第5章 第11周 任意角和弧度制、三角函数的概念-【一本】2025-2026学年高中数学必修第一册周末小测卷（人教A版）

一本高中数学周末小测卷 第五章 三角函数 第 周 任意角和弧度制、 三角函数的概念 ⊙时间：90分钟 8总分：150分 8得分： ☑答案：P46 基础测·查漏补缺 弥 咖 1.(2025·陕西多校期中联考，5分)圆心角为8，半径为4的扇形，其弧长为 A骨 B晋 c肾 D暗 2.(2025·湖南长沙雅礼中学月考，5分)若角0满足sin0tan0<0,则角0为 A第一或第四象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第三象限角 3.(2025·北京第一六一中学月考，5分)设函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)= sin2x十cosx十m(m为常数)，则f(一x)= () A.-1 B.2 C.0 D.-2 毁 4.(2025·山东日照第一中学质量检测，5分)设集合M= x= ·180+45，k∈zZ,N= 封 -年1s0+45,kEz2,那么 () A.M-N B.MCN C.N≤M D.M∩N=⑦ 5.(2025·湖北楚天教科研协作体收心考试，5分)在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上从(1,0) 出发沿顺时针方向做匀速圆周运动，每秒1rad,则经过3s,M的位置为 () A.(cos 3,sin 3) B.(cos 3,-sin 3) C.(-cos 3,sin 3) D.(-cos 3,-sin 3) 蠻 6.(2025·安徽马鞍山质量监测，5分)在平面直角坐标系xOy中，角α与角B均以x轴的非负半轴 为始边，它们的终边关于直线y=-x对称若sma=号，则c0sB () 线 AS c 7.（多选)(2025·山东临沂质量监测联考，6分)下列说法正确的是 A.始边相同，终边所在射线方向相反的两个角相差(2k十1)π(k∈Z) B若圆心角为的扇形的弧长为受，则该扇形的面积为管 养 C.终边落在直线y=一x上的角的集合是aa= D.若tan0--2,且0为第二象限角，则sin0=5 必修第一册RJA版 8.(多违)2025·河北张家口开学考说，6分)尼知0E(0,,sin0十c0s0=7,则下列结论正确的是 7 () A.0∈（受 B.c0s0=-17 C.tan 0--15 7 D.sin 0-cos0-17 3 9.(2025·广东广州执信中学期中，5分)已知sina=一号，且a在第三象限，则tana 10.(2025·江西赣州中学开学检测，13分)(1)已知角a=1200°，将a改写成3十2kπ(k∈Z,0≤3< 2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)用弧度表示终边落在如图（图1、图2）所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合； (3)已知sina十c0sg=3,求sina-cos2a,sina十cos'a. sin a-cos a A 750 2102h230° 0 330°、 B 8- 图1 图2 11.(2025·安徽蚌埠联考，15分)已知角0的终边经过点P(5a,一12a),其中a≠0. (1)求cos0的值； (2)若0为第二象限角，求cos0十sin0的值. ·29。 一本高中数学周未小测卷 12.(2025·广西钦州浦北中学月考，15分)已知一个扇形的圆心角是a,所在圆的半径是R. (1)若a=60°，R=10cm,求该扇形的面积； (2)若扇形的周长为20cm,面积为9cm2,求该扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形面积为16，求该扇形周长的最小值及此时扇形圆心角的弧度数 能力测·迁移运用 13.2025·河南南阳联考改编，5分)已知a=s3b=am3c=号，则 。1.1 A.a<c<b B.a<6<c C.c<b<a D.b<a<c 14.(2025·四川雅安中学月考，5分)已知a,3均是第二象限角，且cosα>cosB,则 A.a<3 B.sin a<sin B C.tan a<tan B D.tan a<sin a 15.(2025·河北承德实验中学期初考试，5分)若0为第二象限角，则 1-cos 0 /1+cos 0 1+cos 0 1-cos 0 可化简 为 16.(2025·河南环际大联考，17分)如图，在平面直角坐标系中，锐角α的始边与x轴的 非负半轴重合，终边与单位圆（圆心在原点，半径为1）交于点P.过点P作圆O的切 线，分别交x轴、y轴于点P1(xo,0)与点P2(0,yo). (1)若△OP1P2的面积为2，求tana的值； (2)求9x十y的最小值. 。30。 必修第一册RJA版 拓展测·创新突破 17.(多选)(2025·江苏启东中学月考改编，6分)记fn(x)=sin2mx十cos2mx,n∈N*,则 () A.fn(x十2π)=fm(x) Bf,(x)的最小值为时 Cf,)的最小值为 D.fmn(x)≥fn+1(x) 1 18.新考法新定义(2025·上海中学期中，5分)定义：角a的余割为csca= .已知m 弥 sin a 为正实数，且mcsc2x十anx≥15对任意的实数x(x≠元十，k∈Z均成立，则m 的取值范围为 19.新考法新情境(2025·福建福州九校联盟期中联考，17分)某工业园区内有一条长550m、宽15m 的货运通道（如图1所示的矩形ABCD),通道一侧规划了55个长10m、宽5m的货车停车位（矩 形AEFG),随着园区企业的发展，货车流量不断增加，停车位供不应求，在货物运输高峰时段，通 道拥堵严重.园区管理部门的王工程师提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不影响货运 通道正常通行宽度的条件下，通过压缩通道旁边的绿化带以及调整停车位方向来增加停车位数 量（如图2），记绿化带被压缩的宽度AM=x(),停车位相对道路倾斜的角度∠E'A'M=0,其中 0e后哥 封 绿化带 绿化带 A9-= M D F 货运通道 货运通道 C B 图1（改造前） 图2（改造后） （1)若0=至，求x的值： (2)求x关于0的函数解析式x(0); (3)若x=6,按照王工程师的改造方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ 线第五章三角函数 第①周任意角和弧度制、三角函数的 概念 1.D圆心角为答，半径为4的扇形，其弧长为管×4=受 (关键点：l(孤长)=a(圆心角：孤度制)·r(半径) 2.B因为sin9tan0<0,所以tan0<0或'（关键 ltan 0>0, 点：一全正、二正弦、三余弦、四正切)所以角0为第二或第 三象限角 3.B由题意可知，f(0)=1十m=0,解得m=一1，（关键点： 定义在R上的奇函数，f(0)=1十m=0) 所以f(x)=sin2x十cosx一1，所以f(一π)=-f(π)= -(sin 2+cos n-1)=2. 4B由题意，得工=号 ·180°+45°=k·90°+45°=(2k+1)· 45°，k∈Z,2k十1是奇数； 4·180°+45°=友·45+45°=(k+1)·45,k∈Z, k十1是整数.因此必有M二N.(关键点：将集合M,N中的 式子换成形式类似的式子进行对比) 5.B由题意，得M的位置为(cos(2π一3)，sin(2π一3))，即 为(cos3,一sin3).(关键，点：点M的坐标为(sin0,cos0),注 意0为x轴的非负半轴与M所在直线递时针方向所形成的 角) 6.B设角α的终边上一点P(x,y),则点P关于y=一x的 对称点P'(一y,一x)在角B的终边上，（关键点：点P(x,y) 关于y=一x的对称点P'(一y,一x);点P(x,y)关于y= x的对称点P(y,x) 一y 3 则os8/-y+(-x)E+y =-sina=-亏， 7.AB对于A,始边相同，终边所在射线方向相反的两个角相 差(2k十1)π(k∈Z),故A正确. 对于B,设扇形的圆心角为a由扇形弧长公式，得 1==7=受解得=， 所以扇形面职S宁一子×号×号-行故B正确 1, 对于C,终边落在直线y=一x上的角的集合是 {包e平+女x,k∈2，故C错误（关键点：先在直线上钱 一个角，然后看旋转多少度，再回到直线上.转π，就加π， k∈乙，特号，就加誓，A∈2 对于D,tan0=一2，且0为第二象限角，90°≤0≤180°，tan0= 2=1n日，所以sin0=-2cosa. 因为s如0+os0=1=5cs0,所以cos0=号，所以sin0= 青又因为血0>0，所以血0-25，故D错误 7 8.ABC对于A,因为sin0+cos0=7,则(sin0+cos0)2= 1十2sn0ms0=0,所以2sn0ms0=一28（美使点： 49 。46 (sin 6+cos 6)2=sin26-+cos6++2sin 0cos 0=1+2sin 0cos 0, (sin 0-cos 0)2=sin20+cos20-2sin 0cos 0=1-2sin 0cos 0, (sin 0++cos )2(sin 0-cos 0)2=2) 又因为9∈(0，)，则sin0>0,所以cos0<0,所以0e(空， 元)，（关健点：可根据2sin0c0s0的正负，判断0所在象限） 故A正确。 529 对于D,易得(sin0-cos0)2=1-2sin0cos0 289,且sin0 23 cos0>0,所以sin0-cos0=7,故D错误. 7 sin 0+cos0=17' 15 sin0=17' 对于B,联立 23 解得 故B 8 sin a-cos 0- 17 c0s0= 17 正确， 对于C,易得tan0=sing 15 cos 0 8,故C正确， 3 3 9.4 由sina=一 5,a在第三象限，得cos -√1-sin'a= ,关健点：第三象限角的金弦值为夏 数) 所以tana= sin a 3 cos a 4. 10解，1因为a=1200-120×71高-2g-号+3×2 (关纯点：】 所以角。与角号的终边相同，且受<行<，所以角e是 第二象限角. (2)如题图1.因为75-登30-1告-2x吾， 6 所以阴影部分内（不包括边界）的角的集合 为{02km-百<0<2k+段：k∈Z. 如题图2因为30=晋，90=受，210-看=元+吾， 6 270-受-十受，所以阴影部分内（不包括边界）的角的 集合为{0kx十吾<0<kx+受，∈Z, (3)由题意，得 ma十cose_tana+=3,故tana=2, sin a-cos a tan a-1 sin'a-cos'a tan'a-1 3 则ina一m十o&ama干号（关健点： 齐次化构造，构造分母1=sina十cos2a,弦化切) 因为tana=2,所以sina=2cosa. 因为sin2a十cos2a=1,所以4cos2a十cos2a=1,即cos2a= 三，（关健点：当不能进行齐次化构造时，构造二元方程组 sin a tana=cosa’求解】 sin2a十cos2a=1 4 则sin2a=1-cos'a=5 又因为a为第三象限角，所以sina=-2y5 5 所以sina+coa=-2y5+1=1-25 5 51 11.解：(1)因为|0P|=√(5a)2+(-12a)z-13al,(易错 点：注意需对a的符号进行讨论) 5a5 所以当a>0时，os0=13a=13 当a<0时，cos0=-13a 5 (2)若0为第二象限角，则a<0, 5a 5a 5 则cos0=131a=-13a=-13' 血0---号 所以cos9十sin0=i3: 7 12解：(1)由题意可知，该扇形圆心角的弧度为号， 则该扇形的面积为S=号×号×102-5g(cm)。 (2)设该扇形圆心角的弧度为(8∈[0,2π])， 1 则该扇形的弧长为1=R,所以2R=9, BR+2R=20, R=9, 解得（舍去）或 3=18 2 -9 所以该扇形圆心角的弧度数为子。 (3)设该扇形圆心角的弧度数为Y(y∈[0,2π])， 则立R=16,则次-票， 所以该扇形的周长为7R+2R-爱+2R≥2√偎·2R /32 16,(易错点：扇形的周长=孤长+2×半径)（关键，点：利用 扇形的面积进行消参，然后利用基本不等式求最值，注意 等号成立的条件) 当且仅当R=4时，等号成立，此时周长可取得最小值，最 小值为16，此时Y=2,故此时扇形圆心角的弧度数为2. 13.A作出图形如图所示，设扇形AOB的半径为1，BC⊥ OB,AM⊥OB. 0 MB 设∠A0B=x,xE(0,受) 由图可知，SR△MOM<S扇形AOB<S△OBC。 AM=sin x,BC=tan x,AB=x, 所以宁血z<安<分mz,所以如x<<mz(关 1 能点：当x∈(0，受)时，sinx<x<iamx) 由sinx<x<tanx,x∈(o,）,得a<c<b. 4 14.C由题意，知a,β均为第二象限角 当a=480,g=150时，cosa=-2>cas月=-号， 1 ,此时 a>B,故A错误 当a=120心，B=150时，casa=-号>6as月=-. 1 2 sin a 1 2,sinB=2,tana=-√3，故sina>sinB, tana>sina,故B,D错误.（关键，点：通过特殊值进行判 断) 因为a,B均为第二象限角，且cosa>cosB,则0>cosa> cos B,cos<cosB, 所以1-sin2a<1-sinB,sina>sin2B,sina>sinB>0.又 1 1 cos a eos月>0，放-e>血g, cos a cos月，tana<tan月， 故C正确， 2 15.an0 因为0为第二象限角，所以sin0>0,cos0<0, (1-cos0)2 (1+cos0)2 所以原式=√a十cos9)M-as0)T√a-os0)1+os6D (关键点：构造完全平方公式，便于开根号) /(1-cos0)2 /(1+cos0)2 sin0 sin26 =11-cos01 1+cos 0 sin sin 0 (易错点：a=a,n为奇数， la,n为偶数 1-cos 0 1+cos 0 sin sin 0 2cos 0 sin 0 2 tan0' 16.解：(1)由题意，得a为锐角，故点P在第一象限，则P1, P2在x轴、y轴的正半轴上. 由题意可知，0P⊥P,P,故cosa=1OP,故o=cosa 易知∠OP,P=a,故sina=sin∠OP,P=1OP2,则 1 yo=- sin a 由△0P,P的面积为2，得宁0=2.即号·心。 1 1 1 sin a =2,所以sin a0sa=4: 又sina十cos2a=1,故sinacosa_ 1 'sin2a十cos2a4’ 即一子解得ma=2士6 1 (2)由题意，得a是锐角，则xo>0,yo>0, 1 所以9z6+y6=cosa+si加2 (2。+a）)(air+oa) =10+22+号10+6，当且仅当=晋时，等号成 立，（关健点：利用基本不等式“1”的代换，求最小值，注意 等号成立的条件) 所以9x+y的最小值为16. 17.ABD对于A,fn(x十2x)=sin2m(x+2x)十cos2m(x+2x)= sin2nx十cos2"x=fn(x),故A正确； 对于B,f2(x)=sinx十cosx=(sin2x十cos2x)2一2sinx· oz≥1-2（世士）了=合，（关使点：利月 sin0十cos20=1进行变形，然后利用基本不等式求积的最 大值) 当且仅当sin2x=士1时，等号成立，故B正确； 对于C,f3(x)=sinx十cos5x=(sinx十cos2x)3-3sinx· cos'x -3sin2x cos'x 1-3sin'xcosx>1- 3(m告)=1-是-是，（关续点：利用r0十 2 c0s0=1进行变形，然后利用基本不等式求积的最大值) 当且仅当sin2x=士1时，等号成立，C错误； 对于D,由fn(x)-fn+1(x）=sin2"x十cos2x-sin2m+2x- cos+2x=sin"x (1-sin'x)+cos"x (1-cos'x)=sin". cos2x十cos2x·sinx≥0，（关键点：提公因式，利用sin0H cos20=1进行变形) 则f.(x)≥fa+1(x),故D正确. B9士eo）由已知可得，mese x十mxz+r≥8 即m≥15sim工-s加.（关健点：恒成立求参，参变分离） cos2x" 因为x≠k+受∈刀，所以cosz∈(0，， 所以15sinz--15（1-casz)-1-os2x cosx cosx 17-(z十15ams）.(关能点：利用9+eo0=1化 异为同) 因为 1 1 os2 z+16oosx≥2V√o3z·16cosx=8,当且仅当 os-时，等号成立，所以15：-黑天17-8 9,故m≥9. 19.解：(1)由题意，得∠MA'E'十∠A'E'M=90°，且∠A'EF'= 90°， 则∠A'E'M+∠AEF'=90°，则∠MA'E'=∠AE'F'= 0= 所以EE'-EF'cs0=10x 2=5v2, 所以ME'=A'E'sin0=5x2_5V2 22 所以AM=x=ME'+EE-AE=152 2 (2)由题图可得，AM=x=E'E+ME'-AE,EE'= E'F'cos 0=10cos 0,ME'=A'E'sin 0=5sin 0, 所以x(0)=10eos0+5sin0-5,9e[吾，] (3)由(2)可得，6=10cos0+5sin0-5, 即10cos0+5sin0=11, 所以sin0=11-10cos9 5 。48 所以s面9+o0=(1-19m0)）°+cws0=1(美t点 构造二元方程组 /10eos0+5sin0=1,求解) sin'0+cos20=1 化简，得125cos20-20c0s9+96=0,解得cos0=号或 00s0=25 4 因为9e[]所以<m9≤，放ms9- 1 sin 设改造后停车位数量的最大值为n. 如图，过停车位顶点Gn作射线MA的垂线，垂足为Hm, M A'H A.HA E A G F, 则顶点Gn到线段ME的距离为dn=MA'十A'A2十 A2A3+…十An-1An十AnHn. 由图及题意可得，A'A2=A2A3=…=An-1An,A2H2= A3H3=…=AnHn, 则d.=MA'+A2H2十(n-1)A'A2. 易得∠EA'M+∠E2A'A2=∠E2A'A2十∠E2A2A',则 ∠EAM=∠E2A2A'=0. 因为∠E2A2A'十∠G2A2H2=∠G2A2H2十∠A2G2H2, 所以∠E2A2A'=∠A,G2H2=0, 则Aa,会5-要AH,=AH=A,G如9=6 又MA'=A'Ecos0=4, 则d.=MA'+A,H+(n-1)A'A2=10+2(n-1).关 键点：第一段MA'和最后一段AH。的长度和为定值，中 间是相同重复的) 令d,<50,得空m-1D<540,解得m<874, 即改造后最大停车位数量为87，所以改造后的停车位比改 造前增加87-55=32（个）. 第②周诱导公式 1B因为os(竖+e)=cos(2x+受+)=os(受+a) 1 -sin a=- 4,(关键点：奇变偶不变，符号看象限，假设角 a为锐角)】 1 所以sina=4 os(受- 2.A cos(π十a) -sin a=tan a=-2, -coS a 则2sina十cose_ cos a sin a-cosa 门☐1（美线点：本大 sin a-1 cos a 的分式，分子、分母同除以cosa,弦化切)