2.4圆周角复习讲义2025-2026学年苏科版九年级数学上册

教学内容 圆周角的复习 教学目标 1、掌握和灵活运用垂径定理及其推论； 2、 掌握弧、弦、圆心角与圆周角之间的关系； 3、掌握和灵活运用圆心角、圆周角定理及其推论． 教学重难点 1、掌握和灵活运用垂径定理及其推论； 2、掌握弧、弦、圆心角与圆周角之间的关系； 3、掌握和灵活运用圆心角、圆周角定理及其推论． 教学内容 归纳 1：垂径定理及其推论 基础知识归纳： 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 基本方法归纳：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 注意问题归纳：这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 归纳 2：弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 基础知识归纳： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 基本方法归纳：正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等． 注意问题归纳：这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． 归纳 3：圆周角定理 基础知识归纳： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 基本方法归纳：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． 注意问题归纳：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 【例1】如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【巩固】如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【例2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为（　　） 　 A． 30° B． 40° C． 50° D． 80° 【例3】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，CD⊥AB，若∠DAB=65°，则∠BOC= （ ） A．25° B．50° C.130° D.155° 【巩固】如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，求AC的长. 【例4】如图，点A、B、C在⊙O上，∠C＝150°，求∠AOB． 【例5】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB=6， ∠DCB=30°，求弦BD的长． 【例6】AB是⊙O直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=600，∠ADC=500，求∠CEB的度数． 【例7】如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点(不与点A、B重合)，延长BD到点C，使DC=BD，求证BD (︵)=DE (︵) 【例8】已知BC为半圆O的直径，AB=AF，AC交BF于点M，过A点作AD⊥BC于D，交BF于E，则AE与BE的大小有什么关系？为什么？ 【例9】如图，等边三角形ABC内接于⊙O，P是BC (︵)上的任意一点．求证：PA＝PB＋PC． 1．如图，用直角三角板经过两次画图找到圆形工件的圆心，这种方法应用的道理是（ ） A．垂径定理 B．勾股定理 C．直径所对的圆周角是直角 D．900的圆周角所对的弦是直径 2．如图，点A，B，C在⊙O上，已知∠ABC=130°，则∠AOC=（ ） A．100° B．110° C．120° D．130° 第1题 第2题 第3题 3．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（ ） A．22 B．24 C． D． 4．如图，已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，连结OC、AD，∠OCD=32°，则∠A=（ ） A． B． C． D． 5．如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连结AC、AD，若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数为（ ） A、35° B、45° C、55° D、65° 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题 6．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（ ） A、8 B、4 C、10 D、5 7．如图PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，若∠P=40°，∠ABP=____________°． 8．在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，，M是AB上一动点，CM＋DM的最小值是 cm． 9．已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在AB上． （1）在图1中，用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D（保留作图痕迹，不写作法与证明）； （2）如图2，设∠BAC的平分线AD交BC于E，⊙O半径为5，AC=4，连接OD交BC于F． ①求证：OD⊥BC；②求EF的长． 10．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE． （1）求证：∠A=∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形． 1．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（　　） 　 A． 20° B． 30° C． 40° D． 70° 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 2．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，∠BOD=48°，则∠BAC的大小是 （　　） A．60° B．48° C．30° D．24° 3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=70°，则∠C的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 4．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（　　） A．25° B．50° C．60° D．30° 5．如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为（　　） A．80° B．100° C．110° D．130° 6．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 7．点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（　　） A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100° 8．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（　　） A．80° B．160° C．100° D．80°或100° 9．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（　　） A．80° B．90° C．100° D．无法确定 10．⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角△ABC内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 第9题 第11题 第12题 第13题 11．如图，在⊙O中，，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（　　） A．50° B．40° C．30° D．25° 12．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（　　） A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150° 13．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=6，AD=5，则AE的长为（　　） A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2 14．如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD=13cm，AB=24cm，则CD= cm． 15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则∠ABC的大小为 度． 16．已知△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，则∠A的度数是 ． 17．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为 ． 第14题 第15题 第17题 第18题 18．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为 ． 19．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为 ． 20．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则cosD= ． 第19题 第20题 第21题 第22题 21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB=，则线段AC的长为 ． 22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为的中点．若∠A=40°，则∠B= 度． 23．如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是 ． 第23题 第24题 第25题 24.如图，点O为所在圆的圆心，∠BOC=112°，点D在BA的延长线上，AD=AC，则∠D= ． 25．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是 ． 26．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O于D、C两点． （1）求证：PA•PB=PD•PC；（2）若PA=，AB=，PD=DC+2，求点O到PC的距离． 27．在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ． （1） 如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值． ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $