第1章 集合与常用逻辑用语 综合检测·培优卷-【一本】2025-2026学年高中数学必修第一册周末小测卷（人教A版）

一高中数学周末小测卷 第 章 综合检测·培优卷 ⊙时间：120分钟号总分：150分 8得分： ☑答案：P05 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 弥 1.(2024·河南豫北名校联考)设集合A={1,2,3,4,5,9},B= {x|x∈A,√元∈Z},则B的非空子集的个数为 () 洲 A.3 B.4 C.7 D.8 2.(2025·湖南常德第一中学月考)已知x,y均为实数，则 “xy≠0”是“x2+y2≠0”的 () A充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 救 3.新考法新情境(2025·河南部分普通高中学校联考)列车运行 封 区段指示牌是一种悬挂或粘贴在列车车厢上，标明列车运行 区段、车次、等级等信息的指示牌，俗称“水牌”（如图所示）.现 给出如下定义： 实际水牌：指由铁路系统内部负责设计、印刷并实际应用于运 营普速列车的水牌，又称实物水牌 模式水牌：指能如实反映具体列车运行区段、车次等信息，不 产生歧义且不含任何错误的水牌，又称理论水牌. 了解以上定义后，可以给出“错水牌”的定义 错水牌：对于任意给定的实际水牌，如其存在某个要素与模式 水牌不符，则该实际水牌为错水牌若将实际水牌、模式水牌和 线 错水牌均看作是以水牌为元素的集合，则综合上述定义，以下 选项正确给出了实际水牌、模式水牌与错水牌关系的一项是 ( 温州 北京 WENZHOUK102101 BEI JING 幕 A.实际水牌二错水牌 B.实际水牌二模式水牌 C.错水牌二实际水牌 D.错水牌二模式水牌 4.(2025·浙江杭州杭四江东学校期末)设集合A={0,a},B= {a一2,3a-4},若B=A,则a= A.2 B.1 c D.-2 5.(2025·湖南常德优质高中学校联盟联考)已知集 合A={x|x=4n+3,n∈N},B={y|y=8k-5, k∈N*},则 () A.A∩B=⑦ B.A壬B C.B年A D.A=B 6.新考法新定义(2025·湖北随州部分高中联考)对于非空集合 A={a1,a2,a3,…,am}(a:≥0，i=1,2,3,…,n),其所有元素 的几何平均数记为E(A),即E(A)=a1·a2·a3··an 若非空数集B满足下列两个条件：①B至A;②E(B)=E(A). 就称B为A的一个“保均值真子集”，则集合A= {1,2,4,8,16}的“保均值真子集”的个数为 ( A.2 B.4 C.6 D.8 7.新考法新定义(2024·广东八校联盟期中)已知⑦≠A二Z,对 于k∈A,k一1A且k十1A,则称k为A的“孤立元”.给定 集合A={x∈N*|一1<x≤5}，则A的所有子集中，只有一 个“孤立元”的集合的个数为 ( A.5 B.7 C.13 D.15 8.(2025·湖南长沙明德中学月考)在整数集Z中， 被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记 为[k],即[k]={5n十kn∈Z,k=0,1,2,3,4},则 下面选项正确的为 A2025∈[3] B.-2∈[2] C.Z=[o]U[1]U[2U[3]U[4] D.整数a,b属于同一“类”的充分不必要条件是“a一b∈[0]” 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出 的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的 得部分分，有选错的得0分) 9.(2024·江苏江阴成化高级中学期中)以下卫是q的必要条件 但不是充分条件的是 () Ap:A二B且A二C,q:B=C 必修第一册RJA版 Bp:“x2-9=0”,9:“x=-3” C.p:“x2-16=0”,q:“x=4” D.p:“AUB=B”,q:“A=☑” 10.新考法新载体(2024·湖南长沙雅礼中学联考)17世纪法国 数学家费马提出猜想：“对任意正整数n>2,关于x,y,之的 方程x”十y”=之”没有正整数解.”经历三百多年，于20世纪 90年代中期由英国数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马猜想，使 它终成为费马大定理根据前面叙述，下列命题正确的为() A至少存在一组正整数组(x,y,之)是关于x,y,之的方程 x3十y3=之3的解 B.关于x,y的方程x3十y3=1有正有理数解 C.关于x,y的方程x3十y3=1没有正有理数解 D.当整数n>3时，关于x,y,之的方程x”十y”=之”有正实 数解 11.新考法新定义(2025·浙江学业水平考试)给定 n∈N*,若集合P二{1,2,3，…，n},且存在a,b, c,d∈P,满足a<b≤c<d,b-a=d-c,则称P 为“广义等差集合”.记P的元素个数为P,则 () A.{1,2,3}是“广义等差集合” B.{1,3,4,6}是“广义等差集合” C.若P不是“广义等差集合”，当n=8时，P|的最大值为4 D.若P不是“广义等差集合”，若|P|的最大值为4，则n可以 是13 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.(2024·福建长乐第一中学月考)已知集合M= {x|x2-3x+2=0},集合N={x|x2-ax十3a- 5=0},若MUN=M,则实数a的取值范围 为 13.(2025·广东汕头潮南井都中学月考)若命题p:3x∈R, x2一4x十a=0,则饣的否定是 ;若命题p为 假命题，则实数a的取值范围是 14.(2024·山东泰安第一中学期中改编)已知命题p:3x∈R, x2一2x十m=0,命题q:Hx≥2，m|<x.若命题p,q一真 一假，则实数m的取值范围为 ·05。 一李高中数学周未小测卷 四、解答题（本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15 分，17题15分，18题17分，19题17分，解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 15.(2024·江苏通州高级中学月考)设集合A= {xlx2-ax+a2-19=0},B=(2,3},C={-1,3}. (1)若A∩B=AUB,求实数a的值； (2)若A∩B≠⑦且A∩C=0,求实数a的值. 16.(2024·广东深圳实验学校阶段考试)已知m是实数，集合 A=1,m2-3m+2,B=0,6. (1)若m=2,请写出集合A的所有子集； (2)求证：“m=2”是“A∩B={0}”的充要条件 。06。 17.新考法结论开放(2025·江苏苏州期末)已知集合A={x0< x<2},B={x|a<2x-1}. (1)当a=1时，求A∩B,AU(CRB). (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实 数a的取值范围， 条件①：B二CRA;条件②：“x∈A”是“x∈B”的充分条件 注：如果选择条件①和条件②分别解答，那么按第一个解答 计分. 18.(2025·江西宜春中学期末改编题)已知集合A= {xx<-2或x>3},B={xm-1≤x≤2m+3,m∈R}, C={x∈Z-3≤x≤-1}. (1)求A∩C; (2)若A∩B=,求实数m的取值范围. 必修第一册RJA版 19.(2024·山西太原月考)我们知道，如果集合A二 S,那么把S看成全集时，S的子集A的补集为 CsA={xx∈S,且x在A).类似地，对于集合A, B,我们把集合{xx∈A,且x庄B}叫做集合A与B的差集， 记为A一B.据此回答下列问题： (1)在图中用阴影表示出集合A一B(其中U是全集，A,B为 U的子集)； 弥 (B (2)若A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},求A-(A-B); 3若集合A=a0ax-15,集合B-红-名≤2， 且A一B=心，求实数a的取值范围. 封 线第一章综合检测·培优卷 1.C要使x∈A,√x∈Z,则x=1,4,9,故B中含有三个元 素，所以B的非空子集有{1}，{4}，{9}，{1,4}，{1,9}，{4， 9},{1,4,9},共7个. 方法总结 设集合中的元素个数为，则所有子集的个数为2"，所有非 空子集的个数为2一1，所有真子集的个数为2”一1，所有非 空真子集的个数为2m一2. 2.B由于xy≠0，所以x和y均不为0， 可以推断x2十y2≠0； 取x=1,y=0,可得x2十y2≠0，但xy=0,(关键点：找反 例) 故由x2十y2≠0不能推出xy≠0. 所以“xy≠0”是“x2十y2卡0”的充分不必要条件. 3.C【思路导引】根据三种水牌的定义，判断它们的包含关系 即可得答案. 由题意，知错水牌是存在某个要素与模式水牌不符的实际 水牌， 即错水牌二实际水牌，且错水牌一定不是模式水牌，故C正 确，A,D错误； 实际水牌可能存在要素与模式水牌不符，则实际水牌不包 含于模式水牌，故B错误 4.A【思路导引】利用集合相等列式求值并验证 由题意，知集合A={0,a},B={a一2,3a一4}.由B=A,得 Q-2=0或3a-4=0,解得a=2或a三3（关健点：解由 参数的值后，注意将其代入集合中检验) 当a=2时，B={0,2}=A,符合题意； 当a=青时，B=0,-号}≠A,不符合题意.（易错点：注意 4 集合中元素的互异性)】 综上，a=2. 5.C由题意可得，B={yy=8k一5，k∈N·}= {yly=4×(2k-2)+3,k∈N}={yly=4×2m+3,n∈N), (关键点：集合A的本质为除以4余3，集合B为除以8缺 5,即除以8余3)故B手A 6.C因为集合A={1,2,4,8,16},所以E(A)= 9/1×2×4×8×16=4, 所以集合{1,2,4,8,16}的“保均值真子集”有{4}， {1,16},{2,8},{1,4,16},{2,4,8},{1,2,8,16},(关键 点：根据新定义一一列举出来)共6个. 7.C“孤立元”为1的集合为{1}，1,3,4}， {1,4,5},{1,3,4,5}. “孤立元”为2的集合为{2}，{2,4,5}； “孤立元”为3的集合为{3}； “孤立元”为4的集合为{4}，{1,2,4}； “孤立元”为5的集合为{5}，{1,2,5}， {2,3,5},{1,2,3,5}； 综上，满足题意的集合有13个. 8.C对于A,2025=405×5∈[0]，故A错误 对于B,-2=一1×5+3∈[3]，故B错误. 对于C,每个整数除以5后的余数只有0,1,2,3,4，没有其 他余数， 所以ZC[o]U[1]U[2]U[3]U[4].又[0]U1]U 0 [2]U[3]U[4]二Z,(关键点：所有的整数除以5后的余 数为0,1,2,3,4，没有别的情况了) 故Z=[0]U[1]U[2]U[3]U[4幻，故C正确. 对于D,若a,b∈[m],m=0,1,2,3,4, 则a=5n1十m,n1∈Z,b=5n2十m,n2∈Z, 所以a-b=5(n1-n2)∈[0]. 若a-b∈[0]，则a-b=5p,p∈Z 不妨设a∈[t],t=0,1,2,3,4, 则a=5ng十t,n3∈Z, 所以b=5(n3-p)+t,n-p∈Z, 所以a,b除以5后余数相同， 所以a,b属于同一“类”， 所以整数a,b属于同一“类”的充要条件是“a一b∈[0]”， 故D错误.（思维突破：若a,b属于同一类，即除以5后的余 数相同，也就是它们之间差5的整数倍，所以它们的差除以 5余0) 9.BD【思路导引】小范围→大范围，因为p是q的必要条件 但不是充分条件，所以g对应的集合小. 对于A,若A=1},B={1,2),C={1,3},满足A二B且 A二C,此时B≠C. 若B=C,A不一定是二者的子集，故A不符合题意， 对于B,若x2一9=0，则x=士3， 所以“x2一9=0”是“x=一3”的必要条件但不是充分条件， 故B符合题意. 对于C,因为x2一16=0，所以x=士4， 所以“x2一16=0”是“|x|=4”的充要条件，故C不符合 题意 对于D,设A={0},B={0,1},则AUB={0}U{0,1}= {0,1}=B,但A={0}≠0， 这说明了“AUB=B”不是“A=”的充分条件 若A=O,则AUB=UB=B,这说明了“AUB=B”是 “A=”的必要条件. 综上，“AUB=B”是“A=心”的必要条件但不是充分条件， 故D符合题意. 10.CD对于A,当整数n>2时，关于x,y,z的方程x"十 y=之”没有正整数解， 故方程x3十y3=z3没有正整数解，A错误， 对于B,Cr+)=设有正整数解，即(）广+()广 1(zx≠0)没有正有理数解，B错误，C正确； 对于D,方程x”十y=z”,当x=y=1,之=2时满足条 件，故有正实数解，D正确.（关健点：从常见的数字入手，如 0,1,2,…) 11.ABC【思路导引】根据“广义等差集合”的定义即可用列 举法判断A,B,举反例即可判断D,根据P|=5时，设P= {a1,a2,a3,a4,a5},利用裂项相消，得a5一a1≥1十2十 3十4=10>8判断C. 对于A,取a=1,b=c=2,d=3,则符合“广义等差集合” 的定义，故A正确. 对于B,取a=1,b=3,c=4,d=6→b-a=d-c=2,故B 正确。 对于C,当n=8时，P三{1,2,3，…，8}，如|P=5时，设 P={a1,a2a3,a&,a5}, 由题意可知，a2一a1,ag一a2,a4一a3,a5一a4两两不相同， (关健，点：根据集合中元素的互异性，知a1,a2,a8,a4,a5互不 相同因为P不是“广义等差集合”，即P中不存在两个元素 的差相等，所以保证相邻元素的差不等，不妨找一个最简 单的情况，即1,2,3,4)则a5-a1=(a5一a4)十(a4一a3)十 (a3-a2)+(a2-a1)≥1十2十3十4=10>8矛盾，故 1P<5.当P=4时，取P=1,2,4,8},满足P不是“广 义等差集合”，故P的最大值为4，故C正确 对于D,当n=13时，取P={1,2,4,8,13},(关键，点：根据 选项C的论证，只需保证P中元素相邻两个元素的差值 不等即可)这与Pm=4矛盾，故D错误 12.{a2≤a<10}由题意，得M={xx2-3x十2=0}={1,2}！ 因为MUN=M,所以N二M. (关键点：对集合N进行分类讨论，分空集、单元素集、双 元素集) 当N=0时，△=a2-4(3a-5)<0,解得2<a<10;(易错 点：注意对空集的讨论) 当N=1)时，1-a+3a-5=0, 解得a=2; △=a2-4(3a-5)=0, 当N=2)时，/4-2a+3a-5=0, 。无解； 4=a2-4(3a-5)=0 4-2a+3a-5=0, 当N={1,2}时，1-a+3a-5=0, 无解。 △=a2-4(3a-5)>0, 综上所述，实数a的取值范围为{a2≤a<10} 13.Hx∈R,x2一4x十a≠0a>4根据存在量词命题的 否定为全称量词命题，则p的否定是“Vx∈R,x2一4x十 a≠0”. 若命题p为假命题，则其否定为真命题，（关键，点：若原命 题为假命题，则其否定为真命题)则△=(-4)2一4a<0, 解得a>4. 14.m≤-2或1<m<2【思路导引】若p和gq中恰有一个是 真命题时，先按其都为真命题算，然后分类讨论，一真 假，假的话，取其补集即可. 由命题p:3x∈R,x2-2x十m=0为真命题，得△=4一 4m≥0，解得m≤1. 由命题q:Hx≥2，m<x为真命题，得m<2,解得 -2<m<2. 因为命题p,q一真一假，所以p真q假或p假q真. 当力真g假时，mS1, m≤-2或m≥2，解得m≤-2： 当假仁2记 。解得1<m<2. 综上，m≤-2或1<m<2. 15.解：(1)因为A∩B=AUB,所以A=B, 所以2,3是方程x2-ax十a2-19=0的两个根， 所以/2+3=a, 2×3=a2-19, 解得a=5. (2)因为A∩B≠0且A∩C=, 所以3任A,一1任A,2∈A,(关键，点：注意条件的转化》 f9-3a+a2-19≠0， 所以31十a十a2-19≠0， 4-2a十a2-19=0, 解得a=一3. 1 16,解：(1)若m=2,则A=1,20},所以A的所有子集为 0 a,1,(2}o,1,2}1,0,(2,0,,20 (2)川思路导引】若要证明一个条件是另一个条件的充要条 件，需要分充分性和必要性两个方面来证明 1 证明：若m=2,则A={1,20,所以AnB=(0},故充 分性成立.（易错点：“m=2”是“A∩B={0}”的充要条件， 若m=2为条件，A∩B={0》为结论，则为充分性的证明； 若A∩B={0}为条件，m=2为结论，则为必要性的证明) 若AnB=0》,则0∈A.因为2≠0，所以m2-3m+2= m 0,解得m1或m=2当m=】时，1=品，不满足集合中 元素的互异性，故舍去； 1 当m=2时，A=1,20},满足集合中元素的互异性，故 必要性成立. 所以“m=2”是“A∩B=《0)”的充要条件， 17.解：(1)当a=1时，B={x|x>1}, 所以A∩B={x|1<x<2),AU(CRB)={x|0<x<2}U {xx≤1}={xx<2). (2)若选条件①，由题意，得B={x 则CRA={xx≤0或x≥2}： 因为BCA,所以号≥2，解得a≥3， 故实数a的取值范围为{aa≥3). 若选条件②，因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A三 B.(关键点：若p是q的充分条件，则p→q,即小范围推大 范围) 1+a1 因为B=zx>2 所以生<0解得a≤一1 故实数a的取值范围为{aa≤-l}. 18.解：(1)因为C={x∈Z-3≤x≤-1}={-3，-2，-1}， A={x|x<一2或x>3}, 故A∩C={-3). (2)因为A∩B=,所以当B=☑时，m-1>2m十3，解 得m<一4，满足A∩B=心；（易错点：注意讨论B为空集 的情况) 〔m-1≤2m+3, 当B≠0时，则有m一1≥-2， 解得-1≤m≤0. 2m+3≤3， 综上所述，实数m的取值范围是{mm<一4或-1≤m≤0. 方法总结 对于（真）子集或两集合交集为空集求参时，要注意讨论空集 的情况 19.【思路导引】A-B=CAB. 解：(1)阴影部分如下所示：（关健点：将集合A中B的部 分去掉涂色) B B (2)由题意，知A={1,2,3,4},B={3,4,5,6).根据差集 的概念，知A一B={1,2} 令C={1,2},根据差集的概念，得 A-(A-B)=A-C={3,4}. (3)因为A一B=☑，所以A二B.(关键点：将新定义问题 转化为集合间的包含关系) 由0<ax-1≤5可得，1<ax≤6. ①当a=0时，ax=0,不等式1<a.x≤6不成立，此时A= 心，满足A二B.(易错点：在解集合A中不等式时，注意对 α进行分类讨论，即最高项系数含参问题，注意对最高项 系数是否为0进行分类讨论) ②当a>0时，A= 1∠xa x 61 a 因为A三B,所以 (1z2 6∠2 2,得此不等式恒成立； 解6≤2，得6≤2a,即a≥3. 结合a>0,得a≥3. 当a<0时，A=女<<} 6、1 >-2’ 因为A二B,所以 a 解6、1 >-2,得12<-a,即a<-12; 解<2，得1≥2a,即a<号 结合a<0,得a<-12. 综上，a的取值范围是{aa<-12或a≥3或a=0. 第二章 一元二次函数、方程和不等式 第③周 等式性质与不等式性质、 基本不等式 1D若<0，h<1,则a>方若6<0，a<6,则h>1 故“ab<1"是“a<名"的既不充分也不必要条件。 易错警示 在不等式两边同时乘（除以）一个数时，要注意这个数的正负 以及是否为0. 2A方法D(逆用基本不等式)当0<x<号时，y=x(1- 12’ (关统点：基本不等式a+>2V画的递用一a≤（艺）】 当且仅当3x=1-3x,即x=6时，等号成立， 所以当0<x<号时，y=x(1-3x)的最大值为2 方法②（抛物线求最值）y=x(1-3x)=一3x2十x,当x= 后时y=x(1-3x)取最大值，最大值为2 3D对于A,举例a=16=-1,满起>方但a>6,故A 错误； 对于B,举例a=-1,b=1,满足a<b,但a2=b2,故B 错误； 对于C,若a>b>0,则a-6=a-b>0,即va>6, √a+√i 故C错误， 对于D,2-6=6十a6-a,因为a>b>0,所以ab> ab 0,6十a>0b-4<0,期台名<0，即名<号放D正确 40由题意，得5->0则止+写9-（位十9）· (x+5-x) (关健点：“1”的代换，乘分母的和，别忘了乘5保证乘的是1) ++)≥(2V·+) 5 x 5-x =5, 当且仅当z二，即x=1时，等号成立· 5-x1 教二十9的最小值为 16 5.A方法①（换元法）因为x>1,所以x一1>0.令t=x-1 (t>0), 所以2中”-++2-结-(+ 2t )≥1，当且仅当：=，即=1x=2时，等号成立，故最 小值为1. 方法②（配凑法）因为x>1,所以x一1>0，所以 21号+≥2V侵5-1 2(x-1) 当且仅当号-2D即4=2时，等号收立故敬小位 1 为1. 方法总结 对于分式类求最值时，通常有两种方法：(1)换元法，将低次 的多项式换元，转化为基本不等式求解；(2)配凑法，高次的 多项式凑出低次的多项式的形式，然后转化为基本不等式求 解在实际操作过程中，换元法更不易出错。 6BD对于A,当x<0时，x+士<0，x+的最小值不是 2,故A错误；（易错点：基本不等式的使用前提是“一正、二 定、三相等”) 对于B因为x>1,所以x-1>0,所以x十马=x-1十 z是十1≥2/x-1Dz马+1=3， 当且仅当x一1=x一，即x=2时，等号成立，故B正确；