3.1.1 函数的概念课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件围绕函数概念的形成与应用展开，从现实情境中的变量关系入手，通过列车路程、工资计算等具体问题引导学生抽象出函数的本质特征，逐步构建定义域、对应关系、值域三要素的认知框架，为后续函数性质研究奠定坚实基础。 其亮点在于深度融合数学核心素养，以“数学眼光”观察现实世界，如用“天宫二号距离与时间”等真实案例揭示数量关系；以“数学思维”推导函数相等条件，如对比S=350t与w=350d明确函数需三要素一致；以“数学语言”表达抽象规律，如用集合符号规范定义域和值域。教学中注重问题驱动与思维进阶，帮助学生建立结构化知识体系，提升建模能力与逻辑推理水平，既利于学生深度理解函数本质，也便于教师精准把握教学重难点，实现教与学的双向优化。

高中《数学》必修第一册 2025 人教A版 第三章 函数的概念与性质 3.1.1 函数的概念（一） 《数学》 第三章　函数的概念与性质 学校名称 2025 人教A版 第1讲　描述运动的基本概念 新 知 导 入 天宫二号离发射点的距离与时间的关系； 蓄水池使用时水面高度与使用时间的关系； 高铁票价与路程的关系； 炮弹的射高与时间的关系； 受台风影响的面积与半径的关系； …… 变量间的对应关系 函数模型 把握研究对象的运动变化规律 已学的函数模型： 《数学》 第三章　函数的概念与性质 学校名称 2025 人教A版 第1讲　描述运动的基本概念 回 顾 思 考 初中学习的函数概念是什么？ 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，就说y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 如：正方形的周长l与边长x的关系式是l=4x， 对于每一个确定的x，都有唯一的l与之对应，∴l是x的函数. 变量间的依赖关系 集合与对应关系 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 3 实 例 剖 析 抽象函数概念 问题1.某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内,列车行进的路程S(单位:km)与运行时间t(单位:h)的关系可以表示为S=350t. t和S是两个变量，且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，故S是t的函数． 思考1.1:有人说“根据对应关系S=350t,这趟列车加速到350km/h后,每运行1h就前进了350km.”你认为这个说法正确吗? 此说法错误。理由：没有注意t的变化范围。根据问题1的条件, 不能判断列车以350km/h运行半小时后的情况. 思考1.2:如何用更精确的语言来描述列车行进路程S与运行时间t的关系？ 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 实 例 剖 析 类比归纳——例题同上 思考1.2:如何用更精确的语言来描述列车行进路程S与运行时间t的关系？ 对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系①，在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应． S与t的关系是：S=350t ① 其中，t的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5}， S的变化范围是数集B1={S|0≤S≤175}. 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 实 例 剖 析 类比归纳 问题2.某电气维修公司要求工人每周工作至少1天,至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元,而且每周付一次工资,那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资?一个工人的工资w(单位:元)是他工作天数d的函数吗? 则工资w是一周工作天数d的函数,其对应关系是________ ② w=350d 其中，d的变化范围是数集A2=___________________， w的变化范围是数集B2=___________________________. 且对于数集A2中的任一个工作天数d ，按照对应关系②，在数集B2中都有唯一确定的工资w和它对应． {1,2,3,4,5,6} {350,700,1050,1400,1750,2100} 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 实 例 剖 析 类比归纳 S与t的关系是：S=350t ① t的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5}, S的变化范围是数集B1={S|0≤S≤175}. w与d的关系是：w=350d ② d的变化范围是数集A2={1,2,3,4,5,6}, w的变化范围是数集B2={350,700,1050,1400,1750,2100}. 思考2：问题1、2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗?为什么? S=350t和w=350d不是同一个函数，因为t与d的取值集合不同. 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 实 例 剖 析 类比归纳 问题3.下图是北京市某日的空气质量指数(简称AQI)变化图. 思考3.1：如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数的值I? 思考3.2：你能根据该图找到中午8时的 AQI的值吗? 思考3.3：你认为这里的I是t的函数吗？ 对于数集A3=____________的任一时刻t，按照图中曲线给定的对应关系，在数集B3=____________中都有唯一确定的工资w和它对应． 故I是t的函数. {I|0<I<150} {t|0≤t≤24} 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 【变式1】已知3，x2-2x，x是集合M中的元素，则实数x的取值范围是____________. 【变式3】方程(x-m)(x-1)(x-2)=0的解集中的元素之和恰好为3，则m=0或1或2 实 例 剖 析 类比归纳 问题4.国际上常用恩格尔系数r(r=食物支出金额/总支出金额)反映一个地区人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况,从中可看出该省城镇居民生活质量越来越高. 年份y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 28.89 29.35 28.57 对于数集A4=____________________的任一年份y，按照表格给定的对应关系，在数集B4=__________中都有唯一确定的工资w和它对应． 故r是y的函数. 思考5：你认为按上表给出的对应关系,恩格尔系数r是年份y的函数吗?如果是,你会用怎样的语言来刻画这个函数? {y∈Z|2006≤y≤2015} {r|0<r≤1} 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 1920年，德国女数学家诺特已引入“左模”，“右模”的概念。1921年写出的《整环的理想理论》是交换代数发展的里程碑。其中，诺特在引入整数环概念的时候（整数集本身也是一个数环），她是德国人，德语中的整数叫做Zahlen，于是当时她将整数环记作z，从那时候起整数集就用z表示了。 “有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。 实 例 剖 析 类比归纳 一个对应关系、两个非空数集 思考5：上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征?你能由此概括出函数概念的本质特征吗? f 定义域 值域 解析式 C4⊆B4 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 互异强调：x班中考成绩构成的集合，不重复出现 概 念 学 习 函数的概念 function 设A、B为非空实数集，若对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，则称 f :A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作： y=f (x), x∈A. 概念 自变量 函数值 定义域 值域 含义 x f(x) 性质 存在性 唯一性 表示 描述法,列举法,区间 一对一/多对一 值域是集合B的子集 使函数有意义的自变量的取值集合 函数值的取值集合 任意性 x,t,v,u等 f(x),g(x),h(x), F(x),G(x)等 非空数集A 非空数集{f(x)|x∈A} 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 概 念 学 习 函数的概念 function “ y=f (x), x∈A”的理解： f (x)=x2+3x+1, x∈[0,4] 符号 x∈A y=f(x) f f(x) f(a) 含义 函数的定义域为A 函数符号,表示x在对应关系f的作用下可得对应的函数值y 对应法则，表示对x实施“对应”操作的方式 函数值y，或函数y=f (x)的简记 当x=a时函数f(x)的取值 备注 见函数先看定义域 不能理解为 “y等于f 乘x” 可为解析式、图象、表格、Venn图等 ƒ(x)=2x+1 g(x)=x3 f(a)是f(x)的一个特殊值,是一个相对确定的数. 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 概 念 巩 固 函数的概念 一次函数f(x)＝2x+3的定义域是R,值域也是R, 对应关系f 把R中的任意一个数x,对应到R中唯一确定的数2x+3． 二次函数h(x)＝3x2+1的定义域是R,值域是[1,+∞), 对应关系h把R中的任意一个数x,对应到[1,+∞)中唯一确定的数3x2+1． 反比例函数 的定义域是{x|x≠0}, 值域是{y|y≠0}, 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 例：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)的关系为h=130t-5t². 求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述 定义域为[0,26] 值域为[0,845] 对于定义域[0,26]中的任意一个数t，按照对应关系h(t)=130t－5t2，在值域[0,845]中都有唯一确定的数h和它对应. 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 概 念 辨 析 函数的概念 定义法 【例1】判断下列对应是否为集合A到集合B的函数. （1）A=R，B={y|y>0}， f：x → y=|x| （2）A=Z，B=Z， f：x → y=x2 （3）A=Z，B=Z， f：x → （4）A=Z，B=Z， f：x → （5）A=R，B={0}， f：x → y=0 x=0 y=|x| 值域为N x=2 【例2】判断下列式子能否表示y是x的函数. ①y=|x| ②|y|=x ③y=x2 ④y2=x ⑤x2+y2=1 x=1,y=±1 x=0,y=±1 x=1,y=±1 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 概 念 辨 析 函数的概念 平移法 【例3】设A={x|0≤x≤2}, B={y|1≤y≤2}.下图表示从A到B的函数是( ) D 0 x y 2 2 1 0 x y 2 1 2 1 0 x y 2 1 2 0 x y 2 1 2 1 A D C B 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 【例4】下列图象具有函数关系的是_____和_____. o x y A C B E x y o D 1 -1 o x y 1 x o 1 o x y A E 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 函数的概念 P64 概 念 辨 析 定义域为{1,2,3,4,5} 值域为{2,3,4,5} 对应关系f如Venn图所示 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 函数的统一性和多样性 概 念 辨 析 例: 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律.例如，正比例函数y=kx(k≠0)可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等. 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 y=kx s=vt m=ρV l=2πr 实际问题 函数模型 抽象 还原 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 Eluer(欧拉) 1748 一个变量的函数是由这个变量和一些数以任何方式组成的解析式。 在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。 Cauchy(柯西) 解析式定义 变量间的依赖关系 只须有一个法则存在，以使得这个函数取值范围中的每一个值，都只有一个确定的值和它对应。 集合和对应的观点 函数：清代数学家李善兰、翻译《代数学》时把“function”译为“函数”. “凡式中含天,为天之函数” 天、地、人、物表示4个不同的未知数或变量。 即:凡式中含有变量x,则该式叫做x的函数” 函数的发展历程 概 念 辨 析 Dirichlet (狄利克雷) 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 21 1.函数概念：设A、B为非空实数集，若对于A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在B中都有唯一确定的数y和它对应，则称 f :A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作： y=f (x), x∈A. ①“f (x)”可以表示函数值，也可以表示函数. f (3)=1 f (x)=x+1 ② 函数的三要素：定义域、对应关系、值域. 若两个函数的_______________________相同，则它们为同一个函数. 定义域、对应关系、值域 [引例]已知f(x)=x2+1, x∈[2,+∞)，则值域必为________ 已知g(t)=t2+1, x∈[2,+∞)，则值域必为________ [5,+∞) [5,+∞) ③值域由定义域、对应关系唯一确定. 小结 函 数 概 念 《数学》 第三章　函数的概念与性质 学校名称 2025 人教A版 第1讲　描述运动的基本概念 高中《数学》必修第一册 2025 人教A版 第三章 函数的概念与性质 3.1.1 函数的概念（二） 判断函数相等 求函数值 求函数的定义域 求函数的值域 《数学》 第三章　函数的概念与性质 学校名称 2025 人教A版 第1讲　描述运动的基本概念 求函数的值 函 数 应 用 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 24 “由里往外”逐层求值. 求函数的值 函 数 应 用 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 25 求函数的值 函 数 应 用 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 26 若两个函数的定义域和对应关系相同，则它们为同一个函数. (两个函数相等) (与字母无关) 对应关系相同,定义域不同 思考：定义域和值域都相同的两个函数是否一定相等？ 如：“y=x+1”与“y=2x”的定义域、值域均为R，但对应关系不同. 对应关系相同,定义域不同 [2,+∞) (-∞,-2]∪[2,+∞) R {x|x≠0} 函数相等 函 数 应 用 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 27 f (x)=x {x|x≥0} f(x)=x {y|y≥0} R f(u)=u R R g(x)=|x| {y|y≥0} {n|n≠0} f(n)=n {m|m≠0} 不是 是 不是 不是 函数相等 函 数 应 用 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 28 R (-∞,-2]∪[2,+∞) {x|x≠2} {x|x≠±2} {x|x≠0且x≠-2} 多个区间用“∪”连接 若已给出函数解析式但无指明其定义域， 则定义域默认为使解析式有意义的自变量的取值集合。 不能先约分 若a≠0，则a0=1 {x|x≤-2或x≥2} (-∞,-2)∪(-2,0)∪(0,+∞) 求函数的定义域(具体函数) 函 数 应 用 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 29 求函数的定义域(具体函数) 函 数 应 用 见函数先求定义域！！！ 函数f(x)所含结构 求定义域时注意事项 举例 整式或奇次根式 分式 偶次根式 零次幂[g(x)]0 (2x+1)0 定义域通常为R 分母不为0 根号内大于等于0 g(x)≠0 不可先约分后求定义域 注：①若f(x)由几部分的式子构成，则其定义域为使各部分同时有意义的数的集合。(即求交集) ②若f(x)为实际问题中的函数，则定义域要符合实际意义。 (如：大于0，取整数…) 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 求函数的定义域(具体函数) 函 数 应 用 【例】(单位:cm)设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积S关于x的函数解析式，并写出定义域. 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 求函数的定义域(抽象函数) 函 数 应 用 a∈[0,4] t+1∈[0,4] t∈[-1,3] ①同一题目中,同一对应关系f作用的整个对象的取值范围相同. a-2∈[0,4] ②任何函数的定义域均指自变量的取值范围. 引例中, f(x)的定义域是指x的范围； f(x+1)的定义域是指x的范围. f(a-2)的定义域是指a的范围. 只是用同一字母来表示两个函数的自变量，范围可能不同. 两个“x”不同 x∈[-1,3] a∈[2,6] x+1∈[0,4] f作用对象的范围： 函数的定义域： 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 f(x) f(x+1) 定义域 (自变量的范围) 同一f作用对象的范围 0≤x≤1 0≤x≤1 0≤x+1≤1 ﹣1≤x≤0 [-1,0] [例]解:∵f(x)的定义域为[0,1], 即0≤x≤1； ∴对于f(x+1)有0≤x+1≤1, 解得－1≤x≤0. ∴f(x+1)的定义域为[－1,0] [变式4]已知f(x)的定义域为[-2,4]，则g(x)=f(x)+f(-x)的定义域是___. 2 [2,3] [-2,-1] + [-2,-1) [-2,2] Key：同一f作用对象的范围 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 求函数值域的方法 函 数 应 用 1.观察法 学校名称 2025 人教A版 《数学》 第三章　函数的概念与性质 第1讲　描述运动的基本概念 2.配方法(二次函数型) 《数学》 第三章　函数的概念与性质 学校名称 2025 人教A版 第1讲　描述运动的基本概念 3.分离常数法 1.适用于分子分母均含变量的分式 2.分离目的：化为熟悉结构，便于利用反比例函数或基本不等式求 分式的范围、最值等 把分子中的变量分离掉，使分子化为常数 3.分离方法：分子配凑出与分母一样的结构→约分 《数学》 第三章　函数的概念与性质 学校名称 2025 人教A版 第1讲　描述运动的基本概念 3.分离常数法 1.适用于分子分母均含变量的分式 2.分离目的：化为熟悉结构，便于利用反比例函数或基本不等式求 分式的范围、最值等 把分子中的变量分离掉，使分子化为常数 3.分离方法：分子配凑出与分母一样的结构→约分 《数学》 第三章　函数的概念与性质 学校名称 2025 人教A版 第1讲　描述运动的基本概念 3.分离常数法 把分子中的变量分离掉，使分子化为常数 换元法 分解约分 《数学》 第三章　函数的概念与性质 学校名称 2025 人教A版 第1讲　描述运动的基本概念 (四)求函数值域的方法 4.换元法 注意新元的范围 换元法 观察法 《数学》 第三章　函数的概念与性质 学校名称 2025 人教A版 第1讲　描述运动的基本概念 课 后 作 业 (写为集合或区间的形式) 《数学》 第三章　函数的概念与性质 学校名称 2025 人教A版 第1讲　描述运动的基本概念 THANK YOU 高中《数学》必修第一册 2025 人教A版 第1讲　描述运动的基本概念 $