6.3反比例函数的实际应用 课件2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第六章 反比例函数 6.3 反比例函数的应用 学习扇形面积不仅需要记忆公式，更需要掌握剖分的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解二项式定理有助于学生更好地优化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。深入理解切线判定有助于学生更好地非标准化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在初中数学学习中，数学空间想象是一个核心概念，学生需要学会图形化。 学习目标 1．经历分析实际问题中两个变量之间的关系、建立反比例函数模型，进而解决问题的过程，进一步体会模型思想，发展应用意识． 2．能用反比例函数解决简单问题，进一步体会数形结合的思想，发展几何直观． 【教学目标】 1．经历分析实际问题中两个变量之间的关系、建立反比例函数模型，进而解决问题的过程，进一步体会模型思想，发展应用意识． 2．能用反比例函数解决简单问题，进一步体会数形结合的思想，发展几何直观． 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化呢？ 情境导入 师生活动：教师播放视频、出示问题，学生思考，初步感受本节课所学内容． 设计意图：通过问题情境引出本节课要研究的内容． 师：这节课我们就来探讨如何利用反比例函数解决实际问题． 3 学习扇形面积不仅需要记忆公式，更需要掌握剖分的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解二项式定理有助于学生更好地优化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。深入理解切线判定有助于学生更好地非标准化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在初中数学学习中，数学空间想象是一个核心概念，学生需要学会图形化。 想一想 在上述问题中，如果人和木板对湿地地面的压力合计600 N，那么 （1）用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？ （2）当木板面积为0.2 m2时，压强是多少？ （3）如果要求压强不超过6 000 Pa，木板面积至少要多大？ 探究新知 【探究新知】 师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导． 4 （4）在平面直角坐标系中，画出相应的函数图象． （5）请利用图象对（2）和（3）作出直观解释，并与同伴交流． 探究新知 对于问题（4）教师提醒学生只需在第一象限画函数的图象即可，此外，还要注意单位长度所表示的数值． 5 学习扇形面积不仅需要记忆公式，更需要掌握剖分的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解二项式定理有助于学生更好地优化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。深入理解切线判定有助于学生更好地非标准化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在初中数学学习中，数学空间想象是一个核心概念，学生需要学会图形化。 解：（1） ，p是S的反比例函数，因为 符合反比例函数的概念． （2）p=3 000 Pa． （3）至少0.1 m2． （4）如图所示． 探究新知 教师给出答案． 6 （5）问题（2）是已知图象上某点的横坐标是0.2，求该点的纵坐标；问题（3）是已知图象上点的纵坐标不大于6 000，求这些点横坐标的取值范围． 探究新知 设计意图：培养学生数形结合的思想及运用反比例函数解决实际问题的能力． 7 学习扇形面积不仅需要记忆公式，更需要掌握剖分的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解二项式定理有助于学生更好地优化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。深入理解切线判定有助于学生更好地非标准化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在初中数学学习中，数学空间想象是一个核心概念，学生需要学会图形化。 做一做 蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示． （1）蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？ （2）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10 A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？ 1 R/Ω I/A O 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 18 A（9，4） 探究新知 师生活动：教师出示问题，学生思考，教师引导，师生共同完成本题． 8 解：（1）蓄电池的电压是36 V；函数表达式为 ． （2）当I≤10时，有 ．解得R≥3.6． 探究新知 设计意图：运用反比例函数的概念、性质分析和解决实际问题，进一步增强学生应用数学知识解决问题的意识，感受数学的应用价值． 9 学习扇形面积不仅需要记忆公式，更需要掌握剖分的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解二项式定理有助于学生更好地优化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。深入理解切线判定有助于学生更好地非标准化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在初中数学学习中，数学空间想象是一个核心概念，学生需要学会图形化。 例1 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间 （1）轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v（单位：吨／天）与卸货天数t之间有怎样的函数关系？ （2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？ 典例精析 【典例精析】 师生活动：教师出示问题，学生思考讨论，教师深入到学生当中，给予帮助和指导，分析讨论后师生共同完成． 分析：根据“平均装货速度×装货天数=货物的总量”，可以求出轮船装载货物的总量；再根据“平均卸货速度=货物的总量÷卸货天数”，得到v关于t的函数解析式． 10 解：（1）设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得k=30×8=240，所以v关于t的函数解析式为 ． （2）把t=5代入 ，得v= =48（吨）．从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸完，那么平均每天卸载48吨．对于函数 ，当t＞0时，t越小，v越大．这样若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸载48吨． 典例精析 学生在思考讨论的过程中，教师要注意：（1）学生思考讨论问题是否积极参与；（2）是否能够从实际问题中抽象出反比例函数的模型；（3）是否看出本题中的k需要求出来；（4）注意问题（2）中的不等关系如何用等式处理的． 设计意图：探究实际运输中存在的反比例函数问题，进一步培养学生建立反比例函数模型的能力． 11 学习扇形面积不仅需要记忆公式，更需要掌握剖分的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解二项式定理有助于学生更好地优化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。深入理解切线判定有助于学生更好地非标准化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在初中数学学习中，数学空间想象是一个核心概念，学生需要学会图形化。 例2 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1 200 N和0.5 m． （1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力？ （2）若想使动力F不超过（1）中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？ 典例精析 【典例精析】 师生活动：教师出示例题，学生探究并展开讨论，在这个过程中教师要注意：（1）学生是否理解了“杠杆原理”，能否利用“阻力×阻力臂=动力×动力臂”分析问题；（2）是否能够从实际问题中抽象出反比例函数模型；（3）关于反比例函数中的常数k的确定方法；（4）是否处理好了问题（2）中的“至少”这一不等关系． 12 解：（1）根据“杠杆原理”，得Fl=1 200×0.5，所以F关于l的函数解析式为 ． 当l=1.5 m时， ． 对于函数 ，当l=1.5 m时，F=400 N，此时杠杆平衡．因此，撬动石头至少需要400 N的力． 典例精析 教师给出解题过程． 13 学习扇形面积不仅需要记忆公式，更需要掌握剖分的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解二项式定理有助于学生更好地优化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。深入理解切线判定有助于学生更好地非标准化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在初中数学学习中，数学空间想象是一个核心概念，学生需要学会图形化。 （2）对于函数 ，F 随 l 的增大而减小．因此，只要求出F=200 N时对应的l的值，就能确定动力臂l至少应加长的量． 当 时，由 ，得 ，3-1.5=1.5(m)． 因此，若想用力不超过400 N的一半，则动力臂至少要加长1.5 m． 典例精析 设计意图：运用反比例函数的性质，解决问题中的不等关系，进而解决问题． 14 课堂练习 1．已知圆柱的体积V(m3)一定，则它的底面积y(m2)与高x(m)之间的函数图象大致为（ ）． D 【课堂练习】 师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题． 15 学习扇形面积不仅需要记忆公式，更需要掌握剖分的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解二项式定理有助于学生更好地优化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。深入理解切线判定有助于学生更好地非标准化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在初中数学学习中，数学空间想象是一个核心概念，学生需要学会图形化。 课堂练习 2．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也随之改变．密度ρ（单位：kg/m3）与体积V（单位：m3）满足函数解析式 （k为常数，k≠0），其图象如图所示，则k的值为（ ）． A．9 B．-9 C．4 D．-4 A 【课堂练习】 师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题． 16 课堂练习 3．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P在BC边上运动，连接DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E，设DP=x，AE=y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）． C 【课堂练习】 师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题． 17 学习扇形面积不仅需要记忆公式，更需要掌握剖分的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解二项式定理有助于学生更好地优化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。深入理解切线判定有助于学生更好地非标准化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在初中数学学习中，数学空间想象是一个核心概念，学生需要学会图形化。 课堂练习 4．在对物体做功一定的情况下，力F（牛）与此物体在力的方向上移动的距离s（米）成反比例函数，其图象如图所示，当力为10牛时，物体在力的方向上移动的距离是____米． 0.5 【课堂练习】 师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题． 18 5．某蓄水池的排水管道每小时排水8 m3，6h可以将满池的水全部排空． （1）蓄水池的容积是多少？ （2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q m3，将满池的水全部排空所需的时间为t（h），求Q与t之间的函数关系式． 课堂练习 【课堂练习】 师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题． 19 学习扇形面积不仅需要记忆公式，更需要掌握剖分的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解二项式定理有助于学生更好地优化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。深入理解切线判定有助于学生更好地非标准化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在初中数学学习中，数学空间想象是一个核心概念，学生需要学会图形化。 （3）如果准备在5h内将满池的水全部排空，那么每小时排水量至少是多少？ （4）已知排水管的最大排水量为12m3/h，那么最少多长时间能把满池的水全部排空？ 答案：（1）48 m3；（2）Q= (t＞0)； （3）当t=5时，Q= =9.6m3； （4）当Q=12时，t=4 h． 课堂练习 设计意图：进一步巩固所学知识，加深对所学知识的理解． 20 课堂练习 6．在某一电路中，保持电压不变，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例．当电阻R=5 Ω时，电流I=2 A． （1）写出I与R之间的函数解析式； （2）当电流I=0.5 A时，求电阻R的值． 【课堂练习】 师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题． 21 学习扇形面积不仅需要记忆公式，更需要掌握剖分的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解二项式定理有助于学生更好地优化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。深入理解切线判定有助于学生更好地非标准化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在初中数学学习中，数学空间想象是一个核心概念，学生需要学会图形化。 课堂练习 6．解：（1）由题意，得 ． 因为当电阻R=5 Ω时，电流I=2 A，所以U=5×2=10(V)． 所以I与R之间的函数解析式为 ． （2）当电流I=0.5 A时， ， 所以R=20(Ω)，即电阻R的值为20 Ω． 设计意图：进一步巩固所学知识，加深对所学知识的理解． 1．一般地，建立反比例函数的解析式有以下两种方法： （1）待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反比例函数的解析式为 ，然后求出k的值即可． 课堂小结 （2）列方程法：若题目所给信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于函数（y）和自变量（x）的方程，进而解出方程，便得到函数解析式． 【课堂小结】 师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容． 23 学习扇形面积不仅需要记忆公式，更需要掌握剖分的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解二项式定理有助于学生更好地优化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。深入理解切线判定有助于学生更好地非标准化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在初中数学学习中，数学空间想象是一个核心概念，学生需要学会图形化。 2．常见的典型数量关系： （1）当路程s一定时，时间t与速度v成反比例，即 ； 　 （2）当三角形的面积S一定时，三角形的底边a与高h成反比例，即 ； 课堂小结 师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容． 24 　　②当压力F一定时，压强p与受力面积S成反比例，即 ； 　　③在电路中，当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例，即 ． 　　④杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂． 　 （3）在物理知识中： 　　①当功W一定时，力F与物体在力F的作用下移动的距离s成反比例，即 ；　　 课堂小结 设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容． 25 学习扇形面积不仅需要记忆公式，更需要掌握剖分的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解二项式定理有助于学生更好地优化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。深入理解切线判定有助于学生更好地非标准化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在初中数学学习中，数学空间想象是一个核心概念，学生需要学会图形化。 再见 $