1.2利用空间向量求夹角专题讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

1、【答案】(1)见解析；(2)-7 81 【解析】(1)连接AB,,四边形ABBA为菱形，.AB⊥AB· ,平面ABBA⊥平面ABCD,平面ABB,BA,平面ABCD=AB,BCC平面ABCD, AB⊥BC, ∴.BC⊥平面ABBA·又ABc平面ABBA,.AB⊥BC. :BC∥B,C1,.A4B⊥BC·:B,C1∩AB1=B,.AB⊥平面AB,C1· E,F分别为AC,BC的中点，EF∥AB,∴.EF⊥平面AB,C· (2)设B,C1=Q,由(1)得B,C⊥平面ABB4, 由∠AAB=60°，BA=2,得AB=2√3，AC1=V12+a2. 过点C作C,M⊥DC,与DC的延长线交于点M,取AB的中点H,连接AH,AM, 如图所示， 又∠AAB=60°，.△ABA为等边三角形，.AH⊥AB, 又平面ABBA⊥平面ABCD,平面ABB,A∩平面ABCD=AB,AHc平面ABBA, 故AH⊥平面ABCD. BCCB,为平行四边形，∴.CC∥BB,∴.CC∥平面AABB· 又，CD∥AB,.CD∥平面AABB· :CCCD=C,∴.平面AABB,∥平面DC1M. 由(1)，得BC⊥平面AABB,∴.BC⊥平面DCM,.BC⊥CM· ,BCDC=C,.CM⊥平面ABCD,.∠CAM是AC与平面ABCD所成角. :AB∥AB,CB∥CB,∴AB∥平面ABCD,BC∥平面ABCD,:AB1CB,=B, .平面ABCD∥平面AB,C· AH=CM=3,sinCAM -MC= 35 4C12+25，解得a=V5 在梯形ABCD中，易证DE⊥AB, 分别以HA,HD,HA的正方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系. 则A1,0,0)，D(0,5,0,A(0,0,5,B(-2,0,),B(-1,0,0),C(-1,5,0, 由BB=(-1,0,3),及BB=CC,得C(-2,V5,V3, ·AC=（-3,5,5,AD=（-1,5,0),A4=(-1,0,5) 设平面ADC的一个法向量为m=(x,片，)，由 m4G=0存3+n+5a=0， m·AD=0-x+V3y=0 令=1，得m=(3,1,2 设平面44C的一个法向量为n=(5,,小，由m:1G=0符 -3x2+V3y2+V3z2=0 n:A4=0-x2+V52=0 3+2+2 7 7 =1，待nV3.2.osm.mmm3++4x3+4+8x87 叉：二面角4-4G-D是钝角，二面角A-4C-D的余弦值是-？ 8 2【答案】(1)见解析：(2)5-1」 2 【解析】(1)△ABD中，由余弦定理，可得BD=1..BD2+AD2=AB2, .LADB=90°，.∠DBC=90°.作DF⊥A'B于点F, ,平面A'BC⊥平面A'BD,平面A'BC平面A'BD=A'B,∴.DF⊥平面A'BC. ,CBC平面A'BC,.DF⊥BC. 又.CB⊥BD,BDDF=D,.CB⊥平面A'DB. 又，A'Dc平面A'DB,.CB⊥A'D. 又A'D⊥BD,BDCB=B,∴.A'D⊥平面BCD. (2)由(1)知DA,DB,DA'两两垂直，以D为原点，以DA方向为x轴正方向建立如 图所示空间直角坐标系D-yz, 则B(0,1,0),C(-√51,0，A(0,0,3.设M(xy,z), x=-V3 则由A'M=2A'C→{y=入 →M-5,,5-√3)， 2-5=-V3 设平面MDB的一个法向量为m=(a,b,c, m·DB=0 b=0 则由 → m·DM=0 1-5a+b+W5-V3)c=0' 取a=1-元→c=元→m=(1-元，0,2).平面CBD的一个法向量可取DA=(0,0,V5, 小o…om时5a-可 2 ·0,元=5-1 2 3、【答案】1见解所：2)西，3)号 【解析】(1)在正方形ABCD中，P为CD中点，PD⊥AD,PC⊥BC, .在三棱锥P-OAB中，P0⊥OA,P0⊥OB. .0A0B=0,.P0⊥平面0AB. :ABc平面OAB,∴.P0⊥AB. B (2)取AB中点F,连接OF,取AO中点M,连接BM. 过点0作AB的平行线0G. ,P0⊥平面0AB,.P010F,P010G. 0A=0B,F为AB的中点，.0F⊥AB..0F⊥0G. 如图所示，建立空间直角坐标系O-z· 45.o,B-15.o),p4o0,1,Mg50 (22,0 ,B0=BA,M为OA的中点，∴.BM⊥OA. ,P0⊥平面0AB,P0c平面P0A,∴.平面P0A⊥平面0AB. 平面P0A平面0AB=0A,BMc平面OAB, ∴.BM⊥平面POA.,BM= 3V3。 3 ∴.平面P0A的法向量m=(V5,-1,0.BP=(1,-V3,. 直线BP与平面P0A所成角为a,则sina=cos(m,BP》=m·B即-正 mBP 5 ·直线BP与平面P0A所成角的正弦值为 5 o由a,r个90服-号停引a-s叫 设平面0AE的法向量为n,则有 01-n=0即x+5y=0 OE.n=0-x+3y+z=0 令=-1则1=5.25.a-5-2.o加-0h点4 由题知二面角P-40-E为锐角，它的大小为兮 下笔如有神 1、【答案】C 【解析】设AC的中点0，以OB,OC,OE为x,y,z轴建立坐标系， 则n-5}c号小 Ox5a-axa+axa 设AD与CE成的角为0，则cos0= 24222 5’故选C. 1 4V4+a2 2【答案】D 【解析】如图，建立空间直角坐标系，易求点D 平面AcC的-法提ELo.0，os宝a,0号。Sna6 4 ,故选 0 3【答案】B 【解析】取AB中点E,以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OC为z轴，建立空间直角 坐标系， 如图所示， :圆锥的底面直径AB=2,高OC=√2，D为底面圆周上的一点，∠A0D=120°， 可得40，-1.0，B01,0)，c00,,D510】 D220 则AD= 2208c=(0,-12), AD·BC 设空间两条直线AD与BC所成的角为0，.cos0= 2 1 AD BC 3x52, ∴.0=60°，即直线AD与BC所成的角为60°，故选B. 4【答案】D 【解析】由题可知0(0,0,0)，P(0,0,2）,B(1,2,0,C(-1,2,0), 则0P=(0,0,2,0C=(-1,2,0), :M是Pc的巾点.M（,M=(- 设平面PC0的法向量n=(x,y,z,直线BM与平面PC0所成角为0， 则n.0P=2z=0 可取n=2,10),sim9=os(BM,n=i BM·n 4=8v85 n.0C=-x+2y=0 85 ,故选D. M D 0 5、【答案】A 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0),E(0,2,1),G1,0,2),F(x,0,0),D(0y,0), A D 则GD=(-1,y,-2),EF=(x,-2,-1, 由于GD⊥EF,GD.EF=-x-2y+2=0,∴.x=2y-2, 故1DF=F+=2-2+y-5n2-8+4=50-+ :当y=4时，线段DF长度取得最小值，且最小值为5.故选A, 5 6【答案】C 【解析】由题意可知，平面AB0的一个法向量为：OC=(0,0,2), 由空间向量的结论可得cos0= OC.n 4 2 0cm2-3=3 故选C. 7【答案】C 【解析】如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系O-z, 则4a10,p00分 E(0,1,k), 取AB的中点M,则M 53 ,0 则平面ABE的一个法向量为CM= 44 由题意sina= CE.CM √5 CE.CM 2V1+2 又由u∈ ππ] 64 二兰，停4的. 当k=√2时，设平面BDE的法向量为n=(x,y,z, 则 n-DE-y- 220 N2E=3土子少大② -x+ z=0 2 2 取n=(-V5,-1,V2),由平面ABC的法向量为m=(0,0,1), 设平面BDE和平面ABC所成的角为6， 则0物-So05 ，.tan02,故选C 8、【答案】B 【解析】如图，设A在平面ABC内的射影为0，以O为坐标原点，OA、OA分别为x轴、 z轴建立空间直角坐标系如图. 设△ABC边长为1，则A 516) 5V31V6 .AB1= 623 又平面ABC的法向量为n=(0,0,1). 设AB,与底面4BC所成角为a,则sina=os(4B,nF B川V2 故直线B,与底面A8C所成角的正弦值为Y5 故选B. 9、【答案】B 【解析】以B为坐标原点，以BC、BA、BP所在直线为x、y、z轴， 建立空间直角坐标系， 则B(0,0,0)，A0,3,0),P0,0,3),D3,3,0),E(0,2,1,.BE=(0,2,1,BD=(3,3,0) 设平面8ED的一个法向量为n=(x八列，则nBE=2y+z=0 n·BD=3x+3y=0 取：=1，等行，平面49E的法向量为m-1a0, 1 :c0sa,m)=2=6.平面4BE与平面BED的夹角的余弦值为6.故选B, 2 16 √6 6 10、【答案】C 【解析】分别以DA,DC,DD为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系： D B D c5 x 设正方体的棱长为1，可得D(0,0,0),B(1,1,0),C(0,1,1，A(1,0,1, ∴.BC1=（-1,0,1,AD=（-1,0,-1,BD=（-1,-1,0), 设m=(x,是平面4BD的一个法向量，：m4D=0,即+z=0 n·BD=0 x+y=01 取x=1,得y=z=-1,.平面ABD的一个法向量为n=(1,-1,-1), 设直线BC,与平面ABD所成角为0，∴.sin0=cos(BC,n= BC:n=-2_-6 六c0s9=看一n有-9，即宜线G与平面4BD所成角的杂这值 3 3 .故选C. 11、【答案】A 【解析】取BD中点O,连结A0,CO, AB=BD=DA=2.BC=CD=V2,.C0⊥BD,A0⊥BD,且C0=1,AO=V3, .∠A0C是二面角A-BD-C的平面角， 以0为原点，0C为x轴，0D为y轴， 过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， B(0,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),利用空间向量求夹角 1.利用面面垂直建系 ABBA⊥ ABCD ABBA 例1：在如图所示的多面体中，平面 平面 ,四边形 为边长为2的菱 形， ABCD BCC B ABI∥CDAB⊥BCCD=1 为直角梯形，四边形 为平行四边形，且 E F AC BC EF⊥ AB C (1)若，分别为，的中点，求证： 平面 5 ∠AAB=60°AC ABCD 5 A-AC-D (2)若 与平面 所成角的正弦值为，求二面角 的 余弦值. 【答案】(1)见解析；(2)8 AB ABB A AB⊥AB 【解析】(1)连接，四边形 为菱形， ABB,A⊥ABCD ABB,BA∩ABCD=AB BC ABCD 平面 平面 ,平面 平面 平面 AB⊥BC, :BCL平面1BA4又4 BBB4,4B⊥BC 平面 .又 平面 ,BC∥B,C,AB⊥BC,…BG∩AB=B,AB⊥ABC 平面 :E,F分别为ACG,BC的中点，EFIAB,EF⊥平面AB,C. (2)设BC=a,由(1)得BG1平面ABB4, 由418=60，B1=2,得8=25.4G=2+0 CCM⊥DC DC 过点作 H AH AM ,与 的延长线交于点M,取1B的中点H,连接4H, 如图所示， ∠AAB=60°△ABA AH⊥AB 为等边三角形，. ABBA⊥ ABCD ABBA ABCD=AB AH ABBA 又平面 平面 ,平面 平面 平面 AH⊥ ABCD 故 平面 BCC B CC∥BB1CC∥AABB, 为平行四边形，∴. 平面 又：CD//AB,.CD∥平面A4BB CC∩CD=C AABB,∥DC,M ，∴平面 平面 BC⊥AABB,BC⊥DC,MBC⊥CM 由(1)，得 平面 平面 BCODC-C CML ABCD ZCAM AC ABCD 平面 是与平面 所成角. :48MB.CB1CB.48/ ABCD E,C∥ABCD AB,∩CB,=B, 平面 平面 ABCD∥_ABC .平面 ”平面 ..AH-GM=3 sin<C AM -MC= AC1V12+a25 ’解得5 在梯形ABCD中，易证DE⊥AB, 分别以，而，H4的正方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系. 则4La,0,D15.0.4aA-20B-100c-15.o 丽-10，及照=G,2 AC=-3,5,5)AD=-1v3,0A4=-10,V5 m·AC=0 [-3x+V5%+5z1=0 设平面10C的一个法向量为m=(,,由mD=0 得+V3=0 令片=1m=(3,12 ,得 n·AC=0 -3x2+V5y2+V522=0 设平面4G的一个法向量为”=(，少，)， 由(m:AA=0 得为+V52=0 令=1n=6.2。 3+2+2 7 cos(mt.m西3+14x3+48x区 ,得 7 又：二面角4-AC-D是钝角，二面角4-AC-D的余弦值是8. 2.线段上的动点问题 ABCD 例2：如图，在 电，A=30,D=5,B=2,沿BD将△A6D 中， 翻折到 △ABD的位置， 使平面A'BC⊥平面A'BD」 (1)求证：AD⊥平面BCD: A'C M A'M=AA'C M-BD-C 60° (2)若在线段上有一点”满足 ,且二面角 的大小为 求九的值. B √5-1 2 【答案】(1)见解析：(2) 中，由余弦定理，可得BD=1.BD2+AD=AB △ABD 【解析】(1) .∠ADB=90°，·.∠DBC=90°.作DF⊥A'B于点F, :平面A'BC⊥平面ABD,平面ABC∩平面A'BD=A'B,.DF⊥平面ABC. :CBC平面ABC,DF⊥BC. 又：CB⊥BD,BD∩DF=D,CB⊥平面ADB. 又A'DC平面A'DB,.CB⊥A'D 又A'D⊥BD,BD∩CB=B,.A'D⊥平面BCD (2)由(1)知DA,DB,DA'两两垂直，以D为原点，以DA方向为x轴正方向建立如 图所示空间直角坐标系D-2, 则B0L0, d5.04o0同.设x x=-V5 A'M=入AC→{y=2 z-5=-V5→M-5,,W5-V3 则由 设平面MDB的一个法向量为 =(a,b,c) mDB=0 [b=0 则由(m·DM=0 -5a+b+5-5)e=0 取4=1-入宁C=→m=1-20,刘.平面C8D的-个法向量可取 A=0,0,V3 ar-片a示 √31 2 =5-1 2 3.翻折类问题 例3：如图1，在边长为2的正方形ABCD中，P为CD中点，分别将△PAD,△PBC沿 PA,PB所在直线折叠，使点C与点D重合于点O,如图2.在三棱锥P-OAB中，E为 PB中点。 (1)求证：PO⊥AB, (2)求直线BP与平面POA所成角的正弦值： (3)求二面角P-AO-E的大小 图1 图2 V15 5 3 【答案】(1)见解析；(2)；(3) 【解析】(1)在正方形ABCD中，P为CD中点，PD⊥AD,PC⊥BC, ∴.在三棱锥P-OAB中，PO⊥OA,PO⊥OB, :OA∩OB=O,.PO⊥平面OAB. ABC平面OAB,.PO⊥AB. B (2)取AB中点F,连接OF,取AO中点M,连接BM. 过点0作AB的平行线OG PO⊥平面OAB,.PO⊥OF,PO⊥OG. OA=OB,F为AB的中点，∴.OF⊥AB.OF⊥OG. 0-xyz 如图所示，建立空间直角坐标系 G 4a则.L,Han.如9 :BO=BA,M为OA的中点，.BM⊥OA :PO⊥平面OAB,POC平面POA,.平面POA⊥平面OAB. :平面POA∩平面OAB=OA,BMc平面OAB, BM=35。 :BM上平面PO1. 22,0 ∴平面P01的法向经"5-10.原=LV5.1 sina-cosm. m.BP 15 m BP 5 设直线BP与平面POA所成角为a,则 5 BP POA 5 “直线°与平面“所成角的正弦值为 131 (3)由(2)知(222 0= 222 oA=1,v5,0l 0A.n=0 x+v3y=0 设平面01E的法向量为”，则有 OE.n=0 即-x+V5y+2=0 令=-1，则=5=25I=5,-12w a时网24} ,则 .即 由题知二面角P-A0-E为锐角，“它的大小为3. 对点增分集训 一、单选题 ABC-ABC D E BB AC 1.如图，在所有棱长均为的直三棱柱 中， ，分别为， 的中点， 则异面直线AD,CE所成角的余弦值为() E B D A C 1 3 4 2 5 5 A. B. C D. 【答案】C 00丽0c,死为，’，2 【解折】设1C的中点0，以0 轴建立坐标系， E0,0,a c-g 大3aa+ -a- cos0 2 222 32 5 +a2 设AD与CE成的角为日，则 44V4 ,故选C. ABC-ABC AA,⊥ 2.在三棱柱 ABC 中，底面是边长为1的正三角形，侧棱 底面 BB 在棱上， 且BD=,若MD AACC sina 与平面 所成的角为，则的值是() 5 √2 v10 6 4 A. B. C. D. 【答案】D V31 【解析】如图，建立空间宜角坐标系。易求点2 D 3 平面A4CC的一个法向量是n=(L,0,0),·c0s=B,AD)=2=V6 √6 =24,则 ina 4.故 选D. AB=2OC=2 D ∠AOD=120° 3.如图，圆锥的底面直径 ,高 为底面圆周上的一点， 则空间中两条直线AD与BC所成的角为() A D A.30° B.60° C.75° D.90° 【答案】B 【解析】取AB中点E,以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OC为z轴，建立空间直 角坐标系， 如图所示， :圆锥的底面直径AB=2,高OC=V2,D为底面圆周上的一点，∠A0D=120°， 1 .可得 0-1o,801o,c00aDz'20 AD= 33。 BC=0,-1,2) 则 3 AD.BC 2 cos0= 1 设空间两条直线4D与BC所成的角为°，： 0 AD·BC 3x52 .0=60°，即直线AD与BC所成的角为60°，故选B. P-ABCD ABCD PA=PD=5 4.已知四棱锥 的底面 是边长为2的正方形， ,平面 ABCD⊥平面PAD,M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的 正弦值是() B 5 25 v85 8v85 5 5 85 85 A. B. C. D. 【答案】D 00,0,0)P(0,0,2)B(1,2,0)C-1,2,0) 【解析】由题可知 0P=(0,0,2)0C=-1,2,0 则 M是PC的中点， (am-(- 设平面PCO的法向量”=(xy2),直线BM与平面PCO所成角为0， n.0p=2z=0 n.0C=-x+2y=0n=(2,l,0) 可取 sine=cos(BM,n)= BM .n 48/85 网啊s对 ，故选D.