第4章 第8周 指数、指数函数-【一本】2025-2026学年高中数学必修第一册周末小测卷（人教A版）

(iD若函数y=g(x)在x∈(-1,1)上有两个零点， 则满足m·g(-1)>0且m·g(1)>0且△=1-48m>0 且-1<8m<1,解得m<-1. 故实数m的取值范围为（一©，一）， 所以r(》+f(份）-受++受+号-m+2< -2+2=2, 故f(-号)+f(合)的取值范围为(-©，多)】月 方法⊙当=0时，方程无解，只需方程玩二在c (一1,1)上有解 9 令c-3=(-4<1<-2),则二3==十，十6 t 易知函数y=1十？在区间（一4，一3上单调递增，在区间 (一3，一2)上单调递减. 设g@)=+是+6(-4<-2， 因此goe(←号0] 于是<<0，可得m< 2 因此f(←)+f(合)=受+号+罗 3 =m十2< 故f(←号)+f(号)的取值范围为（仁©，是） 方法总结 已知方程有根求参数值（取值范围）常用的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确 定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加 以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的 方法求解。 第四章指数函数与对数函数 第⑧周指数、指数函数 1B由2a-5a+3=1,解得a=2或a=子，（关键点：新数 函数的系数需为1) 又函数在R上单调递增，则a=2, 2.D因为f(0)=2,所以f[f(0)]=f(2)=22+4十a2= 6a,即a2-6a十8=0，解得a=2或a=4. (关键点：对于已知复合函数的函数值求参问题，先算里面 的函数值，再往外算) 3.D由题意，得锶-89的半衰期（质量衰减一半所用的时间） 为50天，（关键点：当1=50时，M=M) 3 即M=M。·(分)，解得H=50, 所以质量为M。的锶-89经过30天衰减后， 质量大约为M·()=M·(侵)“=M·≈ 1 M,X1.516≈0.66M. 4.C易知函数f(x)是偶函数，并且当x>0时，f(x)= 6x一1是增函数，（关键点：先判断函数的单调性和奇偶性， 再判断三个数的大小) 所以6=f(←)=f(日）因为1.7>1>}>日>0， 所以f.7)>f()>f(日)即a<<c 5.C【思路导引】利用指数函数的性质建立方程得到n=1, 再结合f(0)=2得到m=1,最后求解目标式的值. 因为x∈R,所以3x∈(0，十∞). 因为函数f(x)=m·3十n的值域为(1，十∞)，所以m> 0.又f(x)的值域为(n,十∞)，所以n=1, 此时f(x)=m·3+1. 因为f(0)=2,所以2=m十1，解得m=1, 故m+2n=1十2=3. 6.A【思路导引】由一次函数的图象确定a,b的取值情况，再 由指数型函数图象判断特征 对于A,由一次函数的图象，知a>0,0<b<1,此时函数 y=b“为减函数，A正确； 对于B,由一次函数的图象，知a>0,b>1,此时函数y=b 为增函数，B错误； 对于C,由一次函数的图象，知a<0,b>1,此时函数y=b 为减函数，C错误； 对于D,由一次函数的图象，知a<0,0<b<1,此时函数 y=b“为增函数，D错误. 7.BD因为函数f(x)=(m2十m一5)xm-4为幂函数， 所以m2十m-5=1,解得m=-3或m=2. 当m=一3时，f(x)=x7,图象不关于y轴对称，故舍去， 当m=2时，f(x)=x,图象关于y轴对称， 所以m=2符合题意，故A不正确. 易知f(x)=x在(0，十∞)上单调递减，故B正确， 由指数函数性质可得，两数g)一（侵）》一 十3，易知其图 象恒过定点(0,5)，故C不正确.（关键点：求指数函数的定 点问题，令指数等于0，即a°=1) 易知当n=m时，函数g)-(合)》 +3在[-1,1]上 为碱酒数所以其值城为[吕川，故D正确（关键点：本 指数型函数的值域，利用函数的单调性求解) 8.20因为10m>0,102>0,且m十2n=2,所以10m+102≥ 2√10m·102=2√10m+额=20，（关键点：利用基本不等式 求最值) 当且仅当m=2n=1时，等号成立，所以所求最小值为20. 9.(一4，一2]作出函数的图象，如图所示： y=f(x)/ y=t -2a-1b071c2x 令f(a)=f(b)=f(c)=t,则1≤t<2,(关键点：作出图 象，令f(a)=f(b)=f(c)=t,则1≤t<2) 因为a<b<c,a+b=-2,f(c)∈[1,2)， 所以(a十b)f(c)=-2f(c)∈(-4，-2]. 10解：(1)原式=[ah(ab) Eab(ab) +(b-a)+(a-b)= 0)w-ow-6o (ab)x （易错点：a-b=a-b,n为偶数， a-b,n为奇数 2×2 (2②原式=( +100+(号) °一3=3 5 +100+ 4 3 -3=100. (3)对x言+x=3两边平方，得z+x)2=x十x1十 2=32,得x十x1=7.(关键点：利用平方升暴处理) 对x十x1=7两边平方，得(x十x1)2=x2十x2十2= 72,所以x2+x8=47, 所以x是十x是=(x立+x)(x-1十x1)=3X(7 1)=18. (关键，点：立方和公式a3十b3=(a十b)(a2-ab十b2)) 好导器 11.解：(1)由g(x-1)=4x-7,得g(x-1)=4(x-1)-3, 则g(x)=4x-3. 由于二次函数f(x)满足f(0)=2,所以设f(x)=a.x2十 bx十2(a≠0) 不等式f(x)十g(x)<0,即ax2+(b十4)x一1<0， 依题意可知，-1,2是方程ax2+(6十4)x-1=0的两个 实根，且α>0，（关键点：一元二次不等式解集的端点值为 一元二次方程的根) 所以-1+-结，-1x- Γa,解得a=2,6= 一3，（关键，点：利用根与系数的关系求参数，较为简便） 所以f(x)的解析式为f(x)=2x2一3x十2. (2)由(1)，知f(x)=2x2-3x十2. 不等式f(3)≥(2m-1)·3+9台2(3r)2-3·3x+2>≥ (2m-1D·3+(3)292m+2≤33， 2 所以不等式2m十2≤3”+3：对任意的x∈R恒成立，（关 键点：与指数有关的恒成立问题，通常考虑使用参变分离 法) 因为3r>0,所以3+是≥2√3·是 2 =2V2,当且仅当 。31 3”=子，即3=区时，等号成立，（易错点：利用基本不等 式求最值时，注意等号成立的条件) 所以2m十2≤2√2，解得m≤2-1， 所以实数m的取值范围是（一o∞，W2-1]. 12.解：(1)依题意，得f(0)=g(0),即2e°=a×3°十b,所 以a十b=2. 当a=0时，g(x)=2,显然不符合题意。 当a≠0时，g(x)=a·32十b的图象无限接近于直线 y=b, 当a<0时，g(x)的值域为（一∞，b),不符合题意； 当a>0时，g(x)的值域为(b,十∞). (关键，点：分a=0,a<0,a>0三种情况讨论，结合指数型 函数的性质判断) 又g(x)的值域为(1，十∞)， 所以b=1,a=1,经检验符合题意， (2)由(1)可知，g(x)=3+1. f(x),x0, 因为h（x)= 即h(x)= g(-x),x>0, 2e,x≤0， 3x+1,x>0, (关健点：分段函数要分段讨论，分析函数 在各段的单调性与值域) 所以当x≤0时，h(x)=2e单调递增，且h(x)∈(0,2]； 当x>0时，h(x)=3+1单调递减，且h(x)∈(1,2). 要使方程h(x)=k有且只有一个实数解，即y=h(x)与 y=k有且只有一个交点，所以0<k≤1或k=2, 即的取值范围为(0,1]U{2}. 13.D因为对任意x∈R,都有f[f(x)-2-x]=-15, ,且 函数f(x)在R上是单调函数， 所以f(x)一2x一x为常数.（关键点：利用函数f(x)在R 上是单调函数可知，f(x)一2一x为常数) 设t=f(x)一2一x,则f(x)=22十x十t, 所以f[f(x)-2-x]=f(t)=2+t+t=2+2t= 、15 4 因为y=2与y=2t在R上单调递增， 所以2+2=一有唯一解，解得1=-2。 所以f(x)=2+x-2,所以f(4)=2十4-2=18. 14.ACD【思路导引】由题意作出函数f(x)的图象，由图象 即可判断A,B;根据偶函数的性质及二次函数的对称性， 结合图象即可判断C,令f(x)=t,数形结合即可判断D. 由题意作出函数f(x)的图象，如图所示： y=fx)》 y=mk3-果.D以 2 -10123x 可得A(0,2),B(1,3),C(2,2),D(3,3), 所以f(x)有最小值2，故A正确. 由f(x)=m有四个不等的实数解x1,x2,x3,x4,得2< m<3,故B错误 不妨令x1<x2<x3<x4: 因为y=2十1为偶函数，所以图象关于y轴对称. 又y=x2-4x十6的对称轴为直线x=2, 所以由对称性可知，x1十x2=0,x3十x4=4,则x1十x2十 x十x4=4,故C正确. 令fa)=,则方程f》-号可化为方程e)号， (关键点：对于复合函数判断解的个数或范围问题，通常将 内层函数进行换元，先解外层函数，再解内层函数) 结合图象，得了e)=号有4个解，a,,,设<：< t3<t4,且-1<t1<0,0<t2<1,1<t3<2,2<t4<3 因为f(x)有最小值2，所以只有当2<t<3时，f(x)=t 有4个不同的x与之对应， 故方程于f(x)》=号有4个不同的解，故D正确， 15.(-∞，-2]设g(x)=4十a·2+1. 若函数y=√4：十a·2十I的值域为[0，十o∞)， 则等价于[0，十∞)是g(x)值域的子集。 因为g(x)=4+a·24十1=(2)2+a·2+1, 设t=2,则t>0,(关键点：换元，注意新元的范围) 所以y=h(t)=t2+at十1. 因为h(0)=1>0, 所以当对称轴1=-受<0，即a≥0时，不满足题意：（关 键点：开口向上的抛物线求最小值问题，讨论对称轴与区 间端，点的关系；求最大值问题，讨论对称轴与区间中点的 关系) a 当t=-2>0,即a<0时，4=a2-4≥0， 则a≤一2，满足题意 综上，实数a的取值范围是（一∞，一2]. 方法总结 当题干中出现3,9或2，或(3)广（日）”或(2)， ()广或2+2,2+2“或2+2,4+4时，常利 用换元法处理，转化为一元二次函数问题，需注意新元的范围， 16解：(1)依题意，得f(x2一x)=2-x 112 1 因为p(x)=x2-x=(z-2）一4的图象开口向上，对 称轴为直线x=2,所以当x=2时，力(x)取最小值 又函数y=2:单调递增，所以f(x2-x)的最小值为2云 当x=2时，p(x)取最大值2，（关键点：先利用二次函数求 解内层函数p(x)=x2一x的最值，再利用指数函数的单 调性求出外层函数的最值) 所以f(x2-x)的最大值为2，即4. 综上，f(x-x)在[0,2]上的最大值为4，最小值为2 (2)因为g(x)十h(x)=2,① 所以用-x代替x,得g(-x)十h(一x)=2. 因为g(x)为奇函数，h(x)为偶函数， 所以g(-x)=-g(x),h(-x)=h(x), 。32 所以h(x)-g(x)=2.② 2,h(x)=2+2 联立①和②，解得g(x)=2_ 2· 1 (3)儿思路导引]利用换元法将原问题转化为H)=一2+ 让一4在(0，）上存在零点，然后利月二次函数根的分布 列不等式（组）求解。 依题意，得F(x)=2λ· 2-222+2-2a 一3=λ· 2 2 (-2)-2[(2-20)‘+2]- 当x6（0,1D时，由1=2一是在R上单河递增可知， eo,） 要使F(x)在(0,1)上存在零点， 即要H(0)=一 十加-4在0,2）上存在零点 又H(t)是开口向下的抛物线且H(0)=一4<0， 0< 3 则需H(号)>0或△≥0 x( 41 解得入>12： H(2)<o, 所以实数入的取值范围为（侣十∞）】 17.A【思路导引】由分析得f(x)=g(x)+2,其中g(x)= zi4e-1 心+i不等式等价转化为g(a2)>-g(3a-4,通 过分析g(x)的单调性和奇偶性可得结果. 由题意，得函数f(x)=x3- 2 ++3=x3e+十 +2=+昂2（关候：周为不学我1公）叶 一0中出现T4,所以考痣特f)=一品十 中的3转化为2) 令g)=+吊周fe)=ge+2 由f(a2)+f(3a-4)>4,得g(a2)+2+g(3a-4)+ 2>4, 所以g(a2)+g(3a-4)>0,即g(a2)>-g(3a-4). 因为g(x)=x+e-1 e2+1x3- 名1y-在R上为 增函数，y在R上为减函数， 所以g(x)在R上为增函数. 又x《-)=(-+8品-+=-g, 所以g(x)是R上的奇函数，故-g(3a一4)=g(4一3a), 所以由g(a2)>-g(3a-4)=g(4-3a),得a2>4- 3a,解得a>1或a<一4，（关键，点：对于解g(a2)>g(4 3α)的不等式，一般不代入函数的解析式，而是利用函数的 单调性求解) 所以实数a的取值范围为(-∞，一4)U(1,十∞). 18.ACD已知函数f(x)的周期为4，则f(3)=f(3-4)= f(-1). 因为当x∈1。=[-2,2]时，f(x)=21x1-1,所以 f(-1)=2-1-1=2-1=1,所以f(3)=1,故A正确. 当x∈1。=[-2,2]时，f(x)=21x|-1,f(-x)=2- 1=211一1=f(x),所以f(x)在[-2,2]上是偶函数， 图象如图： -2 0 2x 结合周期性，易知函数图象关于y轴对称，即在R上也是 偶函数. 又函数f(x)的周期为4，则f(1)+f(一5)=f(1)+ f(-1)=1十1≠0，即(-2,0)不是函数f(x)图象的对称 中心，故B错误.（关键点：若f(x十2a)十f(一x)=2b是 奇函数，则f(x)的对称中心为(a,一b)) 因为函数f(x)的周期为4，所以f(4一x)=f(-x).又因 为f(x)是偶函数，所以f(4-x)=f(-x)=f(x),故C 正确 当x∈Ik=[4k一2,4k十2]时，x一4k∈[一2,2]， f(x)=f(x-4k)=2x-1-1. M={af(x)=ax在I.上有两个不相等的实根}，即y= f(x)的图象与直线y=ax在[4k一2,4k十2]上有两个不 同交点 当x∈[4k-2,4k十2]时，f(x)=2x-一1，f(x)的图象 是由y=2!一1的图象向右平移4k个单位长度得到的. 3 当直线)y=ax过点(4+2,3)时，a一4十2，故要使y= f(x)的图象与直线y=a.x在[4k一2,4k十2]上有两个不 同的交点， 则0<a≤4十2即M=(0,4十2故D正确。 3 3 19解：(D由题意，得cosr(x)一sn(x)=(（)' (2）-+。坦-+-2 4 4 (2)证明：因为cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y)= 十e.e+e4e-e.e'-ey 2 2 2 -(e'te)(ete)(e'-e)(e-e) 4 4 ety十ex+ 2 -=cosh(x十y),故得证. 1 (3)思路导引】分离参数后构造函数f(x),令1=。：十1 再结合二次函数的单调性可求，注意新元的范围 由题忘，得加（字）-2X“产-9≥0在 [2,十e)上恒成立， 密-法在[+)上恒 即m≥er+ex+2 成立. ●3 令f(x)= e+3e2x-1 (e十1D,则f(x)= +》3-e+1 -3 (e2x+1)2 令：=因为≥分，所以心+1≥e+1,所以0< 1 1 ez+1e+1' 所以f)-ge)=-++1=-3(-君)》广+品， e(. 因为函数g(e)=-3+:+1在(0，号]上单调递增，在 (合中]上单调递减。 所以g0是则m是，即m的取值围为[是+）。 第⑨周对数、对数函数 D因为x0g4=1,所以x=4=10g3,(关键点：换底公式) 110 故4十4=40十403=3+3=3 2.C由题意，得6=1og3,a=1og2=1og5' 1 即1og5=,logm10-6e18og（2×3)-2+igd _1og210_1og2(2×5)_1十1og25」 a 2+6一2a十ab(关健点：将指数式转化为对数式，利用换 底公式将所求的式子转化为以2为底的对数) 3.B①y=1bgx-1=be（-1D,之l'对应的图象为 1og2(1-x),x<1, 从左到右第一个. ②令x-1>0,得x>1,故y=11og(x-1)|的定义域为 (1,十∞)， y=e-1=a”wac2 对应的图象为从左到右第三个. ③y=1 og-11=小egs（x-1)>l'对应的图象为 1ogo.5(1-x),x<1, 从左到右第四个 ④令|x|-1>0,解得x>1或x<-1,故y=1og.5(x|- 1)的定义域为(-∞，-1)U(1,十∞)， 所以y=1oga(x-1D={1ogas(-x-1D,z<-1 loga.5(x-1),x>1, 由复合函数可知，y=loga.5(|x|一1)在(1，十∞)上单调递 减，在（一∞，一1）上单调递增，对应的图象为从左到右第二 个.因此对应的函数序号是①④②③. 方法总结 对于判断函数的图象问题，通常可以从(1)定义域：(2)单调 性；(3)奇偶性；(4)特殊点四个方面来判断. 4.D【思路导引】将v=0.5代入式子，求出k,再利用指数式 与对数式的互化即可求解. 当鲑鱼的游速v=0.5时，鲑鱼的耗氧量的单位数为300， ●一本高中数学周末小测卷 第四章 指数函数与对数函数 第 8 周 指数、指数函数 ⊙时间：90分钟 色总分：150分 8得分： ☑答案：P30 基础测·查漏补缺 弥 1.(2025·江苏通州高级中学月考，5分)已知指数函数f(x)=(2a2-5a十3)az在R上单调递增，则 咖 a的值为 () A.3 B.2 C.7 2x+1,x<1, 2.(2025·湖南常德汉寿第一中学开学考试，5分)已知函数f(x)= x2+2x十a2,x≥1， 且 f[f(0)]=6a,则实数a= ( A或4 B或2 C.2或9 D.2或4 3.(2025·湖南株洲第二中学期中，5分)放射性核素锶-89会按某个衰减率衰减，设初始质量为Mo, 贺 封 质量M与时间T(单位：天)的函数解析式为M=M。·() (其中H为常数)，若锶-89的半衰期 (质量衰减一半所用的时间)约为50天，那么质量为M。的锶-89经过30天衰减后的质量约变为 (参考数据：2.6≈1.516) A.0.72M B.0.70Mo C.0.67M D.0.66Mo 4.(2025·华东师范大学第二附属中学开学考试，5分)已知函数f(x)=6-1,若Q=f(日)，6= f(-),e=f1.7),则 A.c<b<a B.a<c<6 C.a<b<c D.b<a<c 5.（2025·广东衡水金卷联考，5分)已知函数f(x)=m·3x十n的值域为(1，十∞)，且f(0)=2,则 线 m+2n= () A.1 B.2 C.3 D.4 6.(2025·广东广州第二中学期中，5分)当a≠0时，函数y=ax十b和y=bar的图象只可能是 D 必修第一册RJA版 7.(多选)(2025·山西晋城期中联考，6分)已知幂函数f(x)=(m2十m一5)xm-4的图象关于y轴对 一1 称gx)=() 十3.下列表述正确的是 () A.m=-3 B.函数f(x)在(0，十∞)上单调递减 C函数g(红)的图象恒过定点(2,4) D.当m=n时，函数g(x)在[-1，上的值域为[2,1叫 8.(2025·广东茂名期末，5分)已知m十2n=2,则10m十102m的最小值为 -x2-2x十1，x≤0， 9.(2025·四川宜宾期末，5分)已知函数f(x)= 若存在实数a,b,c满足a< 2x-2,x>0, b<c,且f(a)=f(b)=f(c),则(a十b)f(c)的取值范围是 10.(2024·广东广州第二中学期中，13分) (1)化简： √ab·ab+a-b+a-b(0<a<b): abvab (2计算：（每）+0.1+(82》 -3π°； (3)已知x2十x -3,求+z+2 z2+x+3的值 11.(2025·山西大同联考，15分)已知二次函数f(x)满足f(0)=2,函数g(x)满足g(x一1)=4x一 7,且不等式f(x)十g(x)<0的解集为(-1,2). (1)求f(x)的解析式； (2)若关于x的不等式f(3x)≥(2m一1)·3x十9z对任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围. 12.(2025·广东吴川第一中学学情联合检测，15分)已知函数f(x)=2e2与g(x)= a·3z十b的图象交点的横坐标为0，且g(x)的值域为(1，十∞). (1)求a,b的值； ·21。 一李高中数学周未小测卷 (2)设函数h(x)= f),x≤0，。若方程h(x)=k有且只有-个实数解，求友的取值范围. g(-x),x>0, 能力测·迁移运用 13.(2025·江西抚州期末，5分)若函数f(x)在R上是单调函数，且满足对任意x∈R, fUx)-2-]=-5则f0 A.12 B.14 C.16 D.18 14.（多选)（2025·湖北新高考联考协作体联考，6分)已知函数f(x)= 21x1+1,x<1, 若f(x)=m有四个不等的实数解x1,x2,x3,x4,下列说法正确 x2-4x+6,x>1, 的是 A.f(x)有最小值2 B.m的取值范围是2<m≤3 C.x1十x2十x3十x4=4 D.方程F(x)》-有4个不同的解 15.(2025·湖南永州永华高级中学月考，5分)若函数y=√4z+a·2z十1的值域为[0， 十∞)，则实数a的取值范围是 16.(2025·广东梅州期末，17分)已知函数f(x)=2(x∈R),且f(x)=g(x)十h(x), 其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数. (1)求f(x2-x)在[0,2]上的最值； (2)求g(x)和h(x)的解析式； (3)若函数F(x)=2λg(x)一h(2x)一3在(0,1)上存在零点，求实数λ的取值范围. ●22● 必修第一册RJA版 拓展测·创新突破 17,2025·湖南名执联考联合体联考.5分已知函数f)=-。子7+3，且了a)十 f(3a一4)>4，则实数a的取值范围是 () A.(-∞，-4)U(1,+∞) B.(-4,1) C.(-∞，-1)U(4,+∞) D.(-1,4) 18.（多选)(2025·浙江杭州期末，6分)已知函数f(x)是定义在R上的以4为周期的函 数，对任意整数k,区间1=[4k-2,4k十2].当x∈1。时，f(x)=2-1.集合M。= 弥 都有 {a|f(x)=ax在I。上有两个不相等的实根}，则 () A.f(3)=1 B.(一2,0)是函数f(x)图象的一个对称中心 C.f(x)=f(4-x) D若k>0,则M:=(0,32] 19.新考法新载体(2025·安徽A10联盟阶段考试改编，17分)双曲函数是一类与常见的 三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著 、名的“悬链线间题”与之相关其中双曲正弦函数：sh(x)=。,,双曲余弦函数： Cosh(zx)=e)e(e是自然对数的底数，e=2.71828…) (1)求cosh2(x)-sinh2(x)的值； 封 (2)证明：两角和的双曲余弦公式cosh(x+y)=cosh(x)cosh(y)十sinh(x)sinh(y); (3)若关于x的不等式mcos(a)-2sinh(2x)-3≥0在[号，十∞)上恒成立，求实数m的取值 范围。 线