第5章 第13周 三角函数的图象与性质-【一本】2025-2026学年高中数学必修第一册周末小测卷（人教A版）

以锐角∠Q,OP=子， 设t时刻两点重合，则31一t=号十2kmk∈W,即t=石十 kπ(k∈N),（关键点：P,Q两点重合时，二者所转的角度 的差值为十完整的圈（一圈为2m)》 此时点Q(cos(-号+3r)sin(-号+3)， 即点Q(cos(石+3kx),sim(否+3k)∈0。 当为为偶数时，点Q(cos石，sin),即P,Q重合于点 (停，号），放A正确：（易错点：谁意要对及分专偶时老 奇偶不同，结果不同)】 当k为奇数时，点Q(-c0s晋-sn君），即P,Q重合于 点(-气-)，故C正确 1. 因为cos10°=sin80°，（关键，点：化简为和已知一致 的形式) 所以f(cos10)=f(sin80)=sin240°=sin(180°+60)= 血0-9 18.解：(1)由题意，得 sin(2r-z)sin()cos) f(x)= cos(n-x)sin(3x-x)sin(-x) -sinx(-sinx)(-sinx） -tan x. -cos xsin x(-sin x) 若f(x)=2,则tanx=-2, 所以，nr+5cosz=tanx+5 -2+5 3 2cos x-3sin x 2-3tan x 2-3X(-2)8" (2)由题意，得f(x)=6sinx+7-4cos2z sin x+1 6sinx+7-41-sin2z)_4sinz十6sinx十3.（关键点： sin x+1 sin x++1 利用1=a十四。连行消参，转化为关于血王的二淡 的形式)】 令sinx+1=t.因为sinx+1≠0，所以sinx+1∈(0,2]， 即t∈(0,2]， 所以y=4-1+6-1)+3_-2+=4红十1 t t 2,(关统点：对于后突来装值问题，可以利用美元法（或配 凑法)，转化为对勾函数，利用基本不等式或对勾函数的性 质求解) 则y=4红+}-2≥2√·-2=2，当且仅当红=}， 即t=2时，等号成立. 5 此时如x十1=名，即s血x=一号，解得x=一吾+2 或=-警+2x,∈2 所以当x=一音+2kr或x=-管+2张，6∈Z时，f 6 取得最小值，最小值为2。 19c由fx)=sm2x,f(x+8）=fx+, 得sin(2x十0)=sin(2x十20)，（关键点：若sina=sinB,则 a=B+2kπ或a十B=π十2kπ，k∈Z) 所以2x十0=2x+20+2kπ或2x十0=π-(2x+20)十 2kπ，k∈Z. 当2x十0=2x十20+2kπ，k∈Z时，0=-2kx,k∈Z 又因为0∈(0,2π)，所以这样的0不存在. 当2x十0=元-（2x+20)+2kπ，k∈Z时，x=- 30 (2k+1D正，k∈Z 因为x∈(0，若），所以一9+②牛1》还∈(0，爱）， 4 k∈Z, 所以8∈(25+若，2甘2)∈0，又9e0,2m. 所以当及=0时，0∈（管，号），此时日在第一象限： 当k=1时，0∈(，)，此时9在第二象限： 当k=2时，0∈（受，），此时0在第四象限 综上，0的终边可能位于第一、二、四象限，不可能位于第三 象限。 第③周三角函数的图象与性质 1.B【思路导引】利用诱导公式，将选项中的角化简为(0， 艺）中的角，然后利用正弦、余孩、正切函数在(0，）上的 单调性判断。 对于A,因为sm=m(x+晋）=-血晋，且晋∈(0， ,所以m吾>0，所以n晋>-血吾-血 故A错误。 对于B因为co(-）=os晋，且0<<晋<， 所以cos(-晋）=cos音<cos营，故B正确 对于C因为-吾<<-吾<受， 所以am(-一)<tam(-）,故c错误 对于D,因为0<<行<受，所以血子<血牙， as<s，且sm=os， 所以cm<=血子<血号，放D错误 2.C【思路导引】解关于三角函数的不等式时，先画出该三角 函数的图象，再进行求解.若x∈R,则先选一个周期，选择 周期时，尽要让工的范因是一税，如解c≥一号（红E R),我们选择[一，]这个区间求解，然后再加2kπ(k∈x. 如图，由x≤号z∈0,2，结合y-msz的图象可 知ze[要] 3π 2/2 3.A【思路导引】判断函数图象时，一般从定义域、值域、奇偶 性、单调性、特殊点这五个方面入手 函数y=f(x)=simx-1的定义域为(-o,0)U(0, 十∞)，关于原点对称. 因为f(-x)=一snx十1=-f),所以函数f(x)为奇函数 x 当x>0且x→0时，f(x)→一o∞，故排除B,C. 又（受）-1-品>0，故排除D 4D因为一吾<红<吾，所以-吾<4红<受，所以-< 4红-吾<百，（关键点：求os(ar十g,im(ar于p)或 tan(ax十p)的范围时，通常先计算ux十p的范围，然后利 用函数的单调性求解) 所以-号<s(4红-晋）<1， 所以-<一3cos(4红-晋）<号， 所以2-5≤2-5aos(4r-）人名， 即2-5<x)<8, 所以函数f(x)=2-3cos(4红-5），x∈(-君，g)的 值域为[2-万，2) 5Cfx)=m(受-合)=-m(分x-晋).（易错点 此函数为复合函数，内层函数的系数为负，需要利用诱导公 式将其转化为正》 令之1 x一子，则函数y=sn之的单调递减区间为 [2x+受，2kx+]eD。 由2kx十吾<x-音<2x+∈Z 得x十晋<<+号，kEZ 因为x∈[-2π，2π]，所以所求的单调递增区间是 。5 [-2-晋]和2] 6.A【思路导引】根据函数解析式以及函数奇偶性的定义，利 用诱导公式或画出对应函数图象，再对选项逐一分析即可 对于A,易知f(x)=cosx满足f(一x)=cos(一x)= |cosx|=f(x),且x∈R,则f(x)为偶函数， 画出函数图象如下图所示： V _πOπ 2 最小正周期为π，满足题意，故A正确； 对于B,易知fx)=cos(2x+）=-sm2z为奇函数，故 B错误； 对于C,易知f(x)=sin(2x十x)=一sin2x为奇函数，故C 错误； 对于D,易知f(x)=|sin2x|满足f(-x)= |sin(-2x)|=|-sin2x|=|sin2x|=f(x),x∈R,则 f(x)为偶函数， 其图象如下图所示： O匹 2 2 显然其最小正周期为受，不合题意，故D错误。 7D【思路导引】画出正弦函数的图象以及值域端，点值对应 的直线，观察图象求解， 由y=2sinx的定义域为[a,b们，值域为[-1,2]，得 1 ≤sinx≤1.作出y=sinx的图象如下图所示. 6 现察y=血x的图象可得，6一á的最大值为-（一石） 智6-。的最小值为行-吾-行所以<6-a≤怎结 合选项可知，6-口的值可能是 8.BC因为y=sinx在(0，π)上不单调，且A>B,所以 sinA>sinB不一定成立，故A错误. 因为y=cosx在(0，π)上单调递减，所以由A>B,得 cosA<cosB成立，故B正确. 因为A+B=5,所以sinA十sin2B=sim2A十sin(交- A)=sinA十cos2A=1,故C正确. 因为sinA=coB=sim(5-B）,A∈(0，m）,2-B∈ (一受，受），（关健点：解不同名的三角函数方程时，需要利 用诱导公式将其转化为同名的三角函数) 所以A=5-B或A十5-B=元，即A+B=2或A- B=,故D错误。 9.ACD对于A,对于函数f(x)=sin(-2x-于)，根据正 弦函数同期公式T=行得T-登=故A正确： 对于B,y=cos(2z+）=os(2x+百+受）=-sim(2x+ ）=sim(-2x-若），与f(x)不是同一函数，故B错误； 对于C,当x=-亚时，f(-)=im-2×(-) 子]=sm(-晋）=一，所以x=一是不是fx)的图象 的一条对称轴方程，故C正确；（关键点：判断函数y= sin(ux十p)的对称轴时，将其代入三角函数解析式，判断其 函数值是否为士1；判断对称中心时，判断其函数值是否为0) 对于D,当x∈(o,)时，2x+号∈(5,5)，所以 m(2红+)[号，]，所以fa)=-m(2x+) [一1，]，故D正确， 10.行若f(x)=3sin(2x-5十9）为奇函数，则-子十9 kπ，k∈Z,(关键点：若函数y=sin(ax十p)为奇函数，则可 以利用诱导公式将其转化为y=sin ox的形式；若y= sin(uz十p)为偶函数，则可以转化为y=cosz的形式， 注意奇变偶不变的使用) 即p=子+k,k∈Z 又9∈(0，，所以g=于 1.(0,]【思路导引1由条件求3江十g的范国，根据正孩 函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围， 由-行<x≤8可得，一5十p≤3x十p≤平十p, 又9是三角形的一个内角，所以0<p<元 因为函数y一2如(8x十在区间[-晋，登]上单调递增， 则 +≤经 又0<<，所以g的取值范围为0，] 12.解：(1)由函数f(x)=cosx可得，表格如下： 0 3 2 2 f(x)1 0 -1 0 可得f(x)在[0,2π]上的大致图象如图所示. 3知2πx (②令2江一普-∈乙，解得x经+营∈乙对称轴 方程为x-经+营，kZ(关统点：求西数图象的对称轴 方程和对称中心时，将x十p看成一个整体求解) 令2红-晋-登十k,k∈乙解得x=各x十经kE乙.所 以对称中心为骨+，0），k∈Z 3)因为x∈[晋，]，所以2x∈[-受，]， 以（红-）[1] 所以(2红-爱）=1，此时2x一至-0，即x=君 13解：(1D因为f(2）=4,所以-2sin+cos5+a十4= 4,所以-2十0+a十4=4，解得a=2. (2)由(1)，知f(x)=-2sinx十os2x十6=-sin2x-2sinx十 7=-(sinx+1)2+8. 设=mx.因为x[-吾哥]，所以[-2] 设g@0-u+1+8e[-合]， 则当=一 时g)=g(-）=-子+8- 当t=1时，g(t)m=g(1)=-4+8=4, 所以晒数)的位较为刘[，门 方法总结 求有关三角函数值域（最值）问题的常见类型 l.形如y=asin(aux十p)十b(或y=acos(ax十p)十b) ①先由定义域求得ax十g的范围， ②求得sin(ax十p)(或cos(ux十p)的范围； ③求得最值. 2.形如y=asin'x十bsin x十k.设sinx=t,化为关于t的二 次函数y=at2十bt十c求值域（最值）.（注意新元的范围） y=acos'x+bsin z+c=a(1-sin'z)+bsin z+c; y=asin'z+bcos x+c=a(1-cos2x)+bcos z+c. 14解：由题意，得T-经=元，所以函数y=f(x)的最小 2 正周期为元 由受+2<2x-吾<警+2∈刀，相号+<x< 晋+d∈D, 所以函数y=f(x)的单调递减区间为 [吾+x,+kr]aeD. (2由2f(x)-m-1=0,得2sim(2x-石）-m-1=0, (关健点：方程有解问题，利用参变分离，转化为两个函数 的图象交点问题) 即m=2sin(2x-石）-1. 由x[0,],得2x-吾∈[-晋] 则sm(2x-若)e[-号1]，所以2sim(2x-6）-1e [-2,1],即m∈[-2,1]， 所以m的取值范围为[-2,1门， 15.C【思路导引】y=sin nxcos 100x(m∈N)的周期为 T一开和T=品-的最小公修数，然后脸运得到正 整数n所有可能取值即可. 100 由题意，得y=sin nxcos n (n∈N)的周期为T,=2 和T:=品-需的最小公倍数。 所以5x为牙和的最小公倍数，所以 (k, 71 2一5元 m·100 m∈Z),所以 4. (k,m∈Z) 250 m 因为n∈N+,k,m∈Z,所以m为250的约数，k为5的整 数倍，n为偶数， 所以m=1,2,5,10,25,50,125,250. 所以m=1时，n=250,符合题意， m=2时，n=125,不符合题意； m=5时，n=50,符合题意； m=10时，n=25,不符合题意； m=25时，n=10,符合题意； m=50时，n=5,不符合题意； m=125时，n=2,符合题意； m=250时，n=1,不符合题意， 故n=2,10,50,250,所以满足条件的正整数n的所有可 能取值的个数是4. 16.4r【思路导引]令t=2x-3,转化为函数y=cost与 y=号在1[一吾，]上的交点问题，结合共对称性，数 形结合，即可求解 令fx)=3os(2x-3）-1=0,则cos(2x-5）=3 当[意]时=2x-晋∈[受] 由题意，转化为函数y=cost与y=了的图象在t∈ [一受，]上的交点问题，且交点的模坐标从小到大依次 。54 为=2x1-3a=2x-3…6.=2x,-3 画出函数y=0s:与y=号在：∈[-受，)]上的大致 图象（如图） yy=cos t πO 2x1- π5元1 x23 2x432 2K33 由图象可知，函数y=cos1与y=3的图象在1一受， ]上有4个文点，即=4 2-+2:- 2x一3 又 十2x一3 =0, 2 2 2-+2- -=2π 4π 7元 所以西1十x2=3z2十x=3x十4=3， 所以x1十2x2十2x3十x4=(x1十x2)+(x2十x3)十(x3十 17解：1)由不等式f(x)≥1，得2an(2z+）+1>≥1，即 tan(2x+)≥0， 所以k<2x+子<kx+晋（∈0， kr+艾(k∈D, 解得经骨<< 8 故不等式f)≥1的解集为[经-晋，经+晋)∈D. (2)[思路导引】首先求函数f(x)的值域，再换元为函数 A0)=4+ml-2m十号（-1<<3)，转化为讨论对称轴 与定义域的关系，求函数的最小值问题，即可求解 因为xe[-,0]所以2x+∈[-]， 所以am(2z+)∈[-1,1， 所以2tam(2x+年)+1∈[-1,3]，即f(x)∈[-1,3]. 设t=f(x),则t∈[-1,3]. 设函数A(0=F+m-2m+号（-1C≤3)，则-21 一受.（关健点：开口向上的抛物线，求最小值，计论对称轴 与区间端点的关系；求最大值，讨论对称轴与区间中点的 关系) 当-受<-1，即m>2时A()在[-1,3上单调递增， 则Ae)n=(-1D=1-m-2m十号≥0，解得m≤是 13 又m>2,所以m∈☑，即m>2不符合题意. 当-1≤-受≤3，即-6≤m≤2时，h()在 ● [-1,-受)上单调递减，在[-受，3]上单调递增， 则h0=A(-受）-受-受-2m+号0， 解得-9≤m≤1. 又-6≤m≤2，所以-6≤m≤1. 当-受>3，即m<-6时，h(e)在[-1,3]上单调递减， 则五0m=A(3)=9十3m-2m十号≥0，解得m≥-织 又m<-6,所以-早≤m<-6, 综上m的取值范围是[一织] 18.A0由题意可得，snaa+不，6osa√公不 a 则b=√a2+bsin a,a=√a2+b2 cos a,所以Ti(a)= 书-所以)十细〔候 根据新定义，求出f(x)的解析式) os(-x）+sim(5-z） 对于A,由f(一x） os(5-x）-sin(5-x) sin z+cos a=-f(x), sin x-cos x 得（平，0）是函数∫(x)的图象的一个对称中 心，故A正确。 对于B,由f(x)= ,得0s十sn1 cosx一sinx 21 化简可得，tanx=一 ,易知存在唯一的xo∈（牙，使 得tan xo-= 专故B错误 对于C,由A可知，函数f(x)的图象关于（于，0）成中心 对称， 则函数f(x)的图象向左平移个单位长度可得， 函数f(x十平)的图象关于(0,0)成中心对称，故C错误； 1+tanx=-(1-tanc)+2=-1+ 对于D,由f(x)=1-tanz 1-tan x 1一an工，（关能点：分离常数，判断函数的单调性) 2 且函数y=anx在（不，受）上单调递增，则函数f(x)在 (年，受)上单调递增，故D正确， 19解：1因为f)=smx,定义域D=[-受，]， 所以f(0)=sin0=0,所以Sro={x|f(x)≥f(0)=0}= {x|sinx≥0}= [o,] (2川思路导引】先求f(若)，由Sm2S,()即可求解。 因为f(晋）=sn吾-，所以S,(③)={zsmx≥ 。5 2}={红<≤} 又因为Sfw={x|sinx≥sint}={x|x≥t},且Sw2 S()所以-≤≤石， 所以：e[吾晋] (3)川思路导引】根据定义判断出函数单调递减，由f(x)= 2cos2x十acos x-1,令λ=c0sx,λ∈[-1,1]，则g()= 2λ2十a以一1，λ∈[一1,1]，根据复合函数的单调性即可 求解。 由题意，知对任意t,t2∈D,t<t2,都有S)二Su), 所以f(t2)≥f(t1). 又t1<t2,所以f(x)在[O,π]上单调递增. 因为f(x)=2cos2x十acos x一1. 令λ=cosx,λ∈[-1,1]，则g()=22+a以-1. 由入=cosx在[0，π]单调递减，根据复合函数的单调性可 得g()=2x2十aλ一1在[-1,1]单调递减， 所以-号≥1，即a<-4 综上所述，a∈(-o∞，-4]. 第周三角恒等变换 1B由正弦的二倍角公式可得，m吾吾=合s血子 吉×号送健点细-如m 2.Csin40°cos160°+sin20°cos140°=-sin40°cos20°- Sin20°cos40°=一sin(40+20°)三一Y%.(关健点：利用诱争 公式化简为sin acos B士sin Bcos a的形式) ③D【思路导引】根据齐次式可得，am口=。，进而根据两角 差的正切公式求解， n8o8os。=2,得ana-2,解得ana-之， 1 3 由sina一cosa tan a-tan r 3 因此tan(e一） 4 =21 1 1+tan eian1+×15 1 4.B因为&为锐角，cosa=7, 所以m&=V-w。-45 因为0<a<受，0<p<受，所以0<a+Kx,且a+>a, 元 Γ14<sina=4y3 因为sin(a+8》=53 ,函数y=sinx在(0， ）上单调递增，在（受，）上单调递减， 所以受<a十K, 所以a+创=--面a+分=是 所以cosB=cos[(a十B)-a]=cos(a十B)cosa十sin(a十B)· sina(关健点：将所求角B用已知角a,a十B来表示，即B (α十B)一a,然后利用两角差的余弦公式计算) ●一本高中数学周末小测卷 第 13周 三角函数的图象与性质 ⊙时间：90分钟 号总分：150分 8得分： ☑答案：P51 基础测·查漏补缺 弥 1.(2025·北京第一六一中学月考，5分)下列各式正确的是 p Asn<sin &cos(-)<cos日 C.tan(-)<tan(- 2π π D.sin7<cos7 2.(2025·湖南永州期中联考，5分)已知x∈(0,2π)，则不等式cosx≤一 2 的解集为 A (受，U(,》 c[] D[,]u[F, T 3.(2025·四川成都树德中学阶段性测试，5分)函数y=six一二的部分图象是 封 A B C D 4.(2025·山东桓台月考改编，5分)函数f(x)=2-3cos(4x-),x∈(-牙，)的值域为() A(2,2+3) B[2,2+3 c(2-3,) D[2-3,) 5.(2025·湖南省百校期中联考，5分)函数y=sin(胥2+)，z∈[-2,2]的单调递增区间是 () 线 A[-] B-到 C[-2,-]和，2x] D[-2,-]和号2] 6.(2025·福建福宁古五校教学联合体期中，5分)下列函数中，最小正周期为π且为偶函数的是 养 A.f(x)=cos x Bf(x)=cos(2x+2） C.f(x)=sin(2x十π) D.f(x)=sin 2x 必修第一册RJA版 7.(2025·陕西蒲城第三高级中学月考，5分)已知函数y=2sinx的定义域为[a,b],值域为 [-1,2],则b-a的值可能是 () A号 B3 c n唔 8.(多选)(2025·湖北武汉期末，6分)已知A,B∈(0，π)，下列说法正确的是 () A.若A>B,则sinA>sinB B.若A>B,则cosA<cosB C.若A+B=,则sinA十sim2B=1 D.若sinA=c0sB,则A十B=受 9.(多选)(2025·陕西西安陕西师范大学附属中学期中，6分)已知函数f(x)=sim(-2x一），则 () Af(x)是周期为π的函数 B/(e)与函数y=cos(2x+)是同一函数 C.x=一不是fx)的图象的一条对称轴方程 Dfx)在区间(0，)上的取值范围是[-1，] 10.(2025·江西南高新民外语学校期中，5分)函数fx)=3sin(2z-3+9),9∈(0，m, 若f(x)为奇函数，则p=· 11.(2025·河南信阳期中，5分)若p是三角形的一个内角，且函数y=2sin(3x十p)在区间 [-吾，]上单调递增，则p的取值范围为 12.(2024·福建厦门双十中学月考改编，13分)已知函数f(x)=cosx,x∈R (1)用“五点法”在如图所示的平面直角坐标系中画出f(x)在[0,2π]上的图象； (2)求函数g(x)=√2f(2x一牙)的图象的对称轴方程与对称中心； (3)求函数(2x一)在区间[一令，]上的最小值和最大值，并求出取得最值时的x的值。 ·33· 一本高中数学周未小测卷 13.(2025·江西全南中学月考，15分)已知函数f(x)=-2sinx十cos2x十a+4,且f()=4. (1)求实数a的值； (2)者x∈[-晋，]，求函数f(x)的值域。 14.(2025·上海浦东期中，15分)已知f(x)=sin(2x-石)： (1)求函数y=f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)若关于x的方程2f(x)一m-1=0在x∈[0，]上有解，求实数m的取值范围。 能力测·迁移运用 100 15.(2025·上海华东师范大学第二附属中学期中，5分)若5π是函数y=sin nxcos 2的一个周 期，则正整数n所有可能取值的个数是 A.2 B.3 C.4 D.5 16(2025·山东弹坊期中，5分)函数f)=30as(2z一罗)-1在[-臣，]上的零点 从小到大依次为x1,x2,…,xm,则x1十2x2十2x3十…十2xm-1十xn的值为 17.(2025·江西宜春月考改编，17分)已知函数f(x)=2tan(2x十)十1. (1)求不等式f(x)≥1的解集； (2)设函数g()=[fz)]+mf(x)-2m+号，对任意的z∈[-牙，0]，g(x)≥0恒成立，求m 的取值范围. 。34● 必修第一册RJA版 拓展测·创新突破 18.(多选)(2025·江苏苏州木渎高级中学月考，6分)已知角α的顶点与原点重合，它的始边与x轴 的非负半轴重合，终边过点Aa,6)(ab≠0，a≠b),定义：a)-中名对于函数f()= Ti(x),则 () A函数f(x)的图象关于点（于，0）对称 B方程fx)=2在区间（牙，m)上有两个不同的实数解 弥 C将函数f(x)的图象向左平移”个单位长度后得到一个偶函数的图象 D.函数fx)在区间(T,)上单调递增 19.(2025·上海川沙中学期中改编，17分)已知函数f(x)的定义域是D,对于任意的t∈D,定义集 合Sfo={x|f(x)≥f(t) (1)设f(z)=sinx,定义域D=[-,],求Sm； (2)设fx)=snx,定义域D-[一受，]，若So2S,求t的取值范围： (3)设f(x)=2cos2x十acos-1,定义域D=[0,π]，对任意的t1,t2∈D且t1<t2,都有Sfu,二封 Sf,),求实数a的取值范围。 线