第5章 第12周 诱导公式-【一本】2025-2026学年高中数学必修第一册周末小测卷（人教A版）

等号成立的条件) 所以9x+y的最小值为16. 17.ABD对于A,fn(x十2x)=sin2m(x+2x)十cos2m(x+2x)= sin2nx十cos2"x=fn(x),故A正确； 对于B,f2(x)=sinx十cosx=(sin2x十cos2x)2一2sinx· oz≥1-2（世士）了=合，（关使点：利月 sin0十cos20=1进行变形，然后利用基本不等式求积的最 大值) 当且仅当sin2x=士1时，等号成立，故B正确； 对于C,f3(x)=sinx十cos5x=(sinx十cos2x)3-3sinx· cos'x -3sin2x cos'x 1-3sin'xcosx>1- 3(m告)=1-是-是，（关续点：利用r0十 2 c0s0=1进行变形，然后利用基本不等式求积的最大值) 当且仅当sin2x=士1时，等号成立，C错误； 对于D,由fn(x)-fn+1(x）=sin2"x十cos2x-sin2m+2x- cos+2x=sin"x (1-sin'x)+cos"x (1-cos'x)=sin". cos2x十cos2x·sinx≥0，（关键点：提公因式，利用sin0H cos20=1进行变形) 则f.(x)≥fa+1(x),故D正确. B9士eo）由已知可得，mese x十mxz+r≥8 即m≥15sim工-s加.（关健点：恒成立求参，参变分离） cos2x" 因为x≠k+受∈刀，所以cosz∈(0，， 所以15sinz--15（1-casz)-1-os2x cosx cosx 17-(z十15ams）.(关能点：利用9+eo0=1化 异为同) 因为 1 1 os2 z+16oosx≥2V√o3z·16cosx=8,当且仅当 os-时，等号成立，所以15：-黑天17-8 9,故m≥9. 19.解：(1)由题意，得∠MA'E'十∠A'E'M=90°，且∠A'EF'= 90°， 则∠A'E'M+∠AEF'=90°，则∠MA'E'=∠AE'F'= 0= 所以EE'-EF'cs0=10x 2=5v2, 所以ME'=A'E'sin0=5x2_5V2 22 所以AM=x=ME'+EE-AE=152 2 (2)由题图可得，AM=x=E'E+ME'-AE,EE'= E'F'cos 0=10cos 0,ME'=A'E'sin 0=5sin 0, 所以x(0)=10eos0+5sin0-5,9e[吾，] (3)由(2)可得，6=10cos0+5sin0-5, 即10cos0+5sin0=11, 所以sin0=11-10cos9 5 。48 所以s面9+o0=(1-19m0)）°+cws0=1(美t点 构造二元方程组 /10eos0+5sin0=1,求解) sin'0+cos20=1 化简，得125cos20-20c0s9+96=0,解得cos0=号或 00s0=25 4 因为9e[]所以<m9≤，放ms9- 1 sin 设改造后停车位数量的最大值为n. 如图，过停车位顶点Gn作射线MA的垂线，垂足为Hm, M A'H A.HA E A G F, 则顶点Gn到线段ME的距离为dn=MA'十A'A2十 A2A3+…十An-1An十AnHn. 由图及题意可得，A'A2=A2A3=…=An-1An,A2H2= A3H3=…=AnHn, 则d.=MA'+A2H2十(n-1)A'A2. 易得∠EA'M+∠E2A'A2=∠E2A'A2十∠E2A2A',则 ∠EAM=∠E2A2A'=0. 因为∠E2A2A'十∠G2A2H2=∠G2A2H2十∠A2G2H2, 所以∠E2A2A'=∠A,G2H2=0, 则Aa,会5-要AH,=AH=A,G如9=6 又MA'=A'Ecos0=4, 则d.=MA'+A,H+(n-1)A'A2=10+2(n-1).关 键点：第一段MA'和最后一段AH。的长度和为定值，中 间是相同重复的) 令d,<50,得空m-1D<540,解得m<874, 即改造后最大停车位数量为87，所以改造后的停车位比改 造前增加87-55=32（个）. 第②周诱导公式 1B因为os(竖+e)=cos(2x+受+)=os(受+a) 1 -sin a=- 4,(关键点：奇变偶不变，符号看象限，假设角 a为锐角)】 1 所以sina=4 os(受- 2.A cos(π十a) -sin a=tan a=-2, -coS a 则2sina十cose_ cos a sin a-cosa 门☐1（美线点：本大 sin a-1 cos a 的分式，分子、分母同除以cosa,弦化切) 3.B因为os(x+a） 3 =4 sm(-a】 所以1 3 =4 cosa cos a 所以4cos2a+3cosa-1=0,即(4cosa-1)(cosa+1)=0, (关健点：去分母，构造关于c0sα的一元二次方程) 所以cosa=}或csa=-1. 因为α是锐角，所以c0sa>0,(易错点：a为锐角，余弦值为正) 所以o。-名，所以。4 1 4C对于A,因为A十B+C=,所以A告B-登-号，（失 2 键点：在三角形中，注意A十B十C=π的使用) 所以血4生-（受-号）=a号放A错误 C 对于B,mA告B-m(受-号)=C放B结误 2 tan 2 对于C,因为2A十2B=2π一2C, sin(2A+2B)=sin(2x-2C)=sin(-2C)=-sin 2C, 故C正确。 对于D,cos(2A+2B)=cos(2π-2C)=cos(-2C)=aos2C, 故D错误. 5.A由0°<a<90°，得33°<a+33°<123° 因为0s(33°+a)=3 所以a8+o)-√()=专 又sin(57°-a)=sin[90°-(33°+a)]=cos(33°+a), cos(147°-a)=cos[180°-(33°+a)]=-cos(33°+a),(关 键点：注意观察所求角与已知角之间的关系，57°一a=90° (33°+a),147°-a=180°-(33°+x) 所以tan(33°+a)sin(57°-a)-cos(147°-a)= sin(33°+a) cos(33°+a) ·cos(33°+a)+cos(33°+a)=sin(33°+a)十 6.B因为锐角a,B满足a+A=受，所以a∈(0，受）)，sina∈ (0,1), 从而cosa十tan ain=l一sima+&·shn(受-a） cos a 112 5 -sina十sina十1=-(sina-2)+是，（关键点：双参 问题单参化，利用已知条件。十月=受消参，转化为关于 sina的一元二次代数式) 故当s如a=名，即。=吾时，原式取得最大值，最大值为。 1 7.C因为角a的终边经过点(tan220°，1)， 1 c0s40° 所以tana-tan20-an(180r+40-tan40°-sm40 sin(90°-505-cos50=tan50°.（关键点：tana→'，所以 cos(90°-50)sin50° x 1 ana=an220,然后需要将iam220利用诱导公式化简为 。4 tan&的形式) 又0°<a<180°，所以a=50°. 8.BCD由题意，得fa)=_2osa·(-osa)·(-sina2_ -cos a 2 sin acos,故A错误，B正确； 若tana=3,则f(a)=2 sin acos a= 2sin acos a= sin acos a 铝一号故C正确：（关笑点：当多项式是二次式时 可以构造分母为1，然后利用1=sin2a十cos2a构造齐次式， 分子、分母同除以c0s2α，弦化切) 若如a一osa-号，两边取平方，整理，得1一2 sina 2 1 1 2,即sin acosa=4, 1_1 所以f(a)=2 sin=2×4-=2,故D正，确 9.BC因为角a,B的终边关于x轴对称，所以a=一B十2kr, ∈Z（小贴士：角a,B的终边关于x轴对称，可得a十B 2kπ，k∈Z;角a,B的终边关于y轴对称，可得a十B=π十 2k,kE乙，角a明的终边关于y=x对格，可得a十B=受 2kr,∈Z;角a,B的终边关于y=一x对称，可得a十B= 受以习 对于A,sina=sin(一B+2kx)=-sinB,k∈Z,故A错误； 对于B,tana=tan(-B+2kπ)=tan(-B)=-tanB,k∈Z, 故B正确； 对于Csim(受+a）=oasa=aos(-8+2km)=eas(-)= cosB,k∈Z,故C正确； 对于D,cos(x一a)=一cosa=-cos(一B十2kπ)=-cosB, k∈Z,故D错误 10-号si血570°=sin(210+3609）=sn210°=sm(180+ 30)=一s血30°=一之：（关能点：将已知角利用涛导公式 转化为常用角求解) m(e+）=m[-(-)]-m(吾-)： (关使点：注意观察已知角营-口和所求角。十行之间的关 系，a+三-=一（行-@），然后利用诱导公式递行化简) 因为ae(0,),所以-a∈(，)， 所以sm(答-。）-√1-os(号-a)-号 2:少题意可得，o)是 --cos a. (2②)由题意，得-cos(。一)）=-号， 所以cos(e）=是 9 因为a为锐角，所以a∈(0，受）， 所以a-∈(-年-晋） 因为(。-)）=号>0， 所以。一∈(-受，-晋），（易错点：虽然。为锐角，但 是需要根据余孩值翰小。一否的范国)】 所以f(a+）=-os(a+5）=-os[(a-）+x片 cos(。一）=子.（易错点：虽然a为锐角，但是在利用诱 导公式时，需要假硬。一要为锐角】 sin(0-5m)cos(0-2）os(8m-0) 13.解：(1) sim(a-）sn(-g-4n -sin Osin Ocos -cos 0sin 0 =sin 0. (2)因为a∈(0，d,sna+2osa=-1<0,所以a∈(5，)， 由(sina十2cosa)2=1,得sin2a十4 sin acos a十4cos2a= 1+4sin acos a+3cos2a=1, 所以cosa(4sina十3cosa)=0,(关键，点：平方，利用1一 sin2a十cos2a化简，提公因式求解) 所以cosa=0或4sina十3cosa=0. 因为a∈（受），所以osa=0舍去， 3 由4sina=-3cosa,得sina=-4cosa. 若角B的终边与角a关于x轴对称， cos B=cos a,sin B=-sin a, sn(x--2sn(经-) 所 sin B-2cos B 2cos(5+P）+cos(5r+p) -2sin B-cos B 3 -sin a+2cos a 4 cos a+2cos a 11 4 11 2sin a-cos a 3 5 101 2 cos a-cos a2 os)tan(-a+)sin(r-a) 14.解：(1)f(a)= tan(3x+a）sin(z+a）sn(6x-a） -os(受-atam(-asna tan asin(空+a)sin(-a） =一sina,（二tana）sna=-tana. tan acos a(-sin a) 所以f(a)=-tana. 若点P的纵坐标为-号，则ma=一复，。 2,cos a= 士V个一ma=士分.（易错点：利用1=a十m。求解 ●5 时，注意有两个结果) 当sna=-3 2,cos a=- 2时，f(a)=-tan a=-s1ng合 cos a -√3； 当sina= √ 1 2,cosa=2时，f(a)=-tana= sina一3， cos a 综上，f(a)的值为3或-√3. (2)sin'a3sinsina3sin acosco sina+2 3sina+2cosa tama-3tan。-1(关键，点：利用1=sin2a十coa进行齐 3tan2a十2 次化构造) 16 9 -4-1 29 3x9+2 66 9 15,解：1)由题意，得si血x十cosx二3两边平方，得1+ 49 120 2 sin cos=169,所以2 sin= 169<0,所以1- 289 289 2sin cos16 (sin -cos )169 (关键点： (sin x+cos x)2=1+2sin xcos x,(sin x-cos x)2=1- 2sin xcos z,(sin x+cos x)2+(sin x-cos x)2=2) 又因为x∈（一，0），所以x∈(-吾，0， 17 所以sinx一cosx<0,所以sinx一cosx= 13 5 12 故sinx=一13，cosx=13, 所以os(r+3m)-sin(z-d」 -cosx十sinx cos(+z）-2cosz -sin x-2cos x 125 1313_17 5 ,1219 3-2×13 (2)因为t=sinx十cosx, 3 所以f(x)=sinx+cosx-3 sin=t-2(2-1)- 3 号2++)，关键点：(nz寸0s1+2工 cosx,构造一元二次函数求最值) y=- ：十1+号的图象的对称轴为直线(=- 一3 3,开口向下，t∈[-2,1). 当时y=++- 当=1时y=-名+1+2=1， 3 当=2时y=-是×2-2+是-反-是， 故函数f(x)=sinx十cosx一3 sin xcos x的值域为 [--8] 16AC因为点Q的初始位登Q,的坐标为（宁，-号），所 以锐角∠Q,OP=子， 设t时刻两点重合，则31一t=号十2kmk∈W,即t=石十 kπ(k∈N),（关键点：P,Q两点重合时，二者所转的角度 的差值为十完整的圈（一圈为2m)》 此时点Q(cos(-号+3r)sin(-号+3)， 即点Q(cos(石+3kx),sim(否+3k)∈0。 当为为偶数时，点Q(cos石，sin),即P,Q重合于点 (停，号），放A正确：（易错点：谁意要对及分专偶时老 奇偶不同，结果不同)】 当k为奇数时，点Q(-c0s晋-sn君），即P,Q重合于 点(-气-)，故C正确 1. 因为cos10°=sin80°，（关键，点：化简为和已知一致 的形式) 所以f(cos10)=f(sin80)=sin240°=sin(180°+60)= 血0-9 18.解：(1)由题意，得 sin(2r-z)sin()cos) f(x)= cos(n-x)sin(3x-x)sin(-x) -sinx(-sinx)(-sinx） -tan x. -cos xsin x(-sin x) 若f(x)=2,则tanx=-2, 所以，nr+5cosz=tanx+5 -2+5 3 2cos x-3sin x 2-3tan x 2-3X(-2)8" (2)由题意，得f(x)=6sinx+7-4cos2z sin x+1 6sinx+7-41-sin2z)_4sinz十6sinx十3.（关键点： sin x+1 sin x++1 利用1=a十四。连行消参，转化为关于血王的二淡 的形式)】 令sinx+1=t.因为sinx+1≠0，所以sinx+1∈(0,2]， 即t∈(0,2]， 所以y=4-1+6-1)+3_-2+=4红十1 t t 2,(关统点：对于后突来装值问题，可以利用美元法（或配 凑法)，转化为对勾函数，利用基本不等式或对勾函数的性 质求解) 则y=4红+}-2≥2√·-2=2，当且仅当红=}， 即t=2时，等号成立. 5 此时如x十1=名，即s血x=一号，解得x=一吾+2 或=-警+2x,∈2 所以当x=一音+2kr或x=-管+2张，6∈Z时，f 6 取得最小值，最小值为2。 19c由fx)=sm2x,f(x+8）=fx+, 得sin(2x十0)=sin(2x十20)，（关键点：若sina=sinB,则 a=B+2kπ或a十B=π十2kπ，k∈Z) 所以2x十0=2x+20+2kπ或2x十0=π-(2x+20)十 2kπ，k∈Z. 当2x十0=2x十20+2kπ，k∈Z时，0=-2kx,k∈Z 又因为0∈(0,2π)，所以这样的0不存在. 当2x十0=元-（2x+20)+2kπ，k∈Z时，x=- 30 (2k+1D正，k∈Z 因为x∈(0，若），所以一9+②牛1》还∈(0，爱）， 4 k∈Z, 所以8∈(25+若，2甘2)∈0，又9e0,2m. 所以当及=0时，0∈（管，号），此时日在第一象限： 当k=1时，0∈(，)，此时9在第二象限： 当k=2时，0∈（受，），此时0在第四象限 综上，0的终边可能位于第一、二、四象限，不可能位于第三 象限。 第③周三角函数的图象与性质 1.B【思路导引】利用诱导公式，将选项中的角化简为(0， 艺）中的角，然后利用正弦、余孩、正切函数在(0，）上的 单调性判断。 对于A,因为sm=m(x+晋）=-血晋，且晋∈(0， ,所以m吾>0，所以n晋>-血吾-血 故A错误。 对于B因为co(-）=os晋，且0<<晋<， 所以cos(-晋）=cos音<cos营，故B正确 对于C因为-吾<<-吾<受， 所以am(-一)<tam(-）,故c错误 对于D,因为0<<行<受，所以血子<血牙， as<s，且sm=os， 所以cm<=血子<血号，放D错误一本高中数学周末小测卷 第2周 诱导公式 ①时间：90分钟 号总分：150分 8得分： ☑答案：P48 基础测·查漏补缺 弥 1.(2025·湖北六校期中改编，5分)已知cos(+a)=子，那么sma n A.-4 1 C.、5 4 D5 4 2.(2025·湖南名校联合体联考，5分)已知- cos(π十a) =-2,则2sina十cos& sin a-cos a A.1 B.-1 C.5 D.-5 3.(2025·广东衡水联考，5分)已知锐角α满足 osto） 1 3 /3π =4,则1 cos a sin(2-a) 贺 A.-1 B.4 c D.2 封 4.(2025·浙江四校联考，5分)在△ABC中，下列等式一定成立的是 A.sinAtB B.tan A+B 一tm2 C 2 C.sin(2A+2B)=-sin 2C D.cos(2A+2B)=-cos 2C 5.(2025·江西景德镇乐平中学期中，5分)已知c0s(33°+a)= ，且0°<a<90,则tan(33°+a). 3 sin(57°-a)-cos(147°-a)= 蜜 A号 c n-3 6(2025·江苏苏州事分学校期末联考，5分)已知锐角a,B满足a十月=受，则c0sa十 线 tan asin B的最大值为 () A.2 c 7.(2025·海南学业水平诊断，5分)已知0°<a<180°，且角a的终边经过点(tan220°，1)，则a=( A.30° B.40° C.50° D.55° 2sin(+a)cos(x-a)sin(-a 8.(多选)(2025·浙江杭州之江中学期末，6分)已知f(a)= ，则下 sin(+a) 必修第一册RJA版 列说法正确的是 () A.f(a)=-2sin acos a B.f(a)=2sin acos a C若ma=3,则fa）-号 D若na-cosa-号则fa)-号 9.(多选)(2025·河南环际大联考阶段性考试，6分)已知角α，的终边关于x轴对称，则() A.sin a=sin B B.tan a=-tan B C.sin(2+a)-cos8 D.cos(π-a)=cosB 10.(2025·湖南岳阳期末，5分)sin570°的值为 1.(2025山东坊期中.5分)已知a∈(0，君)，若cas(胥-。）号，则n(a+)= sin(x-a)cos(r+a)o(a) 12.(2025·山东淄博第四中学阶段性测试，13分)已知f(a) cOs(z+a)sin(-a) (1)化简f(a); (2)若a为锐角，且f(。)=一，求f。+)的值 sin(0-5cos(0-)cos(8x0 13.(2025·山东威海乳山银滩高级中学模块检测，15分)(1)化简： sin(0)sin(-0-4) (2)已知a∈(0，π)，sina十2cosa=一1.若角3的终边与角a关于x轴对称，求 sin(x-9D-2sm(经- 的值 2cos(5+)+cos(5π+B ·31。 本高中数学周未小测卷 14.(2025·安徽合肥第八中学期末，15分)在平面直角坐标系中，角a的始边与x轴的非负半轴重 cos-a)tan(-@+x)sin(x-a) 合，角a的终边与单位圆交于点P,已知f(a)= tan(3x+a)sin(a)sin(6x-a) (1若点P的鳅坐标为求了a)的值： 2,s1na一3s1 n a cos a一Osa的值 4 (2)若tana= sin2a+2 15.(2025·湖北武汉华中师范大学第一附属中学月考改编，17分)已知x∈（一π，0），且sinx十 cos x=t. 1)当=时，求os3m)sm一2的值： cos(+z)-2cos x (2)若t∈[-√2,1)，求函数f(x)=sinx+cosx-3 sin xcos x的值域. 。32● 必修第一册RJA版 能力测·迁移运用 16.(多选)(2025·广东深圳期末，6分)点P和点Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的 圆上逆时针做匀速圆周运动，两点同时出发，点P的角速度为1rad/s,起点为(1,0)， /13 点Q的角速度为3rad/s,起点为(2，一)，则当点P与点Q重合时，点P的坐标可 能为 () A停，》 B(-,》 c(-,》 D(-》 弥 17.(2025·陕西渭南质检，5分)已知f(sinx)=sin3x(0<x<),则f(cos10°)的值为 sin(2)sin()cos(+) 18.(2025·辽宁大连滨城高中联盟联考，17分)(1)已知f(x)= cos(r-x)sin(3x-x)sin(-）,若 f)=2,求，mx+5cos工的值； 2cos x-3sin x (2已知函数f(r)=6sinx+7一4cos工，求f(x)的最小值及此时相应的工的值. sin x+1 封 线 拓展测·创新突破 19.(2025·福建福州第三中学质量检测，5分)已知函数f(x)=sin2x,设0的始边是 x轴的非负半轴，且0∈(0,2m),若关于x的方程f(x+)=f(x+0)在(0，)内有 解，则0的终边不可能位于 () A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限