第1章 第2周 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词-【一本】2025-2026学年高中数学必修第一册周末小测卷（人教A版）

一本高中数学周末小测卷 第 周 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词 ⊙时间：90分钟 8总分：150分 8得分： ☑答案：P03 基础测·查漏补缺 弥 1.(2025·江苏泰州适应性调研测试，5分)已知a,b为实数，则“a≠0”是“ab≠0”的 h A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2024·广东兴宁齐昌中学月考，5分)已知命题p:“3x<1,x2≤1”的否定是 A.Hx≥1，x2>1 B.]x<1,x2>1 C.Hx<1,x2>1 D.]x≥1，x2>1 3.(2025·安徽安庆第一中学月考，5分)已知集合M={(x,y)y=x},集 2x-y=1, z+4y=5 ,则“p∈M”是“p∈N”的 T A充分不必要条件 B.必要不充分条件 封 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2024·江苏淮阴中学期中，5分)设x,y∈R,则“xy+1=x十y”的充要条件为 Ax,y至少有一个为1 B.x,y都为1 C.x,y都不为1 D.x2+y2=2 5.(多选)(2025·山西晋城期末联考，6分)下列命题中是真命题的是 A3x∈R,|x-3+2≤2 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 蠻 C.若n为整数，则n2十n是偶数 D.若ac-bc-c=0,则a-b=1 6.(多选)(2025·安徽宿州示范高中月考，6分)若集合A={x∈Nx<3},集合B={一 线 下列说法正确的是 AA∩B={2 B.AUB={-1,0,1,2} C.3x∈A,xtB D.Vx∈B,x∈A 7.(多选)(2025·浙江宁波鄞州中学开学考试，6分)下列结论正确的是 A命题“若x=5,则x2一6.x十5=0”为真命题 幕 B.“x=5”是“x2-6x+5=0”的充分不必要条件 C.已知命题p“若m>0,则方程x2十x一m=0有实数根”，则命题p的否定为真命题 D.命题“若m2十n2=0,则m=0且n=0”为真命题 必修第一册RJA版 8.(2025·黑龙江哈师大青冈实验中学开学考试，5分)命题“对任意一个实数x,都有2z十4>0”的否 定是 9.(2025·四川仁寿铧强中学期末，5分)已知p:方程x2一ax十1=0无实数根，9：a一3<0，那么p 是q的 条件. 10.(2025·上海控江中学期末，5分)“x≥2或y≥2”的否定形式为 11.(2024·江西宜春中学期中改编，13分)已知p:关于x的不等式一2≤x一1≤5的解集为A,q:不 ( 等式m+1≤x≤2m一1(m∈R)的解集为B. (1)若m=3,求CR(AUB)； (2)若p是g的必要不充分条件，求实数m的取值范围. ( 合N 12.(2024·湖北宜昌第一中学月考改编，15分)已知集合A={x|2x一1≤5}，B={xx<-3或 x≥1}. (1)求CRA,(CRB)∩A; ,0,2},则 (2)若非空集合C={x|2m<x<m+1},且“Hx∈C,x庄A”为真命题，求实数m的取值范围. () () 。03· 一本高中数学周未小测卷 13.(2024·广东汕尾部分学校月考，15分)已知m>0,p:-1≤x≤5，q:1-m≤x≤ 1+m (1)若m=5,p,q有且只有一个为真命题，求实数x的取值范围； (2)若p是g的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 能力测·迁移运用 14.(2024·山东泰安第一中学月考改编，5分)已知集合A={x一2≤x≤5}，非空集合B= {xm十1≤x≤2m-1}.若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则m的取值范围是（) A.{mm≤3} B.{m|2≤m≤3) C.0 D.{m|2<m≤3} 15.(2024·重庆西南大学附属中学期中，5分)命题“关于x的方程ax2十x一1=0的根为正实数”为 真命题的一个必要不充分条件是 A.a=0 B.a≤0 C-a<0 D-a<0 16.(2024·陕西西安西北工业大学附属中学月考，5分)若命题“]0≤x≤3，x2一2x一a>0”为假命 题，则实数a的最小值是 A.-1 B.0 C.1 D.3 17.(2024·河北邢台卓越联盟联考改编，17分)已知p:关于x的方程x2一2x十a=0有实根，q:任 意-3≤x≤5，使得a2>(x一1)2恒成立. (1)若q是真命题，求a的取值范围； (2)若p和q中恰有一个是真命题，求a的取值范围. 。04。 必修第一册RJA版 拓展测·创新突破 18.新考法新定义(2024·上海中学月考，5分)定义集合运算A一B= {xx∈A且x庄B},将A△B=(A一B)U(B一A)称为集合A与集合B的对称差. 命题甲：A∩(B△C)=(A∩B)△(A∩C);命题乙：AU(B△C)=(AUB)△(AUC). 下列说法正确的是 ( A.甲、乙都是真命题 B.只有甲是真命题 C.只有乙是真命题 D.甲、乙都不是真命题 弥 19.(2024·北京中央民族大学附属中学期中，17分)已知集合A={xx=m2一n2,m,n∈Z. (1)分别判断一1,0,1是否属于集合A; (2)写出所有满足集合A的不超过15的正偶数； (3)已知集合B={xx=2k十1，k∈Z),求证：“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件， 封 线集”；若A={1,3,4},则A+A={2,4,5,6,7,8》,则(A十 A)∩A={4》,所以{1,3,4}不是“好集”；若A= {1,4,5},则A十A={2,5,6,8,9,10》,则(A十A)∩A {5},所以{1,4,5}不是“好集”；若A={2,3,5》,则A+ A={4,5,6,7,8,10},则(A+A)∩A={5},所以 {2,3,5}不是“好集”) (关健点：列举出{1,2,3,4,5》所有的子集，先排除不是好 集的) 包含于(1,2,3,4,5》的“好集”就只可能是空集、单元素集、 除{1,2}和{2,4}以外的双元素集以及{1,3,5}， {3,4,5},经过验证，这些集合都是“好集” 再加上A不能被更大的“好集”包含的要求，满足条件的A 就只能是{1,4}，{2,3}，{2,5}，{1,3,5}，{3,4,5}. 第②周充分条件与必要条件、 全称量词与存在量词 1.B由ab≠0，得a≠0且b≠0， 则由“ab≠0”，得“a≠0”， 但是由“a≠0”得不到“ab≠0”，b可能为0， 故“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件. 方法总结 若p→q且qp,则p是q的充分不必要条件，q的充 分不必要条件是，q是p的必要不充分条件，p的必 要不充分条件是g. 2.C 方法总结 命题的否定：变量词，否结论 3.B由 2-y=1得z=1, x+4y=5,y=1, 所以N={(1,1)}, 所以NM, 所以“p∈M”是“力∈N”的必要不充分条件. 4.A由xy十1=x十y,得(x-1)(y-1)=0,(关键点：当等 式中有x,y,xy时，常考虑图式分解)所以x=1或y=1, 即x,y至少有一个为1， 所以“xy十1=x十y”的充要条件为“x,y至少有一个为1”. 5.AC对于A,当x=3时，x一3十2=2，所以3x∈R, |x-3|+2≤2为真命题. 对于B,对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故原命题 为假命题. 对于C,n2十n=n(n十1)，（关键，点：将多项式转化为乘积的 形式，即两个相邻整数的乘积)相邻两个整数必有一个奇 数，一个偶数，乘积为偶数，故原命题为真命题. 对于D,若ac-bc-c=0,则c(a-b-1)=0,所以c=0或 a一b=1,故原命题为假命题， 6.BC易知A={0,1,2},则A∩B={0,2},AUB= {一1,0,1,2}，故A错误，B正确： 1∈A,1B,故C正确； -1∈B,一1A,故D错误 7.ABD对于A,当x=5时，x2-6x十5=0，故A正确. 对于B,当x=5时，x2一6x十5=0；当x2一6x+5=0时， 0 x=5或x=1. 故“x=5”是“x2一6x十5=0”的充分不必要条件，故B正确。 对于C,方程x2十x一m=0有实数根时，△=1十4m≥0，所 1 以m≥-4 当m>0时，必有m≥-年，（关键点：小范国→大范围）故 命题p“若m>0,则方程x2十x一m=0有实数根”为真 命题， 则命题p的否定为假命题，故C错误 对于D,当m2十n2=0时，m=0且n=0, 故命题“若m2十n2=0,则m=0且n=0”为真命题，故D 正确。 8存在实数工，有2x十<0或工2 易错警示 命题的否定的关键是变量词，否结论，其中否结论为取结论 的补集。 9.充分不必要方程x2一a.x十1=0无实数根，则有△=a2- 4<0→一2<a<2,所以p→q,但g不能推出p,所以p是g 的充分不必要条件.（关键点：小范围→大范围） 10.x<2且y<2由或命题的否定为且命题，知原命题的 否定为x<2且y<2. 方法总结 Cu(AUB)=(CA)n(CoB),Cv(AnB)=(CUA)U (CUB). 11.解：(1)由题意，得A={x-2x-1≤5}={x-1≤x≤6}. 若m=3,则B={x|4≤x≤5}， 所以AUB={x|-1≤x≤6}， 所以CR(AUB)={xx<-1或x>6} (2)因为力是q的必要不充分条件， 所以B手A.(关键点：若p是q的必要不充分条件，则q一 ,即小范围推大范围) 当B=⑦时，m十1>2m-1,解得m<2;(易错点：注意空 集的存在) m+1≤2m-1, 当B≠时，m+1≥-1， 2m-1≤6， .7 解得2≤m≤2 综上所述，实数m的取值范围为mm≤号}】 12.解：(1)集合A={x-2≤x≤3}，B={xx<-3或x≥1}， 则CRA={x|x<-2或x>3},CRB={x|-3≤x<1), 则(CRB)∩A={x|一2≤x<1}. (2)Hx∈C,x￠A为真命题，即A∩C=.(关键点：条件 的转化) 因为C={x2m<x<m+1},A={x|-2≤x≤3}， 所以名 2m<m+1,解得m≤-3， 2m≥3， 故m的取值范围为{mm≤-3}。 13.解：(1)若m=5,则q:-4≤x≤6. 若p,q有且只有一个为真命题，则p真q假或力假q真. (关键点：当只有一个命题为真时，即一真一假，分类讨论 即可) 若力真g假，则{1x≤5， 无解；（关键点：取交集） x<-4或x>6, 若p假真，则1或>5解得-4长<-1或 -4≤x≤6， 5<x≤6.（关键，点：取交集） 综上，x的取值范围为{x|一4≤x<一1或5<x≤6}.（关 键点：两种情况取并集) (2)若p是q的充分不必要条件，则{x|一1≤x≤5) {x1一m≤x≤1十m},(关键点：将充分不必要条件转化 为集合问题求解) 则有，两个等号不能同时取得)解得m≥4 即m的取值范围为{mm≥4}. 14.B由“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则非空集合 B是A的真子集，（关键点：将充分不必要条件转化为集合 问题求解) m+1≥-2， 所以32m一1≤5，前两个等号不能同时取得，（易错点： m+1≤2m-1, 注意真子集，两个集合不能相等，注意等号成立的条件)解 得2≤m≤3， 即m的取值范围是{m2≤m≤3}. 15.B关于x的方程ax2十x一1=0的根为正实数， a≠0， 则需满足a=0或△-1十如≥0，解得-<a<0.(易错 10 a 点：最高项系数含参问题，注意讨论最高项系数为0的情 况) “关于x的方程a.x2十x一l=0的根为正实数”为真命题的 一个必要不充分条件设为饣， 则{a-是<a<o=(alaEp(a), 结合选项可知，a≤0满足题意. 16.D方法①因为命题“]0≤x≤3，x2-2x-a>0”为假 命题， 所以命题“V0≤x≤3，x2-2x一a≤0”为真命题，（关键 点：若原命题为假命题，则命题的否定为真命题) 即x2一2x一a≤0在0≤x≤3上恒成立， 即a≥x2一2x在0≤x≤3上恒成立，（关键点：恒成立求 参，常考虑使用参变分离) 即a≥(x2-2x)mx. 当x=3时，(x2一2x)mx=3, 所以a≥3，所以实数a的最小值是3. 方法②假设命题“30≤x≤3，x2一2x一a>0”为真命题， 则x2一2x-a>0在0≤x≤3上有解， 即a<x2-2x在0≤x≤3上有解， 所以a<(x2-2x)mx. 当x=3时，(x2-2x)mx=3, 即a<3,所以若命题“了0≤x≤3，x2-2x-a>0”为假命 题，则a≥3，所以实数a的最小值是3. 17.解：(1)方法①由题意，知9：任意-3≤x≤5，使得a2> (x-1)2恒成立. 。04 若q是真命题，则存在-3≤x≤5，使得a2≤(x-1)2成 立（关键点：写出命题的否定形式，直接求解） 因为-4x-1≤4，所以0≤≤(x-1)2≤16， 所以a2≤16， 解得-4≤a≤4， 故a的取值范围为{a|一4≤a≤4}. 方法②假设q是真命题. 因为-4≤x-1≤4， 所以0≤(x-1)2≤16， 所以a2>16, 解得a<-4或a>4, 所以当g是真命题时，一4≤a≤4， 故a的取值范围为{a一4≤a≤4}. (2)【思路导引】先按其都为真命题算，然后分类讨论，一真 一假，假命题的话，取其补集即可. :关于x的方程x2-2x十a=0有实根， 则△=4-4a≥0，即a≤1. 由(1)，知g为真时，a>4或a<-4. (a≤1， 当p真，q假时， ,即-4≤a≤1； -4≤a≤4,1 当p假，9真时， /a>1, 即a>4. a>4或a<-4, 综上，a的取值范围为{a-4≤a≤1或a>4〉. 18.B对于甲，A∩(B△C)=A∩(BUC-B∩C)=A∩ (BUC)-A∩(B∩C)=(A∩B)U(A∩C)-(A∩B)∩ (A∩C)=(A∩B)△(A∩C),故命题甲是真命题； 对于乙，如图所示： AU(B△C)(AUB)△(AUC) (关键，点：画出AU(B△C)和(AUB)△(AUC)的Venn图) 所以AU(B△C)≠(AUB)△(AUC),故命题乙是假命题. 19.解：(1)因为-1=02-1,0=1-(-1)2,1=12-02，所以 一1,0,1都属于集合A. (2)川思路导引】将多项式因式分解，转化为两个数的乘积 形式进行分析，讨论m,n同奇或同偶或一奇一偶. 由题意，知集合A={xx=m2一n2,m,n∈Z},m2一 n2=(m-n)·(m十n). ①若m,n同奇或同偶，则m十n,m一n均为偶数，(m一n)· (m+n)为4的倍数； ②若m,n一奇一偶，则m十n,m一n均为奇数，(m一n)· (m十n)为奇数. 综上，所有满足集合A的偶数为4k(k∈Z). 因此，满足集合A的不超过15的正偶数有4,8,12. (3)[思路导引】由2十1=(k十1)2一2，即可得到充分性 成立，再利用特殊值判断必要性不成立. 证明：集合B={xx=2k十1，k∈Z},则恒有2k十1= (k+1)2一k2, 所以2k十1∈A,即一切奇数都属于A. 又8∈A,而8庄B, 所以“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件. 第一章综合检测·培优卷 1.C要使x∈A,√x∈Z,则x=1,4,9,故B中含有三个元 素，所以B的非空子集有{1}，{4}，{9}，{1,4}，{1,9}，{4， 9},{1,4,9},共7个. 方法总结 设集合中的元素个数为，则所有子集的个数为2"，所有非 空子集的个数为2一1，所有真子集的个数为2”一1，所有非 空真子集的个数为2m一2. 2.B由于xy≠0，所以x和y均不为0， 可以推断x2十y2≠0； 取x=1,y=0,可得x2十y2≠0，但xy=0,(关键点：找反 例) 故由x2十y2≠0不能推出xy≠0. 所以“xy≠0”是“x2十y2卡0”的充分不必要条件. 3.C【思路导引】根据三种水牌的定义，判断它们的包含关系 即可得答案. 由题意，知错水牌是存在某个要素与模式水牌不符的实际 水牌， 即错水牌二实际水牌，且错水牌一定不是模式水牌，故C正 确，A,D错误； 实际水牌可能存在要素与模式水牌不符，则实际水牌不包 含于模式水牌，故B错误 4.A【思路导引】利用集合相等列式求值并验证 由题意，知集合A={0,a},B={a一2,3a一4}.由B=A,得 Q-2=0或3a-4=0,解得a=2或a三3（关健点：解由 参数的值后，注意将其代入集合中检验) 当a=2时，B={0,2}=A,符合题意； 当a=青时，B=0,-号}≠A,不符合题意.（易错点：注意 4 集合中元素的互异性)】 综上，a=2. 5.C由题意可得，B={yy=8k一5，k∈N·}= {yly=4×(2k-2)+3,k∈N}={yly=4×2m+3,n∈N), (关键点：集合A的本质为除以4余3，集合B为除以8缺 5,即除以8余3)故B手A 6.C因为集合A={1,2,4,8,16},所以E(A)= 9/1×2×4×8×16=4, 所以集合{1,2,4,8,16}的“保均值真子集”有{4}， {1,16},{2,8},{1,4,16},{2,4,8},{1,2,8,16},(关键 点：根据新定义一一列举出来)共6个. 7.C“孤立元”为1的集合为{1}，1,3,4}， {1,4,5},{1,3,4,5}. “孤立元”为2的集合为{2}，{2,4,5}； “孤立元”为3的集合为{3}； “孤立元”为4的集合为{4}，{1,2,4}； “孤立元”为5的集合为{5}，{1,2,5}， {2,3,5},{1,2,3,5}； 综上，满足题意的集合有13个. 8.C对于A,2025=405×5∈[0]，故A错误 对于B,-2=一1×5+3∈[3]，故B错误. 对于C,每个整数除以5后的余数只有0,1,2,3,4，没有其 他余数， 所以ZC[o]U[1]U[2]U[3]U[4].又[0]U1]U 0 [2]U[3]U[4]二Z,(关键点：所有的整数除以5后的余 数为0,1,2,3,4，没有别的情况了) 故Z=[0]U[1]U[2]U[3]U[4幻，故C正确. 对于D,若a,b∈[m],m=0,1,2,3,4, 则a=5n1十m,n1∈Z,b=5n2十m,n2∈Z, 所以a-b=5(n1-n2)∈[0]. 若a-b∈[0]，则a-b=5p,p∈Z 不妨设a∈[t],t=0,1,2,3,4, 则a=5ng十t,n3∈Z, 所以b=5(n3-p)+t,n-p∈Z, 所以a,b除以5后余数相同， 所以a,b属于同一“类”， 所以整数a,b属于同一“类”的充要条件是“a一b∈[0]”， 故D错误.（思维突破：若a,b属于同一类，即除以5后的余 数相同，也就是它们之间差5的整数倍，所以它们的差除以 5余0) 9.BD【思路导引】小范围→大范围，因为p是q的必要条件 但不是充分条件，所以g对应的集合小. 对于A,若A=1},B={1,2),C={1,3},满足A二B且 A二C,此时B≠C. 若B=C,A不一定是二者的子集，故A不符合题意， 对于B,若x2一9=0，则x=士3， 所以“x2一9=0”是“x=一3”的必要条件但不是充分条件， 故B符合题意. 对于C,因为x2一16=0，所以x=士4， 所以“x2一16=0”是“|x|=4”的充要条件，故C不符合 题意 对于D,设A={0},B={0,1},则AUB={0}U{0,1}= {0,1}=B,但A={0}≠0， 这说明了“AUB=B”不是“A=”的充分条件 若A=O,则AUB=UB=B,这说明了“AUB=B”是 “A=”的必要条件. 综上，“AUB=B”是“A=心”的必要条件但不是充分条件， 故D符合题意. 10.CD对于A,当整数n>2时，关于x,y,z的方程x"十 y=之”没有正整数解， 故方程x3十y3=z3没有正整数解，A错误， 对于B,Cr+)=设有正整数解，即(）广+()广 1(zx≠0)没有正有理数解，B错误，C正确； 对于D,方程x”十y=z”,当x=y=1,之=2时满足条 件，故有正实数解，D正确.（关健点：从常见的数字入手，如 0,1,2,…) 11.ABC【思路导引】根据“广义等差集合”的定义即可用列 举法判断A,B,举反例即可判断D,根据P|=5时，设P= {a1,a2,a3,a4,a5},利用裂项相消，得a5一a1≥1十2十 3十4=10>8判断C. 对于A,取a=1,b=c=2,d=3,则符合“广义等差集合” 的定义，故A正确. 对于B,取a=1,b=3,c=4,d=6→b-a=d-c=2,故B 正确。 对于C,当n=8时，P三{1,2,3，…，8}，如|P=5时，设 P={a1,a2a3,a&,a5}, 由题意可知，a2一a1,ag一a2,a4一a3,a5一a4两两不相同，