tam(z+),结合xe[臣]求出am(x+)的取 值范围，即可得出a的最小值. 因为f(x)-a=2 asin xcos x十1-2sinx-a=0, 所以a(1-2 sin xcos x)=1-2sin2x=cos2x-sin2x. 当ze[是·]时，mz-osx=osz(amx-1D0, cos2x-sin'x cosx-sin'x 所以a=1-2 sin cos-eos2x-2 sin cs+sin2x =（cosx十sinz)(cosx-sinx) (cos x-sin x)2 。57 =cosx+sinx_l+tanx_tan tan4=tan（x十 -cos -sin 1-tan z 1-tan xtan 军）.（关键点：弦化切，利用两商和的正切公式选行化简） 因为x[臣]，所以晋<x+受所以a=(+ )≥， 因此a的最小值为√3 (3)川思路导引】利用三角恒等变换化简可得出f(x)= √a2+Isin(2x十p),其中tanp= >0,可取g∈（0， a 罗），根据臣<<受求出2z十p的取值范周，根据题意 得出9的原值元闲成合加写一。可表。约取盖克司. 由题意，得f(x)=2 asin xcos x十1-2sin2x=asin2x十 cos2x=V√a2+1sin(2x十p), n9=君>0，可取9e(0,) 当品<<时，晋+p<2z+g<登+g,且看<看+ <晋<受+p<元 由题意可得，若十9<受<受十9，解得0<g<行，故 -mge0n5).放ae(停，+o） 1 因此。的取值范偶是（停+一）。 14,D【思路导引】化切为弦，逆用两角和的正弦公式化简，得 sin(a十β)=cosa,根据诱导公式及正弦函数的性质， 得a十B=-a或(a十)+（艺-a)=元，即可求解。 因为a+m-品g所以忠。品， 1 cos a cos B 即sin acos B=cosa-sin Bcosa,整理，得sin(a十B)= cosa,即sin(a+p)=sm(受-a),所以a十g=受-a或 a+)+(受-a)=, 即2a+月=受或日=受（舍去）. 15.AC【思路导引】由a的取值范围可以求出2a的取值范 国，结合sin2a一，可以将2a的取值范围缩小到一定的 范围，从而求出cos2a的取值；再结合a,B的取值范围，可 以求得B-a和a十B的取值范围，求出cos(B一a)的值后， 利用配凑法，求出cos(a十B)=cos[2a十(B-a)]的取值， 最后结合其取值范围得出α十B的值. 因为∈[子，所以2a∈[号2 因为0<血a-9<号， 所以子<2a<,则cos2a<0, 所以s2a=√一(=-25所以A正确 2 由<a<x可得，<a<受 因为e[], 利用不等式的性质得g[受答]e+8c[装2小， 所以g-。）=√1-() --30 10 所以cos(a十B)=cos[2a十(B-a)] =cos 2acos(B-a)-sin 2asin(B-a) =-25x(-3) 5×102 5 10 -5×10=2 又因为a十Bc[g,2],所以e+日-系，所以C正确， 16.-1⑤ 2 因为α为第三象限角， 所以cosa<0,sina<0,tana>0, /1sina+1 所以√1-sin a cos a (1+sin a)2 1 =√a+sina)a-sina）+eosa 1+sin a 1 cos a cos a 易错点：a= a,n为偶数， a,n为奇数 =1+sin a 1 -cos a cos a -sin a cos a -tan a=-2, 所以tana=2, 2tan 2 所以tana= -tam号 =2,即tan2+tan-1=0, 解得amn号= -1±√5 2 因为α为第三象限角， 所以受为第二或第四象限角，（易错点：注意受所在象限 的正切值为负)】 所以tan g=-1-5 2 17.解：1)因为直线1Lm,所以∠BDA=受，所以∠BAD= 吾-… 所以∠CAE=-∠BAC-∠BAD=-子-（受-a） 吾ta (2)因为A为DE的中点，所以AD=AE=2DE=1. 在△ABD中，me-品所以BD=d。 5 在R△ACE中，an_CAF-是所以CE=a∠CAE tana). 故四边形BDBC的面积S=子(BD+CE)·DE=品。十 tan a tan(a), 即se)=a+m(晋+)0a<受 （3油（2，得s@)=量。十m(晋+a)(美使点：遥到正 tan a 切，常见方法为切化弦或弦化切) cos a sm(+e sin a s(+a）+sin asin(+a) （关键点：通分，分 sin acos) 子利用两角和的余弦公式进行化简，分母展开，利用二倍 角公式和辅助角公式进行化简) os(g+a-a） 3 /3 3 sin a2 cos a-2 sin a) n2a-子1-cs2a) 3 号n2a+分ms2a-7sm(2a+）-号 因为0<a<受，所以当a=若时，sm(2a十晋）取得最大 值，最大值为1， 此时S(a)a= ，=23, 1- 18.-56°（答案不唯-，满足0=-56°+k·180°，k∈Z即可） 【思路导引】根据题中条件将式子变形为tan0= sin11°+cos11° sn11°-c0S1示，分子、分母同时除以c0s11°将弦化切，然 后利用tan45°=1及两角和的正切公式、诱导公式即可 求解 因为(sin11°-cos11)tan0=sin11°+cos11°， 所以tan0=sn1十cos1°-am11+1 -1+tan11° sin 11-cos 11 tan 11-1-1tan 11 _tan45°+tan11° 1-tan45 tan 1=-tan(45°+11)=-tan56°- tan(-56),所以0=-56°+k·180°，k∈Z. 19.解：(1)sin3a=sin(2a十a) =sin 2acos a+cos 2asin a =2sin a cos'a+(1-2sin'a)sin a =2sin a(1-sin2a)+sin a-2sina =2sin a-2sina+sin a-2sina =3sin a-4sin'a. (2)由(1)，得in126°+sin6°-sin66 sin 18 _3sin126°-sin378+3sin6°-sin18°-3sin66°+sin198° 4sin18° 3sin(1206)-sin 18+3sin 6sin 18-3sin(606)-sin 18 Asin 18 2c0s6°3 33 n6-3sin18+3n6-33 20s6°3 sin6° 4sin 18 (关键点：利用两角和的正弦公式，将多个角进行统一，最后转化为 18和6) =-3sin18 4sin 18 (3)证明：因为36°+54°=90°，所以sin36°=cos54°， 即sin(2×18)=cos(3×18), 所以2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°. 因为cos18°≠0，所以2sin18°=4cos218°-3， 所以2sin18°=4(1-sin218)-3, 整理，得4sin218°+2sin18°-1=0， 解得sn18°=-1±5 4 因为sim18>0,所以sin18°-5-1 4 所以8sr18-4s如18+1=8×(5）-65-1)+1 (关键点：通过计算8sin318°-4sin18°+1=0证明) _55-15+35-1-5+1+1 =√5-2-√5+2 =0， 所以sin18°是方程8.x3一4x+1=0的一个根. 第⑤周 函数y=Asin(wx十p入 三角函数的应用 1.D将函数f(x)=2025sin(4红十)的图象上各点的横坐 标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=2025sin2x十 牙)的图象，（易错点：横坐标变为原来的2倍，工的系数乘 2)将y=2025sim(2x+)的图象向右平移器个单位长 度，得到y=2025sm[2(x-)+]=2025sm(2z 否)的图象.（关键点：函数图象的左右平移，针对的是） A+B=20, 2.A依题意，得 1-A+B=10 解得A=5(小贴士：对于 B=15, f(z)=Asin (o+)+B(A>0,>0l<), A=max-min A+B=max, 2 所以 -A十B=min, B= max十min 2 5 因为号=14-8=6，所以T=12-径所以w-音 所以f(x)=5sin(若x+p）+15. 因为f(8)=5sim（石×8+9）+15=10， 所以sm(+）=-1, 所以号+-+2张∈，即g=+2xk∈ 因为g<受，所以9=吾，所以fx)=5s(名x+晋)十 15,x∈[8,18] 3D由题意可得，子=子，所以T=,(关候点：相邻的对称 轴与对称中心间的距离为】 T 所以一行部得。一士2 4B由题意可，平是该函数的周期的整数倍，即下-石× 4ω k,k∈Z,(关键点：平移后与原图象重合，则平移了该函数的 周期的整数倍的距离) 解得u一S经 -警k∈五因为w>0,放其最小值为 5.A因为y=-sim2zx=cos(2x+8）=cos2(x+牙）， (关健点：若平移前后的函数名不一样，则需利用诱导公式 将其转化为一样的函数名) y=co(2x+号)=os2(x+若）=cas2[(x-8)十 ],所以要得到y=一s血2江的图象，只需把函数y os(2x十）的图象向左平移亞个单位长度， 6.B f(x)-cosw-/3sin r-2cosw+ 因为xe0,2],所以or+号∈[g2wx+] 因为f(x)在区间[0,2x]上有且仅有4个零点和3条对 称轴， 所以受<or+营<所以吕<<君即ue[,君》. 方法总结 已知f(x)=cos(ax十p)(w>0)或f(x)=sin(aur十p)(w> 0)在[x1,x2]上的零点或对称轴情况，求ω的取值范围，需 求出x十g∈[x1十P,ux2十p],然后讨论wx1十P,ux2十 9的取值范围，使其满足题意。 7.AB对于A,由函数f(x)=Acos(x十p)(A>0,w>0, 1<的部分图象，得A-2,子×-登+号 w12+3, 所以w=2,则f(x)=2cos(2x十p). 因为f(）)-2os(2×登+p)-2,一本高中数学周末小测卷 第4周 三角恒等变换 ⊙时间：90分钟 号总分：150分 8得分： ☑答案：P55 基础测·查漏补缺 弥 1.(2025·山东济宁期中，5分)sin 8cos n A号 B喂 喂 喝 2.(2025·江苏南京五校共同体阶段检测，5分)计算sin40°cos160°+sin20°cos140°的值为( A得 RZ C、3 2 n-日 3.(2025·湖南湘-名校联显期中联考，5分)已知m&os。2,则an(。一牙)- cos a cos a A、3 c 0 5w3 封 4.(2025·江苏镇江第一中学月考，5分)已知a8为锐角，0sa= 7na+D-4,则os月= A R吃 Cg D哈器 1 5.(2025·四川绵阳南山中学月考，5分)计算：tan200°+tan40°+√3tan20°tan40°= A.√3 B.-√3 C.1 D.-1 6.(2025·江苏南京六校联合体调研考试，5分)在△ABC中，若sin(A一B)十sinC=0,则△ABC是 蜜 A锐角三角形 B钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 7.(2025·河北承德联考，5分)当函数f(x)=5sinx十12cosx=Asin(x十p)(A>0, 0<g<2)取得最大值时，tanx () 线 、6 R号 c唱 13 012 8.(多选)(2025·广东汕头期末，6分)下列化简正确的是 A.cos72°cos12°-sin72°sin12°=1 -2 B.sin15cos15°=- tan C.cos415°-sin15°= 8 1 2 D. 1-tan2 2 8 必修第一册RJA版 9.(多选)(2025·湖南长沙雅礼中学月考，6分)已知函数f(x)=sinx十2W3 sin xcos x一cos2x, x∈R,则 ( ) A.-2≤f(x)≤2 B.f(x)在区间(0，π)上只有1个零点 C.f(x)的最小正周期为π Dx-号x为了G)图象的一条对称轴 10.(2025·湖北部分学校一模大联考，5分)若a∈(-0)，且c0s2a=c0s(a+F),则。= (2025·江苏海门中学质量调研，3分)在⑩an。=三4 ③1-cose-V 2 中任选一个条件，补充在下面的问题中，并解决问题， sin a 已知0<a<受，且 (1)求sin(a一石)的值： 33 (2)若0<g<a<受ina-)- ,求a (说明：若选择多个条件解答，则按第一个选择给分) 12.(2025·浙江杭州期末，l5分)已知函数fx)=sin(x+石)-cos(x+)+sin(十x): (1)求函数f(x)的最小值，及f(x)取得最小值时x的值； (2)若g(x)=f(2x一)，求函数g(x)的最小正周期和单调递减区间. ·35· 一本高中数学周未小测卷 13.(2025·浙江温州期末，15分)已知函数f(x)=2sinx(acos x一sinx)+1. (1)若f()=1,求a的值； (2)已知函数y=fx)-一a在[，]上存在零点，求a的最小值； (3)当a>0时，若函数y=fz)的图象在区间(？，)上恰有一条对称轴，求a的取值范围。 能力测·迁移运用 2024·湖南部分学校联考，5分已知a∈0,9∈0，》，且ana十tamB=ca9g则 A29-a=8 B29+a=8 C.2a-8-2 D2a+月=8 15.（多选)(2025·山东桓台第一中学阶段性检测，6分)若sin2a-5 ,sin(B-a) 10 且a∈[质，8C,,则以下说法正确的是 () A.cos 2a=- 2w5 B.cos 2a= 2w5 5 Ca十g=7r 4 Da十A-买 1+sina+一 16.(2025·上海松江一中月考，5分)已知a为第三象限角，且√一$ma =-2，则tan号的值 1 cos a 为 17.(2025·江苏启东中学月考，17分)如图，已知直线m∥n,直线l⊥m,l与m,n分别交于D,E两点， A为DE的中点，B,C分别是直线m,n上位于L同侧的两点，且DE=2,∠BAC-于设∠ABD-Q. (1)用a表示∠CAE; (2)求四边形BDEC的面积S关于a的函数解析式S(a)； (3)求S(a)的最小值. 。36● 必修第一册RJA版 拓展测·创新突破 18.新考法结论开放(2025·江苏南通、镇江期中联考，5分)使得(sin11°一cos11)tan0=sin11°十 cos11°成立的0的一个值为 19.(2024·湖北武汉第二中学月考，17分)通过两角和的正、余弦公式和二倍角公式，可以推导出三 倍角公式. 例如，cos3a=cos(2a十a)=cos2acos&-sin2 asin a=(2cos2a-1)cosa-2sin2 acos a= 2cos a-cos a-2(1-cos2a)cos a=4cosa-3cos a. 弥 (I)根据上述过程，推导出sin3a关于sina的表达式； (2)求im126+sin6-sin66的值； sin18° (3)求证：sin18°是方程8x3-4x十1=0的一个根. 封 线