第2章 第3周 等式性质与不等式性质、基本不等式-【一本】2025-2026学年高中数学必修第一册周末小测卷（人教A版）

的概念，知A一B={1,2} 令C={1,2},根据差集的概念，得 A-(A-B)=A-C={3,4}. (3)因为A一B=☑，所以A二B.(关键点：将新定义问题 转化为集合间的包含关系) 由0<ax-1≤5可得，1<ax≤6. ①当a=0时，ax=0,不等式1<a.x≤6不成立，此时A= 心，满足A二B.(易错点：在解集合A中不等式时，注意对 α进行分类讨论，即最高项系数含参问题，注意对最高项 系数是否为0进行分类讨论) ②当a>0时，A= 1∠xa x 61 a 因为A三B,所以 (1z2 6∠2 2,得此不等式恒成立； 解6≤2，得6≤2a,即a≥3. 结合a>0,得a≥3. 当a<0时，A=女<<} 6、1 >-2’ 因为A二B,所以 a 解6、1 >-2,得12<-a,即a<-12; 解<2，得1≥2a,即a<号 结合a<0,得a<-12. 综上，a的取值范围是{aa<-12或a≥3或a=0. 第二章 一元二次函数、方程和不等式 第③周 等式性质与不等式性质、 基本不等式 1D若<0，h<1,则a>方若6<0，a<6,则h>1 故“ab<1"是“a<名"的既不充分也不必要条件。 易错警示 在不等式两边同时乘（除以）一个数时，要注意这个数的正负 以及是否为0. 2A方法D(逆用基本不等式)当0<x<号时，y=x(1- 12’ (关统点：基本不等式a+>2V画的递用一a≤（艺）】 当且仅当3x=1-3x,即x=6时，等号成立， 所以当0<x<号时，y=x(1-3x)的最大值为2 方法②（抛物线求最值）y=x(1-3x)=一3x2十x,当x= 后时y=x(1-3x)取最大值，最大值为2 3D对于A,举例a=16=-1,满起>方但a>6,故A 错误； 对于B,举例a=-1,b=1,满足a<b,但a2=b2,故B 错误； 对于C,若a>b>0,则a-6=a-b>0,即va>6, √a+√i 故C错误， 对于D,2-6=6十a6-a,因为a>b>0,所以ab> ab 0,6十a>0b-4<0,期台名<0，即名<号放D正确 40由题意，得5->0则止+写9-（位十9）· (x+5-x) (关健点：“1”的代换，乘分母的和，别忘了乘5保证乘的是1) ++)≥(2V·+) 5 x 5-x =5, 当且仅当z二，即x=1时，等号成立· 5-x1 教二十9的最小值为 16 5.A方法①（换元法）因为x>1,所以x一1>0.令t=x-1 (t>0), 所以2中”-++2-结-(+ 2t )≥1，当且仅当：=，即=1x=2时，等号成立，故最 小值为1. 方法②（配凑法）因为x>1,所以x一1>0，所以 21号+≥2V侵5-1 2(x-1) 当且仅当号-2D即4=2时，等号收立故敬小位 1 为1. 方法总结 对于分式类求最值时，通常有两种方法：(1)换元法，将低次 的多项式换元，转化为基本不等式求解；(2)配凑法，高次的 多项式凑出低次的多项式的形式，然后转化为基本不等式求 解在实际操作过程中，换元法更不易出错。 6BD对于A,当x<0时，x+士<0，x+的最小值不是 2,故A错误；（易错点：基本不等式的使用前提是“一正、二 定、三相等”) 对于B因为x>1,所以x-1>0,所以x十马=x-1十 z是十1≥2/x-1Dz马+1=3， 当且仅当x一1=x一，即x=2时，等号成立，故B正确； 对于C,由于√+3>3，而y=V+3+1 ≥2， √x+3 当且仅当√x2+3= 1 时，等号成立，但是x2十3=1 √x2+3 无实数根，所以取不到等号，故C错误；（易错点：注意等号 成立的条件是否能取到，取不到，则最值也取不到) 1 对于D,当x<0时，-x>0,-x十x≥2，故x+≤ -2,因此y=2十x十1≤0，（关镜点：蒸本不等式的应用， 一定要保证各项是正数，若各项为负数时，需将其转化为正 数，再利用基本不等式)当且仅当x=一1时，等号成立，故 D正确. 7.ABD对于A,小刚上山和下山所用时间之和为 2L 1十U2 2 华。故A正确： 对于B,小明上山和下山所用时间之和为上十上一 L(,十)，（关键点：因为小明上山和下山速度不同，总时 U102 间等于两段时间的和)故B正确； 对于C,D,因为u≠，所以L(o十)>2L四 V1V2 V1V2 2L √/12 w1+22√012√012 所以上C十>华，即小刚上山和下山所用时间之和 比小明上山和下山所用时间之和少，故C错误，D正确. 8.1<<6 a 因为1<a<2,所以宁1 又因为2<b<6,所以1<名<6.（关键点：利用不等式的同 a 向同正可乘性) 9.解：(1)因为a2+b2-(2a-2b-2)=(a-1)2+(b+1)2≥ 0,当a=1,b=一1时，等号成立， 所以a2+b≥2a-2b-2,当a=1,b=-1时，等号成立. 方法总结 比较大小的常用方法为作差与作商，和的多项式比较大小一 般是作差，分式或乘积类的形式一般是作商. (2)设4a-2b=x(a-b)+y(a+b)=(x+y)a+(y x)b, 所以仁2仁 y=1, 所以4a一2b=3(a一b)十(a十b).(关键点：将要求的多项 式用已知多项式进行表示，不可以求出口，b的范围，这样结 果会将范围扩大) 又1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，所以-3≤≤3(a-b)≤6， 所以-2≤3(a-b)十(a十b)≤10， 所以一2≤4a-2b≤10. 10.解：(1)因为a>b>0→a+b>0,a-b>0, 所以g+年-atng>0,名0， a2十b2 08 a2-b2 所以4十62 (a+b)2 a-b b。2162=1十。2b2>1, atb 所以8-6、Q-6 a+ba+b' （8证明：方法①假设，2≤分a千2分 a 1 因为a>0,b>0,所以a+2>0,b+2>0, 所以2a≤b+2,2b≤a+2, 两式相加，得a十b≤≤4，这与a十b>4矛盾，所以假设错误. 故，异2和，千2中至少有个大于号》 .1 方法②若a十b>4,则a,b中至少有一个大于2.（关健点： 若两个值都小于2，则它们的和小于4)》 6片2>号等价于。>2千2>名等价于6公2 a 故，千2和，千2中至少有个大于 1 方法总结 若证明中出现“至少”“至多”等字眼时，常使用反证法来证明。 11.解：(1)方法①(“1”的代换)因为x>0,y>0,x十4y=xy, 所以4+1=1，（关健，点：将已知凑成分式的和的形式， x y 利用“1”的代换进行求解) 期+=（径号）x+w)=8+号+1g≥8+2X y x 4=16,当且仅当x=4y=8时，等号成立， 所以当x=8,y=2时，x十4y取得最小值16. 方法②（因式分解）因为x>0,y>0,x十4y=xy,所以(x一 4)(y-1)=4,(关键点：当已知中含有x,y,xy,求x十4y 时，注意因式分解的使用) 所以x+4y=(x-4)+4(y-1)+8>2/4(x-4)(y-1)十 8=16, 当且仅当x=4y=8时，等号成立， 所以当x=8,y=2时，x十4y取得最小值16. 方法③（构造二次不等式）因为x>0,y>0,x十4y= 子44≤（生），所以x+4≥16，当且仅当 4y=8时，等号成立，所以当x=8,y=2时，x十4y取得最 小值16. 方法④（计算xy的最小值）因为x>0,y>0,xy=x十 4y≥2√x·4=4Vxy,(关键点：当已知中含有x,y,xy 时，求xy,注意利用基本不等式，构造不等式来求解) 所以xy≥16，当且仅当x=4y=8时，等号成立， 所以当x=8,y=2时，x十4y取得最小值16. (2)方法①(“1”的代换)因为x>0,y>0,x十4y=xy,所 以+一1，（送健点：将已如泰或分式的和的形式，利 用“1”的代换进行求解) 所以+y-(任+号)+)-5+号+25+2x2 y x 9,当且仅当x=2y=6时，等号成立， 所以当x=6,y=3时，x十y取得最小值9. 方法②（因式分解）因为x>0,y>0,x十4y=xy,所以(x一 4)(y一1)=4，（关键点：当已知中含有x,y,xy时，求x十y 时，注意因式分解的使用) 则x+y=(x-4)+(y-1)+5≥2√(x-4)(y-1)+ 5=9,(关健点：将要求解的式子，转化为因式分解中含有 的因式，便于使用基本不等式)当且仅当x=y十3时，等号 成立， 所以当x=6,y=3时，x十y取得最小值9. 方法总结 (1)当已知中出现x,y,xy,没有常数项时，一般考虑转化为 分式等于1的形式，求ax十by的最值问题一般可以考虑 “1”的代换和因式分解，当已知的形式中也有ax十by的形 式的话，还可以考虑使用构造“a.x十by”整体形式的二次不 等式；(2)当已知中出现x,y,xy,有常数项时，一般考虑因 式分解 12.B因为a>b>c,n∈N*,所以a-c>0,a-b>0,b-c> 即≤(+)a-e)恒成立 又(a6+6)(a-c)=(a6+6) [(a-b)+(6-c)]=2+6-c+a-b a-6t6-c≥2+ /b-c×a-b」 2a-6x6-c =4,(关键点：将乘的a一c凑成分母和的 形式，方便使用基本不等式) 当且仅当二6-2二，即2b=a十c时取等号，所以n≤4. a-b b-c 13.A【思路导引】将图形中出现的线段用已知长度来表示， 然后将选项中的式子与图中线段的长度进行对应 由于AB是圆O的直径，所以∠ADB=90°，圆O的半径 为岁因为CDLAB, 由相似，得CD=AC·BC=ab,CD=√ab. 因为CE⊥OD, 由相似，得CD2=DEXOD,DE=CD=ab OD a+b 2 由CD≥DE,所以Va6≥ab=2ab a十ba十bi 2 14.D因为正实数x,y,之满足x2-xy十y2一之=0，则之= x2十y2-xy, 所以义= 1 1 一≤ +为乡+125-1 1,(关键点：消参，三个参数一般减为两个，哪个好消消哪 个) 当且仅当=y(x>0,y>0),即x=y时，等号成立， 故受的最大值为1. 15D对于A日+号=a+b(日+号)=3+名十 0 台≥8+2√8·要-8+2，（关使点，1r的R 当且仅当名-台即6一2a-2一区时取等号，A正确： 对于B,Wa+Wb=Wa十b+2Jab≤w√a十b+(a+b)= √瓦，（关键点：平方，凑Q十b,以便使用基本不等式）当且仅 当a=b=2时取等号，B错误； 对于CV历<-合，当且仅当a-6=安时取等号， C正确； 对于D.a2+6≥号a十bP=2,(注意基本不等式链的 2 << )当且仅当a= 6-时取等号，D正确 16.4由于a>0,b>0, 所以a牛4h+品≥ab+ 1 b≥24ab·0=4,(关键 点：多次使用基本不等式) 当且仅当a=2b且4ab= 时等号成立，解得a=1, 1 b=2 所以a2+402+ab 的最小值为4， 9 17.亏令a=m十1，b=n+2,则a+b=5,且1<a<3,2< b<4, 所以8日++1 日+-号×（日+》xa+ 号(2++号)≥号×2+2)=， 当且仅当a=b= 时等号成立。 故十的最小值为号 1 9 方法总结 当已知或求解的式子的分母为多项式时，需要对原代数式换 元化简变形，以便出现和为定值或积为定值的形式，注意利 用基本不等式求最值时要验证等号是否成立 18证明：(1)1十1 1 a+c a+bb+c=8(a+c+a+b+6+c). (十e十口6+。)送装点：已知整式，来分或的题 1 目，一般将整式凑成分母和的形式，然后利用“1”的代换， 即可利用基本不等式求解) =3+1/btcatbb+c_ctaatb_atc) 88 a+bb+cc+a b+cc+aa+b) 6+e.a西+2Ne+ab+c ≥号+(226 3 b+c,c干a+ 28)-g 当且仅当a=b=6=音时取等号。 2 2关健点：利用基本不等式链≤仙<Q十 2 a a+b2 a+b2 1 2 中的2十6 2 2 因为2告-(e-+2地-a -≥0， 2 4 4 所以≥（生y,@≥，当且仅当 a=b时取等号， 则有Va于5号a+6, 同理，得v6≥经6+o叶a≥号c+a. 相加可得，va于不+v+元+V+a≥号(a十 b)+竖b+e)+号c+a)-Ea6+e.当且仅当a= b=c时等号成立. 19.解：(1)(i)设矩形的另一边长为ym. 由三角形相似得音-22且0<x<5,0<y<2,所以 2x十5y=10,(破题关键：找出未知量的关系式，题目中现 有的条件只有相似，所以利用相似比来构造) 又矩形窗户面积 s=w=(2-号)=(x-)}‘+2, 故x的取值范围为z2 5-√5 2 (D设地板面积为S,m2,解不等式组 S+S1=16.5, (將 S1>S≥0.1S1, 文字语言“窗户面积与地板面积的比应不小于10%，若阁 楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5m2”转化为符号 语言) 所以S+S<1S,即1S>16.5,解得S≥号 故窗户面积最小为2m, .3 令z(2-号)=是，可得4r-20x十15=0，解得x= 3 0+5或=5 2 故当工为十5或5二严时，窗户面积最小，为配。 2 2 (2)采光效果变好了.理由：设a,b分别表示原来窗户面积 和地板面积，m表示窗户和地板所增加的面积（面积单位 都相同)， 由题意，得0<a<6,m>0,则8阳-合- 一6(6+（利用作差法即可判断出采 ab+mb-ab-ma_m(b-a） b(b+m) 光效果是否变好了，常见的比较大小的方法有作差法和作 商法) 因为6-a>0,66+m)>0,所以9->0， 哈股号， 所以窗户和地板同时增加相同的面积，采光效果变好了. 第④周 二次函数与一元二次 方程、不等式 1.D【思路导引】移项通分后转化成一元二次不等式即可 求解 原不等式即为号-1长0，即 x2s0, 故{x十3)（工一区0，（易错点：注意分母不为0）故-3≤ x<2. 2B【思路导引】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值，再 借助恒成立建立不等式求解， 正实数zy满足红十y=y,则号1， y 因此a+-(+)（）2+号2+ Ax y y,4虹=4， 2 Az y 当且仅当名号即)一4红=8时取等号。 由不等式x+>m十3加恒成立，得m+3m<4,解得 -4<m<1, 故实数m的取值范围是{m一4<m<1}. 3.C记y=x2十(a2十1)x十a一2，则函数的图象开口向上， 要使方程的根一个大于1个小于1，则只需要x=1时， y<0即可， 即1+(a2+1)十a-2<0,解得-1<a<0,所以实数a的 取值范围是{a一1<a<0}. 方法总结 若一元二次方程一个根大于k,一个根小于k,只需保证一 元二次方程对应的二次函数在x=飞时对应的函数值与最 高项系数的乘积小于0即可. 4.C如图所示，过点A作BC的垂线，分别交EF,BC于点 G,D. 40m E X G D -40m C 设矩形的另一边长为ym, 易知△AEG∽△ABD,△AGFp△ADC, 则8那院所以8部+-既即0。 .AG EG+GF EF 40 希所以y=40-云 由题意，得xy≥300，所以x(40-x)≥300，即x2-40x十 300≤0，解得10≤x≤30. 5.A当m=0时，得x>0,不合题意；（易错，点：最高项系数含一本高中数学周末小测卷 第二章 元二次函数、方程 第 周 等式性质与不等式性质、 和不等式 基本不等式 ⊙时间：90分钟 号总分：150分 8得分： ☑答案：P07 基础测·查漏补缺 弥 1.(2025·云南宣成十中期末5分)ab1"是“a<号”的 ( n A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 2.(2025·云南昭通第一中学期末，5分)已知0<x<3,则函数y=x(1-3z)的最大值为 A品 B c D 3.(2024·四川绵阳期末，5分)下列命题为真命题的是 () A若行则a<b B.若a<b,则a2<b 毁 封 C.若a>b>0,则√a<6 D.若a>>0,则8<分 a 4(2025·河北承德期末，5分)已知x∈0,5)，则+16 十5-x 的最小值为 A.25 B.6 C.10 D.5 5.(2024·四川运宁中学月考，5分)若>1，则2222的 2x-2 A.最小值为1 B.最大值为1 C.最小值为一1 D.最大值为一1 愛 6.(多选)(2024·广东惠州龙门高级中学期中，6分)下列选项正确的是 A.若x≠0，则x十的最小值为2 线 B若x>1,则x十 一的最小值为3 C.y=√x2+3+ 1一的最小值为2 √x2+3 D两数y=2+z+z<0)的最大值是0 养 7新考法新情境（多选）(2024·安徽合肥第一中学月考，6分)位于山东中部的泰山，为五岳之一，素 有“五岳之首”“天下第一山”之称.小明和小刚相约登泰山，若小明上山的速度为1，下山（原路返 回>的速度为，（≠，），小刚上山和下山的速度都是专，设上山路程为L,若两人途中休息 必修第一册RJA版 时间忽略不计，则 () A小刚上山和下山所用时间之和为4红 v1十v2 B.小明上山和下山所用时间之和为 (w1十v2) 0102 C.小明上山和下山所用时间之和比小刚上山和下山所用时间之和少 D.小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少 8.(2024·江苏苏州十中月考，5分)已知实数a,b满足1<a<2,2<b<6,则的取值范围是 9.(2024·广东广州南海中学月考，13分)(1)设a,b为实数，比较a2+b2与2a一2b一2的大小； (2)已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，求4a-2b的取值范围. 1004上净宝山中学月考，16分0没a>0.比议等与后名的大小， ②已知a≥0，>0，若a+6>4,求证千2和，千2中至少有-个大于号 11.(2025·安徽淮南北京师范大学淮南实验学校期末节选，15分)已知x>0,y>0,且 x十4y=xy.求： (1)x+4y的最小值； (2)x十y的最小值. 。07。 一本高中数学周未小测卷 能力测·迁移运用 12.(2025·湖南师范大学附属中学入学考试，5分)已知a>b>c,n∈N,且， a-b6-c≥ 。”。恒成立，则知的最大值为 A.3 B.4 C.5 D.6 13.新考法新载体(2024·福建福州高级中学月考，5分)无字证明即无需语言的证明，本 质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含 数学符号、记号、方程，但不附带文字如图，C为线段AB上的点，且AC=a,CB=b, O为AB的中点，以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半圆于点D,连接OD,AD,BD 过点C作OD的垂线，垂足为E.下面可由CD≥DE进行无字证明的不等式为 B Avab≥2a6 a+6a>0,b>0) B9 2ab(a>0,b>0) C.a2+b2≥2ab(a>0,b>0) n 2'(a>0,b>0) 14.(2025·河南漯河期末，5分)设正实数x,y,之满足x2-xy十y2一之=0，则的最大 值为 () A.4 B.2 C.3 D.1 15.(多选)(2024·重庆第二外国语学校月考，6分)已知a>0,b>0,且a十b=1,则 A+ ）=3+22 B.(√a十√b)min=√2 C.(/a5)-2 1 Da+69m=号 16.(2024·天*武清第一中学月考，5分)渚a>0,6>0,则。2+仙+品的最小值为 17.(2024·江苏盐城五校联盟学情调研，5分)设m,m为正数，且m十n=2,则1 'm1+ n+之的最小值为 n+3 18.(2023,河南联考改编题，17分)(1)已知a,6,c均为正数，且a+b十c=4,求证：a十c十 1,1、9 a+bb+c8; 。08。 必修第一册RJA版 (2)已知a,b,c都是非负实数，求证：w√a2十b2十√b2十c2十√c2十a2>√2(a十b十c). 弥 拓展测·创新突破 19.新考法新情境(2024·湖北荆州中学期中，17分)荆州中学坐落于历史文化名城荆州， 发轫于东汉马融绛帐讲学，历经明清龙山书院、贡院，弦歌不辍，薪火相传，文脉不绝， 其近代教育始于1903年清政府创办的荆州府中学堂，临近121周年校庆，学校计划对 校史馆进行修缮.现要在校史馆阁楼屋顶上开一窗户，设其一边长（单位：）为x. 5 m (1)已知阁楼屋顶为高2m、底边长5m的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图 所示). 封 (i)要使窗户面积不小于2m,求x的取值范围 ()规定：公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于 10%,若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5m2,则当x为多少时窗户面积最小？最小值 是多少平方米？ (2)一般认为，在公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积的规定下，窗户面积与地板面积的 比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏 了？试从数学角度说明理由 线