第4章 第10周 函数的应用(二)-【一本】2025-2026学年高中数学必修第一册周末小测卷（人教A版）

一本高中数学周末小测卷 第0周 函数的应用（二） ⊙时间：90分钟 号总分：150分 8得分： ☑答案：P37 基础测·查漏补缺 弥 1.(2025·湖北云学名校联盟联考，5分)函数f(x)=lnx十2x一7的零点所在区间为 A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 洲 2.(2025·湖南岳阳期末，5分)下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是 A.f(x)=In x+2 B.f(x)=x2+2√2x+2 Cf(x)-x+1-3 D.f(x)=2-3 3.(2025·湖北新高考联考协作体期末，5分)若函数f(x)=2ax2十8ax十1在区间（一1,1）上恰有一 个零点，则实数a的取值范围为 () A(-03》 B(-品若Uo 毁 封 C.(-∞- u(g+ D.(,-)U()U(0) ex-a,x≤0， 4.(2024·吉林田家炳高级中学月考，5分)已知a∈R,函数f(x)= 在R上没 [-In(x+1)-a,x>0 有零点，则实数a的取值范围为 () A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.[1,+∞)U{0} D.(1,+∞)U{0} 6025·物南感阳第三中学联考，5分已知函数)-2十一号g)=lh8x十一 2h(x)= 蜜 2x一2的零点分别为a,b,c,则 () A.ab>c B.b>c>a C.c-a>b D.b>a>c 6.新考法新载体(2025·北京大学附属中学元培学院期中，5分)在信息通信技术领域中，香农公式 线 C=W0g:(1+)是广泛公认的理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传 递速率C的大小取决于信道带宽W,信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大 小，其中称为信噪比.以下有关于香农公式的三个舍题中正确的是 ) ①考将W>0视为常数，则最大信息传递速率C随信噪比3的增大而增大，且增长速度越来越慢； ②令W>0保持不变，信噪比3从10增大到130，可以使C增大为原来的3倍， 必修第一册RJA版 ③由于技术提升，信道带宽W变为原米的1.2倍，信噪比从原米的100提升到1600，则提升 后的最大信息传递速率C比提升前约增大了56%.（取1g2≈0.30） A.①② B.①②③ C.①③ D.① x2+2x-3,x≤0， 7.（多选)(2025·浙江杭州仁和实验学校期末，6分)已知函数f(x)= 若方程 -2+lnx,x>0, f(x)=k,则 () A.当k>0或<一4时，方程f(x)=k有1个解 B.当k<一4时，方程f(x)=k有1个解 C.当k=一4或>一3时，方程f(x)=k有2个解 D.当一4<k≤一3时，方程f(x)=k有3个解 8.(2025·广东惠州第一中学期末，5分)已知函数f(x)=2-3在区间(1,2)上有一个零点xo,如果 用二分法求x。的近似值（精确度为0.01），则应将区间(1,2)至少等分的次数为 9.(2025·河北承德期末，13分)已知函数f(x)=42一22-3x (1)求证：f(x)在(1,2)内至少有一个零点； (2)讨论函数g(x)=f(x)十3x一m的零点个数. 10.新考法新情境(2025·山东日照期末，15分)日照绿茶是山东“南茶北引”的硕果之一，因其独特的 生长环境和气候条件，具有汤色黄绿明亮、栗香浓郁、回味甘醇的特点.冲泡绿茶时，需要注意水温 以确保茶汤的色香味达到最佳状态.经验表明，绿茶用85℃的水泡制，等到茶水温度降至55℃时 再饮用，可以产生最佳口感某试验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置 时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据： 时间/min 0 1 2 3 4 5 6 水温/℃ 85.0079.00 73.6068.7464.37 60.4356.89 这组数据可以用下图表示： y 0123456x 设茶水温度从85℃开始，经过xin后的温度为y℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律，现 给出以下三种函数模型：①y=kx十b(k<0,x≥0)；②y=kax十b(k>0,0<a<1,x≥0)；③y= loga (x+k)+b(k>0,a1,0). (1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型（不需要说明理由），并利用前三组 的数据求出相应的解析式； ·25。 一本高中数学周未小测卷 (2)根据(1)中所求函数模型，求刚泡好的绿茶大约放置多长时间能达到最佳饮用口感（精确到 0.1).(参考数据：1g2≈0.301，lg3≈0.477) 11.(2025·广东深圳福田西交利物浦大学基础教育集团期末，15分)已知函数f(x)=1og2x,不等式 2x+x<43x-2的解集为M. (1)设函数g(x)=f(2x)十x十m在x∈M上存在零点，求实数m的取值范围； (2)当x∈M时，函数h(x)=[f(x)-a]·f(任)的最小值为-，求实数a的值 能力测·迁移运用 12.(2025·安徽A10联盟月考，5分)已知函数f(x)= x2+4红+3，x≤0则方程f[f(x)+1]=3 1og2x|,x>0, 的实数根的个数为 () A.10 B.8 C.6 D.5 13.(多选)(2025·湖北沙市中学月考，6分)设函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)= 一f(x),当x∈（一1,1]时，f(x)=一x2十1，则下列结论正确的是 () A.f(7)=1 B.f(x)为偶函数 Ca=fm2),b=f(2),c=f(),则有b>c>a D.方程f(x)十1gx一2=0的所有实数根之和为20 14.(2025·江西九江期末，5分)已知正实数a,B满足a+lna=ln3+ln(lnβ)=2，则a3= 15.(2025·江苏扬州大学附属中学阶段测试，17分)已知函数f(x)=e,g（x)= log2(mx2-mx+4),其中m∈R. (1)若g(x)的定义域是任意实数，求m的取值范围； (2)若g(x)的值域是（一∞，3]，求m的值； (3)求证：对任意m∈R,函数h(x)=f(x)一g(x)存在零点. 。26● 必修第一册RJA版 拓展测·创新突破 16.(2025·山东淄将实脸中学开学考浅，5分)设函数f(x)=g(x)=ar2+bc(a,b∈ R,a≠0)，若y=f(x)与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1), B(x2,y2),则下列判断正确的是 () A.当a<0时，x1+x2<0,y1+y2>0 B.当a<0时，x1十x2>0,y1+y2<0 C.当a>0时，x1十x2<0,y1十y2<0 弥 D.当a>0时，x1十x2>0,y1十y2>0 17.(多选)(2025·江苏南京师范大学附属中学月考，6分)设函数f(x)=a2十b一c,其 中a,b,c为△ABC的三边长，且满足c>a>0,c>b>0,则下列说法正确的是() A.若a=2,b=3,c=4,则f(x)有且仅有一个零点 B.若a=b,则f(x)的零点大于1 C.3x≤1，f(x)≤0 D.若△ABC为直角三角形，则Hn∈N*,f(2n)≤0 18.(2025·山东烟台期末，5分)已知函数f(x)=。 1og2x十m,0<x<2, (m,n∈R),有下 n-x,x≥2 列四个结论：①6是f(x)的零点；②3是f(x)的零点；③f(x)的零点之积为3； 封 ④方程f(x)=3只有一个实根.其中，只有一个结论错误，则错误结论的序号为 ;若方 程f(x)=x2十a,x一1有三个不相等的实根，则实数a的取值范围为 19.(2025·河南三门峡期末，17分)对于函数f(x),若存在x∈R,使f(xo)=x0成立， 则称xo为f(x)的不动点.已知函数f(x)=mx2十(n一1)x十n一8(m≠0). (1)若0是不动点，求n的值； (2)若对任意实数n,函数f(x)恒有两个相异的不动点，求实数m的取值范围； (3)若fx)的两个不动点为x,且f1)十f,)=m2当1<m<3时，求实数m的取 值范围. 线因为S阴影<S梯形， 所以Lu,)=nu-n4<专o-w)(日+}) 即2La,D)<名-名故c错误 对于D,取u=1,v=2,则L(u“,w“)=L(1,2)=ln2 2一1=1，故D错误. 19.解：(1)因为函数y=2x十2在[2,4幻上单调递增. 当x=2时，y=3;当x=4时，y=4, 所以y=2x+2∈[3,4幻. 因为[3,4幻二[2+1,4十1]=3,5]，所以函数y=2x+ 2在[2,4幻上的增长系数为1. 因为函数y=7-在[2,4幻上单调递增， 当z=2时y=4当x=4时y号， 所以y=7-∈[4，] 因为[4，门=2+2,4+2]=[4,61，所以函数y=7- 在[2,4幻上的增长系数为2 4·2+a (2)由题意，得f(x)= 2r+2+a 2x+1 2+1 42+）+a-4=4+8二4 2+1 2r+11 因为x[-1,1,所以2∈[合2]，今4=2则y=4计 芹（关能点：接元，注意新元的取值范国，然后利用画数 的单调性求解) 因为3和4都是函数fx)2,十在[1,1上的增长 系数， =4+a-4 +i∈[-1+3,1+3]=[2,4幻， 所以〈 y=4+a-4。 +ie[-1+4,1+41-3,5], 所以y=4+∈3,4，即3<4+≤，整理，得 3-t≤a≤4， 因为=2∈[2,2]所以3-[1，]， 所以名<a<4 (3)【思路导引】根据函数的单调性求出值域，结合增长系 数的定义得到g(x)∈[log2(16十2m十m),log2(256十 2十m)]二[2十n,4十n],进而得到3·2-16≤m≤15· 2m-256,根据不等式有解且n∈N“求解即可. 令u=4十2n十m,易知在[2,4]上单调递增， 又y=log2u在(0，十∞)上单调递增. 根据复合函数的单调性，知函数g(x)=1og2(4+2十m) 在[2,4幻上单调递增，且g（2)=1og2(16十2十m), 。37 g(4)=log2(256+2m+m), 则g(x)∈[1og2(16+2十m),log2(256十2十m)]. 因为函数g(x)在[2,4]上的增长系数仅为n, 所以g(x)∈[log2(16+2m+m),log2(256+2m+m)]三 [2+n,4+n], 则16+2+m)之2+m:即16十2十m≥22， log2(256+2"十m)≤4+n,256十2"十m≤2+m, 故256+m≤2<16时m 15 3 由题设可得，21<256十m≤2”≤16十m<21存在唯一 15 3 的正整数n, 即15·2m-1-256<m≤15·2m-256且3·2m-16≤m< 3·2+1-16, 3·2-16≤15·2-256， 所以 3·2+1-16>15·2-1-256, 解得160>2"≥20，故n=5,6,7,即n的最小值为5， 此时一16<m≤224且80≤m<176,即80m<176, 所以n的最小值为5，此时m∈[80,176). 第⊙周函数的应用（二） 1.B【思路导引】判断出函数的单调性，结合函数零点存在定 理即可判断出答案. 由题意可知，函数f(x)=lnx十2x一7在(0，十o)上单调 递增. 因为f(1)=-5,f(2)=ln2-3<0,f(3)=ln3-1>0, f(4)=ln4+1>0,f(5)=ln5+3>0, 所以f(2)f(3)<0, 故函数f(x)=lnx十2x一7的零点所在区间为(2,3). 2B【思路导引】利用二分法的概念，进行逐一判定，即只有 零点两侧函数值异号才可以用二分法求其零点。 对于A,函数f(x)=lnx十2在R上单调递增，有唯一零点 x=e2, 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 对于B,函数f(x)=x2十2W2x十2=(x十√2)≥0， 故函数有唯一零点x=一√2，且函数值在零点两侧同号，故 不能用二分法求零点 对于C当x<0时，f)=x+-3=-(←x+） 3K-2√-z于-3=-5， 一x 当且仅当x=一1时，等号成立，无零点； 当>0时，/)=x+上-3≥2√2·王-3=-1，当且 仅当x=1时，等号成立， 函数在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， 此时有两个零点工=35，且函数值在零点两侧异号，故 2 可用二分法求零点 对于D,函数f(x)=2x一3在R上单调递增，有唯一零点 x=10g23, 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点 3.C当a=0时，f(x)=1,不满足题意；（关键点：最高项系 数含参问题，注意讨论最高项系数与0的关系) 当a≠0时，f(x)=2a.x2+8a.x+1=2a(x+2)2-8a十1图 象的对称轴为直线x=一2， 所以函数f(x)在区间（一1,1）上为单调函数.（关键点：该 一元二次函数的图象的对称轴确定) 要使得函数f(x)在区间(-1,1)上恰有一个零点，需满足 f(-1)f(1)<0, 即1-6a)1+10a)<0,解得a>日或a<-0 1 故实数a的取值范围为(-©，)U(行，+) 4.D①当x≤0时，0<e≤1.（关健点：分段函数，分段讨论） 因为f(x)在R上没有零点，则e=a无解，所以a≤0或 a>1;(关健点：将函数没有零，点的问题转化为两个函数图 象没有交点问题) ②当x>0时，因为ln(x+1)>0,所以-ln(x十1)<0. 若一ln(x十1)=a无解，则a≥0. e-a,x≤0， 因为函数f(x)=〈 -ln(x+1)-a,c>0在R上没有零点， 所以a∈(1，十∞)U{0}.(提示：注意这种表示方法，若是 填空题，需知道应该如何写) 5.B方法①由复合函数的单调性可知，三个函数均连续且在 定义域内单调递增， 对于f(x)=2十x- 是f0)=-2<0,f(合)=-2 1>0.由函数零点存在定理，得a∈(0,2） 对于ga)=1ogx+x-,g1)=- 3 2g(2)= .由函 数零点存在定理，得b∈(1,2). 对于h()=2z-是，令A()=0,得c=是∈(（日，)综 上，b>c>a. 3 方法②f(x)=2+x-2,g(x)=logx+x 3 2h(x) 2x一2的零点问题转化为y=2,y=log2x,y=x与y 3 一x的图象的交点问题，如图. 3 V y=2x 3 y=x v=log,x a cb 2x 所以b>c>a. 6.A对于①，因为对数函数y=1og2x为增函数，且W>0, 所以最大信息传递速率C随信噪比的增大而增大，且增 长速度越来越慢，①正确； 对于②，因为W1e1十1330)_W1og11 Wm10g1+10)-W10g21i=3, 所以令W>0保持不变，信噪比号从10增大到130，可以 使C增大为原来的3倍，②正确； 。38 1.2w1og1+16002=1.21g16001≈ 对于③，因为“W1og1+1000) lg1001 1.21g16000_1,24lg2+3》(关键点：注意适当放缩) 1g1000 3 ≈0.4×(4×0.30十3)=1.68，所以提升后的最大信息传递 速率C比提升前约增大了68%，③错误故正确的是①②. 7.BCD【思路导引】根据分段函数的性质、单调性及最值情 况，数形结合，转化为函数图象与直线的交点问题. 当x≤0时，f(x)=x2+2x-3=(x十1)2-4，此时函数 f(x)在（一∞，一1）上单调递减，在（一1,0）上单调递增， 且f(一1)=-4，f(0)=-3: 当x>0时，f(x)=一2十1nx,函数在(0，十∞)上单调递 增，且此时f(x)∈R 故函数f(x)的图象如图所示. 半 方程f(x)=k的解可转化为函数y=f(x)的图象与直线 y=k的交点横坐标. 当k<一4时，函数y=f(x)的图象与直线y=k有一个交 点，即方程f(x)=k有1个解； 当k=一4时，函数y=f(x)的图象与直线y=k有两个交 点，即方程f(x)=k有2个解； 当一4<k≤一3时，函数y=f(x)的图象与直线y=k有三 个交点，即方程f(x)=k有3个解； 当>一3时，函数y=f(x)的图象与直线y=k有两个交 点，即方程f(x)=k有2个解. 故选项A错误，选项B,C,D正确， 11 8.7【思路导引】利用二分法的定义可得出2<100，求出正 整数n的最小值，即可得解. 由于每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的2， 1 所以等分n(n∈N)次后的区间长度变为原来的2， 由题意可得，2<100，所以2”>10.因为2<100<2'， 所以正整数n的最小值为7，即至少等分的次数为7. 9.解：(1)证明：由题意，得f(1)=一1，f(2)=6. 因为f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(1)·f(2) -6<0, 所以f(x)在(1,2)内至少有一个零点. (2)【思路导引】确定g(x)的解析式，利用换元法，把问题转 化成二次函数图象与直线公共点个数问题，数形结合，分类 讨论函数零，点的个数 由题意，得g(x)=4-2-m. 令g(x)=4“-2-m=0,得m=4“-2.（关健点：参变分 离，转化为两个函数的图象的交，点问题) 令t=2>0,则h(t)=t2一t,t>0,(关键，点：换元，转化为 一元二次函数问题，注意新元的取值范围) 则g(x)的零点个数等于h(t)的图象与直线y=m的公共 点的个数 h(t)的大致图象如图所示. 当m<-4时，h()的图象与直线y=m的公共点个数为 0,即函数g(x)的零点个数为0：当m=-或m≥0时， h(t)的图象与直线y=m的公共点个数为1，即函数g(x) 1 的零点个数为1；当-4<m<0时，h()的图象与直线)y= m的公共点个数为2，即函数g(x)的零点个数为2. 10.解：(1)根据表格数据可知，水温下降的速度先快后慢， 选择②y=ba十b(k>0,0<a<1,x≥0)作为函数模型. 85=k+b, 将题表中前三组的数据代入，得79=ka十b, 73.6=ka2+b, k=60, 9 解得a=10 b=25, 所以函数模型的解析式为y=60× (】 +25(x≥0). (2)由(1)中函数模型，得55=60× ()+25 得2-(0)广， 所以g2-1e(0)广=zg 9 1g2 -1g2 1g 2 0.301 所以x= 92g3-11-2l1g3≈1-2×0.477 ≈6.5， 1g10 (关键点：根据参考数据，两边同时取以10为底的对数，求 解x) 所以刚泡好的绿茶大约放置6.5min能达到最佳饮用 口感 11.【思路导引】(1)解指数不等式得到集合M,再判断g(x)的 单调性，即可得到g（D0:求解即可； (g(4)>0,1 (2)易得h(x)=(1og2x一a)(log2x一2)，令t=log2x, c(t)=(t一a)(t一2)，t∈(0,2)，依题意可得c(t)在(0,2) 内的最小值为一，得到关系式，求解即可。 解：(1)因为22+<43x-2=2x-4,所以x2十x<6x-4,解 得1<x<4,即M=(1,4). 又因为g(x)=f(2x)十x十m=log(2x)十x十m= 1og2x十x十m+1,且y=log2x,y=x+m+1在(1,4)内 单调递增，所以g(x)在(1,4)内单调递增. 者深致g准：EM上合在点，测但8 解得-7<m<-2,所以实数m的取值范围为(-7，一2). (2)由题意，得h(x)=[f(x)-a]·f(任)=(Iogx a)(log2x-2). 。39 令t=log2x,由x∈(1,4)可知，t=log2x∈(0,2)，则 (log2x-a)(log2x一2)=(t一a)(t一2).（关键点：换元，转 化为一元二次函数问题，注意新元的取值范围) 令c(t)=(t-a)(t-2),t∈(0,2)， 则c(t)=(t-a)(t-2)=t2-(a+2)t+2a在(0,2)内的 最小值为一子（关健点：因为是在开区间上来最小值，所 以对称轴必定在该区间内，最值一定是某个函数值) 由c(t)=t2一(a十2)t十2a的图象开口向上，对称轴为直 线=号+1， <号+1<2， 得 18a-(a+2)21 解得a=1, 4 =一4’ 故实数a的值为1.◆ 12.C设t=f(x)十1，则f(t)=3.(关键点：对于复合函数判 断解的个数或范围问题，通常将内层函数进行换元，先解 外层函数，再解内层函数) ①若t≤0，则t2十4t十3=3，解得t=0或t=-4,所以 f(x)=-1或f(x)=一5. 当x>0时，f(x)=|1og2x|≥0，不符合题意；（关健，点：分 段函数，分段求解) 当x≤0时，令x2+4x十3=一1或x2十4x十3=一5， 解得x=一2，此时方程f[f(x)十1]=3仅有一个实数根. 1 ②若1>0，则1log=3,解得t=8或t=8,所以 fa)-7或f)=8 7 当x≤0时，令x2+4x十3=7或x2+4x+3=- 8,(关 键点：分段函数，分段求解) 方程x2+4x十3=7，即x2十4x-4=0在x≤0上仅有一 个实数根， 方程x2+4红+3=一日，即8x2+32x+31=0, 4=32-4X8X31>0,且十x2=-4,x1=,所2 两根均为负，所以有两个实数根； 当x>0时，f(x)=|log2x|=7,解得x=2或x=27, 方程有两个实数根. 综上，方程f[f(x)十1]=3的实数根的个数为6. 13.BCD对于A,函数f(x)满足f(x十2)=-f(x),则 f(x十4)=-f(x+2)=f(x), 所以函数周期为4，（小贴士：f(x)=-f(x十a)或f(x)= 。或fx)=-了十Q则画数fx)的月期 1 f(x十a) T=2a】 所以f(7)=f(3)=f(-1).当x∈(-1,1]时，f(x)= -x2+1,则f(1)=0.因为f(1)=-f(-1),所以f(7)= f(-1)=0,故A错误. 对于B,当x∈(1,2]时，x一2∈（一1,0]，则f(x)= -f(x-2)=-[-(x-2)2+1]=(x-2)2-1, 当x∈[-2，-1]时，x+2∈[0,1]，则f(x)= -f(x十+2)=-[-(x十2)2+1]=(x十2)2-1， ● 所以f(x)的图象在[一2，一1]和[1,2]上关于y轴对 称，所以f(x)在(-1,1)的图象关于y轴对称， 又因为函数周期为4，所以f(x)是偶函数，故B正确.（考 场秒杀：画出函数图象，根据图象进行判断) 对于c因为()=()且0<<号<h2<1, f(x)在(0,1)上单调递减，故f()>f(2)> f(ln2),即b>c>a,故C正确 对于D,作出f(x)和y=一lgx一2|的图象，如图所示. y=-1glx-21 y=f(x) 10-8卡6-426 2个本68ū0124 易得两个函数的图象有10个交点，且关于直线x=2对 称，（关键点：将方程的根转化为两个函数的图象的交点问 题，并且交点关于直线x=2对称) 则方程f(x)十1gx一2=0的所有实数根之和为20，故 D正确. 14.e2【思路导引】根据题设a,lnB均为方程x十lnx-2=0 的根，由解析式判断f(x)=x十lnx一2的单调性，利用函 数零点存在定理确定零点的唯一性，结合对数的运算性质 求参数值. ".'a+ln a=2,In B+In(In B)=2, .a,lnB均为方程x十lnx一2=0的根 :f(x)=x十lnx-2在(0，十o∞)上单调递增，且f(I)= -1<0,f(2)=ln2>0, f(x)有唯一零点，即a=lnB,.2-lna=lnB, ∴.lna+lnB=2, .a3=e2. 15.解：(1)依题意，得mx2一mx十4>0对任意实数x恒成立， 则人二)2-4X4m<0或m=0,(关键点：对于最高 项系数含参问题，注意讨论最高项系数与0的关系) 解得0m<16或m=0,所以m的取值范围是[0,16)， (2)令t=mx2一mx十4.由y=log2t的值域是（一o,3], 知t∈(0,8]，即t的最大值是8.（关键，点：将对数型函数的 值域问题，转化为一元二次函数的最值问题) 由=m-r中4=n(-安》'+4-婴 得m<0,且4公-8，所以m=-16 (3)证明：h(x)=f(x)-g(x)=e2-log2(m.x2-mx十4). 令p(x)=mx2-mx十4，则△=m2-16m=m(m-16), (关键点：最高项系数含参问题，注意讨论最高项系数 与0的关系，因为真数要大于0，还需讨论判别式与0 的关系，所以整体来看，m需要从0,16断开，一共分5 种情况) ①当m=0时，h(x)=e-2,由h(x)=0,得x=ln2,即 函数h(x)有零点. ②当m<0时，令mx2一mx=mx(x一1)≥0，则函数h(x) 在[0,1]上有定义，且在[0,1]上的图象连续不断，而h(0)= 一1<0，h(1)=e一2>0，（关健，点：利用函数零点存在定理 时，一般找一些好计算的特殊点，比如0,1,0.5) 所以函数h(x)在(0,1)内有零点. ③当0<m<16时，△=m2-16m<0,mx2-mx十4>0恒 成立，函数h(x)的定义域为R, 。40 由h(0)=一1<0，h(1)=e-2>0,得函数h(x)在(0,1) 内有零点。 ④当m=16时，h(x)=e-2-log(2x-1)2,h(） e>0,h(0)=-1<0, 所以函数h(x)在(0,4)内有零点 ⑤当m>16时，g(）=mc2-mx+4=m(女-名)‘+4 ≥4-朵，当且仅当x=时等号成立，且p(0)=g(1) 49(合）=4-g<0, 所以p()=0在(0,2）（侵）上各有-个根 记g(x)在(0，）上的零点为x,当x从小于的方向 趋近于x。时，(x)从大于0的方向趋近于0，g(x)趋近于 负无穷大，则h(x)趋近于正无穷大. 因为h(0)=一1<0，所以函数h(x)在(0，xo)内有零点. 综上，对任意m∈R,函数h(x)=f(x)-g(x)存在零点. 16B令fx)-g),得-ax+6. 设F(z)==ax+6. 根据题意可知，F(x)的图象与直线y=-ax十b只有两个 交点. 不妨设x1<x2,结合图形可知，当a>0时，如图1， y=ax十b与曲线F(x)的左支相切，与右支有一个交点. 根据对称性可得，x1|>x2,即一x1>x2>0,此时x1十 x2<0,(关键点：结合函数图象和图象的对称性进行判断) 所以=2、 1 =一y1,所以y1十y2>0. 一x1 同理可得，当a<0时，如图2，x1十x2>0,y1十y2<0. F(x)= x2 y=ax+b(a>0) X2 图1 y y=ax+b(a<0) X2 图2 17.ABD对于A,令f(x)=2十3-4=0，则g(x)= (2)广+()广-1，函数y=(合)y=()广在R上 都单调递减， 则函数g(x)在R上单调递减，g(1)=号>0g(2) -是<0，所以函数g)有且仅有一个零点，（关候点： 结合指数型复合函数单调性、函数零，点存在定理分析 判断) 因此f(x)有且仅有一个零点，故A正确 对于B,当a=b时，f)=2a-c=a[2-(（)门由 fx)=0,得2=(）广，解得x=1g2.又a<c<2a,则 1<行<2，所以lg2>1g%:-1,(关键点：将指数式转 化为对数式求解，注意两边之和大于第三边，两边之差小 于第三边)】 所以当a=b时，函数f(x)的零点大于1，故B正确 对于C,由c>a>0,e>b>0,得0<名<1,0<名 <1. 又a+b>c, 则当xe(-∞，1时，fx)=c[（(）广+()）广-1 c:(名+名-)=，a+->0,枚C错误（关键点 将函数f(x)提取出c,利用函数的单调性进行适当放缩) 对于D,由△ABC为直角三角形，得c2=a2十b2, 所以f2m)=a+6-c=e2[()+(2)-1 c[()+()-1]=0,当且仅当n=1时，等号成 立，故D正确.（关健点：将函数f(x)提取出c2”,利用函数 的单调性进行适当放缩) 1a@（号】 【思路导引】首先根据函数的零，点，判断 零，点的范围，推出①和②矛盾，求得，然后验证即可得出 错误结论的序号；把f(x)分段代入方程f(x)=x十ax一 1,由三个不相等的实根得a的取值范围。 由题意可知，①和②矛盾，则③，④正确. 若①是正确结论，则n=6.因为f(x)的零点之积为3，所以 2=弓，解得m=1, 此时f(x)= 1ogx+1,0<x<2在0<z<2上有 (6-x,x≥2. f(x)∈（一∞，2），在x≥2上有f(x)∈（一∞，4]，满足 题意. 若②是正确结论，则n=3.因为f(x)的零点之积为3，所以 2m=1,解得m=0, 此时f(x)= ogx,0<x<2,在0<x<2上有f(x)∈ 3-x,x≥2. (-∞，1)，在x≥2上有f(x)∈(-∞，1]，不满足题意， 故②结论错误 f1og2x十1,0<x<2 因此f(x)= 6-x,x≥2. 若6-x=x2十ax-1,即x2+(a十1)x-7=0.(关键，点： 分段函数，分段讨论) 因为(a+1)2一4×1×（一7）>0，所以方程f(x)=x2+ ax一1必有两个异号实根， 所以f(x)=x2十ax一1在x≥2上只有一个根， 所以1og2x十1=x2十ax一1在0<x<2上有两个不同实 根，如图所示.（关键点：方程的根转化为两个函数图象的交 点横坐标) /y=x2+ax-1 4-- G y=f(x) 2 6 根据图象可得，2<4十2a一1≤4，（关键，点：根据图象，抛物 线y=x2十ax一1在x=2处的函数值介于函数y=log2x十 1与y=6-x之间) (易错点：注意端点处的等号是否能取到) 得a6(-日] 方法总结 分段函数零点问题的处理方法 (1)画出函数图象，找出图象的交点； (2)分段函数的零点，分段解方程可求得每段上的函数零点 19.解：(1)由题意可知，f(0)=0,即n一8=0，解得n=8. (2)因为f(x)恒有两个相异的不动点，即mx2+(n一1)x十 n一8=x恒有两个不相等的实根， 整理，得mx2+(n-2)x十n-8=0, 所以m≠0且△=(n-2)2-4m(n-8)>0恒成立， 即对于任意n∈R,n2-(4十4m)n十32m十4>0恒成立. 令g(n)=n2-(4+4m)n+32m+4, 则△'=(4+4m)2-4(32m十4)<0，整理，得m2一6m< 0,解得0<m<6. (3)思路导引】由根与系数的关系可得出f(x1)+f(x2)= _”二2，结合已知条件可得出n=m十2十 m m+2-2,令t= m+2E3,5),可得出n=g0)=1+兰-2，分桥画数 g(t)在(3,5)上的单调性，求其值域，即可得出n的取值 范围。 由题意及(2)，得f(x1)十f(x,)=x1十x2=一m十2 m n-2 m 所以n=m+2m+4_m+2)2-2m+2)+4 m+2 m+2 4 m十2十m十2一2.（关能点：参变分离，转化为两个函数的 图象的交点问题) 设t=m十2.因为1<m<3,所以3<t<5. 设g0)=+4-23<1<5),任取1，∈(3,5)，且 t1<t2, 则g,)-g)=+4-2(+合-2=4-4十 4(t2-t)_（t1-t2)(tt2-4) t1tz titz 因为3<t1<t2<5,所以t1-t2<0,tt2>4, 所以g(t1)一g(t2)<0,即g(t1)<g(t2), 所以g)=4+兰-2在3,5)上单调递增， 所以g8)-3+号-2-号，g6⑤)=5+号-2 5, 所以<)<9所以了<n<9. 第四章综合检测·培优卷 1.C由题意，得函数f(x)=√元十3一8在[0，十∞)上连续 且单调递增.（关键点：根据函数零，点存在定理结合单调性判 断) 因为f(1)=-4<0,f(2)=√2+32-8=√2+1>0， 所以f(1)·f(2)<0. 根据函数零点存在定理可得，函数f(x)的零点所在区间 是(1,2). 2.A【思路导引】将t=0代入关系式可得出P=P。,将t=5 代入关系式可得出e=0.9,再将t=l0代入关系式，结合 指数运算可求得结果 当t=0时，P=P。·et0=P,当t=5时，Pe P。 90%,即e=0.9, 所以当t=10时， P。·e1o =e1=(e5)2=0.92=0.81, P。 即10h后，还剩81%的污染物，所以前10h消除的污染物 的占比为19%. 3.A将指数函数y=e的图象向下平移m个单位长度可得 到y=e一m的图象， 再将y=e一m的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方 可得到函数f(x)=|e-m|(m>0)的图象（如图所示）. (关键点：作出函数y=f(x)的图象，数形结合) y=m y=f(x) 因为函数y=f(x)的图象与y=e(a为常数)的图象有两 个交点， 所以0<e<m,所以ln(e)<lnm,即a<lnm. 4,A令t=log2x,则t∈[1,2]，（关键点：利用换元法，将问 题转换为求二次函数的值域问题，注意新元的取值范围) 所以原函数转化为y=-3影+6=(-)”+只，图象的 3 对称轴为直线t= 2 所以当：=号时，函数取得最小值，最小值为，当：-1或 3 t=2时，函数取得最大值，最大值为4， 所以所求函数的值城为[，个小 5.A依题意，将1og2(4a)=log3(3b)=log6(12a十12b), (12a)-log (a)lo log (4a)Hlog log2log3log2十log3 log(12ab),(关键，点：利用换底公式，将其转化为以6为底 的对数，然后利用等比和的性质变形) 所以12a+12b-12ab,所以a+b=ab,所以ga+62-1. lg(ab) 6.C对于A,f(-x)=-=1-a ax+11+a2 =-f(x),故A 正确， (考场秒杀：常见偶函数有y=a2十a,y=|x:常见奇 。42 a*+1ysQ*+1 函数有y=a*-a,y=g二}，y a-1’y= logn.x十n =ey=e可士) 对于B,C,因为f)=ga12-1-2 a2+1a2+1 a*+1,(关 健点：分离常数，判断函数的单调性) 所以当0<a<1时，函数y=a在（一∞，十∞）上单调递 诚，则函数y一，在（一∞，十∞）上单调递增，所以 f(x)在(-o∞，十c∞)上单调递减； 当a>1时，函数y=a2在(-∞，十∞)上单调递增，则函 2 数y=a中1在(-，+∞)上单调递减，所以f(x)在 (一∞，十∞)上单调递增. 故B正确，C错误 对于D,因为a>0,所以a+>1,0<a<2, 所以-1<寸四)名赦D正确（关键点：分离名 数，求函数的值域：也可以利用单调性求值域) 7.B因为一1和1是f(x)的零点，所以 a十6+c=0,解得6=二1： \-1+a-b+c=0, c=-a, 所以f(x)=x3十a.x2-x-a=x(x2-1)十a(x2-1)= (x十a)(x2一1).（关键点：一共四项，两两分组，因式分解） 因为xo为函数f(x)的零点，所以xo=一a,故A正确. 当a=0时，g(x)=一x有一个零点0； 当a≠0时，g(x)=ax2-x-a,则△=1十4a2>0, 所以y=g(x)有两个零点， 所以y=g(x)可能有一个零点或两个零点，故B错误，C, D正确. 8.B【思路导引】题目条件可变形为f(x1)十x1lnx1< f(x2)十2In x2,构造函数g(x)=f(x)十xlnx,x∈ (e,十o∞)，分析可知g(x)在(e,十∞)上为增函数，把不等 式f(e)<4n3一ae等价变形为g(e)<g(3),根据函 数单调性解不等式可得结果， 因为f）-f》<h-h,x1,E(e,+o）, T1T2 x1 x2 所以f(x1)-f(x2)<x2lnx2-x1lnx1,即f(x1)十 x1lnx1<f(x2)十x2lnx2.(关键，点：将所有的x1移到不等 式的一侧，x2移到在另一侧，构造函数) 令g(x)=f(x)十xlnx,x∈(e,十o∞)，则任意的x1,x2∈ (e,十∞)，当x1<x2时，有g(x1)<g(x2), 所以函数g(x)在(e,十∞)上为增函数. 因为不等式f(e)<4ln3一ae可变形为f(e“)十ae< 4ln 3,f (e)+eln e<In 3+31n 3=f(3)++31n 3, 所以g(e)<g(3),(关健点：将不等式转化为g(e)< g(3)的形式，然后利用单调性求解) 所以e<e<3,解得1<a<ln3,即实数a的取值范围是(1， ln3). 9.AB【思路导引】利用复合函数思想，结合二次函数和指数 函数的性质来判断 令u=x2+4x十3=(x十2)2-1，则u∈[-1，十o∞).（关键 点：先利用换元法，将指数看成一个整体，求出指数的范围，