函数新定义：泰勒展开式、牛顿法、拉格朗日中值定理、行列式与矩阵复习讲义-2026届高三数学一轮复习

函数新定义：泰勒展开式、牛顿法、拉格朗日中值定理、行列式与矩阵复习讲义 函数新定义：泰勒展开式、牛顿法、拉格朗日中值定理、行列式与矩阵复习讲义 考点目录 泰勒展开式 牛顿法 拉格朗日中值定理 行列式与矩阵 考点一 泰勒展开式 【知识点解析】 1.泰勒展开式：若函数在包含的某个开区间上具有任意阶的导数，那么对于任意有，我们将称为函数在点处的泰勒展开式. 2.麦克劳林公式：.（泰勒展开式的特殊形式） 3.常见的泰勒展开 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【例题分析】 1．（24-25高二下·重庆·期中）英国数学家泰勒给出如下公式：，其在数学、物理、工程等领域有广泛应用，则的近似值（结果精确到0.001）最接近为（    ） A．0.323 B．0.325 C．0.327 D．0.329 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor，1685.8~1731.11）以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式，我们可知：如果函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，若取，则，此时称该式为函数在处的阶泰勒公式.计算器正是利用这一公式将，，，，等函数转化为多项式函数，通过计算多项式函数值近似求出原函数的值，如，，则运用上面的想法求的近似值为（    ） A．0.50 B． C． D．0.56 3．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）公元1715年英国数学家布鲁克·泰勒在他的著作中陈述了“泰勒公式”，如果满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数在该点附近取值.泰勒公式将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具，例如：，其中，试用上述公式估计的近似值为（精确到0.001）（   ） A．1.647 B．1.649 C．1.648 D．1.646 4．（2025·陕西咸阳·三模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．该公式也称为麦克劳林公式．根据该公式估算的值为（）（精确到小数点后两位） 注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数．表示的阶乘，即． A．0.85 B．0.88 C．0.91 D．0.95 5．（2024·湖南邵阳·三模·多选）英国数学家泰勒发现了如下公式：，，某数学兴趣小组在研究该公式时，提出了如下猜想，其中正确的有（   ） A． B．（精确到小数点后两位） C． D．当时， 6．（23-24高二下·江西九江·期末·多选）记为函数的阶导数，，若存在，则称阶可导.英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称其为在处的次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值.下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．在处的3次泰勒多项式为 D． 7．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处的阶导数都存在时，.注:表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数. 表示的阶乘，即.该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算的值为 .(精确到小数点后两位) 8．（24-25高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）记为函数的阶导函数，且有，若存在，则称阶可导.英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称为次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值，例如：在处的3次泰勒多项式为，则在处的5次泰勒多项式中的系数为 . 9．（24-25高二下·河南信阳·期中）电脑或计算器计算，，，等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序或芯片完成的．“泰勒展开式”的内容为：如果函数在含有x0的某个闭区间上具有n阶导数，且在开区间，b）内具有阶导数，则对于闭区间上的任意一点，有，我们称上式为函数在处的泰勒展开式，其中为的高阶无穷小量．特别地，当在处n阶连续可导，则称为函数的麦克劳林公式．如的麦克劳林公式为， (1)利用麦克劳林公式估算的近似值（精确到0.01）； (2)当时，比较与的大小并证明； (3)若，求实数a的取值范围． 10．（2024·贵州贵阳·一模）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题． (1)证明：； (2)设，证明：； (3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围． 11．（2025·湖南娄底·模拟预测）请同学们阅读以下三段材料： ①若函数的导数为，则的导数叫做的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫做的三阶导数，记作；三阶导数的导数叫做的四阶导数，……一般地，阶导数的导数叫做的阶导数，即，． ②若，定义． ③若函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式．例如，在点处的泰勒展开式为． 根据以上三段材料，完成下面的题目： (1)求在点处的3阶泰勒展开式； (2)设在点处的3阶泰勒展开式为，试比较与的大小； (3)已知常数，证明：当无限大时，总有． 12．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利提山来的，大意如下：一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？后来用瑞士数学家欧拉给出了解答：记n封信都装错的情况为种，可以用全排列减去有装正确的情况种数，即，其中. 材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：若在处阶可导，则有，其中表示的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式. 阅读以上材料后请完成以下问题： (1)求出的值； (2)写出函数麦克劳林公式，并用e和n估计； (3)求证：.其中. 13．（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）在高等数学中，我们将在处及其附近可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的秦勒展开式． (1)分别求在处的泰勒展开式； (2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：．（其中为虚数单位）； (3)当时，求证：．（参考数据） 14．（24-25高二下·浙江·期中）英国数学家泰勒是18世纪早期一位非常杰出的数学家，以泰勒公式和泰勒级数闻名．泰勒公式是数学分析的重要组成部分，它的理论方法在近似计算、求极限、不等式的证明等方面都有重要的应用．例如：函数的带有佩亚诺余项的泰勒展开式为：，，为佩亚诺余项，在解决问题时可以忽略不计． (1)若，利用泰勒展开式证明：； (2)当时，证明：； (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 考点二 牛顿法 【知识点解析】 牛顿法的核心思想是通过线性化非线性问题，利用函数的导数信息来逐步逼近真实的根. 1.基本原理 牛顿法的基本思想是通过迭代来逼近方程的根.首先选择一个接近函数零点的初始值，计算相应的函数值和切线斜率.然后计算穿过点并且斜率为的直线与轴的交点的坐标，即求解方程：. 通常，会比更接近方程的解。接下来，利用​开始下一轮迭代，迭代公式可以化简为： 这种方法通过不断迭代来逐步逼近真实的根。 【例题分析】 1．（24-25高二下·辽宁·期中）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法，若定义是函数零点近似解的初始值，过点的切线为，切线与轴交点的横坐标，即为函数零点近似解的下一个初始值以此类推，满足精度的初始值即为函数零点的近似解，设函数，满足，应用上述方法，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·湖北·期中）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，做法如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，则与轴的交点的横坐标，称是的第一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的第二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则下列正确的是（    ）    A．若取初始近似值为1，则过点作曲线的切线 B．若取初始近似值为1，则该方程解的第二次近似值为 C． D． 3．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）给定函数， 若数列满足， 则称数列为函数的牛顿数列.已知数列为函数的牛顿数列， ， 且， ， 数列的前项和为. 则（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·山东济南·期末）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.对于方程，如果用二分法求近似解，给定初始区间，若精确度，则至少需要经过4次迭代才能求出其近似解.牛顿在《流数法》一书中用“作切线”的方法求高次方程的近似解.从函数的观点看，给定一个初始值，在横坐标为的点处作函数的切线，切线与x轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到，一直继续下去得到，，…，.它们越来越逼近函数的零点r，当时，或即为方程的近似解.现给定初始值，利用牛顿法求的近似解，至少需要几次迭代也能达到同样的精确度（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）数学家高斯在21岁时，证明了“任何复系数代数方程一定有根”，这个结论被称作代数学基本定理；同样是21岁的时候，法国数学家伽罗瓦证明了“五次及五次以上多项式方程没有求根公式”.但随着科学技术的发展，很多领域需要求解高次方程，比如行星轨道的计算等等.为此，数学家们想了很多办法，我们学过的“二分法”就是其中之一.牛顿和拉弗森在17世纪提出了“牛顿迭代法”，相比二分法可以更快速的给出近似值，至今仍在计算机等学科中被广泛应用.如图，设是方程的根，选取作为初始近似值.    过点作曲线在处的切线，切线方程为，当时，称与轴交点的横坐标是的1次近似值； 过点作曲线的切线，设切点为的切线方程为，当时，称与轴交点的横坐标是的2次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列. 当时，的次近似值与次近似值可建立等式关系. 给出以下结论: ①切线的方程为；②； ③若取作为的初始近似值，根据牛顿迭代法，计算的2次近似值为. 其中所有正确结论的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 6．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似解的方法——牛顿迭代法.如图所示，设是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值.重复以上过程，得到的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则下列说法不正确的是（   ） A．若取初始近似值为1，则该方程的二次近似解为 B．若取初始近似值为2，则该方程的二次近似解为 C． D． 7．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点．已知二次函数有两个不相等的实根，其中．在函数图像上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与x轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列，记，且，下列说法正确的是（    ） A． B． C．数列是等差数列 D．数列的前n项和 8．（24-25高二下·山东淄博·期末·多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作曲线的切线，直线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，当足够小时，我们可以把的值作为函数零点的近似值.已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．切线的方程为 B． C． D．设，则 9．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习·多选）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知函数，其中.在图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标记为，再用代替，重复刚才的过程得到…；一直重复下去，得到数列.记，且，，则下列说法正确的是（   ） A．（是自然对数的底数） B．数列是递增数列 C． D．数列的前项和 10．（2025·云南昭通·模拟预测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿（1643～1727）在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．如图，在横坐标为的点处作图象的切线，该切线与轴的交点的横坐标为；在横坐标为的点处作图象的切线，该切线与轴的交点的横坐标为；一直继续下去，得到，它们越来越逼近的零点．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值可作为函数的一个零点．用“牛顿法”求方程的近似解，可以构造函数，若，则用牛顿法得到的近似值约为 ．（结果保留两位小数） 11．（24-25高二下·北京东城·期中）牛顿和拉弗森在17世纪提出了“牛顿迭代法”，相比二分法可以更快速的给出近似值，至今仍在计算机等学科中被广泛应用．如图，设r是方程的根，选取作为r初始近似值．过点作曲线的切线，切线方程为当时，称与x轴的交点的横坐标为r的1次近似值；过点作曲线的切线，切线方程为当时，称与x轴的交点的横坐标为r的2次近似值；重复以上过程，得到r的近似值序列．这就是“牛顿迭代法”． （1）当时，r的次近似值与n次近似值的关系为： ． （2）若取作为r的初始近似值，根据牛顿迭代法，的2次近似值为 (用分数表示)． 12．（2024·广东韶关·二模）记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，且数列满足. (1)求； (2)证明数列是等比数列并求； (3)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求t的取值范围. 13．（24-25高二下·广东珠海·阶段练习）在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而英国物理学家、数学家艾萨克•牛顿与德国哲学家、数学家戈特弗里德•莱布尼茨各自独立发明了微积分．其中牛顿在《流数法与无穷级数》（The Method of Fluxions and Inifinite Series）一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值．一直继续下去，得到．一般地，作点处曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值，称数列为牛顿数列． (1)已知函数的零点为，，求的2次近似值． (2)函数的两个零点分别为，，数列为函数的牛顿数列，若数列满足，，． （i）证明：； （ii）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在4项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的4项；若不存在，请说明理由． 14．（24-25高二下·贵州黔南·期末）物理学家牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法—牛顿法，具体做法如下：先在轴找初始点，然后作在点处的切线，切线与轴交于点，再作在点处的切线，切线与轴交于点，再作在点处的切线，以此类推，直到求得满足精度的方程的近似解为止.已知函数，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为，继续牛顿法的操作得到. (1)求的单调区间； (2)设初始点为，按上述算法，求方程的一个近似根；（精确到0.01） (3)若对任意，恒成立，求整数的最大值. （参考值：） 15．（24-25高二下·广东广州·期末）牛顿法（Newton’s method）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为．如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值．重复以上过程，得的近似值序列：，，…，，根据已有精确度，当时，给出近似解．对于函数，已知． (1)若给定，求的二阶近似值； (2)函数． ①试写出函数的最小值与的关系式； ②证明：． 16．（24-25高二下·广东广州·期末）牛顿（Isaac Newton，1643–1727）给出了求函数零点近似值的一种方法——牛顿切线法：如图，设r是的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，在点处作曲线的切线，与x轴的交点横坐标为，称为r的1次近似值；在点处作曲线的切线，与x轴的交点横坐标为，称为r的2次近似值.一般地，在点处作曲线的切线，与x轴的交点横坐标为，称为r的次近似值，称数列为牛顿数列. (1)若的零点为r，，试用牛顿切线法求r的2次近似值； (2)已知，数列为的牛顿数列. （ⅰ）设，且，求的解析式； （ⅱ）设数列满足，且，证明：. 17．（2025·四川成都·三模）牛顿法（Newton＇smethod）是牛顿在世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为.如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值.再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值.重复以上过程，得的近似值序列：、、、，根据已有精确度，当时，给出近似解.已知函数，其中. (1)当时，试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解；（取，且结果保留小数点后第二位） (2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，指利用曲线的切线或割线解决问题. （i）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，当时，比较与的大小； （ii）当时，若关于的方程的两个根分别为，证明：.（参考数据：，时，） 考点三 拉格朗日中值定理 【知识点解析】 1.拉格朗日中值定理 若函数满足如下条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间上连续. 则在内至少存在一点，使得. 2.拉格朗日中值定理的几何意义 如图所示，在满足定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线 3.注意事项（逆命题不成立） 拉格朗日中值定理没有逆定理，即对曲线的任一切线，并不一定存在割线，使割线斜率等于切线斜率. 如在处的切线斜率为0，但不存在割线使割线斜率等于0. 4.拉格朗日公式的几种等价形式 (1)，. (2)，. (3)，. ※拉格朗日公式无论对于还是都成立，而则是介于和之间的某一常数.显然，当时， . 【例题分析】 1．（24-25高二下·北京东城·期中）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理:若函数在闭区间上是连续不断的，在开区间上都有导数，则在区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日中值”.函数在区间上的“拉格朗日中值”（    ） A． B． C．2 D． 3．（24-25高三下·云南丽江·阶段练习）法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中提出一个定理:如果函数 满足条件 ①在闭区间上是连续不断的，②在开区间上都有导数，那么在开区间上至少存在一个实数，使得，其中被称为拉格朗日中值.函数 在区间上的拉格朗日中值所在的区间为（     ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·福建漳州·阶段练习）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2022·陕西宝鸡·模拟预测）法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数满足如下条件：（1）在闭区间上是连续不断的；（2）在区间上都有导数.则在区间上至少存在一个数ξ，使得，其中ξ称为拉格朗日中值.则在区间上的拉格朗日中值ξ= . 6．（24-25高三上·上海·期中）法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析几何函数论》中给出一个定理，如果函数满足条件：①在闭区间上是连续不断的；②在区间上都有导数.则在区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日”中值.函数在区间的“拉格朗日”中值 7．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）如果函数满足在闭区间上连续，在开区间上可导，那么在开区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日中值”．函数在上的“拉格朗日中值”为 ． 8．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）约瑟夫·路易斯·拉格朗日是闻名世界的数学家，拉格朗日中值定理就是他发现的.定理如下：若函数满足如下条件： ①函数在区间上连续（函数图象没有间断）； ②函数在开区间内可导（导数存在）．则在区间内至少存在一点，使得成立，其中称为“拉格朗日中值点”． (1)求函数在上的“拉格朗日中值点”的个数； (2)对于任意的实数，，证明：； (3)已知函数在区间上满足拉格朗日中值定理的两个条件，当时，证明：． 9．（24-25高二下·安徽合肥·期中）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在区间上的“拉格朗日中值点”．已知函数（，）是奇函数， (1)当时，求在区间上的“拉格朗日中值点”的个数； (2)已知，若在定义域内有三个不同的极值点，求实数的取值范围； (3)若在区间上有且只有一个“拉格朗日中值点”，求实数的取值范围． 参考数据：． 10．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数，. (1)当时，求函数在区间上的最小值； (2)若函数在区间上单调递减，求a的取值范围； (3)若函数的图象上存在两点，，且，使得，则称为“拉格朗日中值函数”，并称线段的中点为函数的一个“拉格朗日平均值点”.试判断函数是否为“拉格朗日中值函数”，若是，判断函数的“拉格朗日平均值点”的个数；若不是，说明理由. 11．（2025·山东·模拟预测）“拉格朗日中值定理”是法国数学家拉格朗日在其著作《解析函数论》中给出的，其内容为若函数满足如下条件：①在区间上的图象是连续的；②在区间上可导，则在区间上至少存在一个实数，使得成立．已知函数． (1)，且，若恒成立，求的取值范围； (2)当时，是否存在区间，使？若存在，写出证明过程；若不存在，说明理由； (3)当时，设的两个极值点为，，且，证明：． 12．（24-25高三上·江西鹰潭·阶段练习）法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下:如果函数满足如下条件：①在闭区间上的图象是连续的；②在开区间上可导，则在开区间上至少存在一个实数，使得成立，人们称此定理为“拉格朗日中值定理”. (1)已知且， （i）若恒成立，求实数的取值范围； （ii）当时，求证：. (2)已知函数有两个零点，记作，若，证明： 考点四 行列式与矩阵 【知识点解析】 1.矩阵的概念 (1)矩阵：矩形数表； 叫做行列矩阵，简记为阶矩阵 (2)矩阵的元素：矩阵中的每一个数； (3)系数矩阵：由方程组的系数组成的矩阵； 增广矩阵：由方程组的系数和常数项组成的矩阵； 已知方程组，则它的系数矩阵为；增广矩阵为. (4)方阵：行数和列数相等的矩阵；（若一个方阵有行（列），那么该方阵叫做阶方矩阵）； (5)行向量：矩阵的每一行构成的一组数表； 列向量：矩阵的每一列构成的一组数表； 若矩阵，则矩阵的行向量为，；列向量为，，. (6)单位矩阵：对角线元素为1，其余元素均为0的方阵. 2.矩阵的运算 矩阵的运算条件： ①矩阵相等的条件为行数和列数分别相等，对应元素相等； ②矩阵相加（减）的条件为两矩阵的行数和列数分别相等； ③矩阵相乘的条件为第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数. (1)矩阵的加法 ①矩阵的和（差）：当两个矩阵的维数相同时，将它们各位置上的元素加（减）所得到的矩阵称为矩阵的和（差）,记作： ②运算律:加法运算律：；加法结合律： (2)数乘矩阵 ①矩阵与实数的积 设为任意实数，把矩阵的所有元素与相乘得到的矩阵叫做矩阵与实数的乘积矩阵.记作： ②运算律：（为实数） 分配律： ； 结合律： (3)矩阵的乘积 ①矩阵的乘积： 一般，设是阶矩阵，是阶矩阵，设为矩阵，如果矩阵中第行第列元素是矩阵第个行向量与矩阵的第个列向量的数量积，那么矩阵叫做与的乘积.记作：. ②运算律 分配律：， 结合律：， 注：交换律不成立，即 (4)矩阵变换 在解方程组的过程中，方程组逐步会发生变化，相应的矩形数表也发生变化，因此，由方程组的变化，可理解矩阵的变换规则： ①互换矩阵的两行； ②把某一行同乘（除）以一个非零的数； ③某一行乘以一个非零的数，再加到另一行. 矩阵变换的意义：使方程组的系数矩阵变为单位矩阵的过程，就是解方程的过程. 当系数矩阵变为单位矩阵，该方程组的增广矩阵的最后一个列向量就是方程组的解. 2.二阶行列式的有关概念及求二元一次方程组的解法： (1)二阶行列式 叫做二阶行列式，展开式为，这种方法称为对角线法则，其计算的结果叫做行列式的值，叫做行列式的元素。 (2)设二元一次方程组（*） （其中是未知数，是未知数的系数且不全为零，是常数项．） 用加减消元法解方程组（*）: 当时，方程组（*）有唯一解：， 引入记号 表示算式，即 ． 从而引出行列式的相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行列式的元素、对角线法则等． 记 ， ， ， ①则当 =时，方程组（*）有唯一解， 可用二阶行列式表示为． ②当D=0时, 无穷组解； ③当D=0时, 无解。 系数行列式也为二元一次方程组解的判别式。 3.三阶行列式 (1)三阶行列式的展开方法： ①对角线方式展开  = ②按某一行(或列)展开法 = =-+ 记 ，， ，， ， 。 称为元素的余子式，即将元素所在的第一行、第列划去后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式（类似可以定义其它元素的余子式）；称为元素的代数余子式，（。 则三阶行列式就可以写成= =, 这就是说，一个三阶行列式可以表示为它的第一行的元素分别与它们的代数余子式乘积的和。上式称为三阶行列式按第一行展开的展开式。类似地，若将按别的行或列的元素整理，同样可得行列式按任一行(列)展开式。 【注意余子式与代数余子式的区别及代数余子式的符号判别方法】 【例题分析】 1．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）定义矩阵运算，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南·三模）定义行列式，已知函数，若在区间上，始终存在两个不相等的实数，，满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·广东·阶段练习·多选）定义行列式，若函数，则下列表述正确的是（    ） A．的图像关于点中心对称 B．的图像关于轴对称 C．在区间上单调递增 D．最小正周期为 4．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习·多选）定义行列式，若函数，则下列表述正确的是（    ） A．的图象关于点中心对称 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．的最小正周期为 5．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）定义行列式．若函数在上恰有3个零点，则的取值范围为 ． 6．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）“矩阵”是在研究线性方程组的解法中引出来的概念，在实际问题中应用非常广泛．一个由1行3列数表构成的矩阵记为，由3行3列数表构成的矩阵记为，由3行1列数表构成的矩阵记为．已知矩阵乘是一个矩阵，矩阵乘是一个数．设则 ；若是上的单调函数，则实数的取值范围是 ． 7．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用.将形如的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：，设函数. (1)求的对称轴方程及单调递增区间； (2)在锐角中，已知，求和. 8．（24-25高三上·广东·开学考试）已知二阶行列式，三阶行列式，其中分别为的余子式（某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式）． (1)计算． (2)设函数． ①若的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0，求； ②若且，函数，证明：． 9．（2024·广东·一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量，其模定义为.类似地，对于行列的矩阵，其模可由向量模拓展为（其中为矩阵中第行第列的数，为求和符号），记作，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵，其矩阵模.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用. (1)，，矩阵，求使的的最小值. (2)，，，矩阵求. (3)矩阵，证明：，，. 10．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）数阵，又称矩阵，是数学中的一个重要概念，它是一种特殊的数组，由数字或符号按照特定的规则排列而成.数阵的元素按照一定的顺序排列，通常用矩阵的行和列来表示.将阶数阵记作（其中）.已知，且满足， (1)求和的值； (2)求的表达式； (3)是否存在，使得，，成等比数列，如存在，请求出，如不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数新定义：泰勒展开式、牛顿法、拉格朗日中值定理、行列式与矩阵复习讲义 函数新定义：泰勒展开式、牛顿法、拉格朗日中值定理、行列式与矩阵复习讲义 考点目录 泰勒展开式 牛顿法 拉格朗日中值定理 行列式与矩阵 考点一 泰勒展开式 【知识点解析】 1.泰勒展开式：若函数在包含的某个开区间上具有任意阶的导数，那么对于任意有，我们将称为函数在点处的泰勒展开式. 2.麦克劳林公式：.（泰勒展开式的特殊形式） 3.常见的泰勒展开 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【例题分析】 1．（24-25高二下·重庆·期中）英国数学家泰勒给出如下公式：，其在数学、物理、工程等领域有广泛应用，则的近似值（结果精确到0.001）最接近为（    ） A．0.323 B．0.325 C．0.327 D．0.329 【答案】C 【详解】由题意知， 两边求导可得，即， 则， 故选：C 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor，1685.8~1731.11）以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式，我们可知：如果函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，若取，则，此时称该式为函数在处的阶泰勒公式.计算器正是利用这一公式将，，，，等函数转化为多项式函数，通过计算多项式函数值近似求出原函数的值，如，，则运用上面的想法求的近似值为（    ） A．0.50 B． C． D．0.56 【答案】B 【详解】由三角恒等变换的公式，化简得， 又由， 可得，所以. 故选：B. 3．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）公元1715年英国数学家布鲁克·泰勒在他的著作中陈述了“泰勒公式”，如果满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数在该点附近取值.泰勒公式将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具，例如：，其中，试用上述公式估计的近似值为（精确到0.001）（   ） A．1.647 B．1.649 C．1.648 D．1.646 【答案】C 【详解】令，取前5项可得 ， 所以的近似值为1.648， 故选：C. 4．（2025·陕西咸阳·三模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．该公式也称为麦克劳林公式．根据该公式估算的值为（）（精确到小数点后两位） 注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数．表示的阶乘，即． A．0.85 B．0.88 C．0.91 D．0.95 【答案】C 【详解】在处n阶可导， 求出，令， 故选：C. 5．（2024·湖南邵阳·三模·多选）英国数学家泰勒发现了如下公式：，，某数学兴趣小组在研究该公式时，提出了如下猜想，其中正确的有（   ） A． B．（精确到小数点后两位） C． D．当时， 【答案】BD 【详解】由，，则有，故A选项错误． 由，则， 又（精确到小数点后两位），故B选项正确． ，，则有，故C选项错误． 当时，令，则，， 所以在上为增函数，则， 所以在上为增函数，则， 故当时，恒成立，即．故D选项正确． 故选：BD. 6．（23-24高二下·江西九江·期末·多选）记为函数的阶导数，，若存在，则称阶可导.英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称其为在处的次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值.下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．在处的3次泰勒多项式为 D． 【答案】BCD 【详解】对于A，若，则，， ，， 所以，故A错误； 对于B，若，则， ，， 观察可知，故B正确； 对于C，，则， 因为， 所以在处的次泰勒多项式，故C正确 对于D，的阶导数， 得， 则，故D正确； 故选：BCD 7．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处的阶导数都存在时，.注:表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数. 表示的阶乘，即.该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算的值为 .(精确到小数点后两位) 【答案】0.84 【详解】令， 则，，，， 故， 由麦克劳林公式得，， 所以. 故答案为：0.84. 8．（24-25高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）记为函数的阶导函数，且有，若存在，则称阶可导.英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称为次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值，例如：在处的3次泰勒多项式为，则在处的5次泰勒多项式中的系数为 . 【答案】15 【详解】， 因为， 所以，， 又，，. 所以， 故的系数为. 故答案为：15 9．（24-25高二下·河南信阳·期中）电脑或计算器计算，，，等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序或芯片完成的．“泰勒展开式”的内容为：如果函数在含有x0的某个闭区间上具有n阶导数，且在开区间，b）内具有阶导数，则对于闭区间上的任意一点，有，我们称上式为函数在处的泰勒展开式，其中为的高阶无穷小量．特别地，当在处n阶连续可导，则称为函数的麦克劳林公式．如的麦克劳林公式为， (1)利用麦克劳林公式估算的近似值（精确到0.01）； (2)当时，比较与的大小并证明； (3)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【详解】（1）令，代入上式可得，所以． 由两边同时求导得，（或通过麦克劳林公式计算得到） 所以，所以 （2） 证明：令， 则，设，则， 所以函数在上单调递增，则（或通过麦克劳林公式得到）． 所以函数在上单调递增，则． 所以当时，，即证． （3）若，即 令，则， ①当时，若， 令，则，则函数在上单调递增，且，即；（或通过麦克劳林公式得到） 令，则，令，令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 若，则，即（或通过麦克劳林公式得到）， 所以，则， 所以函数在上单调递增，则， 即恒成立． ②当时，， 存在实数，使得均有， 则函数在上单调递减，且，不符合题意， 所以当时，不符合题意． 综上，的取值范围为． 10．（2024·贵州贵阳·一模）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题． (1)证明：； (2)设，证明：； (3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)． 【详解】（1）设，则． 当时，：当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 因此，，即． （2）由泰勒公式知，① 于是，② 由①②得， ， 所以 ． 即． （3）， 则，设． 设，则，当时， 故在上为增函数. 由基本不等式知，，当且仅当时等号成立． 所以当时，，所以在R上单调递增． 又因为是奇函数，且， 所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 因此，是的极小值点． 下面证明：当时，不是的极小值点． 当时，， 又因为是R上的偶函数，且在上单调递增， 所以当时，． 因此，在上单调递减． 又因为是奇函数，且， 所以当时，；当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 因此，是的极大值点，不是的极小值点． 综上，实数的取值范围是． 11．（2025·湖南娄底·模拟预测）请同学们阅读以下三段材料： ①若函数的导数为，则的导数叫做的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫做的三阶导数，记作；三阶导数的导数叫做的四阶导数，……一般地，阶导数的导数叫做的阶导数，即，． ②若，定义． ③若函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式．例如，在点处的泰勒展开式为． 根据以上三段材料，完成下面的题目： (1)求在点处的3阶泰勒展开式； (2)设在点处的3阶泰勒展开式为，试比较与的大小； (3)已知常数，证明：当无限大时，总有． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， ∴，，， ∴在点处的3阶泰勒展开式为 ． （2）解：依题意，得． 令，则． ∵，在上单调递增． 又∵，∴在上，，单调递减；在上，，单调递增， ∴，即， 故（在时取等号）． （3）证明：已知常数，不妨令， 则不等式． 令，，求导得， 当时，；当时，， ∴函数在上单调递增，在上单调递减． 当时，，， 当时，由，得是函数的一个零点， 又，而趋近于正无穷大时，趋近于， 因此存在大于e的正数，使得，当时，． 综上可知，对于，存在正数，使得当时，恒成立， ∴对于，存在正数，使得，恒成立． 已知常数，不妨令，， 不等式． 令，则函数在上单调递增，在上单调递减， ∴ 令，，求导得， ∴函数在上单调递增，值域为， ∴存在，使得，当，即时，，恒成立． 当，即时，函数有两个零点，， 对于，恒成立． 因此对于，存在正数，使得当时，恒成立， ∴对于，存在正数，使得，恒成立． 取，对于任意，成立， 即当足够大时，总有 12．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利提山来的，大意如下：一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？后来用瑞士数学家欧拉给出了解答：记n封信都装错的情况为种，可以用全排列减去有装正确的情况种数，即，其中. 材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：若在处阶可导，则有，其中表示的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式. 阅读以上材料后请完成以下问题： (1)求出的值； (2)写出函数麦克劳林公式，并用e和n估计； (3)求证：.其中. 【答案】(1) (2)； (3)证明见解析 【详解】（1）， . （2）由麦克劳林公式，令，有 在中，取，可得. （3）由麦克劳林公式， 当时，令，有猜想 令，有 猜想. 令 ，由，所以，即. 令 ，由，再令则恒成立，所以在上为增函数，且 所以在上为增函数，且即, 又时，,,所以 ， 令，，有，即， 所以 命题得证. 13．（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）在高等数学中，我们将在处及其附近可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的秦勒展开式． (1)分别求在处的泰勒展开式； (2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：．（其中为虚数单位）； (3)当时，求证：．（参考数据） 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）因为函数在处的泰勒展开式为 （其中表示的n次导数）， 所以，，在处的泰勒展开式分别为： ； ； . （2）把在处的泰勒展开式中的替换为，可得 ， 所以，即. （3）由在处的泰勒展开式，先证当时，， 令， ，又，则， 所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 再令，， 则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而， 所以当时，恒成立， 则 ， 所以. 14．（24-25高二下·浙江·期中）英国数学家泰勒是18世纪早期一位非常杰出的数学家，以泰勒公式和泰勒级数闻名．泰勒公式是数学分析的重要组成部分，它的理论方法在近似计算、求极限、不等式的证明等方面都有重要的应用．例如：函数的带有佩亚诺余项的泰勒展开式为：，，为佩亚诺余项，在解决问题时可以忽略不计． (1)若，利用泰勒展开式证明：； (2)当时，证明：； (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由，两边求导得： 即. （2）解法1：由知，对于，， 先证时，， 令，则，得， 所以时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 则，所以， 则， 解法2：设，则， 令，则存在使得，即， 则时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 所以，所以成立. （3）当时，不等式恒成立， 即， 设， 则， 再令，则， 所以在时单调递增， 又，，所以在存在零点． 又因为， 而且，，可以设使得， 且， 即，使得， 所以时，在上单调递减， 时，，在上单调递增， ， 所以. 考点二 牛顿法 【知识点解析】 牛顿法的核心思想是通过线性化非线性问题，利用函数的导数信息来逐步逼近真实的根. 1.基本原理 牛顿法的基本思想是通过迭代来逼近方程的根.首先选择一个接近函数零点的初始值，计算相应的函数值和切线斜率.然后计算穿过点并且斜率为的直线与轴的交点的坐标，即求解方程：. 通常，会比更接近方程的解。接下来，利用​开始下一轮迭代，迭代公式可以化简为： 这种方法通过不断迭代来逐步逼近真实的根。 【例题分析】 1．（24-25高二下·辽宁·期中）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法，若定义是函数零点近似解的初始值，过点的切线为，切线与轴交点的横坐标，即为函数零点近似解的下一个初始值以此类推，满足精度的初始值即为函数零点的近似解，设函数，满足，应用上述方法，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，由可得，则， 又，所以过点的切线为，令，可得，即. 同理，， 所以过点的切线为，令，可得，即. 故选：C. 2．（24-25高三上·湖北·期中）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，做法如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，则与轴的交点的横坐标，称是的第一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的第二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则下列正确的是（    ）    A．若取初始近似值为1，则过点作曲线的切线 B．若取初始近似值为1，则该方程解的第二次近似值为 C． D． 【答案】D 【详解】解：构造函数，则， 取初始近似值，，， 则，即，则A错误； ，，B错误； 根据题意，可知， 上述式子相加，得， 所以，C不正确，则D正确. 故选：D. 3．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）给定函数， 若数列满足， 则称数列为函数的牛顿数列.已知数列为函数的牛顿数列， ， 且， ， 数列的前项和为. 则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，则， 所以， 则两边取对数可得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 所以. 故选：A. 4．（23-24高二下·山东济南·期末）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.对于方程，如果用二分法求近似解，给定初始区间，若精确度，则至少需要经过4次迭代才能求出其近似解.牛顿在《流数法》一书中用“作切线”的方法求高次方程的近似解.从函数的观点看，给定一个初始值，在横坐标为的点处作函数的切线，切线与x轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到，一直继续下去得到，，…，.它们越来越逼近函数的零点r，当时，或即为方程的近似解.现给定初始值，利用牛顿法求的近似解，至少需要几次迭代也能达到同样的精确度（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】令，则，，， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，得. 又，， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，解得， 因为， 所以利用牛顿法求的近似解，至少需要次迭代也能达到同样的精确度. 故选：B. 5．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）数学家高斯在21岁时，证明了“任何复系数代数方程一定有根”，这个结论被称作代数学基本定理；同样是21岁的时候，法国数学家伽罗瓦证明了“五次及五次以上多项式方程没有求根公式”.但随着科学技术的发展，很多领域需要求解高次方程，比如行星轨道的计算等等.为此，数学家们想了很多办法，我们学过的“二分法”就是其中之一.牛顿和拉弗森在17世纪提出了“牛顿迭代法”，相比二分法可以更快速的给出近似值，至今仍在计算机等学科中被广泛应用.如图，设是方程的根，选取作为初始近似值.    过点作曲线在处的切线，切线方程为，当时，称与轴交点的横坐标是的1次近似值； 过点作曲线的切线，设切点为的切线方程为，当时，称与轴交点的横坐标是的2次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列. 当时，的次近似值与次近似值可建立等式关系. 给出以下结论: ①切线的方程为； ②； ③若取作为的初始近似值，根据牛顿迭代法，计算的2次近似值为. 其中所有正确结论的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】对于①，根据题意，知切线的切点为，则斜率，所以切线方程为，故①正确； 对于②，由①可知：， 令，得，故②正确； 对于③，设，则是的正根，， 所以， 时，，，故③正确. 综上，正确结论的个数为个. 故选：. 6．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似解的方法——牛顿迭代法.如图所示，设是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值.重复以上过程，得到的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则下列说法不正确的是（   ） A．若取初始近似值为1，则该方程的二次近似解为 B．若取初始近似值为2，则该方程的二次近似解为 C． D． 【答案】D 【详解】构造函数，则.取初始近似值，则， ，故选项A正确； 取初始近似值，则， ，故选项B正确； 根据题意，可知，，，， 上述四式相加，得，故选项C正确，选项D不正确. 故选：D. 7．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点．已知二次函数有两个不相等的实根，其中．在函数图像上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与x轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列，记，且，下列说法正确的是（    ） A． B． C．数列是等差数列 D．数列的前n项和 【答案】D 【详解】由，得，则，故A错误； 因为二次函数有两个不等实数根， 所以不妨设， 因为，所以， 所以在横坐标为的点处的切线方程为：， 令，则， 因为， 所以，即， 所以数列是公比为2，首项为1的等比数列， 所以，且，故BC错误； 由，所以，故D正确. 故选：D 8．（24-25高二下·山东淄博·期末·多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作曲线的切线，直线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，当足够小时，我们可以把的值作为函数零点的近似值.已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．切线的方程为 B． C． D．设，则 【答案】ABD 【详解】对于A，由题意得，， 则，故的切点为， 而，由导数的几何意义得的斜率为， 得到切线的方程为，化简得，故A正确， 对于B，在中，令，解得， 而，， 则的方程为，令，解得，故B正确， 对于C，当时，，， 不满足，故C错误， 对于D，由题意得在处的切线方程为， 而该方程必过，代入得到， 则，得到， 而， 可得， 由已知得，则单调递增， 而，，得到， 由零点存在性定理得存在作为零点， 随着操作次数的增加，与越来越接近，故， 则，得到， 即成立，故D正确. 故选：ABD 9．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习·多选）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知函数，其中.在图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标记为，再用代替，重复刚才的过程得到…；一直重复下去，得到数列.记，且，，则下列说法正确的是（   ） A．（是自然对数的底数） B．数列是递增数列 C． D．数列的前项和 【答案】ABD 【详解】由，得，所以，故A正确； 由，得，所以， 所以在横坐标为的点处的切线方程为， 令，则， 因为 ， 所以，即， 所以是公比为2，首项为1的等比数列，数列是递增数列，故B正确； 所以，，故C错误； 所以， 得，故D正确. 故选：ABD. 10．（2025·云南昭通·模拟预测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿（1643～1727）在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．如图，在横坐标为的点处作图象的切线，该切线与轴的交点的横坐标为；在横坐标为的点处作图象的切线，该切线与轴的交点的横坐标为；一直继续下去，得到，它们越来越逼近的零点．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值可作为函数的一个零点．用“牛顿法”求方程的近似解，可以构造函数，若，则用牛顿法得到的近似值约为 ．（结果保留两位小数） 【答案】 【详解】由，，，， 所以在处的切线方程为：． 令，得， 可得，， 所以在处的切线方程为：， 令，得. 故答案为:． 11．（24-25高二下·北京东城·期中）牛顿和拉弗森在17世纪提出了“牛顿迭代法”，相比二分法可以更快速的给出近似值，至今仍在计算机等学科中被广泛应用．如图，设r是方程的根，选取作为r初始近似值．过点作曲线的切线，切线方程为当时，称与x轴的交点的横坐标为r的1次近似值；过点作曲线的切线，切线方程为当时，称与x轴的交点的横坐标为r的2次近似值；重复以上过程，得到r的近似值序列．这就是“牛顿迭代法”． （1）当时，r的次近似值与n次近似值的关系为： ． （2）若取作为r的初始近似值，根据牛顿迭代法，的2次近似值为 (用分数表示)． 【答案】 / 【详解】（1）由，令，解得，同理可得， 由此推理得的次近似值与的次近似值的关系式为； （2）设，是的正根，且， ， 当时，，， 故答案为：； 12．（2024·广东韶关·二模）记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，且数列满足. (1)求； (2)证明数列是等比数列并求； (3)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求t的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【详解】（1）因为，则，从而有， 由，则， 则，解得则有，所以； （2）由，则， 所以， 故（非零常数），且，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以； （3）由等比数列的前n项和公式得：， 因为不等式对任意的恒成立，又且单调递增， 所以对任意的恒成立，令，， 则，当时，，是减函数， 当时，，是增函数， 又，且，，，则， 当n为偶数时，原式化简为，所以当时，； 当n为奇数时，原式化简为，所以当时，，所以； 综上可知，. 13．（24-25高二下·广东珠海·阶段练习）在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而英国物理学家、数学家艾萨克•牛顿与德国哲学家、数学家戈特弗里德•莱布尼茨各自独立发明了微积分．其中牛顿在《流数法与无穷级数》（The Method of Fluxions and Inifinite Series）一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值．一直继续下去，得到．一般地，作点处曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值，称数列为牛顿数列． (1)已知函数的零点为，，求的2次近似值． (2)函数的两个零点分别为，，数列为函数的牛顿数列，若数列满足，，． （i）证明：； （ii）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在4项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的4项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）不存在，理由见解析 【详解】（1）函数，求导得， 则，而， 在处的切线方程为，即. 令，得，则， 在处的切线为，令，得， 所以的2次近似值为. （2）（i）因为，则， 可得， 过点作曲线的切线， 令，得， 则， 又因为是函数的两个零点，则， 且，则， 可得， 故数列为等比数列；则， 所以；           （ii）由（i）知，所以， 所以. 假设数列中存在4项（其中成等差数列）成等比数列， 则互不相等，所以， 即， 又因为成等差数列，所以，所以， 化简得，所以， 又，所以与已知矛盾. 同理，对进行类似推导，也会得出矛盾. 所以在数列中不存在4项成等比数列. 14．（24-25高二下·贵州黔南·期末）物理学家牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法—牛顿法，具体做法如下：先在轴找初始点，然后作在点处的切线，切线与轴交于点，再作在点处的切线，切线与轴交于点，再作在点处的切线，以此类推，直到求得满足精度的方程的近似解为止.已知函数，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为，继续牛顿法的操作得到. (1)求的单调区间； (2)设初始点为，按上述算法，求方程的一个近似根；（精确到0.01） (3)若对任意，恒成立，求整数的最大值. （参考值：） 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)3.39 (3)3 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 由，得；由，得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）设在点处的切线为：， 令，则， 由，则， 所以方程的一个近似根为3.39. （3）在处切线方程为， 令，得，， 不等式，令，求导得， 由（1）知，， 则存在，使得，即， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，， 则，整数的最大值为3， 所以整数的最大值为3. 15．（24-25高二下·广东广州·期末）牛顿法（Newton’s method）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为．如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值．重复以上过程，得的近似值序列：，，…，，根据已有精确度，当时，给出近似解．对于函数，已知． (1)若给定，求的二阶近似值； (2)函数． ①试写出函数的最小值与的关系式； ②证明：． 【答案】(1) (2)①，②证明见解析 【详解】（1）函数，求导得， 依题意，，当时，， 同理，而，所以； （2）①因为， 所以，令， 求导得，所以在上单调递增， 函数单调递增，， 由，得，且，则，， 所以， 当时，，当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得最小值， 即. ②由①知，， 令，求导得， 令，求导得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 而， 则当时，恒成立，即函数在上单调递增， 而，因此，所以. 16．（24-25高二下·广东广州·期末）牛顿（Isaac Newton，1643–1727）给出了求函数零点近似值的一种方法——牛顿切线法：如图，设r是的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，在点处作曲线的切线，与x轴的交点横坐标为，称为r的1次近似值；在点处作曲线的切线，与x轴的交点横坐标为，称为r的2次近似值.一般地，在点处作曲线的切线，与x轴的交点横坐标为，称为r的次近似值，称数列为牛顿数列. (1)若的零点为r，，试用牛顿切线法求r的2次近似值； (2)已知，数列为的牛顿数列. （ⅰ）设，且，求的解析式； （ⅱ）设数列满足，且，证明：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【详解】（1）因为，所以，时，，， 所以在处切线：，令，则得，所以， ，所以在处切线：，令，则得， 所以r的2次近似值为； （2）（ⅰ），所以，所以， 所以在横坐标为的点处的切线方程为：， 令，则，所以，所以. （ⅱ）因为，所以， 所以，因为，所以，所以，则， 所以数列为公比为2的等比数列，数列为公比为的等比数列， 令，则，当时，， 所以在上单调递减，所以，所以， 因为，所以，即， 所以. 17．（2025·四川成都·三模）牛顿法（Newton＇smethod）是牛顿在世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为.如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值.再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值.重复以上过程，得的近似值序列：、、、，根据已有精确度，当时，给出近似解.已知函数，其中. (1)当时，试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解；（取，且结果保留小数点后第二位） (2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，指利用曲线的切线或割线解决问题. （i）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，当时，比较与的大小； （ii）当时，若关于的方程的两个根分别为，证明：.（参考数据：，时，） 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）当时，令， 则， 曲线在处的切线为， 令，得，则. ，， 曲线在处的切线为， 令，得，则. 故用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解为. （2）（i）设点的坐标为，则， ，则 曲线在点处的切线方程为，即， 令，即，则. 因为在上单调递增， 所以在上单调递增. 又因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以对任意的正实数都有， 即当时，都有. （ii）证明：因为在上单调递增，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是在的极小值点，也是在的最小值点， 即. 又，所以当方程有两个根时， 必满足，且， 曲线过点和点的割线方程为. 下面证明：. 设， 则，令，得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，， 在上单调递增，， 所以当时，，即. 因为，所以，解得①. 曲线过点和点的割线方程为. 下面证明：. 设， 则，即在上单调递增， ，. 因为， 所以，即， 所以，即. 由零点存在性定理可知，存在，使得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，， 在上单调递增，， 所以当时，，即. 因为，所以，解得②. 由②①，得， 即证得. 考点三 拉格朗日中值定理 【知识点解析】 1.拉格朗日中值定理 若函数满足如下条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间上连续. 则在内至少存在一点，使得. 2.拉格朗日中值定理的几何意义 如图所示，在满足定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线 3.注意事项（逆命题不成立） 拉格朗日中值定理没有逆定理，即对曲线的任一切线，并不一定存在割线，使割线斜率等于切线斜率. 如在处的切线斜率为0，但不存在割线使割线斜率等于0. 4.拉格朗日公式的几种等价形式 (1)，. (2)，. (3)，. ※拉格朗日公式无论对于还是都成立，而则是介于和之间的某一常数.显然，当时， . 【例题分析】 1．（24-25高二下·北京东城·期中）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【详解】， 设是函数在上的“拉格朗日中值点”， 则， 即， 令，则求在上的零点个数， 时，，所以在上单调递增， 又，所以在上只有一个零点， 即函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为1， 故选：C. 2．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理:若函数在闭区间上是连续不断的，在开区间上都有导数，则在区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日中值”.函数在区间上的“拉格朗日中值”（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由题可知，结合“拉格朗日中值”的定义可得， 即，所以. 故选：A 3．（24-25高三下·云南丽江·阶段练习）法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中提出一个定理:如果函数 满足条件 ①在闭区间上是连续不断的，②在开区间上都有导数，那么在开区间上至少存在一个实数，使得，其中被称为拉格朗日中值.函数 在区间上的拉格朗日中值所在的区间为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知 , , , 则 , , 即 ， 由指数函数和一次函数的单调性可知： 在上单调递增， 又 , , 所以所在的区间为. 故选： 4．（24-25高二下·福建漳州·阶段练习）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】设函数在上的“拉格朗日中值点”为， 由题意可知， 即， ∴， 函数在的大致图像如下： ∵，所以与函数的图象有4个交点， 即方程存在4个解，即“拉格朗日中值点”的个数为4. 故选：D. 5．（2022·陕西宝鸡·模拟预测）法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数满足如下条件：（1）在闭区间上是连续不断的；（2）在区间上都有导数.则在区间上至少存在一个数ξ，使得，其中ξ称为拉格朗日中值.则在区间上的拉格朗日中值ξ= . 【答案】 【详解】，则由拉格朗日中值的定义可知，函数在区间上的拉格朗日中值满足， 所以， 所以，则 故答案为： 6．（24-25高三上·上海·期中）法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析几何函数论》中给出一个定理，如果函数满足条件：①在闭区间上是连续不断的；②在区间上都有导数.则在区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日”中值.函数在区间的“拉格朗日”中值 【答案】 【详解】由已知， 则，，， 则，， 即，， 故答案为：. 7．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）如果函数满足在闭区间上连续，在开区间上可导，那么在开区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日中值”．函数在上的“拉格朗日中值”为 ． 【答案】 【详解】设函数的“拉格朗日中值”为， 根据已知条件有：， 因为，，所以，， 根据题意有：，整理得：， 因为，所以. 故答案为： 8．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）约瑟夫·路易斯·拉格朗日是闻名世界的数学家，拉格朗日中值定理就是他发现的.定理如下：若函数满足如下条件： ①函数在区间上连续（函数图象没有间断）； ②函数在开区间内可导（导数存在）．则在区间内至少存在一点，使得成立，其中称为“拉格朗日中值点”． (1)求函数在上的“拉格朗日中值点”的个数； (2)对于任意的实数，，证明：； (3)已知函数在区间上满足拉格朗日中值定理的两个条件，当时，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）因为，， ，，所以在上的“拉格朗日中值点”的个数为. （2）设，有， 易知函数在上满足拉格朗日中值定理的两个条件， 当时，显然有， 当时，不妨设，由拉格朗日中值定理可知， 存在，使得， 有，又由，有， 可得， 由上知，不等式成立. （3）由，有， 又由，设， 有， 可得函数单调递增， 由拉格朗日中值定理可知，存在， 使得， 同理可知，存在， 使得， 又由和函数单调递增，有， 有， 由化简可得， 故不等式成立． 9．（24-25高二下·安徽合肥·期中）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在区间上的“拉格朗日中值点”．已知函数（，）是奇函数， (1)当时，求在区间上的“拉格朗日中值点”的个数； (2)已知，若在定义域内有三个不同的极值点，求实数的取值范围； (3)若在区间上有且只有一个“拉格朗日中值点”，求实数的取值范围． 参考数据：． 【答案】(1)2 (2) (3) 【详解】（1）因为函数是奇函数， 所以，即， 所以，所以． 所以当时，，所以， 由题意知即求方程在上的实根个数， 令，则， 所以当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增． 所以， 又，， 所以由函数零点存在定理知，，，使得，． 所以当时，在区间上的“拉格朗日中值点”的个数为2． （2）由题知，即，其定义域为， 则，． 令，得或， 设，则， 当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减， 又当时，；当时，，且， 所以的大致图象如图所示． 因为在定义域内有三个不同的极值点， 所以与有两个不同的交点，所以． （3）由（2）得，由， 令，则，，． ①若，则，所以单调递减， 因为在区间上有且只有一个“拉格朗日中值点”， 所以即解得． ②若，当时，，在上单调递增， 则即，解得； 当时，，在上单调递减， 则，即，解得． 当时，令得．当时，，所以单调递减， 当时，，所以单调递增， 所以， 令，则， 令，得， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则，即． 由题意知或，结合，解得或． 综上，若在区间上有且只有一个“拉格朗日中值点”， 则实数的取值范围为． 10．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数，. (1)当时，求函数在区间上的最小值； (2)若函数在区间上单调递减，求a的取值范围； (3)若函数的图象上存在两点，，且，使得，则称为“拉格朗日中值函数”，并称线段的中点为函数的一个“拉格朗日平均值点”.试判断函数是否为“拉格朗日中值函数”，若是，判断函数的“拉格朗日平均值点”的个数；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)当时，函数是 “拉格朗日中值函数”，且“拉格朗日平均值点”有无数个；当时，不是“拉格朗日中值函数”；理由见解析. 【详解】（1）由题意可知当时，，，且 所以，在区间上为增函数， 所以函数的最小值为 ； （2）由题意可得， 若函数在区间上单调递减，则在恒成立， 即在恒成立，只需即可， 又因为当时，所以. （3）假设函数是“拉格朗日中值函数”， 设，是上不同的两点，且， 由题意可得，， 则， 函数在拉格朗日平均值点处的切线斜率， 由整理可得， 当时，恒成立， 则函数是 “拉格朗日中值函数”，且“拉格朗日平均值点”有无数个； 当时，即， 令，上式化为，即， 令，则， 因为，所以恒成立，所以在上单调递增，恒成立， 所以在上不存在使得，即不存在这样的两点使得； 综上所述，当时，函数是 “拉格朗日中值函数”，且“拉格朗日平均值点”有无数个；当时，不是“拉格朗日中值函数”. 11．（2025·山东·模拟预测）“拉格朗日中值定理”是法国数学家拉格朗日在其著作《解析函数论》中给出的，其内容为若函数满足如下条件：①在区间上的图象是连续的；②在区间上可导，则在区间上至少存在一个实数，使得成立．已知函数． (1)，且，若恒成立，求的取值范围； (2)当时，是否存在区间，使？若存在，写出证明过程；若不存在，说明理由； (3)当时，设的两个极值点为，，且，证明：． 【答案】(1) (2)存在，证明过程见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由题意，对于任意，有，等价于. 根据拉格朗日中值定理，存在使得. 因此，要求对所有成立. 整理得. 设函数，则. 在内，单调递增，在内，单调递减. . 故； （2）当时，函数. 验证是否存在区间（）使得. 方法一：不等式等价于. 由拉格朗日中值定理，可知存在，使得， 因此只需保证，这只需要在区间上单调递增， 由于函数，在时大于零， 所以的单调递增区间为， 所以只需要即可，因此存在这样的区间. 方法二：等价于函数在区间上为凹函数. 当（即）时，，在为凸函数；当时，， 为凹函数. 在凹区间（如）取，则； 在凸区间（如）取，则. 因此存在这样的区间. （3）由于，设，， 令得. 时，（单调递减）；时，（单调递增）. 因此，在处取得极小值： 由于，且，所以. 又因为和， 所以有两个解和，. 因为，所以. 由和，相减得：①， 需要证明，即：， 设，需证明②. 由①得：，， 所以③， 设，令， ，在时，单调递增，所以，，所以单调递增，所以， 所以对于恒成立， 所以结合③可得， 整理得：， 于是结合待证式子②，可知只要证明，即， 构造函数，只需证明在的条件下成立. 令， 对于恒成立， 所以即在上单调递增， ，所以 所以单调递减， 又因为，所以时成立. 至此证明完毕. 12．（24-25高三上·江西鹰潭·阶段练习）法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下:如果函数满足如下条件：①在闭区间上的图象是连续的；②在开区间上可导，则在开区间上至少存在一个实数，使得成立，人们称此定理为“拉格朗日中值定理”. (1)已知且， （i）若恒成立，求实数的取值范围； （ii）当时，求证：. (2)已知函数有两个零点，记作，若，证明： 【答案】(1)（i）；（ii）证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）（i）解：法一：由，且化简得，即， 令，可知在上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立， 令，显然在上单调递减， 所以，即，故实数的取值范围为. 法二：由拉格朗日中值定理可知，，使得， 故问题转化为恒成立. 又，则恒成立，即恒成立， 因为， 故令，显然在上单调递减， 所以，所以，故实数的取值范围为. （ii）证明：要证，即证， 即证， 又， 由拉格朗日中值定理可知，存在， ， . 由题意知，当时，在上单调递增， 则，故， 即，所以命题得证. （2）函数有两个零点，即方程有两个根，即方程有2个根. 令， 所以在上单调递增，且，即方程有2个根，且这两根即为方程的根， 所以，则，则由，得， 所以，则， 要证，即证， 又，令， 令， 又，所以，故在上单调递增， 所以， 所以，故在上单调递减，所以， 即， 即，所以不等式得证. 考点四 行列式与矩阵 【知识点解析】 1.矩阵的概念 (1)矩阵：矩形数表； 叫做行列矩阵，简记为阶矩阵 (2)矩阵的元素：矩阵中的每一个数； (3)系数矩阵：由方程组的系数组成的矩阵； 增广矩阵：由方程组的系数和常数项组成的矩阵； 已知方程组，则它的系数矩阵为；增广矩阵为. (4)方阵：行数和列数相等的矩阵；（若一个方阵有行（列），那么该方阵叫做阶方矩阵）； (5)行向量：矩阵的每一行构成的一组数表； 列向量：矩阵的每一列构成的一组数表； 若矩阵，则矩阵的行向量为，；列向量为，，. (6)单位矩阵：对角线元素为1，其余元素均为0的方阵. 2.矩阵的运算 矩阵的运算条件： ①矩阵相等的条件为行数和列数分别相等，对应元素相等； ②矩阵相加（减）的条件为两矩阵的行数和列数分别相等； ③矩阵相乘的条件为第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数. (1)矩阵的加法 ①矩阵的和（差）：当两个矩阵的维数相同时，将它们各位置上的元素加（减）所得到的矩阵称为矩阵的和（差）,记作： ②运算律:加法运算律：；加法结合律： (2)数乘矩阵 ①矩阵与实数的积 设为任意实数，把矩阵的所有元素与相乘得到的矩阵叫做矩阵与实数的乘积矩阵.记作： ②运算律：（为实数） 分配律： ； 结合律： (3)矩阵的乘积 ①矩阵的乘积： 一般，设是阶矩阵，是阶矩阵，设为矩阵，如果矩阵中第行第列元素是矩阵第个行向量与矩阵的第个列向量的数量积，那么矩阵叫做与的乘积.记作：. ②运算律 分配律：， 结合律：， 注：交换律不成立，即 (4)矩阵变换 在解方程组的过程中，方程组逐步会发生变化，相应的矩形数表也发生变化，因此，由方程组的变化，可理解矩阵的变换规则： ①互换矩阵的两行； ②把某一行同乘（除）以一个非零的数； ③某一行乘以一个非零的数，再加到另一行. 矩阵变换的意义：使方程组的系数矩阵变为单位矩阵的过程，就是解方程的过程. 当系数矩阵变为单位矩阵，该方程组的增广矩阵的最后一个列向量就是方程组的解. 2.二阶行列式的有关概念及求二元一次方程组的解法： (1)二阶行列式 叫做二阶行列式，展开式为，这种方法称为对角线法则，其计算的结果叫做行列式的值，叫做行列式的元素。 (2)设二元一次方程组（*） （其中是未知数，是未知数的系数且不全为零，是常数项．） 用加减消元法解方程组（*）: 当时，方程组（*）有唯一解：， 引入记号 表示算式，即 ． 从而引出行列式的相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行列式的元素、对角线法则等． 记 ， ， ， ①则当 =时，方程组（*）有唯一解， 可用二阶行列式表示为． ②当D=0时, 无穷组解； ③当D=0时, 无解。 系数行列式也为二元一次方程组解的判别式。 3.三阶行列式 (1)三阶行列式的展开方法： ①对角线方式展开  = ②按某一行(或列)展开法 = =-+ 记 ，， ，， ， 。 称为元素的余子式，即将元素所在的第一行、第列划去后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式（类似可以定义其它元素的余子式）；称为元素的代数余子式，（。 则三阶行列式就可以写成= =, 这就是说，一个三阶行列式可以表示为它的第一行的元素分别与它们的代数余子式乘积的和。上式称为三阶行列式按第一行展开的展开式。类似地，若将按别的行或列的元素整理，同样可得行列式按任一行(列)展开式。 【注意余子式与代数余子式的区别及代数余子式的符号判别方法】 【例题分析】 1．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）定义矩阵运算，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得：． 故选：B. 2．（2025·河南·三模）定义行列式，已知函数，若在区间上，始终存在两个不相等的实数，，满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题中所给定义可知， ， 当时，， 所以，所以， 当时，，， 所以，解得； 当时，，，， 所以，解得， 综上，a的取值范围是． 故选：C. 3．（24-25高三下·广东·阶段练习·多选）定义行列式，若函数，则下列表述正确的是（    ） A．的图像关于点中心对称 B．的图像关于轴对称 C．在区间上单调递增 D．最小正周期为 【答案】CD 【详解】由题意 ， 对于A，将点 代入 解析式得： ，所以 不是中心对称点，错误； 对于B，令 ，则 ，所以y轴不是对称轴，错误； 对于C， 时， ，根据 的性质知 是增函数，正确； 对于D，由 的解析式知 ，正确； 故选：. 4．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习·多选）定义行列式，若函数，则下列表述正确的是（    ） A．的图象关于点中心对称 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．的最小正周期为 【答案】CD 【详解】由题中所给定义可知 ， 对于选项A，令，可得，所以的图象关于点中心对称，故A错误； 对于选项B，当时，，故B错误； 对于选项C，时，，又正弦函数在上单调递增，函数在上单调递增，在区间上单调递增， C正确； 对于选项D，函数的最小正周期，故D正确， 故选：CD 5．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）定义行列式．若函数在上恰有3个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意得 ． 由，得．由， 得，因为恰有三个零点， 则，解得． 故答案为：. 6．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）“矩阵”是在研究线性方程组的解法中引出来的概念，在实际问题中应用非常广泛．一个由1行3列数表构成的矩阵记为，由3行3列数表构成的矩阵记为，由3行1列数表构成的矩阵记为．已知矩阵乘是一个矩阵，矩阵乘是一个数．设则 ；若是上的单调函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】 则 ； 若是上的单调递增函数， 则在上恒成立， 由于在上不恒成立，所以无解； 若是上的单调递减函数， 则在上恒成立， 可得，解得. 故答案为：①；②. 7．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用.将形如的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：，设函数. (1)求的对称轴方程及单调递增区间； (2)在锐角中，已知，求和. 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1） ， 由，得， 所以的对称轴为. 由，所以单调递增区间为； （2）由（1）知，，则， 由，得，则，解得， 因为中，，则B为锐角， 所以， 因为，所以， 所以， 设，则， 在和中，由正弦定理得， 因为，所以， 所以，上面两个等式相除可得， 得，即， 所以. 8．（24-25高三上·广东·开学考试）已知二阶行列式，三阶行列式，其中分别为的余子式（某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式）． (1)计算． (2)设函数． ①若的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0，求； ②若且，函数，证明：． 【答案】(1)18 (2)① ；②证明见解析 【详解】（1）原式 ． （2） ．             （i）． 当或时，；当时，．                 所以在和上是增函数，在上是减函数， 所以的极大值点为，极小值点为1．                 因为的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0， 所以，                     则公差，所以，                    所以．                 （ii）因为， 所以在上无零点，在上存在唯一零点，且．                 令， 则， 当时，单调递增；当时，单调递减．                 所以，                     而，所以．                     令，则． 因为在上单调递诚， 所以当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增，                 所以， 而，所以．                 综上，． 9．（2024·广东·一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量，其模定义为.类似地，对于行列的矩阵，其模可由向量模拓展为（其中为矩阵中第行第列的数，为求和符号），记作，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵，其矩阵模.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用. (1)，，矩阵，求使的的最小值. (2)，，，矩阵求. (3)矩阵，证明：，，. 【答案】(1)10 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意得. 若，则，即. 因式分解得.因为，所以. 所以使的的最小值是10. （2）由题得第1对角线上的平方和为， 第2对角线上的平方和为 ， 第对角线上的平方和为 ， 第对角线上的平方和为， 所以 所以. （3）由题意知，证明 等价于证明， 注意到左侧求和式， 将右侧含有的表达式表示为求和式有 故只需证成立， 即证成立，令， 则需证成立， 记，则在上恒成立，所以在上单调递增， 所以， 所以在上恒成立，即成立， 所以原不等式成立. 10．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）数阵，又称矩阵，是数学中的一个重要概念，它是一种特殊的数组，由数字或符号按照特定的规则排列而成.数阵的元素按照一定的顺序排列，通常用矩阵的行和列来表示.将阶数阵记作（其中）.已知，且满足， (1)求和的值； (2)求的表达式； (3)是否存在，使得，，成等比数列，如存在，请求出，如不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2) (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）在中令， 得； 在中令得，， 在中令得，， 则. （2）在中令，得， 则，，，，， 由累加可得， 又时，符合上式，故； 在中令，得， 则，，，，， 由累加可得 ， 又满足上式， 故 （3）由（2）知，则， 若为等比数列， 则为等差数列， 设， 则，即， 若满足题意，则有四个整数解， 设， 则 注意最多只有两个零点， 则此时最多只有三段单调区间，至多有三个零点， 故不可能有四个解， 综上所述，不存在使得成等比数列，证毕. 2 学科网（北京）股份有限公司 $