第2章 第4周 二次函数与一元二次方程、不等式-【一本】2025-2026学年高中数学必修第一册周末小测卷（人教A版）

一本高中数学周末小测卷 周 二次函数与一元二次方程、不等式 ⊙时间：90分钟 号总分：150分 8得分： ☑答案：P10 基础测·查漏补缺 弥 1.(2025·北京延庆期末，5分)不等式2z+≤1的解集为 x-2 咖 A.{x|x≤-3) B.{x|-3≤x≤2 C.{x|1≤x<2} D.{x|-3≤x<2} 2.(2025·湖南永州永华高级中学开学考试，5分)若两个正实数x,y满足4x十y=xy,且不等式 x十>m+3m恒成立，则实数m的取值范围是 () A.{m-1<m<4} B.{m-4<m<1} C.{mm<-4或m>1} D.{mm<-3或m>0} 3.(2024·河南顶级名校月考，5分)已知一元二次方程x2十(a2+1)x十a一2=0的一根比1大，另一 根比1小，则实数a的取值范围是 () A.{a-3<a<1} B.{a-2<a<0} 架 C.{a-1<a<0 D.{a0<a<2} 封 4.(2024·广东广州南海中学月考，5分)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 300m的内接矩形花园（阴影部分），其边长为xm,则x的取值范围是 () 40m 40m →C A.15≤x≤20 B.12≤x≤25 C.10≤x≤30 D.20≤x≤30 5.(2025·河北高碑店一中月考，5分)不等式mx2十x十4m>0在R上恒成立，则m的取值范围是 () 线 Am B0<m< Cm<-号 Dn<-i m>l 41 4 6.（2025·广东汕头潮阳期末，5分)已知不等式y=kx2十(2k一1)x一2，下列说法不正确 的有 2,则不等式y>0的解集为② A若k= B若>0，则不等式y<0的解集为女-2<< C,若Hx∈R,kx2+(2k一1)x一2十x<0恒成立，则整数k的取值集合为{-1} D.若恰有两个整数x使得不等式y<0成立，则实数k的取值范围是{≥1)》 必修第一册RJA版 7.(多选)(2025·山东日照期末，6分)已知关于x的不等式ax2十bx十c≥0的解集为 {x|一3≤x≤4)，则 () A.a<0 B.a+6+c<0 C不等式cx-z+a<0的解集为-<引 D+号的最小值为6 8.(多选)(2024·广东湛江第二中学月考，6分)已知不等式x2-ax-a十1≤0在0≤x≤3上有解， 则实数a的取值可以为 () A号 B.2 C.w2-1 D.0 9.(2024·天津第四中学月考，5分)方程x2十(k一2)x十5一k=0的两根都大于2，则实数k的取值 范围为 10.(2025·河南豫东名校期末，5分)若命题“3一1≤x≤2，使得2x2+x-一m一10≥0” 是假命题，则m的取值范围是 11.(2025·湖北云学名校联盟联考，13分)已知命题p:]1≤x≤3，x2一mx十4≤0，命题 q:Hx∈R,x2-mx+2m>0. (1)若命题饣为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p,q有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围. 12.(2024·安徽枞阳中学月考，15分)设y=mx2+(1一m)x十m一2. 0若m心-1，求”卢的最小值 (2)解关于x的不等式mx2+(1一m)x+m一2<m一1. 。09。 一本高中数学周未小测卷 13.新考法新情境(2025·广东广州八区联考，15分)某地区上年度电价为0.8元/(kW·h),年用电 量为akW·h,本年度计划将电价下降到0.55元/(kW·h)至0.7元/(kW·h)之间，而用户期望 电价为0.4元/(kW·h).经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反 比（比例系数为k).该地区的电力成本价为0.3元/(kW·h). (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益y(单价：元)关于实际电价x(单位：元/(kW·h)的 函数解析式；（收益=实际电量×（实际电价一成本价）) (2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ 14.(2025·湖南衡阳第一中学期末，17分)已知关于x的不等式2x一1>a(x2一1). (1)是否存在实数a,使不等式对任意x∈R恒成立？ (2)若不等式对于一2≤a≤2恒成立，求实数x的取值范围 。10。 必修第一册RJA版 能力测·迁移运用 15.（2025·安徽合肥第八中学期末改编，5分)已知关于x的不等式组 x2-x-6>0, 仅有一个整数解，则的取值范围为 () 2x2+(1-2k)x-k<0(k>0) A.{k|4≤k<5}B.{k|4<k≤5} C.{k|3≤k<4}》 D.{k3<k≤4} 16.(多选)(2025·四川巴中期末，6分)已知关于x的不等式a(x一2)(x十1)十1>0的 解集是{x|x1<x<x2},其中x1<x2,则下列结论中正确的是 () 弥 A.x1十x2=1 B.x1x2十2<0 C.x1<-1<x2<2 D.x1-x2|>3 17.(2025·浙江杭州上城杭七中期末，17分)已知关于x的方程3mx2十3px十4q=0(其中m,p,9 均为实数)有两个不等实根x1,x2(x1<x2). (1)若p=q=1,求m的取值范围； (2)若x1,x2满足x十x3=x1x2十1，且m=1,求饣的取值范围； 《3)若无，x2为两个整数根，力为整数，且m一一名，g1P,求1，x2了 393 封 拓展测·创新突破 线 18.(2025·河南驻马店期末，5分)函数y=[x]在数学上称为高斯函数，也叫取整函数， 其中[x]表示不大于x的最大整数.如[1.9]=1，[-2.1]=一3，[2]=2，[-1]=-1. 不等式[x]-[x]-一6<0成立的充分不必要条件是 () A.{x|-1≤x<3}B.{x|0<x<3} C.{x|1≤x<4} D.{x|-2<x<3} 19.(2025·上海延安中学月考，5分)若不等式(mx一1)(x2一mx一1)≥0对任意x>0 恒成立，则实数m的值为当且仅当a=b=6=音时取等号。 2 2关健点：利用基本不等式链≤仙<Q十 2 a a+b2 a+b2 1 2 中的2十6 2 2 因为2告-(e-+2地-a -≥0， 2 4 4 所以≥（生y,@≥，当且仅当 a=b时取等号， 则有Va于5号a+6, 同理，得v6≥经6+o叶a≥号c+a. 相加可得，va于不+v+元+V+a≥号(a十 b)+竖b+e)+号c+a)-Ea6+e.当且仅当a= b=c时等号成立. 19.解：(1)(i)设矩形的另一边长为ym. 由三角形相似得音-22且0<x<5,0<y<2,所以 2x十5y=10,(破题关键：找出未知量的关系式，题目中现 有的条件只有相似，所以利用相似比来构造) 又矩形窗户面积 s=w=(2-号)=(x-)}‘+2, 故x的取值范围为z2 5-√5 2 (D设地板面积为S,m2,解不等式组 S+S1=16.5, (將 S1>S≥0.1S1, 文字语言“窗户面积与地板面积的比应不小于10%，若阁 楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5m2”转化为符号 语言) 所以S+S<1S,即1S>16.5,解得S≥号 故窗户面积最小为2m, .3 令z(2-号)=是，可得4r-20x十15=0，解得x= 3 0+5或=5 2 故当工为十5或5二严时，窗户面积最小，为配。 2 2 (2)采光效果变好了.理由：设a,b分别表示原来窗户面积 和地板面积，m表示窗户和地板所增加的面积（面积单位 都相同)， 由题意，得0<a<6,m>0,则8阳-合- 一6(6+（利用作差法即可判断出采 ab+mb-ab-ma_m(b-a） b(b+m) 光效果是否变好了，常见的比较大小的方法有作差法和作 商法) 因为6-a>0,66+m)>0,所以9->0， 哈股号， 所以窗户和地板同时增加相同的面积，采光效果变好了. 第④周 二次函数与一元二次 方程、不等式 1.D【思路导引】移项通分后转化成一元二次不等式即可 求解 原不等式即为号-1长0，即 x2s0, 故{x十3)（工一区0，（易错点：注意分母不为0）故-3≤ x<2. 2B【思路导引】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值，再 借助恒成立建立不等式求解， 正实数zy满足红十y=y,则号1， y 因此a+-(+)（）2+号2+ Ax y y,4虹=4， 2 Az y 当且仅当名号即)一4红=8时取等号。 由不等式x+>m十3加恒成立，得m+3m<4,解得 -4<m<1, 故实数m的取值范围是{m一4<m<1}. 3.C记y=x2十(a2十1)x十a一2，则函数的图象开口向上， 要使方程的根一个大于1个小于1，则只需要x=1时， y<0即可， 即1+(a2+1)十a-2<0,解得-1<a<0,所以实数a的 取值范围是{a一1<a<0}. 方法总结 若一元二次方程一个根大于k,一个根小于k,只需保证一 元二次方程对应的二次函数在x=飞时对应的函数值与最 高项系数的乘积小于0即可. 4.C如图所示，过点A作BC的垂线，分别交EF,BC于点 G,D. 40m E X G D -40m C 设矩形的另一边长为ym, 易知△AEG∽△ABD,△AGFp△ADC, 则8那院所以8部+-既即0。 .AG EG+GF EF 40 希所以y=40-云 由题意，得xy≥300，所以x(40-x)≥300，即x2-40x十 300≤0，解得10≤x≤30. 5.A当m=0时，得x>0,不合题意；（易错，点：最高项系数含 参问题，一定要注意讨论最高项系数是否为0) m>0, 当m≠0时，由题知{ 4=1-16m2< ,解得m> A 综上，m的取值范围为m>子 方法总结 R上的恒成立问题，只需判断图象开口方向和判别式即可， 6.Cy=kx2+(2k-1)x-2=(kx-1)(x+2). 对于A若6=-2，则y-(-日x-1)红+2)=-2 1 (x十2)2≤0恒成立，所以y>0的解集为0，故A正确. 对于B,若>0，则专>-2，所以y<0的解集为 女-2x<君}故B正确， 对于C,kx2十(2k一1)x一2十x<0恒成立，即kx2十2kx一 2<0.(易错点：最高项系数含参问题，一定要注意讨论最高 项系数是否为0) 0即0 当k≠0时，a<0,即{(2k)2+8k<0, 解得-2<k<0,所以整数k的取值为{-1}； 当k=0时，kx2十2kx一2<0恒成立，满足题意， 综上所述，整数飞的取值为{一1,0}，故C错误 对于D,当号<-2时y=(:-1)(z十2)<0的解集为 红<君或x>一2，（关键点：分类讨论的标准要统一 一般根据两根之间的关系进行分类讨论) 易知该解集中不止两个整数解，不符合题意，舍去； 当-2<名<0时y=6x-1x+2<0的解集为x>专 或x<一2，易知该解集中不止两个整数解，不符合题意， 舍去； 当号>0时，y=(x-1)(x+2)<0的解集 为{z-2<x<: 1 .1 若该解集中恰有两个整数解，则0<≤1，解得k≥1， 综上，实数k的取值范围是{kk≥1〉，故D正确. 7.ACD对于A,根据题意，-3,4是方程ax2+bx十c=0的 两根，且a<0,故A正确；（关键，点：一元二次不等式的解集 中的数字为对应方程的根) 对于B,由-6，&=-12，a<0,得6=一a,c=-12a) 则a十b十c=-12a>0,故B错误； 对于C,因为b=-a,c=-12a, 所以不等式cx2-bx十a<0为-12ax2十ax十a<0.又a< 0,所以不等式变为12x-工-1<0，解得-子<<分，即 不等式的解集为-<x<},故C正确， 对于D,b=-a,c=-12a,a<0, 则63+台-13a-6a=1a+21-3a）-2 c 8 8 2√13a×2(1-30）-2=6,(关键点：消参，双参问题单 参化) 当且仅当1-3a 8 21-3a),即a=-号时等号成立， 所以6产1十号的最小值为6，放D正确。 8 8.AB由x2-a.x-a+1≤0，得x2+1≤a(x十1).因为0≤ x3, 故a≥+1 x十1· 设x十1=t,则1≤t≤4， 则出-红+1,2a+D+2=x+1+ +1-2=t+ 2 x+1 x十1 -2≥2反-2，（关健点：二资我三漆的最值，香用配法 t 或换元法，注意换元之后新元的范围 故a≥2√2-2. 9.{k-5<k≤-4}由方程x2+(k一2)x十5-k=0的两 根都大于2， (4=(k-2)2-4(5-k)>≥0， 得4+2(6-2)+5->0， k2≥16， 即k+5>0,解得-5<k≤-4， 2-k>4, 即k的取值范围为{k|一5<k≤一4). 方法总结 若一元二次方程的根均大于， A≥0， x=k时的函数值>0， 则图象开口向上时， -名>： △≥0， 图象开口向下时，〈 x=k时的函数值<0， . 2a 10.{m一4<m<2}由题意知，原命题的否定“H一1≤x≤ 2,使得2x2十mx-m-10<0”是真命题， ∫2-m-m-10<0, 所以2×22+2m-m-10<0, 解得-4<m<2, 即m的取值范围是{m|-4<m<2}. 方法总结 只需限制两端的情况：开口向上的抛物线在区间上小于0恒 成立时，只需保证端点处的函数值小于0即可；开口向下的 抛物线在区间上大于0恒成立时，只需保证端点处的函数值 大于0即可. 11.解：(1)因为“p:31≤x≤3，x2-mx十4≤0”为真命题，可 得m≥x十兰在1<<3上有解，所以≥(+） 又x十4≥4，当且仅当x=2时，等号成立，所以实数m x 的取值范围为{mm≥4}. (2)【思路导引】若p和g中恰有一个是真命题，先按其都 为真命题算，然后分类讨论，一真一假，假的话，取其补集 即可. 若Vx∈R,x2-mx十2m>0,则△=(-m)2-4X1X2m<0, 解得0<m<8,(方法点拔：R上的恒成立和有解问题，只 需限制图象开口方向和判别式) 所以q为真命题时，实数m的取值范围为{m0<m<8}. 当命题p为真命题，q为假命题时，m应满足 (m≥4， m≤0或m≥8，所以m>8, 当命题p为假命题，q为真命题时，m应满足 m<4, 所以0<m<4, 0<m<8, 综上所述，命题p,q有且仅有一个为真命题时，实数m的 取值范围为{m0<m<4或m≥8). 12解：（①）因为m2+2m+5_m+1)2+4 m+1 m+1 m+1+4 +1且 m+1>0, (失健点：三资我资的最位，常用彩速或稳无法 一次 所以m+1+n≥2√m+少·石 “m+五=4，当且仅当 m=1时取等号， 所以“告士的最小值为 (2)【思路导引】解含参的不等式时，先判断其是否能因式 分解，则其分类讨论的标准为两根之间的关系；若不能因 式分解，则其分类讨论的标准为判别式与0的关系.另外， 需注意最高项系数含参，先讨论最高项系数与0的关系 因为mx2+(1-m)x十m-2<m-1,则mx2+(1-m)x 1=(mx+1)(x-1)<0. 若m=0,则x-1<0,即x<1,解集为{xx<1} 若m>0,则(z十）(x-1)<0,解集 为{-<<1 若m<0,则(x+品)z-1D>0, 当-品≥1，即-1≤m<0时，解集 为<1或>}： 当-<1，即m<-1时，解集为女<-品或x>1, 综上，当m=0时，解集为{xx<1}; 当m>0时，解集为x -1<x<1 m 当-1≤m<0时，解集为{zx<1或x>- m 当m<-1时，解集为女z<一品或x>1.(错点：最 后要写综上，并且要写成解集的形式) 13.解：(1)设下调电价后新增用电量为ukW·h 因为下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电 价的差成反比（比例系数为）， 11 所以u气a4·所以木年度的用电最为，产。十a, k 所以本年度电力部门的收益y关于实际电价x的函数解 折武为y-(4十a)红-03a53≤07n. (2)【思路导引】根据题意列不等式组，解一元二次不等式 即可得出结论. 依题意有 20+aj-a3≥ao8-a3a+20%, 0.55≤x0.7, 里低55得a607。 所以当电价最低定为0.6元/(kW·h)时，仍可保证电力部 门的收益比上年至少增长20%. 14.解：(1)不存在.原不等式等价于ax2-2x十1-a<0, 1 当a=0时，-2z十1<0，解得x>2,不满足题意：（易错 点：最高项系数含参问题，一定要注意讨论最高项系数是 否为0) 当a≠0时，则a<0, l4=4-4a(1-a)<0, 得a∈d, 所以不存在实数a,使不等式对任意x∈R恒成立. 方法总结 R上的恒成立问题，只需判断图象开口方向和判别式即可. (2)设y=(x2-1)a-(2x-1),当-2≤a≤2时，y<0恒 成立， 所以/2x2-2x-1K0, (-2x2-2x+3<0. 由2x-2z-1<0,得12<<12 由-2x-2x十3<0，得<-12或>-17， 2 2 所以二1+ 2 <<中，所以实数2的取位花固 -1+7 是2 < 方法总结 已知谁的范围，就是关于谁的函数，一次函数的恒成立问题， 只需要限制两端即可. 15.B由x2-x-6>0,得(x-3)(x十2)>0， 解得x<-2或x>3;由2x2十(1-2k)x-k<0, 得(2x十1)(x-k)<0.因为k>0, 所以不等式(2x十1)(x一k)<0的解集为 {-<x 所以原不等式组的解集为{x3<x<k},且仅有一个整数 解，（关键，点：利用数轴解决问题） 所以4<k≤5. 16.ABD【思路导引】由根与系数的关系，对选项逐一判断 即可. 由题意可得a<0,且a(x-x1)(x-x2)=a(x-2)(x十 1)+1=ax2-ax-2a+1=0, 则x1+x2=一a=1,x1x2= 1-20=1-2,即x1x2十 a a 2=日<0放A.B正确： 由x1十x2=1,x1x2十2<0，得x1(1-x1)+2<0,x2(1- x2)十2<0， 即x1一x1-2=(x1-2)(x1十1)>0，x2一x2-2=(x2- 2)(x2十1)>0， 又x1<x2,x1十x2=1,故x1<-1,x2>2,故C错误； |x1-x=+xay-4红z=√1-4（日-2） √9-吾>3，放D正确 17.解：(1)当p=q=1时，3mx2+3x十4=0.若m=0,则方程 不是一元二次方程，没有两个实数根， 若方程3mx2+3x十4=0有两个不等的实数解， 则/m≠0， a=9-4X3mX4>0,解得m<i6且m≠0， 3 所以阳的取值范圈是m<且a≠0。 (2)当m=1时，方程为3x2+3px十4q=0, △=9p2-48q>0, x1十x2=一力， 则 49 又x7十x=x1x2十1，即(x1十x2)2 x1x2=3, 2x1x2=x1x2十1，（关键，点：注意根与系数的关系的使用） 所以(-p)2-2×49=9+1,即4g=p2-1, 33 所以4=9p2-48g=9p2-12(p2-1)>0, 解得一2<p<2, 所以p的取值范围为{p一2<<2). x1十x2=-2 m (3)依题意，得m≠0，且 49 x1x2一3m 因为m=一号，所以五十=3因为q=,所以 x2力一三1一士（关健点：将已知m,p的条件转 为两根之间的关系) 因为x1,x2,p均为整数， 所以=1一方也是整数， 所以p=一1或p=1.(关健点：因为力为分母，所以可以 解出) 当=一1时，x1x2=2.又x1十x2=3且x1<x2,所以 x1=1,x2=2. 当p=1时，x1x2=0.又x1十x2=3且x1<x2,所以x1= 0,x2=3. 综上，x1=1,x2=2或x1=0,x2=3. 18.B【思路导引】因为求不等式[x]2-[x]-6<0成立的 充分不必要条件，所以选项为{x|一1≤x<3}的真子集. 因为[x]2-[x]-6<0, 所以([x]+2)([x]-3)<0, 解得-2<[x]<3,所以[x]∈{-1,0,1,2}， 所以一1≤x<3. {x-1≤x<3}={x|-1≤x<3},A错误； {x|0<x<3}手{x|一1≤x<3},B正确； 1 {x1≤x<4}车{x|-1≤x<3),C错误； {x|-2<x<3}早{x|-1≤x<3},D错误. 若m≤0，则当x趋于+∞时，mx一1趋于c⊙ mx-1趋于+∞，(mx-1)(x2-mx-1)趋于-∞，不满 足题意. 若m>0,则品是方程(mx-1D(2-mx-1)=0的一 个根. 因为不等式(mx一1)(x2一mx一1)≥0对任意x∈(0， 十o)恒成立，且方程x2一mx一1=0的两根不相等， 所以工=二是方程x2一mx-1=0的根，（关键点：(mx 1)(x2-mx-1)≥0，即mx-1,x2-mx-1在x>0上同 号，如图，y=x2-mx一1的图象开口向上，过点(0，一1)， 所以=是方程头m一仁0的款 y=x2-mx-1 y-mx- Xm-1=0, 所以m=士号得m=芝 此时原不等式等价于号(x+)x一2)广≥0， 显然x>0时恒成立， 所以实数m的值为号 第二章综合检测·培优卷 1.B由x2<1,解得-1<x<1,所以集合M= {x|-1<x<1〉， 由元<2，解得0≤x<4,所以集合N={x0≤x<4}, (易错点：注意集合N中x非负)所以M∩N= {x0≤x<1}. 2.A因为命题p是假命题， 所以3x∈R,x2十x十a=0为真命题，（关键点：若原命题 为假命题，则其否定为真命题R上的恒成立与有解问题，只 需看图象开口方向和判别式即可) 1 △=1-4a≥0，解得a≤4 3.C设池底的一边长为xm,另一边长为ym,则3xy= 480,即y一0（关使点：利用面软清参） 因为水池无盖，所以建造池体需要建造池壁4个面，池底 1个面，建造这个水池的总造价是100xy十2(x十y)×3× 016000+480+1600)≥160000+4802 ,1600=198400, 2x· 当且仅当x= 0,即x=0时，等号成立