22.2 二次函数与一元二次方程 学案 2025--2026学年人教版九年级数学上册

辅导讲义 学员姓名： 年 级：初三 层次：70-80 辅导老师： 辅导科目：数学 第 课时 课 题 二次函数解析式，二次函数与方程、不等式 授课时间： 备课时间： 教学目标 1、 熟练掌握二次函数三种情况求解析式 2、 熟练掌握二次函数与坐标轴交点，不等式的关系 3、 熟练掌握二次函数系数的关系 4、 熟练掌握二次函数近似根 重点、难点 重点：二次函数解析式，二次函数与方程、不等式的关系 难点：二次函数系数的关系，二次函数交点综合问题 考点及考试要求 计算正确二次函数解析式，学会二次函数系数综合问题，学会二次函数近似根，交点问题 课程规划 知识点复习+作业讲解（10min）→新课（50min）→习题巩固（40min）→小测（10min）→总结+讲解（10min） 教学内容 情景导入 ①默写出二次函数一般式的性质（开口方向，对称轴，顶点，增减性，最值） ②默写出二次函数顶点式的性质（开口方向，对称轴，顶点，增减性，最值） 二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)； (2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)； (3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)． 注意：确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或， 或，其中a≠0； 第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 ： 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 求一元二次方程的近似解的方法：（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【题型一 二次函数求一般式解析式】重点★★★ 例1. 已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数 的图像经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴 变式1.已知二次函数：y=x2+bx+c过点(1，0)，(0，-3)。求该二次函数的解析式 变式2. 一个二次函数的图象经过A（0，0），B（1，9），C（-1，-1），求这个二次函数的解析式 【题型二 二次函数顶点式求解析式】重点★★★ 例1. 已知抛物线的顶点坐标是（2，﹣3），且与y轴的交点坐标为（0，5），则该抛物线的解析式为 　 　． 变1. 已知抛物线的顶点坐标为(1，﹣2)，与y轴交于点(0，﹣4)，求抛物线的解析式． 变2. （易错★）已知二次函数的最小值为﹣3，这个函数的图象经过点（1，﹣2），且对称轴为x＝2，则这个二次函数的表达式为 　 ． 变3. 若某二次函数图象的形状与抛物线y＝3x2相同，且顶点坐标为（0，﹣2），则它的表达式为　 ． 【题型三 二次函数交点式求解析式】重点★★★ 例1、已知抛物线经过点(0，-2)，(3，0)，(-1，0)，求抛物线的解析式． 变1. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5），点D是抛物线的顶点，过D作x轴垂线交直线BC于E． （1） 求此二次函数解析式及点D坐标． 变2、已知抛物线经过（3，5），A（4，0），B（-2，0），且与y轴交于点C． （1）求二次函数解析式； （2）求△ABC的面积． 【题型四 二次函数与不等式】重点★★ 例1. 如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 例2. 二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 变1. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．且 D．或 变2. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（    ） A．， B．不等式的解集是 C． D．方程的解是， 变3. 如图，已知二次函数经过点和点，    (1)求该二次函数的解析式； (2)如图，若一次函数经过B、C两点，直接写出不等式的解； (3)点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求的面积． 【题型五 二次函数系数的关系】重难点★★★★★★ 例1. 如图是二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，有如下结论： ①abc＞0：②a+b+c＜0：③4a+b＜0；④4a＞c． 其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 例2. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论： ①abc＜0；②9a+3b+c＜0；③2c＜3b；④a+b＞m（am+b）（m≠1）；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变1. 如图，直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴，则下列结论：①abc＞0；②b+2a＝0；③3a+c＞0；④4a+2b+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）正确的是（　　） A． ②③⑤ B．②④⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 变2. 如图，抛物线（）与x轴交于点，，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为.其中正确结论的是（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①④ 【题型六 二次函数的平移旋转变换】 例1.已知a+b+c＝0且a≠0，把抛物线y＝ax2+bx+c向下平移一个单位长度，再向左平移5个单位长度所得到的新抛物线的顶点是（﹣2，0），求原抛物线的表达式 例2.已知y＝﹣3（x﹣2）2﹣7将它的图象沿着x轴对折后的函数表达式是 　 　 例3.抛物线y＝x2﹣6x+7绕其顶点旋转180°后得到抛物线y＝ax2+bx+c，则a＝　 　，b＝　　 ，c＝　　 变式1.将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，求平移后的抛物线解析式 变式2.抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴正半轴交于A点，M（﹣2，m）在抛物线上，AM交y轴于D点，抛物线沿射线AD方向平移个单位，求平移后的解析式 变式3.二次函数y＝2（x﹣3）2+1图象绕原点旋转180°得新图象的解析式为 　 　 【题型七 二次函数的近似根】易错点★★★ 例1. 小明用探索方程（、、为常数）的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到）为（    ） A． B． C． D． 例2. 根据如表的对应值，可判断关于的一元二次方程必有一个根满足（    ） … … … … A． B． C． D． 变式1. 下表给出了二次函数中，的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解（精确到）为（   ） x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 … y … 0.25 0.76 … A． B． C． D． 变式2. 二次函数 （a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 3 4 … y … 0 4 m 0 … (1)直接写出m的值，并求该二次函数的解析式； (2)当时，求函数值y的取值范围． (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围． (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围． 【题型八 二次函数与坐标轴的交点】 例1、抛物线与x轴的交点坐标为　 　． 例2、抛物线与y轴的交点坐标是　 　，与x轴的交点坐标是 和　 　． 例3、如图，若的部分图象如图所示，则关于的方程的另一个解为 ． 例4、如图是抛物线的一部分，对称轴为直线，若其与x轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集是 ． 例5、二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则当时，x的取值范围是 ． 例6、已知抛物线与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围为 ． 变1、抛物线与轴的交点坐标是 ．二次函数图像与轴交点坐标为 ． 变2、已知的图象与轴的一个交点为，则另一个交点为 ． 变3、二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是 ． 变4、如图，抛物线经过点，，则的解集为 ． 变5、二次函数的部分图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 变6、已知为实数，抛物线与轴的交点情况是（   ） A．没有交点 B．只有一个交点 C．有两个不同的交点 D．无法判断有没有交点 课后作业 1.抛物线与轴的交点情况是  (    ) A. 有两个交点 B. 只有一个交点 C. 没有交点 D. 无法判断 2.二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. 方程两根同号 D. 3.若函数的图象与轴只有一个公共点，则常数的值是(    ) A. B. C. 或 D. 4.抛物线与坐标轴有个公共点，则的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 5.已知二次函数，当，时，图象与轴的交点情况是  (    ) A. 无交点 B. 只有一个交点 C. 有两个交点 D. 不能确定 6.二次函数的图象经过点，，则关于的方程的根是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 7.抛物线如图所示，则关于的方程 的解是(    ) A. 无解 B. C. D. ， 8.根据下列表格的对应值，判断方程的一个解的范围是(    ) A. B. C. D. 9.已知二次函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是    ． A. 无实根 B. 有两个相等实数根 C. 有两个异号实数根 D. 有两个同号不等实数根 二、填空题： 11.抛物线与轴的交点坐标是          ，与轴的交点坐标是          ． 12.抛物线与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点的坐标是          ． 13.二次函数的图象与轴的两个交点之间的距离是          ． 14.若抛物线与轴有交点，则的取值范围为          ． 15.已知抛物线的部分图象如图所示，则方程的解是          ． 16.二次函数的图象与轴交于一个点，则方程的根为          ． 17.若二次函数的图象与轴交于，两点，则的值为          ． 18、已知二次函数的图象经过（﹣2，﹣5），（0，3），（2，3）三点．求这个二次函数的表达式； 19、已知一个抛物线经过点（3，0），（﹣1，0）和（2，﹣6）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 20、已知某二次函数的图象的顶点为（﹣2，2），且过点（﹣1，3）． （1）求此二次函数的关系式． （2）判断点P（1，9）是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 21、已知二次函数y＝x2+bx+c经过（0，﹣2）和（1，﹣2）． （1）求该二次函数的表达式和对称轴． （2）当﹣1≤x≤3时，求该二次函数的最大值和最小值． 21.本小题分 如图，直线和抛物线相交于点和点． 求点和点的坐标； 直接写出不等式的解集． 22.已知二次函数． 求证：无论为任何实数，该二次函数的图象与轴都有两个交点； 若图象经过原点，求二次函数的解析式． 23.下面是一个二次函数的自变量和函数的对应值表： 根据表中提供的信息解答下列各题： 求抛物线与轴的交点坐标； 直接写出不等式的解集是______． 设抛物线与轴两个交点分别为、，顶点为，求的面积． 4 学科网（北京）股份有限公司 $